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Theorem sge0iunmptlemre 38360
Description: Sum of nonnegative extended reals over a disjoint indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0iunmptlemre.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
sge0iunmptlemre.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  W )
sge0iunmptlemre.dj  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  B
)
sge0iunmptlemre.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
sge0iunmptlemre.re  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  e.  RR )
sge0iunmptlemre.sxr  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) )  e. 
RR* )
sge0iunmptlemre.ssxr  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )  e.  RR* )
sge0iunmptlemre.f  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) : U_ x  e.  A  B --> ( 0 [,] +oo ) )
sge0iunmptlemre.iue  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
sge0iunmptlemre  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k, x    B, k    x, C   
x, W    ph, k, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( k)    V( x, k)    W( k)

Proof of Theorem sge0iunmptlemre
Dummy variables  b  p  y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0iunmptlemre.sxr . 2  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) )  e. 
RR* )
2 sge0iunmptlemre.ssxr . 2  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )  e.  RR* )
3 elpwinss 37426 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin )  ->  y  C_ 
U_ x  e.  A  B )
43resmptd 5178 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin )  ->  (
( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C )  |`  y
)  =  ( k  e.  y  |->  C ) )
54fveq2d 5896 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin )  ->  (Σ^ `  (
( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C )  |`  y
) )  =  (Σ^ `  (
k  e.  y  |->  C ) ) )
65adantl 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C )  |`  y
) )  =  (Σ^ `  (
k  e.  y  |->  C ) ) )
7 elinel2 3632 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
87adantl 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
93sselda 3444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( ~P
U_ x  e.  A  B  i^i  Fin )  /\  k  e.  y )  ->  k  e.  U_ x  e.  A  B )
10 eliun 4297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  k  e.  B )
119, 10sylib 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( ~P
U_ x  e.  A  B  i^i  Fin )  /\  k  e.  y )  ->  E. x  e.  A  k  e.  B )
1211adantll 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  E. x  e.  A  k  e.  B )
13 nfv 1772 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x ph
14 nfcv 2603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
y
15 nfiu1 4322 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x U_ x  e.  A  B
1615nfpw 3975 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x ~P U_ x  e.  A  B
17 nfcv 2603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x Fin
1816, 17nfin 3651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin )
1914, 18nfel 2615 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin )
2013, 19nfan 2022 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )
21 nfv 1772 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  k  e.  y
2220, 21nfan 2022 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( ( ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )
23 nfv 1772 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  C  e.  ( 0 [,) +oo )
24 simp3 1016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  k  e.  B )
25 sge0iunmptlemre.c . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
26 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  B  |->  C )  =  ( k  e.  B  |->  C )
2726fvmpt2 5985 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  B  /\  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k )  =  C )
2824, 25, 27syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  k )  =  C )
2928eqcomd 2468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  C  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  k ) )
30253expa 1215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3130, 26fmptd 6074 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
k  e.  B  |->  C ) : B --> ( 0 [,] +oo ) )
32313adant3 1034 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  ( k  e.  B  |->  C ) : B --> ( 0 [,] +oo ) )
33 sge0iunmptlemre.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  W )
34333adant3 1034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  B  e.  W )
35 sge0iunmptlemre.re . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  e.  RR )
36353adant3 1034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  e.  RR )
3734, 32, 36sge0rern 38333 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  -. +oo  e.  ran  ( k  e.  B  |->  C ) )
3832, 37fge0iccico 38315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  ( k  e.  B  |->  C ) : B --> ( 0 [,) +oo ) )
3938, 24ffvelrnd 6051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  k )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
4029, 39eqeltrd 2540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
41403exp 1214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  ( k  e.  B  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) ) ) )
4241ad2antrr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  (
x  e.  A  -> 
( k  e.  B  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) ) ) )
4322, 23, 42rexlimd 2883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  ( E. x  e.  A  k  e.  B  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
4412, 43mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
458, 44sge0fsummpt 38335 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  y  |->  C ) )  =  sum_ k  e.  y  C
)
46 dfss1 3649 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  U_ x  e.  A  B 
<->  ( U_ x  e.  A  B  i^i  y
)  =  y )
4746biimpi 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  U_ x  e.  A  B  ->  ( U_ x  e.  A  B  i^i  y )  =  y )
4847eqcomd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  U_ x  e.  A  B  ->  y  =  (
U_ x  e.  A  B  i^i  y ) )
49 iunin1 4357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ x  e.  A  ( B  i^i  y )  =  (
