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Theorem sge0iunmpt 38374
Description: Sum of nonnegative extended reals over a disjoint indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0iunmpt.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
sge0iunmpt.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  W )
sge0iunmpt.dj  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  B
)
sge0iunmpt.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
Assertion
Ref Expression
sge0iunmpt  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k, x    B, k    x, C   
x, W    ph, k, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( k)    V( x, k)    W( k)

Proof of Theorem sge0iunmpt
Dummy variables  j 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1769 . . . 4  |-  F/ x ph
2 nfcv 2612 . . . . . 6  |-  F/_ xΣ^
3 nfiu1 4299 . . . . . . 7  |-  F/_ x U_ x  e.  A  B
4 nfcv 2612 . . . . . . 7  |-  F/_ x C
53, 4nfmpt 4484 . . . . . 6  |-  F/_ x
( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C )
62, 5nffv 5886 . . . . 5  |-  F/_ x
(Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) )
7 nfmpt1 4485 . . . . . 6  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
82, 7nffv 5886 . . . . 5  |-  F/_ x
(Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )
96, 8nfeq 2623 . . . 4  |-  F/ x
(Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )
10 sge0iunmpt.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
11 sge0iunmpt.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  W )
1211ralrimiva 2809 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  W )
13 iunexg 6788 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  B  e.  W )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
1410, 12, 13syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
15 eliun 4274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  k  e.  B )
1615biimpi 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  ->  E. x  e.  A  k  e.  B )
1716adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U_ x  e.  A  B
)  ->  E. x  e.  A  k  e.  B )
18 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
k
1918, 3nfel 2624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x  k  e.  U_ x  e.  A  B
201, 19nfan 2031 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( ph  /\  k  e.  U_ x  e.  A  B )
214nfel1 2626 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x  C  e.  ( 0 [,] +oo )
22 sge0iunmpt.c . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
23223exp 1230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  ( k  e.  B  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) ) ) )
2423adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U_ x  e.  A  B
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( k  e.  B  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) ) ) )
2520, 21, 24rexlimd 2866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U_ x  e.  A  B
)  ->  ( E. x  e.  A  k  e.  B  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
2617, 25mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U_ x  e.  A  B
)  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
27 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C )  =  ( k  e. 
U_ x  e.  A  B  |->  C )
2826, 27fmptd 6061 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) : U_ x  e.  A  B --> ( 0 [,] +oo ) )
2914, 28sge0xrcl 38341 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) )  e. 
RR* )
30293ad2ant1 1051 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) )  e.  RR* )
31 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  = +oo  ->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  = +oo )
3231eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  = +oo  -> +oo  =  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
3332adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  = +oo )  -> +oo  =  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
34333adant1 1048 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  = +oo )  -> +oo  =  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
3514adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
3626adantlr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  U_ x  e.  A  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
37 ssiun2 4312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  B  C_ 
U_ x  e.  A  B )
3837adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  C_ 
U_ x  e.  A  B )
3935, 36, 38sge0lessmpt 38355 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  <_  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) ) )
40393adant3 1050 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  <_  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) ) )
4134, 40eqbrtrd 4416 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  = +oo )  -> +oo  <_  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) ) )
4230, 41xrgepnfd 37641 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) )  = +oo )
43103ad2ant1 1051 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  = +oo )  ->  A  e.  V )
44 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( ph  /\  y  e.  A )
45 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ B
46 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ W
4745, 46nfel 2624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ B  e.  [_ y  /  x ]_ W
4844, 47nfim 2023 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( ( ph  /\  y  e.  A )  ->  [_ y  /  x ]_ B  e.  [_ y  /  x ]_ W )
49 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
5049anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  x  e.  A )  <->  ( ph  /\  y  e.  A ) ) )
51 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
52 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  W  =  [_ y  /  x ]_ W )
5351, 52eleq12d 2543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( B  e.  W  <->  [_ y  /  x ]_ B  e.  [_ y  /  x ]_ W
) )
5450, 53imbi12d 327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  W )  <-> 
( ( ph  /\  y  e.  A )  ->  [_ y  /  x ]_ B  e.  [_ y  /  x ]_ W ) ) )
5548, 54, 11chvar 2119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  [_ y  /  x ]_ B  e. 
[_ y  /  x ]_ W )
5655adantlr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  ->  [_ y  /  x ]_ B  e. 
