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Theorem sge0iunmptlemfi 38249
Description: Sum of nonnegative extended reals over a disjoint indexed union (in this lemma, for a finite index set). (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0iunmptlemfi.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
sge0iunmptlemfi.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
sge0iunmptlemfi.dj  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  B
)
sge0iunmptlemfi.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
sge0iunmptlemfi.re  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
sge0iunmptlemfi  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k, x    B, k    x, C    ph, k, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( k)    V( x, k)

Proof of Theorem sge0iunmptlemfi
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iuneq1 4291 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  U_ x  e.  y  B  =  U_ x  e.  (/)  B )
21mpteq1d 4483 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C )  =  ( k  e. 
U_ x  e.  (/)  B 
|->  C ) )
32fveq2d 5867 . . 3  |-  ( y  =  (/)  ->  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  (/)  B  |->  C ) ) )
4 mpteq1 4482 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( x  e.  y  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )  =  ( x  e.  (/)  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )
54fveq2d 5867 . . 3  |-  ( y  =  (/)  ->  (Σ^ `  ( x  e.  y 
|->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  (/)  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
63, 5eqeq12d 2465 . 2  |-  ( y  =  (/)  ->  ( (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  (
x  e.  y  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) )  <-> 
(Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  (/)  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  (
x  e.  (/)  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) ) )
7 iuneq1 4291 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  U_ x  e.  y  B  =  U_ x  e.  z  B )
87mpteq1d 4483 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  (
k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C )  =  ( k  e.  U_ x  e.  z  B  |->  C ) )
98fveq2d 5867 . . 3  |-  ( y  =  z  ->  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  z  B  |->  C ) ) )
10 mpteq1 4482 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  (
x  e.  y  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) )  =  ( x  e.  z 
|->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )
1110fveq2d 5867 . . 3  |-  ( y  =  z  ->  (Σ^ `  (
x  e.  y  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  z 
|->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
129, 11eqeq12d 2465 . 2  |-  ( y  =  z  ->  (
(Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  y 
|->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )  <->  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  z  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  z 
|->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) ) )
13 iuneq1 4291 . . . . 5  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ w } )  ->  U_ x  e.  y  B  =  U_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) B )
1413mpteq1d 4483 . . . 4  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ w } )  ->  ( k  e. 
U_ x  e.  y  B  |->  C )  =  ( k  e.  U_ x  e.  ( z  u.  { w } ) B  |->  C ) )
1514fveq2d 5867 . . 3  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ w } )  ->  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  ( z  u.  { w } ) B  |->  C ) ) )
16 mpteq1 4482 . . . 4  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ w } )  ->  ( x  e.  y  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )  =  ( x  e.  ( z  u.  {
w } )  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) )
1716fveq2d 5867 . . 3  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ w } )  ->  (Σ^ `  ( x  e.  y 
|->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  ( z  u.  { w } )  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
1815, 17eqeq12d 2465 . 2  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ w } )  ->  ( (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  y 
|->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )  <->  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  ( z  u.  { w } ) B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  ( z  u.  { w } )  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) ) )
19 iuneq1 4291 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  U_ x  e.  y  B  =  U_ x  e.  A  B
)
2019mpteq1d 4483 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C )  =  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) )
2120fveq2d 5867 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) ) )
22 mpteq1 4482 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
x  e.  y  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )
2322fveq2d 5867 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  (Σ^ `  (
x  e.  y  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
2421, 23eqeq12d 2465 . 2  |-  ( y  =  A  ->  (
(Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  y  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  y 
|->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )  <->  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) ) )
25 0iun 4334 . . . . . . 7  |-  U_ x  e.  (/)  B  =  (/)
26 mpteq1 4482 . . . . . . 7  |-  ( U_ x  e.  (/)  B  =  (/)  ->  ( k  e. 
