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Theorem sge0less 38348
Description: A shorter sum of nonnegative extended reals is smaller than a longer one. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0less.1  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
sge0less.2  |-  ( ph  ->  F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
Assertion
Ref Expression
sge0less  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  Y ) )  <_  (Σ^ `  F ) )

Proof of Theorem sge0less
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0less.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2 inex1g 4539 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  V  ->  ( X  i^i  Y )  e. 
_V )
31, 2syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  e.  _V )
4 sge0less.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
5 fresin 5764 . . . . . . 7  |-  ( F : X --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( F  |`  Y ) : ( X  i^i  Y ) --> ( 0 [,] +oo ) )
64, 5syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  Y ) : ( X  i^i  Y ) --> ( 0 [,] +oo ) )
73, 6sge0xrcl 38341 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  Y ) )  e.  RR* )
8 pnfge 11455 . . . . 5  |-  ( (Σ^ `  ( F  |`  Y ) )  e.  RR*  ->  (Σ^ `  ( F  |`  Y ) )  <_ +oo )
97, 8syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  Y ) )  <_ +oo )
109adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  = +oo )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  Y ) )  <_ +oo )
11 id 22 . . . . 5  |-  ( (Σ^ `  F
)  = +oo  ->  (Σ^ `  F
)  = +oo )
1211eqcomd 2477 . . . 4  |-  ( (Σ^ `  F
)  = +oo  -> +oo  =  (Σ^ `  F ) )
1312adantl 473 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  = +oo )  -> +oo  =  (Σ^ `  F
) )
1410, 13breqtrd 4420 . 2  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  = +oo )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  Y ) )  <_  (Σ^ `  F ) )
15 simpl 464 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  F
)  = +oo )  ->  ph )
16 simpr 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  F
)  = +oo )  ->  -.  (Σ^ `  F )  = +oo )
1715, 1syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  F
)  = +oo )  ->  X  e.  V )
1815, 4syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  F
)  = +oo )  ->  F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
1917, 18sge0repnf 38342 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  F
)  = +oo )  ->  ( (Σ^ `  F )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  F )  = +oo ) )
2016, 19mpbird 240 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  F
)  = +oo )  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR )
21 elinel1 3610 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ~P ( X  i^i  Y )  i^i 
Fin )  ->  x  e.  ~P ( X  i^i  Y ) )
22 elpwi 3951 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ~P ( X  i^i  Y )  ->  x  C_  ( X  i^i  Y ) )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ~P ( X  i^i  Y )  i^i 
Fin )  ->  x  C_  ( X  i^i  Y
) )
24 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ~P ( X  i^i  Y )  i^i 
Fin )  ->  ( X  i^i  Y )  C_  Y )
2623, 25sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ~P ( X  i^i  Y )  i^i 
Fin )  ->  x  C_  Y )
2726adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( ~P ( X  i^i  Y
)  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  x  C_  Y
)
28 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( ~P ( X  i^i  Y
)  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  x )
2927, 28sseldd 3419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( ~P ( X  i^i  Y
)  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  Y )
30 fvres 5893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  Y  ->  (
( F  |`  Y ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( ~P ( X  i^i  Y
)  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( ( F  |`  Y ) `  y )  =  ( F `  y ) )
3231ralrimiva 2809 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ~P ( X  i^i  Y )  i^i 
Fin )  ->  A. y  e.  x  ( ( F  |`  Y ) `  y )  =  ( F `  y ) )
3332sumeq2d 13845 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P ( X  i^i  Y )  i^i 
Fin )  ->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  Y ) `  y )  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)
3433mpteq2ia 4478 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P ( X  i^i  Y )  i^i 
Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  Y ) `  y ) )  =  ( x  e.  ( ~P ( X  i^i  Y )  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
35 inss1 3643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
36 sspwb 4649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
C_  X  <->  ~P ( X  i^i  Y )  C_  ~P X )
3736biimpi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
C_  X  ->  ~P ( X  i^i  Y ) 
C_  ~P X )
3835, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ~P ( X  i^i  Y )  C_  ~P X
39 ssrin 3648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P ( X  i^i  Y
)  C_  ~P X  ->  ( ~P ( X  i^i  Y )  i^i 
Fin )  C_  ( ~P X  i^i  Fin )