[_ y  /  x ]_ W )
5745, 4nfmpt 4484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( k  e.  [_ y  /  x ]_ B  |->  C )
58 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( 0 [,] +oo )
5957, 45, 58nff 5735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( k  e.  [_ y  /  x ]_ B  |->  C ) : [_ y  /  x ]_ B --> ( 0 [,] +oo )
6044, 59nfim 2023 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( ( ph  /\  y  e.  A )  ->  ( k  e.  [_ y  /  x ]_ B  |->  C ) : [_ y  /  x ]_ B --> ( 0 [,] +oo ) )
6151mpteq1d 4477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
k  e.  B  |->  C )  =  ( k  e.  [_ y  /  x ]_ B  |->  C ) )
6261, 51feq12d 5727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) : B --> ( 0 [,] +oo ) 
<->  ( k  e.  [_ y  /  x ]_ B  |->  C ) : [_ y  /  x ]_ B --> ( 0 [,] +oo ) ) )
6350, 62imbi12d 327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  A )  ->  ( k  e.  B  |->  C ) : B --> ( 0 [,] +oo ) )  <->  ( ( ph  /\  y  e.  A
)  ->  ( k  e.  [_ y  /  x ]_ B  |->  C ) : [_ y  /  x ]_ B --> ( 0 [,] +oo ) ) ) )
6423imp31 439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
65 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  B  |->  C )  =  ( k  e.  B  |->  C )
6664, 65fmptd 6061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
k  e.  B  |->  C ) : B --> ( 0 [,] +oo ) )
6760, 63, 66chvar 2119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
k  e.  [_ y  /  x ]_ B  |->  C ) : [_ y  /  x ]_ B --> ( 0 [,] +oo ) )
6867adantlr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  ->  (
k  e.  [_ y  /  x ]_ B  |->  C ) : [_ y  /  x ]_ B --> ( 0 [,] +oo ) )
6956, 68sge0cl 38337 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  [_ y  /  x ]_ B  |->  C ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
70 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
(Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )
712, 57nffv 5886 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
(Σ^ `  ( k  e.  [_ y  /  x ]_ B  |->  C ) )
7261fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  (
k  e.  [_ y  /  x ]_ B  |->  C ) ) )
7370, 71, 72cbvmpt 4487 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )  =  ( y  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  [_ y  /  x ]_ B  |->  C ) ) )
7469, 73fmptd 6061 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
x  e.  A  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
75743adant3 1050 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  = +oo )  ->  (
x  e.  A  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
76 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  A )
77 fvex 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  e. 
_V
7877a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  e.  _V )
79 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
8079elrnmpt1 5089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  e. 
_V )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  e.  ran  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )
8176, 78, 80syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  e.  ran  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )
8281adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  e.  ran  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )
8333, 82eqeltrd 2549 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  = +oo )  -> +oo  e.  ran  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )
84833adant1 1048 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  = +oo )  -> +oo  e.  ran  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )
8543, 75, 84sge0pnfval 38329 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) )  = +oo )
8642, 85eqtr4d 2508 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
87863exp 1230 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  ( (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  = +oo  ->  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) ) ) )
881, 9, 87rexlimd 2866 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  A  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  = +oo  ->  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) ) )
8988imp 436 . 2  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  A  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
90 simpl 464 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  E. x  e.  A  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  = +oo )  ->  ph )
91 ralnex 2834 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  -.  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  = +oo  <->  -.  E. x  e.  A  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  = +oo )
92 df-ne 2643 . . . . . . 7  |-  ( (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  =/= +oo  <->  -.  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  = +oo )
9392bicomi 207 . . . . . 6  |-  ( -.  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  = +oo  <->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  =/= +oo )
9493ralbii 2823 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  -.  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  = +oo  <->  A. x  e.  A  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  =/= +oo )
9591, 94sylbb1 220 . . . 4  |-  ( -. 
