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Theorem sge0iunmptlemre 38165
Description: Sum of nonnegative extended reals over a disjoint indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0iunmptlemre.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
sge0iunmptlemre.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  W )
sge0iunmptlemre.dj  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  B
)
sge0iunmptlemre.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
sge0iunmptlemre.re  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  e.  RR )
sge0iunmptlemre.sxr  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) )  e. 
RR* )
sge0iunmptlemre.ssxr  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )  e.  RR* )
sge0iunmptlemre.f  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) : U_ x  e.  A  B --> ( 0 [,] +oo ) )
sge0iunmptlemre.iue  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
sge0iunmptlemre  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k, x    B, k    x, C   
x, W    ph, k, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( k)    V( x, k)    W( k)

Proof of Theorem sge0iunmptlemre
Dummy variables  b  p  y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0iunmptlemre.sxr . 2  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) )  e. 
RR* )
2 sge0iunmptlemre.ssxr . 2  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )  e.  RR* )
3 elpwinss 37360 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin )  ->  y  C_ 
U_ x  e.  A  B )
43resmptd 5175 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin )  ->  (
( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C )  |`  y
)  =  ( k  e.  y  |->  C ) )
54fveq2d 5885 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin )  ->  (Σ^ `  (
( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C )  |`  y
) )  =  (Σ^ `  (
k  e.  y  |->  C ) ) )
65adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C )  |`  y
) )  =  (Σ^ `  (
k  e.  y  |->  C ) ) )
7 elinel2 3652 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
87adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
93sselda 3464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( ~P
U_ x  e.  A  B  i^i  Fin )  /\  k  e.  y )  ->  k  e.  U_ x  e.  A  B )
10 eliun 4304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  k  e.  B )
119, 10sylib 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( ~P
U_ x  e.  A  B  i^i  Fin )  /\  k  e.  y )  ->  E. x  e.  A  k  e.  B )
1211adantll 718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  E. x  e.  A  k  e.  B )
13 nfv 1755 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x ph
14 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
y
15 nfiu1 4329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x U_ x  e.  A  B
1615nfpw 3993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x ~P U_ x  e.  A  B
17 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x Fin
1816, 17nfin 3669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin )
1914, 18nfel 2593 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin )
2013, 19nfan 1988 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )
21 nfv 1755 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  k  e.  y
2220, 21nfan 1988 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( ( ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )
23 nfv 1755 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  C  e.  ( 0 [,) +oo )
24 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  k  e.  B )
25 sge0iunmptlemre.c . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
26 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  B  |->  C )  =  ( k  e.  B  |->  C )
2726fvmpt2 5973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  B  /\  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k )  =  C )
2824, 25, 27syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  k )  =  C )
2928eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  C  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  k ) )
30253expa 1205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3130, 26fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
k  e.  B  |->  C ) : B --> ( 0 [,] +oo ) )
32313adant3 1025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  ( k  e.  B  |->  C ) : B --> ( 0 [,] +oo ) )
33 sge0iunmptlemre.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  W )
34333adant3 1025 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  B  e.  W )
35 sge0iunmptlemre.re . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  e.  RR )
36353adant3 1025 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  e.  RR )
3734, 32, 36sge0rern 38138 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  -. +oo  e.  ran  ( k  e.  B  |->  C ) )
3832, 37fge0iccico 38120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  ( k  e.  B  |->  C ) : B --> ( 0 [,) +oo ) )
3938, 24ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  k )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
4029, 39eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
41403exp 1204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  ( k  e.  B  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) ) ) )
4241ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  (
x  e.  A  -> 
( k  e.  B  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) ) ) )
4322, 23, 42rexlimd 2906 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  ( E. x  e.  A  k  e.  B  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
4412, 43mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
458, 44sge0fsummpt 38140 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  y  |->  C ) )  =  sum_ k  e.  y  C
)
46 dfss1 3667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  U_ x  e.  A  B 
<->  ( U_ x  e.  A  B  i^i  y
)  =  y )
4746biimpi 197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  U_ x  e.  A  B  ->  ( U_ x  e.  A  B  i^i  y )  =  y )
4847eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  U_ x  e.  A  B  ->  y  =  (
U_ x  e.  A  B  i^i  y ) )
49 iunin1 4364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ x  e.  A  ( B  i^i  y )  =  (