U_ x  e.  A  B  i^i  y )
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  U_ x  e.  A  B  ->  U_ x  e.  A  ( B  i^i  y
)  =  ( U_ x  e.  A  B  i^i  y ) )
5148, 50eqtr4d 2499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  U_ x  e.  A  B  ->  y  =  U_ x  e.  A  ( B  i^i  y ) )
523, 51syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin )  ->  y  =  U_ x  e.  A  ( B  i^i  y
) )
5352sumeq1d 13822 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin )  ->  sum_ k  e.  y  C  =  sum_ k  e.  U_  x  e.  A  ( B  i^i  y ) C )
5453adantl 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  y  C  =  sum_ k  e.  U_  x  e.  A  ( B  i^i  y ) C )
55 simpl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  ph )
5633adantlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  W )
57 sge0iunmptlemre.dj . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  B
)
5857adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Fin )  -> Disj  x  e.  A  B )
59 rge0ssre 11775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
60 ax-resscn 9627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  CC
6159, 60sstri 3453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  CC
6261, 40sseldi 3442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  C  e.  CC )
63623adant1r 1269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
64 simpr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Fin )  ->  y  e. 
Fin )
6556, 58, 63, 64fsumiunss 37739 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Fin )  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  A  ( B  i^i  y
) C  =  sum_ x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( B  i^i  y ) C )
6655, 8, 65syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  A  ( B  i^i  y
) C  =  sum_ x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( B  i^i  y ) C )
6754, 66eqtrd 2496 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  y  C  =  sum_ x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( B  i^i  y ) C )
686, 45, 673eqtrd 2500 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C )  |`  y
) )  =  sum_ x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( B  i^i  y ) C )
6956, 58, 64disjinfi 37522 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Fin )  ->  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  e.  Fin )
70 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  Fin  ->  y  e.  Fin )
71 inss2 3665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y )  C_  y
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  C_  y )
73 ssfi 7823 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  C_  y )  ->  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  e.  Fin )
7470, 72, 73syl2anc 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  e.  Fin )
7574ad2antlr 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } )  ->  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y )  e.  Fin )
76 simpll 765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } )  /\  k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) )  ->  ph )
77 elrabi 3205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  ->  w  e.  A )
7877ad2antlr 738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } )  /\  k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) )  ->  w  e.  A )
79 elinel1 3631 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y )  ->  k  e.  [_ w  /  x ]_ B )
8079adantl 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } )  /\  k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) )  ->  k  e.  [_ w  /  x ]_ B )
81 nfv 1772 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x  w  e.  A
82 nfcv 2603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x
k
83 nfcsb1v 3391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ w  /  x ]_ B
8482, 83nfel 2615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x  k  e.  [_ w  /  x ]_ B
8513, 81, 84nf3an 2024 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( ph  /\  w  e.  A  /\  k  e.  [_ w  /  x ]_ B )
8685, 23nfim 2014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( ( ph  /\  w  e.  A  /\  k  e.  [_ w  /  x ]_ B )  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
87 eleq1 2528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  (
x  e.  A  <->  w  e.  A ) )
88 csbeq1a 3384 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  w  ->  B  =  [_ w  /  x ]_ B )
8988eleq2d 2525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  (
k  e.  B  <->  k  e.  [_ w  /  x ]_ B ) )
9087, 893anbi23d 1351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  (
( ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B )  <->  ( ph  /\  w  e.  A  /\  k  e.  [_ w  /  x ]_ B ) ) )
9190imbi1d 323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )  <-> 
( ( ph  /\  w  e.  A  /\  k  e.  [_ w  /  x ]_ B )  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) ) ) )
9286, 91, 40chvar 2117 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A  /\  k  e.  [_ w  /  x ]_ B
)  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
9376, 78, 80, 92syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } )  /\  k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) )  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
9493adantllr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } )  /\  k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) )  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
9575, 94fsumge0cl 37737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } )  ->  sum_ k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) C  e.  ( 0 [,) +oo )
)
9669, 95sge0fsummpt 38335 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Fin )  ->  (Σ^ `  ( w  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) }  |->  sum_ k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y ) C ) )  =  sum_ w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y ) C )
97 inss2 3665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  i^i  y )  C_  y
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( B  i^i  y )  C_  y )
99 ssfi 7823 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( B  i^i  y
)  C_  y )  ->  ( B  i^i  y
)  e.  Fin )
10070, 98, 99syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( B  i^i  y )  e. 
