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Theorem sge0ltfirp 38356
Description: If the sum of nonnegative extended reals is real, then it can be approximated from below by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0ltfirp.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
sge0ltfirp.f  |-  ( ph  ->  F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
sge0ltfirp.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR+ )
sge0ltfirp.re  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
sge0ltfirp  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) (Σ^ `  F )  <  (
(Σ^ `  ( F  |`  x
) )  +  Y
) )
Distinct variable groups:    x, F    x, X    x, Y    ph, x
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem sge0ltfirp
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0ltfirp.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
2 sge0ltfirp.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3 sge0ltfirp.re . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR )
42, 1, 3sge0rern 38344 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -. +oo  e.  ran  F )
51, 4fge0iccico 38326 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : X --> ( 0 [,) +oo ) )
65sge0rnre 38320 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  C_  RR )
7 sge0rnn0 38324 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  =/=  (/)
87a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  =/=  (/) )
92, 1, 3sge0rnbnd 38349 . . 3  |-  ( ph  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ran  (
x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) w  <_  z
)
10 sge0ltfirp.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR+ )
116, 8, 9, 10suprltrp 37638 . 2  |-  ( ph  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w )
12 nfv 1769 . . 3  |-  F/ w ph
13 nfv 1769 . . 3  |-  F/ w E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )
(Σ^ `  F )  <  (
(Σ^ `  ( F  |`  x
) )  +  Y
)
14 simp1 1030 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  /\  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w
)  ->  ph )
15 vex 3034 . . . . . . . . . 10  |-  w  e. 
_V
16 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  =  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
1716elrnmpt 5087 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  _V  ->  (
w  e.  ran  (
x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  <->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) w  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
) )
1815, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  <->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) w  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)
1918biimpi 199 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  ->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )
w  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
2019adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  ran  (
x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  /\  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w
)  ->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) w  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)
21 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
2221nfrn 5083 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
23 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x RR
24 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x  <
2522, 23, 24nfsup 7983 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )
26 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x  -
27 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x Y
2825, 26, 27nfov 6334 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )
29 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x w
3028, 24, 29nfbr 4440 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w
31 simpl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w  /\  w  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  ->  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w )
32 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w  /\  w  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  ->  w  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
3331, 32breqtrd 4420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w  /\  w  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  ->  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
3433ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sup ( ran  (
x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w  ->  (
w  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  ->  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
) )
3534a1d 25 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sup ( ran  (
x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w  ->  (
x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  ( w  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  ->  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ) )
3630, 35reximdai 2853 . . . . . . . 8  |-  ( ( sup ( ran  (
x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w  ->  ( E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )
w  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  ->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )
3736adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  ran  (
x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  /\  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w
)  ->  ( E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) w  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  ->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )
3820, 37mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  ran  (
x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  /\  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w
)  ->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
39383adant1 1048 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  /\  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w
)  ->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
40 simpl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )
) )
412, 1, 3sge0supre 38345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  ) )
4241oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  F )  -  Y
)  =  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y ) )
4342adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  ->  ( (Σ^ `  F
)  -  Y )  =  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y ) )
44 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  ->  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
4543, 44eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  ->  ( (Σ^ `  F
)  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
4645adantlr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  ( (Σ^ `  F
)  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
47 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  (
(Σ^ `  F )  -  Y
)  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  -> 
( (Σ^ `  F )  -  Y
)  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
483adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  F
)  e.  RR )
4910rpred 11364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
5049adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  Y  e.  RR )
51 elinel2 3611 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
5251adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
53 rge0ssre 11766 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
545adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  F : X --> ( 0 [,) +oo ) )
5554adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  F : X --> ( 0 [,) +oo ) )
56 elpwinss 37446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  x  C_  X )
5756adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  x  C_  X )
5857sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  X )
5955, 58ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( F `  y )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
6053, 59sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
6152, 60fsumrecl 13877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  e.  RR )
6248, 50, 61ltsubaddd 10230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  (
( (Σ^ `  F )  -  Y
)  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  <->  (Σ^ `  F )  <  ( sum_ y  e.  x  ( F `  y )  +  Y ) ) )
6362adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  (
(Σ^ `  F )  -  Y
)  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  -> 
( ( (Σ^ `  F )  -  Y
)  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  <->  (Σ^ `  F )  <  ( sum_ y  e.  x  ( F `  y )  +  Y ) ) )
6447, 63mpbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  (
(Σ^ `  F )  -  Y
)  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  -> 
(Σ^ `  F )  <  ( sum_ y  e.  x  ( F `  y )  +  Y ) )
6554, 57fssresd 5762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  x ) : x --> ( 0 [,) +oo ) )
6652, 65sge0fsum 38343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  x ) )  =  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  x ) `  y
) )
67 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  x  ->  (
( F  |`  x
) `  y )  =  ( F `  y ) )
6867sumeq2i 13842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  x ) `  y )  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  x ) `  y )  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)
7066, 69eqtr2d 2506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  =  (Σ^ `  ( F  |`  x ) ) )
7170oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  ( sum_ y  e.  x  ( F `  y )  +  Y )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  x
) )  +  Y
) )
7271adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  (
(Σ^ `  F )  -  Y
)  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  -> 
( sum_ y  e.  x  ( F `  y )  +  Y )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  x
) )  +  Y
) )
7364, 72breqtrd 4420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  (
(Σ^ `  F )  -  Y
)  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  -> 
(Σ^ `  F )  <  (
(Σ^ `  ( F  |`  x
) )  +  Y
) )
7440, 46, 73syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)  ->  (Σ^ `  F )  <  (
(Σ^ `  ( F  |`  x
) )  +  Y
) )
7574ex 441 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  (
( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  ->  (Σ^ `  F )  <  (
(Σ^ `  ( F  |`  x
) )  +  Y
) ) )
7675reximdva 2858 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  ->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) (Σ^ `  F )  <  (
(Σ^ `  ( F  |`  x
) )  +  Y
) ) )
7776imp 436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  ->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) (Σ^ `  F )  <  (
(Σ^ `  ( F  |`  x
) )  +  Y
) )
7814, 39, 77syl2anc 673 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  /\  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w
)  ->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) (Σ^ `  F )  <  (
(Σ^ `  ( F  |`  x
) )  +  Y
) )
79783exp 1230 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  ->  ( ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w  ->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) (Σ^ `  F )  <  (
(Σ^ `  ( F  |`  x
) )  +  Y
) ) ) )
8012, 13, 79rexlimd 2866 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. w  e. 
ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR ,  <  )  -  Y )  <  w  ->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) (Σ^ `  F )  <  (
(Σ^ `  ( F  |`  x
) )  +  Y
) ) )
8111, 80mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) (Σ^ `  F )  <  (
(Σ^ `  ( F  |`  x
) )  +  Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ran crn 4840    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   supcsup 7972   RRcr 9556   0cc0 9557    + caddc 9560   +oocpnf 9690    < clt 9693    - cmin 9880   RR+crp 11325   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   sum_csu 13829  Σ^csumge0 38318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319
This theorem is referenced by:  sge0ltfirpmpt  38364  sge0ltfirpmpt2  38382
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