U_ x  e.  A  B  i^i  y )
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  U_ x  e.  A  B  ->  U_ x  e.  A  ( B  i^i  y
)  =  ( U_ x  e.  A  B  i^i  y ) )
5148, 50eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  U_ x  e.  A  B  ->  y  =  U_ x  e.  A  ( B  i^i  y ) )
523, 51syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin )  ->  y  =  U_ x  e.  A  ( B  i^i  y
) )
5352sumeq1d 13766 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin )  ->  sum_ k  e.  y  C  =  sum_ k  e.  U_  x  e.  A  ( B  i^i  y ) C )
5453adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  y  C  =  sum_ k  e.  U_  x  e.  A  ( B  i^i  y ) C )
55 simpl 458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  ph )
5633adantlr 719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  W )
57 sge0iunmptlemre.dj . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  B
)
5857adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Fin )  -> Disj  x  e.  A  B )
59 rge0ssre 11747 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
60 ax-resscn 9603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  CC
6159, 60sstri 3473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  CC
6261, 40sseldi 3462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  C  e.  CC )
63623adant1r 1257 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
64 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Fin )  ->  y  e. 
Fin )
6556, 58, 63, 64fsumiunss 37595 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Fin )  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  A  ( B  i^i  y
) C  =  sum_ x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( B  i^i  y ) C )
6655, 8, 65syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  A  ( B  i^i  y
) C  =  sum_ x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( B  i^i  y ) C )
6754, 66eqtrd 2463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  y  C  =  sum_ x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( B  i^i  y ) C )
686, 45, 673eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C )  |`  y
) )  =  sum_ x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( B  i^i  y ) C )
6956, 58, 64disjinfi 37429 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Fin )  ->  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  e.  Fin )
70 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  Fin  ->  y  e.  Fin )
71 inss2 3683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y )  C_  y
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  C_  y )
73 ssfi 7801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  C_  y )  ->  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  e.  Fin )
7470, 72, 73syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  e.  Fin )
7574ad2antlr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } )  ->  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y )  e.  Fin )
76 simpll 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } )  /\  k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) )  ->  ph )
77 elrabi 3225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  ->  w  e.  A )
7877ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } )  /\  k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) )  ->  w  e.  A )
79 elinel1 3651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y )  ->  k  e.  [_ w  /  x ]_ B )
8079adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } )  /\  k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) )  ->  k  e.  [_ w  /  x ]_ B )
81 nfv 1755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x  w  e.  A
82 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x
k
83 nfcsb1v 3411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ w  /  x ]_ B
8482, 83nfel 2593 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x  k  e.  [_ w  /  x ]_ B
8513, 81, 84nf3an 1990 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( ph  /\  w  e.  A  /\  k  e.  [_ w  /  x ]_ B )
8685, 23nfim 1980 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( ( ph  /\  w  e.  A  /\  k  e.  [_ w  /  x ]_ B )  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
87 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  (
x  e.  A  <->  w  e.  A ) )
88 csbeq1a 3404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  w  ->  B  =  [_ w  /  x ]_ B )
8988eleq2d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  (
k  e.  B  <->  k  e.  [_ w  /  x ]_ B ) )
9087, 893anbi23d 1338 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  (
( ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B )  <->  ( ph  /\  w  e.  A  /\  k  e.  [_ w  /  x ]_ B ) ) )
9190imbi1d 318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )  <-> 
( ( ph  /\  w  e.  A  /\  k  e.  [_ w  /  x ]_ B )  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) ) ) )
9286, 91, 40chvar 2071 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A  /\  k  e.  [_ w  /  x ]_ B
)  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
9376, 78, 80, 92syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } )  /\  k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) )  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
9493adantllr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } )  /\  k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) )  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
9575, 94fsumge0cl 37593 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } )  ->  sum_ k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) C  e.  ( 0 [,) +oo )
)
9669, 95sge0fsummpt 38140 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Fin )  ->  (Σ^ `  ( w  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) }  |->  sum_ k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y ) C ) )  =  sum_ w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y ) C )
97 inss2 3683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  i^i  y )  C_  y
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( B  i^i  y )  C_  y )
99 ssfi 7801 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( B  i^i  y
)  C_  y )  ->  ( B  i^i  y
)  e.  Fin )
10070, 98, 99syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( B  i^i  y )  e. 