E. x  e.  A  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  = +oo  ->  A. x  e.  A  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  =/= +oo )
9695adantl 473 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  E. x  e.  A  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  = +oo )  ->  A. x  e.  A  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  =/= +oo )
9710adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  A  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  =/= +oo )  ->  A  e.  V )
98 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x W
9945, 98nfel 2624 . . . . . . . 8  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ B  e.  W
10044, 99nfim 2023 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ( ph  /\  y  e.  A )  ->  [_ y  /  x ]_ B  e.  W
)
10151eleq1d 2533 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( B  e.  W  <->  [_ y  /  x ]_ B  e.  W
) )
10250, 101imbi12d 327 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  W )  <-> 
( ( ph  /\  y  e.  A )  ->  [_ y  /  x ]_ B  e.  W
) ) )
103100, 102, 11chvar 2119 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  [_ y  /  x ]_ B  e.  W )
104103adantlr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  A  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  =/= +oo )  /\  y  e.  A
)  ->  [_ y  /  x ]_ B  e.  W
)
105 sge0iunmpt.dj . . . . . . 7  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  B
)
106 nfcv 2612 . . . . . . . 8  |-  F/_ y B
107106, 45, 51cbvdisj 4376 . . . . . . 7  |-  (Disj  x  e.  A  B  <-> Disj  y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B )
108105, 107sylib 201 . . . . . 6  |-  ( ph  -> Disj  y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B )
109108adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  A  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  =/= +oo )  -> Disj  y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B )
110 nfv 1769 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ph  /\  y  e.  A  /\  j  e.  [_ y  /  x ]_ B )
111 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k [_ j  /  k ]_ C
112111nfel1 2626 . . . . . . . 8  |-  F/ k
[_ j  /  k ]_ C  e.  (
0 [,] +oo )
113110, 112nfim 2023 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ( ph  /\  y  e.  A  /\  j  e.  [_ y  /  x ]_ B )  ->  [_ j  /  k ]_ C  e.  (
0 [,] +oo )
)
114 eleq1 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  j  ->  (
k  e.  [_ y  /  x ]_ B  <->  j  e.  [_ y  /  x ]_ B ) )
1151143anbi3d 1371 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  (
( ph  /\  y  e.  A  /\  k  e.  [_ y  /  x ]_ B )  <->  ( ph  /\  y  e.  A  /\  j  e.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
116 csbeq1a 3358 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  j  ->  C  =  [_ j  /  k ]_ C )
117116eleq1d 2533 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  ( C  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  [_ j  / 
k ]_ C  e.  ( 0 [,] +oo )
) )
118115, 117imbi12d 327 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( ph  /\  y  e.  A  /\  k  e.  [_ y  /  x ]_ B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )  <-> 
( ( ph  /\  y  e.  A  /\  j  e.  [_ y  /  x ]_ B )  ->  [_ j  /  k ]_ C  e.  (
0 [,] +oo )
) ) )
119 nfv 1769 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  y  e.  A
12018, 45nfel 2624 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  k  e.  [_ y  /  x ]_ B
1211, 119, 120nf3an 2033 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( ph  /\  y  e.  A  /\  k  e.  [_ y  /  x ]_ B )
122121, 21nfim 2023 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( ( ph  /\  y  e.  A  /\  k  e.  [_ y  /  x ]_ B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
12351eleq2d 2534 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
k  e.  B  <->  k  e.  [_ y  /  x ]_ B ) )
12449, 1233anbi23d 1368 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B )  <->  ( ph  /\  y  e.  A  /\  k  e.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
125124imbi1d 324 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )  <-> 
( ( ph  /\  y  e.  A  /\  k  e.  [_ y  /  x ]_ B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) ) ) )
126122, 125, 22chvar 2119 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A  /\  k  e.  [_ y  /  x ]_ B
)  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
127113, 118, 126chvar 2119 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A  /\  j  e.  [_ y  /  x ]_ B
)  ->  [_ j  / 
k ]_ C  e.  ( 0 [,] +oo )
)
1281273adant1r 1285 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  A  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  =/= +oo )  /\  y  e.  A  /\  j  e.  [_ y  /  x ]_ B )  ->  [_ j  /  k ]_ C  e.  (
0 [,] +oo )
)
129 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  A  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  =/= +oo  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  A )
130 simpl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  A  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  =/= +oo  /\  y  e.  A
)  ->  A. x  e.  A  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  =/= +oo )
131 simpl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  =/= +oo )  ->  y  e.  A
)
132 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  =/= +oo )  ->  A. x  e.  A  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  =/= +oo )
133 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ j  /  k ]_ C
13445, 133nfmpt 4484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( j  e.  [_ y  /  x ]_ B  |-> 
[_ j  /  k ]_ C )
1352, 134nffv 5886 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
(Σ^ `  ( j  e.  [_ y  /  x ]_ B  |-> 
[_ j  /  k ]_ C ) )
136 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x +oo
137135, 136nfne 2742 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
(Σ^ `  ( j  e.  [_ y  /  x ]_ B  |-> 
[_ j  /  k ]_ C ) )  =/= +oo
138 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ j C
139138, 111, 116cbvmpt 4487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  [_ y  /  x ]_ B  |->  C )  =  ( j  e. 