U_ x  e.  (/)  B 
|->  C )  =  ( k  e.  (/)  |->  C ) )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( k  e.  U_ x  e.  (/)  B  |->  C )  =  ( k  e.  (/)  |->  C )
28 mpt0 5703 . . . . . 6  |-  ( k  e.  (/)  |->  C )  =  (/)
2927, 28eqtri 2472 . . . . 5  |-  ( k  e.  U_ x  e.  (/)  B  |->  C )  =  (/)
3029fveq2i 5866 . . . 4  |-  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  (/)  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  (/) )
31 mpt0 5703 . . . . 5  |-  ( x  e.  (/)  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )  =  (/)
3231fveq2i 5866 . . . 4  |-  (Σ^ `  ( x  e.  (/)  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )  =  (Σ^ `  (/) )
3330, 32eqtr4i 2475 . . 3  |-  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  (/)  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  (
x  e.  (/)  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )
3433a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  (/)  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  (
x  e.  (/)  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
35 nfv 1760 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ph  /\  (
z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z ) ) )
36 nfcv 2591 . . . . . . . 8  |-  F/_ xΣ^
37 nfiu1 4307 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x U_ x  e.  { w } B
38 nfcv 2591 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x C
3937, 38nfmpt 4490 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( k  e.  U_ x  e.  { w } B  |->  C )
4036, 39nffv 5870 . . . . . . 7  |-  F/_ x
(Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  { w } B  |->  C ) )
41 simprl 763 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z
) ) )  -> 
z  C_  A )
42 sge0iunmptlemfi.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
4342adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  C_  A )  ->  A  e.  Fin )
44 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  C_  A )  ->  z  C_  A )
45 ssfi 7789 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  z  C_  A )  -> 
z  e.  Fin )
4643, 44, 45syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  C_  A )  ->  z  e.  Fin )
4741, 46syldan 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z
) ) )  -> 
z  e.  Fin )
48 simprr 765 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z
) ) )  ->  w  e.  ( A  \  z ) )
49 eldifn 3555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( A  \ 
z )  ->  -.  w  e.  z )
50 disjsn 4031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  i^i  { w } )  =  (/)  <->  -.  w  e.  z )
5149, 50sylibr 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( A  \ 
z )  ->  (
z  i^i  { w } )  =  (/) )
5251adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z ) )  -> 
( z  i^i  {
w } )  =  (/) )
5352adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z
) ) )  -> 
( z  i^i  {
w } )  =  (/) )
5453, 50sylib 200 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z
) ) )  ->  -.  w  e.  z
)
55 simpll 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  z )  ->  ph )
56 ssel2 3426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  C_  A  /\  x  e.  z )  ->  x  e.  A )
5756adantll 719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  z )  ->  x  e.  A )
58 sge0iunmptlemfi.re . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  e.  RR )
5955, 57, 58syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  z )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  e.  RR )
6059recnd 9666 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  z )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  e.  CC )
6160adantlrr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z ) ) )  /\  x  e.  z )  ->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  e.  CC )
62 csbeq1a 3371 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  B  =  [_ w  /  x ]_ B )
63 nfcsb1v 3378 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x [_ w  /  x ]_ B
64 vex 3047 . . . . . . . . . . 11  |-  w  e. 
_V
6563, 64, 62iunxsnf 37399 . . . . . . . . . 10  |-  U_ x  e.  { w } B  =  [_ w  /  x ]_ B
6662, 65syl6eqr 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  B  =  U_ x  e.  {
w } B )
6766mpteq1d 4483 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  (
k  e.  B  |->  C )  =  ( k  e.  U_ x  e. 
{ w } B  |->  C ) )
6867fveq2d 5867 . . . . . . 7  |-  ( x  =  w  ->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  { w } B  |->  C ) ) )
6965mpteq1i 37446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  U_ x  e. 
