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Theorem sge0ltfirp 38074
Description: If the sum of nonnegative extended reals is real, then it can be approximated from below by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0ltfirp.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
sge0ltfirp.f  |-  ( ph  ->  F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
sge0ltfirp.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR+ )
sge0ltfirp.re  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
sge0ltfirp  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) (Σ^ `  F )  <  (
(Σ^ `  ( F  |`  x
) )  +  Y
) )
Distinct variable groups:    x, F    x, X    x, Y    ph, x
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem sge0ltfirp
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0ltfirp.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
2 sge0ltfirp.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3 sge0ltfirp.re . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR )
42, 1, 3sge0rern 38062 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -. +oo  e.  ran  F )
51, 4fge0iccico 38044 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : X --> ( 0 [,) +oo ) )
65sge0rnre 38038 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  C_  RR )
7 sge0rnn0 38042 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  =/=  (/)
87a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  =/=  (/) )
92, 1, 3sge0rnbnd 38067 . . 3  |-  ( ph  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ran  (
x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) w  <_  z
)
10 sge0ltfirp.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR+ )
116, 8, 9, 10suprltrp 37437 . 2  |-  ( ph  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w )
12 nfv 1752 . . 3  |-  F/ w ph
13 nfv 1752 . . 3  |-  F/ w E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )
(Σ^ `  F )  <  (
(Σ^ `  ( F  |`  x
) )  +  Y
)
14 simp1 1006 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  /\  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w
)  ->  ph )
15 vex 3085 . . . . . . . . . 10  |-  w  e. 
_V
16 eqid 2423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  =  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
1716elrnmpt 5098 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  _V  ->  (
w  e.  ran  (
x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  <->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) w  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
) )
1815, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  <->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) w  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)
1918biimpi 198 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  ->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )
w  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
2019adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  ran  (
x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  /\  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w
)  ->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) w  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)
21 nfmpt1 4511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
2221nfrn 5094 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
23 nfcv 2585 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x RR
24 nfcv 2585 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x  <
2522, 23, 24nfsup 7969 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )
26 nfcv 2585 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x  -
27 nfcv 2585 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x Y
2825, 26, 27nfov 6329 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )
29 nfcv 2585 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x w
3028, 24, 29nfbr 4466 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w
31 simpl 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w  /\  w  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  ->  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w )
32 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w  /\  w  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  ->  w  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
3331, 32breqtrd 4446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w  /\  w  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  ->  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
3433ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sup ( ran  (
x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w  ->  (
w  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  ->  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
) )
3534a1d 27 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sup ( ran  (
x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w  ->  (
x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  ( w  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  ->  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) )
3630, 35reximdai 2895 . . . . . . . 8  |-  ( ( sup ( ran  (
x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w  ->  ( E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )
w  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  ->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )
3736adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  ran  (
x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  /\  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w
)  ->  ( E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) w  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  ->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )
3820, 37mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  ran  (
x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  /\  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w
)  ->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
39383adant1 1024 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  /\  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w
)  ->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
40 simpl 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )
) )
412, 1, 3sge0supre 38063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  ) )
4241oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  F )  -  Y