[_ y  /  x ]_ B  |->  [_ j  /  k ]_ C
)
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
k  e.  [_ y  /  x ]_ B  |->  C )  =  ( j  e.  [_ y  /  x ]_ B  |->  [_ j  /  k ]_ C
) )
14161, 140eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
k  e.  B  |->  C )  =  ( j  e.  [_ y  /  x ]_ B  |->  [_ j  /  k ]_ C
) )
142141fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  [_ y  /  x ]_ B  |->  [_ j  /  k ]_ C
) ) )
143142neeq1d 2702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
(Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  =/= +oo 
<->  (Σ^ `  ( j  e.  [_ y  /  x ]_ B  |-> 
[_ j  /  k ]_ C ) )  =/= +oo ) )
144137, 143rspc 3130 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  =/= +oo  ->  (Σ^ `  ( j  e.  [_ y  /  x ]_ B  |-> 
[_ j  /  k ]_ C ) )  =/= +oo ) )
145131, 132, 144sylc 61 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  =/= +oo )  ->  (Σ^ `  ( j  e.  [_ y  /  x ]_ B  |-> 
[_ j  /  k ]_ C ) )  =/= +oo )
146129, 130, 145syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  A  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  =/= +oo  /\  y  e.  A
)  ->  (Σ^ `  ( j  e.  [_ y  /  x ]_ B  |-> 
[_ j  /  k ]_ C ) )  =/= +oo )
147146neneqd 2648 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  A  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  =/= +oo  /\  y  e.  A
)  ->  -.  (Σ^ `  (
j  e.  [_ y  /  x ]_ B  |->  [_ j  /  k ]_ C
) )  = +oo )
148147adantll 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  A  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  =/= +oo )  /\  y  e.  A
)  ->  -.  (Σ^ `  (
j  e.  [_ y  /  x ]_ B  |->  [_ j  /  k ]_ C
) )  = +oo )
1491273expa 1231 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  A )  /\  j  e.  [_ y  /  x ]_ B )  ->  [_ j  /  k ]_ C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
150 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  [_ y  /  x ]_ B  |->  [_ j  /  k ]_ C
)  =  ( j  e.  [_ y  /  x ]_ B  |->  [_ j  /  k ]_ C
)
151149, 150fmptd 6061 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
j  e.  [_ y  /  x ]_ B  |->  [_ j  /  k ]_ C
) : [_ y  /  x ]_ B --> ( 0 [,] +oo ) )
152151adantlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  A  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  =/= +oo )  /\  y  e.  A
)  ->  ( j  e.  [_ y  /  x ]_ B  |->  [_ j  /  k ]_ C
) : [_ y  /  x ]_ B --> ( 0 [,] +oo ) )
153104, 152sge0repnf 38342 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  A  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  =/= +oo )  /\  y  e.  A
)  ->  ( (Σ^ `  (
j  e.  [_ y  /  x ]_ B  |->  [_ j  /  k ]_ C
) )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  ( j  e.  [_ y  /  x ]_ B  |-> 
[_ j  /  k ]_ C ) )  = +oo ) )
154148, 153mpbird 240 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  A  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  =/= +oo )  /\  y  e.  A
)  ->  (Σ^ `  ( j  e.  [_ y  /  x ]_ B  |-> 
[_ j  /  k ]_ C ) )  e.  RR )
155138, 111, 116cbvmpt 4487 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C )  =  ( j  e. 
U_ x  e.  A  B  |->  [_ j  /  k ]_ C )
156106, 45, 51cbviun 4306 . . . . . . . . . 10  |-  U_ x  e.  A  B  =  U_ y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B
157156mpteq1i 37523 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  U_ x  e.  A  B  |->  [_ j  /  k ]_ C
)  =  ( j  e.  U_ y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  |->  [_ j  /  k ]_ C
)
158155, 157eqtri 2493 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C )  =  ( j  e. 