{ w } B  |->  C )  =  ( k  e.  [_ w  /  x ]_ B  |->  C )
7069a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( A  \  z
) )  ->  (
k  e.  U_ x  e.  { w } B  |->  C )  =  ( k  e.  [_ w  /  x ]_ B  |->  C ) )
7170fveq2d 5867 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( A  \  z
) )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  { w } B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( k  e.  [_ w  /  x ]_ B  |->  C ) ) )
72 eldifi 3554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( A  \ 
z )  ->  w  e.  A )
73 nfv 1760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( ph  /\  w  e.  A )
7463, 38nfmpt 4490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( k  e.  [_ w  /  x ]_ B  |->  C )
7536, 74nffv 5870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
(Σ^ `  ( k  e.  [_ w  /  x ]_ B  |->  C ) )
76 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x RR
7775, 76nfel 2603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
(Σ^ `  ( k  e.  [_ w  /  x ]_ B  |->  C ) )  e.  RR
7873, 77nfim 2002 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( ( ph  /\  w  e.  A )  ->  (Σ^ `  ( k  e.  [_ w  /  x ]_ B  |->  C ) )  e.  RR )
79 eleq1 2516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  (
x  e.  A  <->  w  e.  A ) )
8079anbi2d 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
( ph  /\  x  e.  A )  <->  ( ph  /\  w  e.  A ) ) )
8167, 69syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  (
k  e.  B  |->  C )  =  ( k  e.  [_ w  /  x ]_ B  |->  C ) )
8281fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  (
k  e.  [_ w  /  x ]_ B  |->  C ) ) )
8382eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
(Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  e.  RR  <->  (Σ^ `  ( k  e.  [_ w  /  x ]_ B  |->  C ) )  e.  RR ) )
8480, 83imbi12d 322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  A )  ->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  e.  RR )  <->  ( ( ph  /\  w  e.  A
)  ->  (Σ^ `  ( k  e.  [_ w  /  x ]_ B  |->  C ) )  e.  RR ) ) )
8578, 84, 58chvar 2105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  [_ w  /  x ]_ B  |->  C ) )  e.  RR )
8672, 85sylan2 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( A  \  z
) )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  [_ w  /  x ]_ B  |->  C ) )  e.  RR )
8771, 86eqeltrd 2528 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( A  \  z
) )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  { w } B  |->  C ) )  e.  RR )
8887adantrl 721 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z
) ) )  -> 
(Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  { w } B  |->  C ) )  e.  RR )
8988recnd 9666 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z
) ) )  -> 
(Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  { w } B  |->  C ) )  e.  CC )
9035, 40, 47, 48, 54, 61, 68, 89fsumsplitsn 37643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z
) ) )  ->  sum_ x  e.  ( z  u.  { w }
) (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  =  ( sum_ x  e.  z  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  +  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  { w } B  |->  C ) ) ) )
9190eqcomd 2456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z
) ) )  -> 
( sum_ x  e.  z  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  +  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  { w } B  |->  C ) ) )  =  sum_ x  e.  ( z  u. 
{ w } ) (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
9291adantr 467 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z ) ) )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  z  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  z 
|->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )  ->  ( sum_ x  e.  z  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  +  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  { w } B  |->  C ) ) )  =  sum_ x  e.  ( z  u.  { w } ) (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
93 iunxun 4362 . . . . . . . . . 10  |-  U_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) B  =  ( U_ x  e.  z  B  u.  U_ x  e.  { w } B )
9493mpteq1i 37446 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  U_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) B 
|->  C )  =  ( k  e.  ( U_ x  e.  z  B  u.  U_ x  e.  {
w } B ) 
|->  C )
9594fveq2i 5866 . . . . . . . 8  |-  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  ( z  u.  { w } ) B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( k  e.  (
U_ x  e.  z  B  u.  U_ x  e.  { w } B
)  |->  C ) )
9695a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z
) ) )  -> 
(Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  ( z  u.  { w } ) B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( k  e.  (
U_ x  e.  z  B  u.  U_ x  e.  { w } B
)  |->  C ) ) )
97 nfv 1760 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ph  /\  (
z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z ) ) )
98 sge0iunmptlemfi.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
9998ralrimiva 2801 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  V )
100 iunexg 6766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  V )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
10142, 99, 100syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
102101adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  C_  A )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
103 iunss1 4289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
C_  A  ->  U_ x  e.  z  B  C_  U_ x  e.  A  B )
104103adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  C_  A )  ->  U_ x  e.  z  B  C_  U_ x  e.  A  B )
105102, 104ssexd 4549 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  C_  A )  ->  U_ x  e.  z  B  e.  _V )
106105adantrr 722 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z
) ) )  ->  U_ x  e.  z  B  e.  _V )
107101adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( A  \  z
) )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
108 snssi 4115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  A  ->  { w }  C_  A )
10972, 108syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  ( A  \ 
z )  ->  { w }  C_  A )
110 iunss1 4289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { w }  C_  A  ->  U_ x  e.  {
w } B  C_  U_ x  e.  A  B
)
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( A  \ 
z )  ->  U_ x  e.  { w } B  C_ 
U_ x  e.  A  B )
112111adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( A  \  z
) )  ->  U_ x  e.  { w } B  C_ 
U_ x  e.  A  B )
113107, 112ssexd 4549 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( A  \  z
) )  ->  U_ x  e.  { w } B  e.  _V )
114113adantrl 721 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z
) ) )  ->  U_ x  e.  { w } B  e.  _V )
115 sge0iunmptlemfi.dj . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  B
)
116115adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z
) ) )  -> Disj  x  e.  A  B )
117109ad2antll 734 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z
) ) )  ->  { w }  C_  A )
118 disjiun 4392 . . . . . . . . 9  |-  ( (Disj  x  e.  A  B  /\  ( z  C_  A  /\  { w }  C_  A  /\  ( z  i^i 
{ w } )  =  (/) ) )  -> 
( U_ x  e.  z  B  i^i  U_ x  e.  { w } B
)  =  (/) )
119116, 41, 117, 53, 118syl13anc 1269 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z