Fin )
101100ad2antlr 738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } )  ->  ( B  i^i  y )  e.  Fin )
102 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } )  /\  k  e.  ( B  i^i  y ) )  ->  ph )
103 rabid 2979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  <->  ( x  e.  A  /\  ( B  i^i  y )  =/=  (/) ) )
104103biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  ->  ( x  e.  A  /\  ( B  i^i  y )  =/=  (/) ) )
105104simpld 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  ->  x  e.  A )
106105ad2antlr 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } )  /\  k  e.  ( B  i^i  y ) )  ->  x  e.  A )
107 elinel1 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( B  i^i  y )  ->  k  e.  B )
108107adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } )  /\  k  e.  ( B  i^i  y ) )  ->  k  e.  B )
109102, 106, 108, 40syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } )  /\  k  e.  ( B  i^i  y ) )  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
110109adantllr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } )  /\  k  e.  ( B  i^i  y
) )  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
111101, 110sge0fsummpt 38335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } )  ->  (Σ^ `  ( k  e.  ( B  i^i  y ) 
|->  C ) )  = 
sum_ k  e.  ( B  i^i  y ) C )
112111mpteq2dva 4505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Fin )  ->  ( x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  ( k  e.  ( B  i^i  y ) 
|->  C ) ) )  =  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  |->  sum_ k  e.  ( B  i^i  y ) C ) )
113 nfrab1 2983 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }
114 nfcv 2603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ w { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }
115 nfcv 2603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ w sum_ k  e.  ( B  i^i  y ) C
11683, 14nfin 3651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)
117 nfcv 2603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x C
118116, 117nfsum 13812 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x sum_ k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y ) C
11988ineq1d 3645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  ( B  i^i  y )  =  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) )
120119sumeq1d 13822 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  sum_ k  e.  ( B  i^i  y
) C  =  sum_ k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y ) C )
121113, 114, 115, 118, 120cbvmptf 4509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  |->  sum_ k  e.  ( B  i^i  y ) C )  =  ( w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  |->  sum_ k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) C )
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Fin )  ->  ( x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  |->  sum_ k  e.  ( B  i^i  y ) C )  =  ( w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  |->  sum_ k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) C ) )
123112, 122eqtr2d 2497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Fin )  ->  ( w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  |->  sum_ k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) C )  =  ( x  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C ) ) ) )
124123fveq2d 5896 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Fin )  ->  (Σ^ `  ( w  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) }  |->  sum_ k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y ) C ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C ) ) ) ) )
125124eqcomd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Fin )  ->  (Σ^ `  ( x  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( w  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) }  |->  sum_ k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y ) C ) ) )
126120, 114, 113, 115, 118cbvsum 13816 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( B  i^i  y ) C  = 
sum_ w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } sum_ k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) C
127126a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Fin )  ->  sum_ x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( B  i^i  y ) C  = 
sum_ w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } sum_ k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) C )
12896, 125, 1273eqtr4d 2506 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Fin )  ->  (Σ^ `  ( x  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C ) ) ) )  =  sum_ x  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( B  i^i  y ) C )
12955, 8, 128syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  ( k  e.  ( B  i^i  y ) 
|->  C ) ) ) )  =  sum_ x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( B  i^i  y ) C )
130129eqcomd 2468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  sum_ x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( B  i^i  y ) C  =  (Σ^ `  ( x  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C ) ) ) ) )
13168, 130eqtrd 2496 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C )  |`  y
) )  =  (Σ^ `  (
x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  ( k  e.  ( B  i^i  y ) 
|->  C ) ) ) ) )
132 sge0iunmptlemre.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
13377ssriv 3448 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  C_  A
134133a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  C_  A )
135132, 134ssexd 4566 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  e.  _V )
136 vex 3060 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