U_ y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  |->  [_ j  /  k ]_ C )
159158fveq2i 5882 . . . . . . 7  |-  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  U_ y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  |->  [_ j  /  k ]_ C
) )
160159, 29syl5eqelr 2554 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  U_ y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  |->  [_ j  /  k ]_ C
) )  e.  RR* )
161160adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  A  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  =/= +oo )  ->  (Σ^ `  ( j  e.  U_ y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  |->  [_ j  /  k ]_ C
) )  e.  RR* )
16270, 135, 142cbvmpt 4487 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) )  =  ( y  e.  A  |->  (Σ^ `  ( j  e.  [_ y  /  x ]_ B  |-> 
[_ j  /  k ]_ C ) ) )
163162fveq2i 5882 . . . . . . 7  |-  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( y  e.  A  |->  (Σ^ `  ( j  e.  [_ y  /  x ]_ B  |-> 
[_ j  /  k ]_ C ) ) ) )
16411, 66sge0cl 38337 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
165164, 79fmptd 6061 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
16610, 165sge0xrcl 38341 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )  e.  RR* )
167163, 166syl5eqelr 2554 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( y  e.  A  |->  (Σ^ `  ( j  e.  [_ y  /  x ]_ B  |-> 
[_ j  /  k ]_ C ) ) ) )  e.  RR* )
168167adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  A  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  =/= +oo )  ->  (Σ^ `  ( y  e.  A  |->  (Σ^ `  ( j  e.  [_ y  /  x ]_ B  |-> 
[_ j  /  k ]_ C ) ) ) )  e.  RR* )
169 eliun 4274 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  U_ y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  <->  E. y  e.  A  j  e.  [_ y  /  x ]_ B )
170169biimpi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  U_ y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  ->  E. y  e.  A  j  e.  [_ y  /  x ]_ B )
171170adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  U_ y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B
)  ->  E. y  e.  A  j  e.  [_ y  /  x ]_ B )
172 nfv 1769 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y
ph
173 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y
j
174 nfiu1 4299 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y U_ y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B
175173, 174nfel 2624 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  j  e.  U_ y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B
176172, 175nfan 2031 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( ph  /\  j  e.  U_ y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B )
177 nfv 1769 . . . . . . . . 9  |-  F/ y
[_ j  /  k ]_ C  e.  (
0 [,] +oo )
178149exp31 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  ->  ( j  e.  [_ y  /  x ]_ B  ->  [_ j  /  k ]_ C  e.  (
0 [,] +oo )
) ) )
179178adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  U_ y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B
)  ->  ( y  e.  A  ->  ( j  e.  [_ y  /  x ]_ B  ->  [_ j  /  k ]_ C  e.  ( 0 [,] +oo ) ) ) )
180176, 177, 179rexlimd 2866 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  U_ y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B
)  ->  ( E. y  e.  A  j  e.  [_ y  /  x ]_ B  ->  [_ j  /  k ]_ C  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
181171, 180mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  U_ y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B
)  ->  [_ j  / 
k ]_ C  e.  ( 0 [,] +oo )
)
182 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  U_ y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  |->  [_ j  /  k ]_ C
)  =  ( j  e.  U_ y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  |->  [_ j  /  k ]_ C
)
183181, 182fmptd 6061 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  e.  U_ y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  |->  [_ j  /  k ]_ C
) : U_ y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B --> ( 0 [,] +oo ) )
184183adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  A  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  =/= +oo )  ->  ( j  e.  U_ y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  |->  [_ j  /  k ]_ C
) : U_ y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B --> ( 0 [,] +oo ) )
185156, 14syl5eqelr 2554 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U_ y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  e.  _V )
186185adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  A  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  =/= +oo )  ->  U_ y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  e.  _V )
18797, 104, 109, 128, 154, 161, 168, 184, 186sge0iunmptlemre 38371 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  A  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  =/= +oo )  ->  (Σ^ `  ( j  e.  U_ y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  |->  [_ j  /  k ]_ C
) )  =  (Σ^ `  (
y  e.  A  |->  (Σ^ `  (
j  e.  [_ y  /  x ]_ B  |->  [_ j  /  k ]_ C
) ) ) ) )
188159a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  A  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  =/= +oo )  ->  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  U_ y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  |->  [_ j  /  k ]_ C
) ) )
189163a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  A  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  =/= +oo )  ->  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( y  e.  A  |->  (Σ^ `  ( j  e.  [_ y  /  x ]_ B  |-> 
[_ j  /  k ]_ C ) ) ) ) )
190187, 188, 1893eqtr4d 2515 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  A  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  =/= +oo )  ->  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
19190, 96, 190syl2anc 673 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  E. x  e.  A  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  (Σ^ `  (
k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
19289, 191pm2.61dan 808 1  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  (Σ^ `  ( k  e.  B  |->  C ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   [_csb 3349    C_ wss 3390   U_ciun 4269  Disj wdisj 4366   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ran crn 4840   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   0cc0 9557   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    <_ cle 9694   [,]cicc 11663  Σ^csumge0 38318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319
This theorem is referenced by:  sge0iun  38375  sge0xp  38385
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