Fin )
101100ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } )  ->  ( B  i^i  y )  e.  Fin )
102 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } )  /\  k  e.  ( B  i^i  y ) )  ->  ph )
103 rabid 3002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  <->  ( x  e.  A  /\  ( B  i^i  y )  =/=  (/) ) )
104103biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  ->  ( x  e.  A  /\  ( B  i^i  y )  =/=  (/) ) )
105104simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  ->  x  e.  A )
106105ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } )  /\  k  e.  ( B  i^i  y ) )  ->  x  e.  A )
107 elinel1 3651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( B  i^i  y )  ->  k  e.  B )
108107adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } )  /\  k  e.  ( B  i^i  y ) )  ->  k  e.  B )
109102, 106, 108, 40syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } )  /\  k  e.  ( B  i^i  y ) )  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
110109adantllr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } )  /\  k  e.  ( B  i^i  y
) )  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
111101, 110sge0fsummpt 38140 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } )  ->  (Σ^ `  ( k  e.  ( B  i^i  y ) 
|->  C ) )  = 
sum_ k  e.  ( B  i^i  y ) C )
112111mpteq2dva 4510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Fin )  ->  ( x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  ( k  e.  ( B  i^i  y ) 
|->  C ) ) )  =  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  |->  sum_ k  e.  ( B  i^i  y ) C ) )
113 nfrab1 3006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }
114 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ w { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }
115 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ w sum_ k  e.  ( B  i^i  y ) C
11683, 14nfin 3669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)
117 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x C
118116, 117nfsum 13756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x sum_ k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y ) C
11988ineq1d 3663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  ( B  i^i  y )  =  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) )
120119sumeq1d 13766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  sum_ k  e.  ( B  i^i  y
) C  =  sum_ k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y ) C )
121113, 114, 115, 118, 120cbvmptf 4514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  |->  sum_ k  e.  ( B  i^i  y ) C )  =  ( w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  |->  sum_ k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) C )
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Fin )  ->  ( x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  |->  sum_ k  e.  ( B  i^i  y ) C )  =  ( w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  |->  sum_ k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) C ) )
123112, 122eqtr2d 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Fin )  ->  ( w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  |->  sum_ k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) C )  =  ( x  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C ) ) ) )
124123fveq2d 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Fin )  ->  (Σ^ `  ( w  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) }  |->  sum_ k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y ) C ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C ) ) ) ) )
125124eqcomd 2430 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Fin )  ->  (Σ^ `  ( x  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( w  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) }  |->  sum_ k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y ) C ) ) )
126120, 114, 113, 115, 118cbvsum 13760 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( B  i^i  y ) C  = 
sum_ w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } sum_ k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) C
127126a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Fin )  ->  sum_ x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( B  i^i  y ) C  = 
sum_ w  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } sum_ k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) C )
12896, 125, 1273eqtr4d 2473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Fin )  ->  (Σ^ `  ( x  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C ) ) ) )  =  sum_ x  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( B  i^i  y ) C )
12955, 8, 128syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  ( k  e.  ( B  i^i  y ) 
|->  C ) ) ) )  =  sum_ x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( B  i^i  y ) C )
130129eqcomd 2430 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  sum_ x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( B  i^i  y ) C  =  (Σ^ `  ( x  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C ) ) ) ) )
13168, 130eqtrd 2463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C )  |`  y
) )  =  (Σ^ `  (
x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  ( k  e.  ( B  i^i  y ) 
|->  C ) ) ) ) )
132 sge0iunmptlemre.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
13377ssriv 3468 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  C_  A
134133a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  C_  A )
135132, 134ssexd 4571 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  e.  _V )
136 vex 3083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
137136inex2 4566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y )  e.  _V