137136inex2 4561 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y )  e.  _V
138137a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  e.  _V )
139 icossicc 11755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
140 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) )  ->  ph )
141 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) )  ->  w  e.  A )
14279adantl 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) )  ->  k  e.  [_ w  /  x ]_ B )
143140, 141, 142, 92syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) )  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
144139, 143sseldi 3442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
145 eqid 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y )  |->  C )  =  ( k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  |->  C )
146144, 145fmptd 6074 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  (
k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y )  |->  C ) : ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y ) --> ( 0 [,] +oo ) )
147138, 146sge0cl 38326 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y )  |->  C ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
14877, 147sylan2 481 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  { x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) } )  ->  (Σ^ `  ( k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  |->  C ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
149 nfcv 2603 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ w
(Σ^ `  ( k  e.  ( B  i^i  y ) 
|->  C ) )
150 nfcv 2603 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ xΣ^
151116, 117nfmpt 4507 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  |->  C )
152150, 151nffv 5899 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
(Σ^ `  ( k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  |->  C ) )
153119mpteq1d 4500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C )  =  ( k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y )  |->  C ) )
154153fveq2d 5896 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  (Σ^ `  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C ) )  =  (Σ^ `  (
k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y )  |->  C ) ) )
155113, 114, 149, 152, 154cbvmptf 4509 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  ( k  e.  ( B  i^i  y ) 
|->  C ) ) )  =  ( w  e. 
{ x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y )  |->  C ) ) )
156148, 155fmptd 6074 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C ) ) ) : { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } --> ( 0 [,] +oo ) )
157135, 156sge0xrcl 38330 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( x  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C ) ) ) )  e.  RR* )
158157adantr 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  ( k  e.  ( B  i^i  y ) 
|->  C ) ) ) )  e.  RR* )
159 eqid 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  |->  C ) ) )  =  ( w  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  |->  C ) ) )
160147, 159fmptd 6074 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( w  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  |->  C ) ) ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
161132, 160sge0xrcl 38330 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( w  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  |->  C ) ) ) )  e.  RR* )
162161adantr 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
w  e.  A  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y )  |->  C ) ) ) )  e. 
RR* )
16355, 2syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) )  e.  RR* )
164155fveq2i 5895 . . . . . . . . 9  |-  (Σ^ `  ( x  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( w  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y )  |->  C ) ) ) )
165164a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( x  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( w  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y )  |->  C ) ) ) ) )
166132, 147, 134sge0lessmpt 38344 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( w  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y )  |->  C ) ) ) )  <_ 
(Σ^ `  ( w  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  |->  C ) ) ) ) )
167165, 166eqbrtrd 4439 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( x  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C ) ) ) )  <_  (Σ^ `  ( w  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  |->  C ) ) ) ) )
168167adantr 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  ( k  e.  ( B  i^i  y ) 
|->  C ) ) ) )  <_  (Σ^ `  ( w  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  |->  C ) ) ) ) )
169149, 152, 154cbvmpt 4510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  ( B  i^i  y ) 
|->  C ) ) )  =  ( w  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  |->  C ) ) )
170169eqcomi 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  |->  C ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  ( B  i^i  y ) 
|->  C ) ) )
171170fveq2i 5895 . . . . . . . . 9  |-  (Σ^ `  ( w  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  |->  C ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C ) ) ) )
172171a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( w  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  |->  C ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C ) ) ) ) )
173136inex2 4561 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  i^i  y )  e. 
_V
174173a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  i^i  y )  e. 