)
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P ( X  i^i  Y
)  i^i  Fin )  C_  ( ~P X  i^i  Fin )
41 mptss 37526 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P ( X  i^i  Y )  i^i  Fin )  C_  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  ( x  e.  ( ~P ( X  i^i  Y )  i^i 
Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  C_  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P ( X  i^i  Y )  i^i 
Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  C_  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
4334, 42eqsstri 3448 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ~P ( X  i^i  Y )  i^i 
Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  Y ) `  y ) )  C_  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
44 rnss 5069 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ~P ( X  i^i  Y
)  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  Y ) `  y
) )  C_  (
x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  ->  ran  ( x  e.  ( ~P ( X  i^i  Y )  i^i 
Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  Y ) `  y ) )  C_  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )
4543, 44ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ran  (
x  e.  ( ~P ( X  i^i  Y
)  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  Y ) `  y
) )  C_  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
4645a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  ran  ( x  e.  ( ~P ( X  i^i  Y )  i^i 
Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  Y ) `  y ) )  C_  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )
474adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
481adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  X  e.  V
)
49 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR )
5048, 47, 49sge0rern 38344 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  -. +oo  e.  ran  F )
5147, 50fge0iccico 38326 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  F : X --> ( 0 [,) +oo ) )
5251sge0rnre 38320 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  C_  RR )
53 ressxr 9702 . . . . . 6  |-  RR  C_  RR*
5452, 53syl6ss 3430 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  C_  RR* )
55 supxrss 11643 . . . . 5  |-  ( ( ran  ( x  e.  ( ~P ( X  i^i  Y )  i^i 
Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  Y ) `  y ) )  C_  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  /\  ran  (
x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  C_  RR* )  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P ( X  i^i  Y )  i^i 
Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  Y ) `  y ) ) , 
RR* ,  <  )  <_  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) , 
RR* ,  <  ) )
5646, 54, 55syl2anc 673 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P ( X  i^i  Y
)  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  Y ) `  y
) ) ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR* ,  <  ) )
5748, 2syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  ( X  i^i  Y )  e.  _V )
5847, 5syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  ( F  |`  Y ) : ( X  i^i  Y ) --> ( 0 [,] +oo ) )
59 nelrnres 37533 . . . . . . . 8  |-  ( -. +oo  e.  ran  F  ->  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  Y ) )
6050, 59syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  Y ) )
6158, 60fge0iccico 38326 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  ( F  |`  Y ) : ( X  i^i  Y ) --> ( 0 [,) +oo ) )
6257, 61sge0reval 38328 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  Y ) )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P ( X  i^i  Y )  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  Y ) `  y
) ) ,  RR* ,  <  ) )
6348, 51sge0reval 38328 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  F )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR* ,  <  ) )
6462, 63breq12d 4408 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  Y ) )  <_  (Σ^ `  F )  <->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P ( X  i^i  Y )  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( ( F  |`  Y ) `  y
) ) ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
6556, 64mpbird 240 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  Y ) )  <_  (Σ^ `  F ) )
6615, 20, 65syl2anc 673 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  F
)  = +oo )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  Y ) )  <_  (Σ^ `  F ) )
6714, 66pm2.61dan 808 1  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  Y ) )  <_  (Σ^ `  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ran crn 4840    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   supcsup 7972   RRcr 9556   0cc0 9557   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   [,]cicc 11663   sum_csu 13829  Σ^csumge0 38318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319
This theorem is referenced by:  sge0ssre  38353  sge0lefi  38354  sge0lessmpt  38355  sge0resrnlem  38359  sge0le  38363
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