)  =  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y ) )
4342adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  ->  ( (Σ^ `  F
)  -  Y )  =  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y ) )
44 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  ->  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
4543, 44eqbrtrd 4442 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  ->  ( (Σ^ `  F
)  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
4645adantlr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  ( (Σ^ `  F
)  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
47 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  (
(Σ^ `  F )  -  Y
)  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  -> 
( (Σ^ `  F )  -  Y
)  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
483adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  F
)  e.  RR )
4910rpred 11343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
5049adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  Y  e.  RR )
51 elinel2 3653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
5251adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
53 rge0ssre 11742 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
545adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  F : X --> ( 0 [,) +oo ) )
5554adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  F : X --> ( 0 [,) +oo ) )
56 elpwinss 37293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  x  C_  X )
5756adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  x  C_  X )
5857sselda 3465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  X )
5955, 58ffvelrnd 6036 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( F `  y )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
6053, 59sseldi 3463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
6152, 60fsumrecl 13793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  e.  RR )
6248, 50, 61ltsubaddd 10211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  (
( (Σ^ `  F )  -  Y
)  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  <->  (Σ^ `  F )  <  ( sum_ y  e.  x  ( F `  y )  +  Y ) ) )
6362adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  (
(Σ^ `  F )  -  Y
)  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  -> 
( ( (Σ^ `  F )  -  Y
)  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  <->  (Σ^ `  F )  <  ( sum_ y  e.  x  ( F `  y )  +  Y ) ) )
6447, 63mpbid 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  (
(Σ^ `  F )  -  Y
)  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  -> 
(Σ^ `  F )  <  ( sum_ y  e.  x  ( F `  y )  +  Y ) )
6554, 57fssresd 5765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  x ) : x --> ( 0 [,) +oo ) )
6652, 65sge0fsum 38061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  x ) )  =  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  x ) `  y
) )
67 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  x  ->  (
( F  |`  x
) `  y )  =  ( F `  y ) )
6867sumeq2i 13758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  x ) `  y )  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  x ) `  y )  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)
7066, 69eqtr2d 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  =  (Σ^ `  ( F  |`  x ) ) )
7170oveq1d 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  ( sum_ y  e.  x  ( F `  y )  +  Y )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  x
) )  +  Y
) )
7271adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  (
(Σ^ `  F )  -  Y
)  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  -> 
( sum_ y  e.  x  ( F `  y )  +  Y )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  x
) )  +  Y
) )
7364, 72breqtrd 4446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  (
(Σ^ `  F )  -  Y
)  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  -> 
(Σ^ `  F )  <  (
(Σ^ `  ( F  |`  x
) )  +  Y
) )
7440, 46, 73syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  (Σ^ `  F )  <  (
(Σ^ `  ( F  |`  x
) )  +  Y
) )
7574ex 436 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  (
( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  ->  (Σ^ `  F )  <  (
(Σ^ `  ( F  |`  x
) )  +  Y
) ) )
7675reximdva 2901 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  ->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) (Σ^ `  F )  <  (
(Σ^ `  ( F  |`  x
) )  +  Y
) ) )
7776imp 431 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  ->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) (Σ^ `  F )  <  (
(Σ^ `  ( F  |`  x
) )  +  Y
) )
7814, 39, 77syl2anc 666 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  /\  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w
)  ->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) (Σ^ `  F )  <  (
(Σ^ `  ( F  |`  x
) )  +  Y
) )
79783exp 1205 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  ->  ( ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w  ->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) (Σ^ `  F )  <  (
(Σ^ `  ( F  |`  x
) )  +  Y
) ) ) )
8012, 13, 79rexlimd 2910 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. w  e. 
ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w  ->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) (Σ^ `  F )  <  (
(Σ^ `  ( F  |`  x
) )  +  Y
) ) )
8111, 80mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) (Σ^ `  F )  <  (
(Σ^ `  ( F  |`  x
) )  +  Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619   E.wrex 2777   _Vcvv 3082    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3762   ~Pcpw 3980   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480   ran crn 4852    |` cres 4853   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   Fincfn 7575   supcsup 7958   RRcr 9540   0cc0 9541    + caddc 9544   +oocpnf 9674    < clt 9677    - cmin 9862   RR+crp 11304   [,)cico 11639   [,]cicc 11640   sum_csu 13745  Σ^csumge0 38036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-sup 7960  df-oi 8029  df-card 8376  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-ico 11643  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-seq 12215  df-exp 12274  df-hash 12517  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-clim 13545  df-sum 13746  df-sumge0 38037
This theorem is referenced by:  sge0ltfirpmpt  38082  sge0ltfirpmpt2  38100
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