_V )
175107, 30sylan2 481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  ( B  i^i  y
) )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
176 eqid 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C )  =  ( k  e.  ( B  i^i  y
)  |->  C )
177175, 176fmptd 6074 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C ) : ( B  i^i  y ) --> ( 0 [,] +oo )
)
178174, 177sge0cl 38326 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
17933, 31sge0cl 38326 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
180 inss1 3664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  i^i  y )  C_  B
181180a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  i^i  y )  C_  B )
18233, 30, 181sge0lessmpt 38344 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C ) )  <_  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) )
18313, 132, 178, 179, 182sge0lempt 38355 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  ( B  i^i  y ) 
|->  C ) ) ) )  <_  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
184172, 183eqbrtrd 4439 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( w  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  |->  C ) ) ) )  <_  (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
185184adantr 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
w  e.  A  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y )  |->  C ) ) ) )  <_ 
(Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
186158, 162, 163, 168, 185xrletrd 11493 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  ( k  e.  ( B  i^i  y ) 
|->  C ) ) ) )  <_  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
187131, 186eqbrtrd 4439 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C )  |`  y
) )  <_  (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
188187ralrimiva 2814 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) (Σ^ `  ( ( k  e. 
U_ x  e.  A  B  |->  C )  |`  y ) )  <_ 
(Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
189 sge0iunmptlemre.iue . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
190 sge0iunmptlemre.f . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) : U_ x  e.  A  B --> ( 0 [,] +oo ) )
191189, 190, 2sge0lefi 38343 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) )  <_ 
(Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )  <->  A. y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) (Σ^ `  ( ( k  e. 
U_ x  e.  A  B  |->  C )  |`  y ) )  <_ 
(Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) ) )
192188, 191mpbird 240 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) )  <_ 
(Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
193 elpwinss 37426 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  C_  A )
194193resmptd 5178 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  (
( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )  |`  y )  =  ( x  e.  y  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) )
195194fveq2d 5896 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  (Σ^ `  (
( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )  |`  y ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  y 
|->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
196195adantl 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )  |`  y ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  y 
|->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
197 elinel2 3632 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
198197adantl 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
199 0xr 9718 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
200199a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  y )  ->  0  e.  RR* )
201 pnfxr 11446 . . . . . . . . 9  |- +oo  e.  RR*
202201a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  y )  -> +oo  e.  RR* )
203 simpll 765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  y )  ->  ph )
204193sselda 3444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  x  e.  y
)  ->  x  e.  A )
205204adantll 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  y )  ->  x  e.  A )
206203, 205, 33syl2anc 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  y )  ->  B  e.  W )
207203, 205, 31syl2anc 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  y )  ->  (
k  e.  B  |->  C ) : B --> ( 0 [,] +oo ) )
208206, 207sge0xrcl 38330 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  y )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  e.  RR* )
209206, 207sge0ge0 38329 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  y )  ->  0  <_  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
210203, 205, 35syl2anc 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  y )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  e.  RR )
211 ltpnf 11456 . . . . . . . . 9  |-  ( (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  e.  RR  ->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  < +oo )
212210, 211syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  y )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  < +oo )
213200, 202, 208, 209, 212elicod 11719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  y )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
214198, 213sge0fsummpt 38335 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
x  e.  y  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) )  =  sum_ x  e.  y  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
215196, 214eqtrd 2496 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )  |`  y ) )  = 
sum_ x  e.  y 
(Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
216 nfv 1772 . . . . . 6  |-  F/ k ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
217189adantr 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
218190mptex2 37487 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U_ x  e.  A  B
)  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
219218adantlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  U_ x  e.  A  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
220198, 210fsumrecl 13855 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  sum_ x  e.  y  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  e.  RR )
221220rexrd 9721 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  sum_ x  e.  y  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  e. 