) ) )  -> 
( U_ x  e.  z  B  i^i  U_ x  e.  { w } B
)  =  (/) )
120 eliun 4282 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  U_ x  e.  z  B  <->  E. x  e.  z  k  e.  B )
121120biimpi 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  U_ x  e.  z  B  ->  E. x  e.  z  k  e.  B )
122121adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  A )  /\  k  e.  U_ x  e.  z  B )  ->  E. x  e.  z  k  e.  B )
123 simp1l 1031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  z  /\  k  e.  B )  ->  ph )
124573adant3 1027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  z  /\  k  e.  B )  ->  x  e.  A )
125 simp3 1009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  z  /\  k  e.  B )  ->  k  e.  B )
126 sge0iunmptlemfi.c . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
127123, 124, 125, 126syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  z  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1281273exp 1206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  C_  A )  ->  (
x  e.  z  -> 
( k  e.  B  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) ) ) )
129128rexlimdv 2876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  C_  A )  ->  ( E. x  e.  z 
k  e.  B  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
130129adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  A )  /\  k  e.  U_ x  e.  z  B )  ->  ( E. x  e.  z 
k  e.  B  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
131122, 130mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  A )  /\  k  e.  U_ x  e.  z  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
132131adantlrr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z ) ) )  /\  k  e.  U_ x  e.  z  B
)  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
133 eliun 4282 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  U_ x  e. 
{ w } B  <->  E. x  e.  { w } k  e.  B
)
134133biimpi 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  U_ x  e. 
{ w } B  ->  E. x  e.  {
w } k  e.  B )
135134adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( A  \  z
) )  /\  k  e.  U_ x  e.  {
w } B )  ->  E. x  e.  {
w } k  e.  B )
136 simp1l 1031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( A  \  z
) )  /\  x  e.  { w }  /\  k  e.  B )  ->  ph )
137109sselda 3431 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  ( A 
\  z )  /\  x  e.  { w } )  ->  x  e.  A )
138137adantll 719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( A  \  z
) )  /\  x  e.  { w } )  ->  x  e.  A
)
1391383adant3 1027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( A  \  z
) )  /\  x  e.  { w }  /\  k  e.  B )  ->  x  e.  A )
140 simp3 1009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( A  \  z
) )  /\  x  e.  { w }  /\  k  e.  B )  ->  k  e.  B )
141136, 139, 140, 126syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( A  \  z
) )  /\  x  e.  { w }  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1421413exp 1206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( A  \  z
) )  ->  (
x  e.  { w }  ->  ( k  e.  B  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) ) ) )
143142rexlimdv 2876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( A  \  z
) )  ->  ( E. x  e.  { w } k  e.  B  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
144143adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( A  \  z
) )  /\  k  e.  U_ x  e.  {
w } B )  ->  ( E. x  e.  { w } k  e.  B  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
145135, 144mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( A  \  z
) )  /\  k  e.  U_ x  e.  {
w } B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo )
)
146145adantlrl 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z ) ) )  /\  k  e.  U_ x  e.  { w } B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
14797, 106, 114, 119, 132, 146sge0splitmpt 38247 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z
) ) )  -> 
(Σ^ `  ( k  e.  (
U_ x  e.  z  B  u.  U_ x  e.  { w } B
)  |->  C ) )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  z  B  |->  C ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  { w } B  |->  C ) ) ) )
14896, 147eqtrd 2484 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z
) ) )  -> 
(Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  ( z  u.  { w } ) B  |->  C ) )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  z  B  |->  C ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  { w } B  |->  C ) ) ) )
149148adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z ) ) )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  z  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  z 
|->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) B 
|->  C ) )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  z  B  |->  C ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  { w } B  |->  C ) ) ) )
150 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  z  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  (
x  e.  z  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) )  ->  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  z  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  z 
|->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
151150adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  A )  /\  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  z  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  (
x  e.  z  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )  ->  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  z  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  z 
|->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
1521263expa 1207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
153 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  B  |->  C )  =  ( k  e.  B  |->  C )
154152, 153fmptd 6044 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
k  e.  B  |->  C ) : B --> ( 0 [,] +oo ) )
15598, 154sge0ge0 38220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
15658, 155jca 535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
(Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
(Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )
157 elrege0 11735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
(Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )
158156, 157sylibr 216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
15955, 57, 158syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  z )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
160 eqid 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  z  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )  =  ( x  e.  z  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
161159, 160fmptd 6044 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  C_  A )  ->  (
x  e.  z  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) : z --> ( 0 [,) +oo ) )
16246, 161sge0fsum 38223 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  C_  A )  ->  (Σ^ `  (
x  e.  z  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) )  =  sum_ y  e.  z  ( ( x  e.  z  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) `
 y ) )
163162adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  A )  /\  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  z  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  (