138137a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  e.  _V )
139 icossicc 11728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
140 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) )  ->  ph )
141 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) )  ->  w  e.  A )
14279adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) )  ->  k  e.  [_ w  /  x ]_ B )
143140, 141, 142, 92syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) )  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
144139, 143sseldi 3462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  A )  /\  k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y
) )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
145 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y )  |->  C )  =  ( k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  |->  C )
146144, 145fmptd 6061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  (
k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y )  |->  C ) : ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y ) --> ( 0 [,] +oo ) )
147138, 146sge0cl 38131 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y )  |->  C ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
14877, 147sylan2 476 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  { x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) } )  ->  (Σ^ `  ( k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  |->  C ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
149 nfcv 2580 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ w
(Σ^ `  ( k  e.  ( B  i^i  y ) 
|->  C ) )
150 nfcv 2580 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ xΣ^
151116, 117nfmpt 4512 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  |->  C )
152150, 151nffv 5888 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
(Σ^ `  ( k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  |->  C ) )
153119mpteq1d 4505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C )  =  ( k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y )  |->  C ) )
154153fveq2d 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  (Σ^ `  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C ) )  =  (Σ^ `  (
k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y )  |->  C ) ) )
155113, 114, 149, 152, 154cbvmptf 4514 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  ( k  e.  ( B  i^i  y ) 
|->  C ) ) )  =  ( w  e. 
{ x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y )  |->  C ) ) )
156148, 155fmptd 6061 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C ) ) ) : { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) } --> ( 0 [,] +oo ) )
157135, 156sge0xrcl 38135 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( x  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C ) ) ) )  e.  RR* )
158157adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  ( k  e.  ( B  i^i  y ) 
|->  C ) ) ) )  e.  RR* )
159 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  |->  C ) ) )  =  ( w  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  |->  C ) ) )
160147, 159fmptd 6061 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( w  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  |->  C ) ) ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
161132, 160sge0xrcl 38135 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( w  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  |->  C ) ) ) )  e.  RR* )
162161adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
w  e.  A  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y )  |->  C ) ) ) )  e. 
RR* )
16355, 2syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) )  e.  RR* )
164155fveq2i 5884 . . . . . . . . 9  |-  (Σ^ `  ( x  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( w  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y )  |->  C ) ) ) )
165164a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( x  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( w  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y )  |->  C ) ) ) ) )
166132, 147, 134sge0lessmpt 38149 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( w  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y )  |->  C ) ) ) )  <_ 
(Σ^ `  ( w  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  |->  C ) ) ) ) )
167165, 166eqbrtrd 4444 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( x  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  y
)  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C ) ) ) )  <_  (Σ^ `  ( w  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  |->  C ) ) ) ) )
168167adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  ( k  e.  ( B  i^i  y ) 
|->  C ) ) ) )  <_  (Σ^ `  ( w  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  |->  C ) ) ) ) )
169149, 152, 154cbvmpt 4515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  ( B  i^i  y ) 
|->  C ) ) )  =  ( w  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  |->  C ) ) )
170169eqcomi 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  |->  C ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  ( B  i^i  y ) 
|->  C ) ) )
171170fveq2i 5884 . . . . . . . . 9  |-  (Σ^ `  ( w  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  |->  C ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C ) ) ) )
172171a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( w  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  |->  C ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C ) ) ) ) )
173136inex2 4566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  i^i  y )  e. 
_V
174173a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  i^i  y )  e. 