RR* )
222 nfv 1772 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )
223 iunss1 4304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  A  ->  U_ x  e.  y  B  C_  U_ x  e.  A  B )
224193, 223syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  U_ x  e.  y  B  C_  U_ x  e.  A  B )
225224adantl 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  U_ x  e.  y  B  C_  U_ x  e.  A  B )
226217, 225ssexd 4566 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  U_ x  e.  y  B  e.  _V )
227226adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  ->  U_ x  e.  y  B  e.  _V )
228 simpll 765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  U_ x  e.  y  B )  ->  ph )
229225sselda 3444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  U_ x  e.  y  B )  ->  k  e.  U_ x  e.  A  B )
230228, 229, 218syl2anc 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  U_ x  e.  y  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
231230adantlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  k  e.  U_ x  e.  y  B
)  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
232 simpr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  ->  p  e.  RR+ )
233193adantl 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  A )
23457adantr 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  -> Disj  x  e.  A  B )
235 disjss1 4395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  A  ->  (Disj  x  e.  A  B  -> Disj  x  e.  y  B ) )
236233, 234, 235sylc 62 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  -> Disj  x  e.  y  B )
2372033adant3 1034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  y  /\  k  e.  B )  ->  ph )
2382053adant3 1034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  y  /\  k  e.  B )  ->  x  e.  A )
239 simp3 1016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  y  /\  k  e.  B )  ->  k  e.  B )
240237, 238, 239, 25syl3anc 1276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  y  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
241198, 206, 236, 240, 210sge0iunmptlemfi 38358 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  (
x  e.  y  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
242214, 220eqeltrd 2540 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
x  e.  y  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) )  e.  RR )
243241, 242eqeltrd 2540 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  e.  RR )
244243adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  e.  RR )
245222, 227, 231, 232, 244sge0ltfirpmpt 38353 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  ->  E. b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin ) (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  < 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p ) )
246 nfv 1772 . . . . . . . 8  |-  F/ b ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )
247 nfre1 2860 . . . . . . . 8  |-  F/ b E. b  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) sum_ x  e.  y  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  <_ 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) ) +e p )
248 sspwb 4666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U_ x  e.  y  B  C_ 
U_ x  e.  A  B 
<->  ~P U_ x  e.  y  B  C_  ~P U_ x  e.  A  B
)
249248biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U_ x  e.  y  B  C_ 
U_ x  e.  A  B  ->  ~P U_ x  e.  y  B  C_  ~P U_ x  e.  A  B
)
250223, 249syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
C_  A  ->  ~P U_ x  e.  y  B 
C_  ~P U_ x  e.  A  B )
251193, 250syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ~P U_ x  e.  y  B 
C_  ~P U_ x  e.  A  B )
252251adantr 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )
)  ->  ~P U_ x  e.  y  B  C_  ~P U_ x  e.  A  B
)
253 elinel1 3631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )  ->  b  e.  ~P U_ x  e.  y  B )
254253adantl 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )
)  ->  b  e.  ~P U_ x  e.  y  B )
255252, 254sseldd 3445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )
)  ->  b  e.  ~P U_ x  e.  A  B )
256 elinel2 3632 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )  ->  b  e.  Fin )
257256adantl 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )
)  ->  b  e.  Fin )
258255, 257elind 3630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )
)  ->  b  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )
259258ad4ant24 1248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin ) )  ->  b  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )
2602593adant3 1034 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  < 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p ) )  -> 
b  e.  ( ~P
U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )
261221ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin ) )  ->  sum_ x  e.  y  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  e. 
RR* )
2622613adant3 1034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  < 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p ) )  ->  sum_ x  e.  y  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  e.  RR* )
263 nfv 1772 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin ) )
264226adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin ) )  ->  U_ x  e.  y  B  e.  _V )
265230adantlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  U_ x  e.  y  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
266243adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  e.  RR )
267253elpwid 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )  ->  b  C_ 
U_ x  e.  y  B )
268267adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin ) )  ->  b  C_ 
U_ x  e.  y  B )
269263, 264, 265, 266, 268sge0ssrempt 38350 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  b  |->  C ) )  e.  RR )
270269rexrd 9721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  b  |->  C ) )  e.  RR* )
271270adantlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  b  |->  C ) )  e.  RR* )
272 rpxr 11343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  RR+  ->  p  e. 
RR* )
273272ad2antlr 738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin ) )  ->  p  e.  RR* )
274271, 273xaddcld 11621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin ) )  ->  (
(Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) ) +e p )  e. 
RR* )
2752743adant3 1034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  < 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p ) )  -> 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) ) +e p )  e. 