x  e.  z  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )  ->  (Σ^ `  ( x  e.  z 
|->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )  =  sum_ y  e.  z  ( (
x  e.  z  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) `  y ) )
164 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  e.  z 
|->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) `
 y )  =  ( ( x  e.  z  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) `
 x ) )
165 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
z
166 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y
z
167 nfmpt1 4491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( x  e.  z 
|->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
168 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
y
169167, 168nffv 5870 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( x  e.  z  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) `
 y )
170 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y
( ( x  e.  z  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) `
 x )
171164, 165, 166, 169, 170cbvsum 13754 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ y  e.  z  ( (
x  e.  z  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) `  y )  =  sum_ x  e.  z  ( ( x  e.  z  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) `  x )
172171a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  C_  A )  ->  sum_ y  e.  z  ( (
x  e.  z  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) `  y )  =  sum_ x  e.  z  ( ( x  e.  z  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) `  x ) )
173 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  z  ->  x  e.  z )
174 fvex 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  e. 
_V
175174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  z  ->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  e.  _V )
176160fvmpt2 5955 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  z  /\  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  e. 
_V )  ->  (
( x  e.  z 
|->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) `
 x )  =  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
177173, 175, 176syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  z  ->  (
( x  e.  z 
|->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) `
 x )  =  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
178177adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  z )  ->  (
( x  e.  z 
|->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) `
 x )  =  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
179178ralrimiva 2801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  C_  A )  ->  A. x  e.  z  ( (
x  e.  z  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) `  x )  =  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) )
180179sumeq2d 13761 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  C_  A )  ->  sum_ x  e.  z  ( (
x  e.  z  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) `  x )  =  sum_ x  e.  z  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
181172, 180eqtrd 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  C_  A )  ->  sum_ y  e.  z  ( (
x  e.  z  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) `  y )  =  sum_ x  e.  z  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
182181adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  A )  /\  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  z  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  (
x  e.  z  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )  ->  sum_ y  e.  z  ( ( x  e.  z  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) `
 y )  = 
sum_ x  e.  z 
(Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
183151, 163, 1823eqtrd 2488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  C_  A )  /\  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  z  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  (
x  e.  z  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )  ->  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  z  B  |->  C ) )  = 
sum_ x  e.  z 
(Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
184183adantlrr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z ) ) )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  z  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  z 
|->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  z  B  |->  C ) )  =  sum_ x  e.  z  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
185184oveq1d 6303 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z ) ) )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  z  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  z 
|->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )  ->  (
(Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  z  B  |->  C ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  { w } B  |->  C ) ) )  =  (
sum_ x  e.  z 
(Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  { w } B  |->  C ) ) ) )
18646, 59fsumrecl 13793 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  C_  A )  ->  sum_ x  e.  z  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  e.  RR )
187186adantrr 722 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z
) ) )  ->  sum_ x  e.  z  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  e.  RR )
188 rexadd 11522 . . . . . . 7  |-  ( (
sum_ x  e.  z 
(Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  e.  RR  /\  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  { w } B  |->  C ) )  e.  RR )  ->  ( sum_ x  e.  z  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  { w } B  |->  C ) ) )  =  (
sum_ x  e.  z 
(Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  +  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  { w } B  |->  C ) ) ) )
189187, 88, 188syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z
) ) )  -> 
( sum_ x  e.  z  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  { w } B  |->  C ) ) )  =  (
sum_ x  e.  z 
(Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  +  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  { w } B  |->  C ) ) ) )
190189adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z ) ) )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  z  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  z 
|->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )  ->  ( sum_ x  e.  z  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) +e
(Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  { w } B  |->  C ) ) )  =  (
sum_ x  e.  z 
(Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  +  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  { w } B  |->  C ) ) ) )
191149, 185, 1903eqtrd 2488 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z ) ) )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  z  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  z 
|->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) B 
|->  C ) )  =  ( sum_ x  e.  z  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  +  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  { w } B  |->  C ) ) ) )
192 snfi 7647 . . . . . . . 8  |-  { w }  e.  Fin
193192a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z
) ) )  ->  { w }  e.  Fin )
194 unfi 7835 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  Fin  /\  { w }  e.  Fin )  ->  ( z  u. 