_V )
175107, 30sylan2 476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  ( B  i^i  y
) )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
176 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C )  =  ( k  e.  ( B  i^i  y
)  |->  C )
177175, 176fmptd 6061 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C ) : ( B  i^i  y ) --> ( 0 [,] +oo )
)
178174, 177sge0cl 38131 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
17933, 31sge0cl 38131 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
180 inss1 3682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  i^i  y )  C_  B
181180a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  i^i  y )  C_  B )
18233, 30, 181sge0lessmpt 38149 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  ( B  i^i  y )  |->  C ) )  <_  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) )
18313, 132, 178, 179, 182sge0lempt 38160 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  ( B  i^i  y ) 
|->  C ) ) ) )  <_  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
184172, 183eqbrtrd 4444 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( w  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  (
[_ w  /  x ]_ B  i^i  y
)  |->  C ) ) ) )  <_  (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
185184adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
w  e.  A  |->  (Σ^ `  (
k  e.  ( [_ w  /  x ]_ B  i^i  y )  |->  C ) ) ) )  <_ 
(Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
186158, 162, 163, 168, 185xrletrd 11466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  y )  =/=  (/) }  |->  (Σ^ `  ( k  e.  ( B  i^i  y ) 
|->  C ) ) ) )  <_  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
187131, 186eqbrtrd 4444 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C )  |`  y
) )  <_  (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
188187ralrimiva 2836 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) (Σ^ `  ( ( k  e. 
U_ x  e.  A  B  |->  C )  |`  y ) )  <_ 
(Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
189 sge0iunmptlemre.iue . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
190 sge0iunmptlemre.f . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) : U_ x  e.  A  B --> ( 0 [,] +oo ) )
191189, 190, 2sge0lefi 38148 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) )  <_ 
(Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )  <->  A. y  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) (Σ^ `  ( ( k  e. 
U_ x  e.  A  B  |->  C )  |`  y ) )  <_ 
(Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) ) )
192188, 191mpbird 235 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) )  <_ 
(Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
193 elpwinss 37360 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  C_  A )
194193resmptd 5175 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  (
( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )  |`  y )  =  ( x  e.  y  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) )
195194fveq2d 5885 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  (Σ^ `  (
( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )  |`  y ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  y 
|->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
196195adantl 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )  |`  y ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  y 
|->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
197 elinel2 3652 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
198197adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
199 0xr 9694 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
200199a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  y )  ->  0  e.  RR* )
201 pnfxr 11419 . . . . . . . . 9  |- +oo  e.  RR*
202201a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  y )  -> +oo  e.  RR* )
203 simpll 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  y )  ->  ph )
204193sselda 3464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  x  e.  y
)  ->  x  e.  A )
205204adantll 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  y )  ->  x  e.  A )
206203, 205, 33syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  y )  ->  B  e.  W )
207203, 205, 31syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  y )  ->  (
k  e.  B  |->  C ) : B --> ( 0 [,] +oo ) )
208206, 207sge0xrcl 38135 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  y )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  e.  RR* )
209206, 207sge0ge0 38134 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  y )  ->  0  <_  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
210203, 205, 35syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  y )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  e.  RR )
211 ltpnf 11429 . . . . . . . . 9  |-  ( (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  e.  RR  ->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  < +oo )
212210, 211syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  y )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  < +oo )
213200, 202, 208, 209, 212elicod 11692 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  y )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
214198, 213sge0fsummpt 38140 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
x  e.  y  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) )  =  sum_ x  e.  y  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
215196, 214eqtrd 2463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )  |`  y ) )  = 
sum_ x  e.  y 
(Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
216 nfv 1755 . . . . . 6  |-  F/ k ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
217189adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
218190mptex2 37393 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U_ x  e.  A  B
)  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
219218adantlr 719 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  U_ x  e.  A  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
220198, 210fsumrecl 13799 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  sum_ x  e.  y  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  e.  RR )
221220rexrd 9697 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  sum_ x  e.  y  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  e. 