RR* )
276 simp3 1016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  < 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p ) )  -> 
(Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  < 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p ) )
277241, 214eqtr2d 2497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  sum_ x  e.  y  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) ) )
278277adantr 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  ->  sum_ x  e.  y  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) ) )
2792783ad2ant1 1035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  < 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p ) )  ->  sum_ x  e.  y  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) ) )
280269adantlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  b  |->  C ) )  e.  RR )
281 rpre 11342 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  e.  RR+  ->  p  e.  RR )
282281ad2antlr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin ) )  ->  p  e.  RR )
283 rexadd 11559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  e.  RR  /\  p  e.  RR )  ->  (
(Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) ) +e p )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p ) )
284280, 282, 283syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin ) )  ->  (
(Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) ) +e p )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p ) )
2852843adant3 1034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  < 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p ) )  -> 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) ) +e p )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p ) )
286279, 285breq12d 4431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  < 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p ) )  -> 
( sum_ x  e.  y  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  < 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) ) +e p )  <->  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  < 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p ) ) )
287276, 286mpbird 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  < 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p ) )  ->  sum_ x  e.  y  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  <  (
(Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) ) +e p ) )
288262, 275, 287xrltled 37559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  < 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p ) )  ->  sum_ x  e.  y  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  <_  (
(Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) ) +e p ) )
289 rspe 2857 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ( ~P
U_ x  e.  A  B  i^i  Fin )  /\  sum_
x  e.  y  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  <_  (
(Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) ) +e p ) )  ->  E. b  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) sum_ x  e.  y  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  <_ 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) ) +e p ) )
290260, 288, 289syl2anc 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  < 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p ) )  ->  E. b  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) sum_ x  e.  y  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  <_ 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) ) +e p ) )
2912903exp 1214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  ->  (
b  e.  ( ~P
U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )  ->  ( (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  < 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p )  ->  E. b  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) sum_ x  e.  y  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  <_ 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) ) +e p ) ) ) )
292246, 247, 291rexlimd 2883 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  ->  ( E. b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )
(Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  < 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p )  ->  E. b  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) sum_ x  e.  y  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  <_ 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) ) +e p ) ) )
293245, 292mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  ->  E. b  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) sum_ x  e.  y  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  <_ 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) ) +e p ) )
294216, 217, 219, 221, 293sge0gerpmpt 38347 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  sum_ x  e.  y  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  <_ 
(Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) ) )
295215, 294eqbrtrd 4439 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )  |`  y ) )  <_ 
(Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) ) )
296295ralrimiva 2814 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) (Σ^ `  ( ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )  |`  y ) )  <_ 
(Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) ) )
297 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
298179, 297fmptd 6074 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
299132, 298, 1sge0lefi 38343 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )  <_  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) )  <->  A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) (Σ^ `  ( ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )  |`  y ) )  <_ 
(Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) ) ) )
300296, 299mpbird 240 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )  <_  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) ) )
3011, 2, 192, 300xrletrid 11486 1  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750   {crab 2753   _Vcvv 3057   [_csb 3375    i^i cin 3415    C_ wss 3416   (/)c0 3743   ~Pcpw 3963   U_ciun 4292  Disj wdisj 4389   class class class wbr 4418    |-> cmpt 4477    |` cres 4858   -->wf 5601   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   Fincfn 7600   CCcc 9568   RRcr 9569   0cc0 9570    + caddc 9573   +oocpnf 9703   RR*cxr 9705    < clt 9706    <_ cle 9707   RR+crp 11336   +ecxad 11441   [,)cico 11671   [,]cicc 11672   sum_csu 13807  Σ^csumge0 38307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-inf2 8177  ax-ac2 8924  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-pre-sup 9648
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-disj 4390  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-se 4816  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-isom 5614  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-sup 7987  df-oi 8056  df-card 8404  df-acn 8407  df-ac 8578  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-div 10303  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-n0 10904  df-z 10972  df-uz 11194  df-rp 11337  df-xadd 11444  df-ico 11675  df-icc 11676  df-fz 11820  df-fzo 11953  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13217  df-re 13218  df-im 13219  df-sqrt 13353  df-abs 13354  df-clim 13607  df-sum 13808  df-sumge0 38308
This theorem is referenced by:  sge0iunmpt  38363
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