{ w } )  e.  Fin )
19547, 193, 194syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z
) ) )  -> 
( z  u.  {
w } )  e. 
Fin )
196 simpll 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z ) ) )  /\  x  e.  ( z  u.  { w } ) )  ->  ph )
19756adant423 37361 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z ) )  /\  x  e.  ( z  u.  {
w } ) )  /\  x  e.  z )  ->  x  e.  A )
198 simpll 759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  e.  ( A  \  z )  /\  x  e.  ( z  u.  { w } ) )  /\  -.  x  e.  z
)  ->  w  e.  ( A  \  z
) )
199 elunnel1 3574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( z  u.  { w }
)  /\  -.  x  e.  z )  ->  x  e.  { w } )
200 elsni 3992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { w }  ->  x  =  w )
201199, 200syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( z  u.  { w }
)  /\  -.  x  e.  z )  ->  x  =  w )
202201adantll 719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  e.  ( A  \  z )  /\  x  e.  ( z  u.  { w } ) )  /\  -.  x  e.  z
)  ->  x  =  w )
203 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  ( A 
\  z )  /\  x  =  w )  ->  x  =  w )
20472adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  ( A 
\  z )  /\  x  =  w )  ->  w  e.  A )
205203, 204eqeltrd 2528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  ( A 
\  z )  /\  x  =  w )  ->  x  e.  A )
206198, 202, 205syl2anc 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  e.  ( A  \  z )  /\  x  e.  ( z  u.  { w } ) )  /\  -.  x  e.  z
)  ->  x  e.  A )
207206adantlll 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z ) )  /\  x  e.  ( z  u.  {
w } ) )  /\  -.  x  e.  z )  ->  x  e.  A )
208197, 207pm2.61dan 799 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z ) )  /\  x  e.  ( z  u.  { w } ) )  ->  x  e.  A )
209208adantll 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z ) ) )  /\  x  e.  ( z  u.  { w } ) )  ->  x  e.  A )
210196, 209, 158syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z ) ) )  /\  x  e.  ( z  u.  { w } ) )  -> 
(Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
211195, 210sge0fsummpt 38226 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z
) ) )  -> 
(Σ^ `  ( x  e.  ( z  u.  { w } )  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )  =  sum_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) )
212211adantr 467 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z ) ) )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  z  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  z 
|->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )  ->  (Σ^ `  (
x  e.  ( z  u.  { w }
)  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )  =  sum_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) )
21392, 191, 2123eqtr4d 2494 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z ) ) )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  z  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  z 
|->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) B 
|->  C ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  ( z  u.  { w } )  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
214213ex 436 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  A  /\  w  e.  ( A  \  z
) ) )  -> 
( (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  z  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  z 
|->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )  ->  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  ( z  u.  { w } ) B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  ( z  u.  { w } )  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) ) )
2156, 12, 18, 24, 34, 214, 42findcard2d 7810 1  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 3044   [_csb 3362    \ cdif 3400    u. cun 3401    i^i cin 3402    C_ wss 3403   (/)c0 3730   {csn 3967   U_ciun 4277  Disj wdisj 4372   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   Fincfn 7566   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536    + caddc 9539   +oocpnf 9669    <_ cle 9673   +ecxad 11404   [,)cico 11634   [,]cicc 11635   sum_csu 13745  Σ^csumge0 38198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-disj 4373  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-oi 8022  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-xadd 11407  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-sum 13746  df-sumge0 38199
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