RR* )
222 nfv 1755 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )
223 iunss1 4311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  A  ->  U_ x  e.  y  B  C_  U_ x  e.  A  B )
224193, 223syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  U_ x  e.  y  B  C_  U_ x  e.  A  B )
225224adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  U_ x  e.  y  B  C_  U_ x  e.  A  B )
226217, 225ssexd 4571 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  U_ x  e.  y  B  e.  _V )
227226adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  ->  U_ x  e.  y  B  e.  _V )
228 simpll 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  U_ x  e.  y  B )  ->  ph )
229225sselda 3464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  U_ x  e.  y  B )  ->  k  e.  U_ x  e.  A  B )
230228, 229, 218syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  U_ x  e.  y  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
231230adantlr 719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  k  e.  U_ x  e.  y  B
)  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
232 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  ->  p  e.  RR+ )
233193adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  A )
23457adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  -> Disj  x  e.  A  B )
235 disjss1 4400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  A  ->  (Disj  x  e.  A  B  -> Disj  x  e.  y  B ) )
236233, 234, 235sylc 62 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  -> Disj  x  e.  y  B )
2372033adant3 1025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  y  /\  k  e.  B )  ->  ph )
2382053adant3 1025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  y  /\  k  e.  B )  ->  x  e.  A )
239 simp3 1007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  y  /\  k  e.  B )  ->  k  e.  B )
240237, 238, 239, 25syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  y  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
241198, 206, 236, 240, 210sge0iunmptlemfi 38163 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  (
x  e.  y  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
242214, 220eqeltrd 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
x  e.  y  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) )  e.  RR )
243241, 242eqeltrd 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  e.  RR )
244243adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  e.  RR )
245222, 227, 231, 232, 244sge0ltfirpmpt 38158 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  ->  E. b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin ) (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  < 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p ) )
246 nfv 1755 . . . . . . . 8  |-  F/ b ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )
247 nfre1 2883 . . . . . . . 8  |-  F/ b E. b  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) sum_ x  e.  y  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  <_ 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) ) +e p )
248 sspwb 4670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U_ x  e.  y  B  C_ 
U_ x  e.  A  B 
<->  ~P U_ x  e.  y  B  C_  ~P U_ x  e.  A  B
)
249248biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U_ x  e.  y  B  C_ 
U_ x  e.  A  B  ->  ~P U_ x  e.  y  B  C_  ~P U_ x  e.  A  B
)
250223, 249syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
C_  A  ->  ~P U_ x  e.  y  B 
C_  ~P U_ x  e.  A  B )
251193, 250syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ~P U_ x  e.  y  B 
C_  ~P U_ x  e.  A  B )
252251adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )
)  ->  ~P U_ x  e.  y  B  C_  ~P U_ x  e.  A  B
)
253 elinel1 3651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )  ->  b  e.  ~P U_ x  e.  y  B )
254253adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )
)  ->  b  e.  ~P U_ x  e.  y  B )
255252, 254sseldd 3465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )
)  ->  b  e.  ~P U_ x  e.  A  B )
256 elinel2 3652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )  ->  b  e.  Fin )
257256adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )
)  ->  b  e.  Fin )
258255, 257elind 3650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )
)  ->  b  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )
259258ad4ant24 1236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin ) )  ->  b  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )
2602593adant3 1025 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  < 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p ) )  -> 
b  e.  ( ~P
U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) )
261221ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin ) )  ->  sum_ x  e.  y  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  e. 
RR* )
2622613adant3 1025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  < 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p ) )  ->  sum_ x  e.  y  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  e.  RR* )
263 nfv 1755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin ) )
264226adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin ) )  ->  U_ x  e.  y  B  e.  _V )
265230adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  U_ x  e.  y  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
266243adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  e.  RR )
267253elpwid 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )  ->  b  C_ 
U_ x  e.  y  B )
268267adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin ) )  ->  b  C_ 
U_ x  e.  y  B )
269263, 264, 265, 266, 268sge0ssrempt 38155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  b  |->  C ) )  e.  RR )
270269rexrd 9697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  b  |->  C ) )  e.  RR* )
271270adantlr 719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  b  |->  C ) )  e.  RR* )
272 rpxr 11316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  RR+  ->  p  e. 
RR* )
273272ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin ) )  ->  p  e.  RR* )
274271, 273xaddcld 11594 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin ) )  ->  (
(Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) ) +e p )  e. 
RR* )
2752743adant3 1025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  < 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p ) )  -> 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) ) +e p )  e. 
RR* )
276 simp3 1007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  < 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p ) )  -> 
(Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  < 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p ) )
277241, 214eqtr2d 2464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  sum_ x  e.  y  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) ) )
278277adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  ->  sum_ x  e.  y  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) ) )
2792783ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  < 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p ) )  ->  sum_ x  e.  y  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) ) )
280269adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  b  |->  C ) )  e.  RR )
281 rpre 11315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  e.  RR+  ->  p  e.  RR )
282281ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin ) )  ->  p  e.  RR )
283 rexadd 11532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  e.  RR  /\  p  e.  RR )  ->  (
(Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) ) +e p )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p ) )
284280, 282, 283syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin ) )  ->  (
(Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) ) +e p )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p ) )
2852843adant3 1025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  < 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p ) )  -> 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) ) +e p )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p ) )
286279, 285breq12d 4436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  < 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p ) )  -> 
( sum_ x  e.  y  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  < 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) ) +e p )  <->  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  < 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p ) ) )
287276, 286mpbird 235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  < 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p ) )  ->  sum_ x  e.  y  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  <  (
(Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) ) +e p ) )
288262, 275, 287xrltled 37438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  < 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p ) )  ->  sum_ x  e.  y  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  <_  (
(Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) ) +e p ) )
289 rspe 2880 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ( ~P
U_ x  e.  A  B  i^i  Fin )  /\  sum_
x  e.  y  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  <_  (
(Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) ) +e p ) )  ->  E. b  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) sum_ x  e.  y  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  <_ 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) ) +e p ) )
290260, 288, 289syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  /\  b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  < 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p ) )  ->  E. b  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) sum_ x  e.  y  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  <_ 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) ) +e p ) )
2912903exp 1204 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  ->  (
b  e.  ( ~P
U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )  ->  ( (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  < 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p )  ->  E. b  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) sum_ x  e.  y  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  <_ 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) ) +e p ) ) ) )
292246, 247, 291rexlimd 2906 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  ->  ( E. b  e.  ( ~P U_ x  e.  y  B  i^i  Fin )
(Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  < 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) )  +  p )  ->  E. b  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) sum_ x  e.  y  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  <_ 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) ) +e p ) ) )
293245, 292mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  p  e.  RR+ )  ->  E. b  e.  ( ~P U_ x  e.  A  B  i^i  Fin ) sum_ x  e.  y  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  <_ 
( (Σ^ `  ( k  e.  b 
|->  C ) ) +e p ) )
294216, 217, 219, 221, 293sge0gerpmpt 38152 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  sum_ x  e.  y  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  <_ 
(Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) ) )
295215, 294eqbrtrd 4444 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )  |`  y ) )  <_ 
(Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) ) )
296295ralrimiva 2836 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) (Σ^ `  ( ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )  |`  y ) )  <_ 
(Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) ) )
297 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
298179, 297fmptd 6061 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
299132, 298, 1sge0lefi 38148 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )  <_  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) )  <->  A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) (Σ^ `  ( ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )  |`  y ) )  <_ 
(Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) ) ) )
300296, 299mpbird 235 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )  <_  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) ) )
3011, 2, 192, 300xrletrid 11459 1  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775   _Vcvv 3080   [_csb 3395    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   ~Pcpw 3981   U_ciun 4299  Disj wdisj 4394   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482    |` cres 4855   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Fincfn 7580   CCcc 9544   RRcr 9545   0cc0 9546    + caddc 9549   +oocpnf 9679   RR*cxr 9681    < clt 9682    <_ cle 9683   RR+crp 11309   +ecxad 11414   [,)cico 11644   [,]cicc 11645   sum_csu 13751  Σ^csumge0 38112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-ac2 8900  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-disj 4395  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-sup 7965  df-oi 8034  df-card 8381  df-acn 8384  df-ac 8554  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-xadd 11417  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13551  df-sum 13752  df-sumge0 38113
This theorem is referenced by:  sge0iunmpt  38168
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