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Theorem sge0isum 38383
 Description: If a series of nonnegative reals is convergent, then it agrees with the generalized sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0isum.m
sge0isum.z
sge0isum.f
sge0isum.g
sge0isum.gcnv
Assertion
Ref Expression
sge0isum Σ^

Proof of Theorem sge0isum
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0isum.z . . . . . 6
2 fvex 5889 . . . . . 6
31, 2eqeltri 2545 . . . . 5
43a1i 11 . . . 4
5 sge0isum.f . . . . 5
6 icossicc 11746 . . . . . 6
76a1i 11 . . . . 5
85, 7fssd 5750 . . . 4
94, 8sge0xrcl 38341 . . 3 Σ^
10 sge0isum.m . . . . 5
11 sge0isum.g . . . . . 6
12 eqidd 2472 . . . . . 6
13 rge0ssre 11766 . . . . . . 7
145ffvelrnda 6037 . . . . . . 7
1513, 14sseldi 3416 . . . . . 6
16 0xr 9705 . . . . . . . 8
1716a1i 11 . . . . . . 7
18 pnfxr 11435 . . . . . . . 8
1918a1i 11 . . . . . . 7
20 icogelb 11711 . . . . . . 7
2117, 19, 14, 20syl3anc 1292 . . . . . 6
22 seqex 12253 . . . . . . . . . . 11
2311, 22eqeltri 2545 . . . . . . . . . 10
2423a1i 11 . . . . . . . . 9
25 sge0isum.gcnv . . . . . . . . . 10
26 climcl 13640 . . . . . . . . . 10
2725, 26syl 17 . . . . . . . . 9
28 breldmg 5046 . . . . . . . . 9
2924, 27, 25, 28syl3anc 1292 . . . . . . . 8
3011a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
3130fveq1d 5881 . . . . . . . . . . 11
321eleq2i 2541 . . . . . . . . . . . . . 14
3332biimpi 199 . . . . . . . . . . . . 13
3433adantl 473 . . . . . . . . . . . 12
35 simpll 768 . . . . . . . . . . . . 13
36 elfzuz 11822 . . . . . . . . . . . . . . 15
3736, 1syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . . . . 14
3837adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13
3935, 38, 15syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
40 readdcl 9640 . . . . . . . . . . . . 13
4140adantl 473 . . . . . . . . . . . 12
4234, 39, 41seqcl 12271 . . . . . . . . . . 11
4331, 42eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10
4443recnd 9687 . . . . . . . . 9
4544ralrimiva 2809 . . . . . . . 8
461climbdd 13812 . . . . . . . 8
4710, 29, 45, 46syl3anc 1292 . . . . . . 7
4843ad4ant13 1258 . . . . . . . . . . 11
4944ad4ant13 1258 . . . . . . . . . . . 12
5049abscld 13575 . . . . . . . . . . 11
51 simpllr 777 . . . . . . . . . . 11
5248leabsd 13553 . . . . . . . . . . 11
53 simpr 468 . . . . . . . . . . 11
5448, 50, 51, 52, 53letrd 9809 . . . . . . . . . 10
5554ex 441 . . . . . . . . 9
5655ralimdva 2805 . . . . . . . 8
5756reximdva 2858 . . . . . . 7
5847, 57mpd 15 . . . . . 6
591, 11, 10, 12, 15, 21, 58isumsup2 13981 . . . . 5
601, 10, 59, 43climrecl 13724 . . . 4
6160rexrd 9708 . . 3
625feqmptd 5932 . . . . 5
6362fveq2d 5883 . . . 4 Σ^ Σ^
64 mpteq1 4476 . . . . . . . . . . 11
6564fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10 Σ^ Σ^
66 mpt0 5715 . . . . . . . . . . . . 13
6766fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . 12 Σ^ Σ^
68 sge00 38332 . . . . . . . . . . . 12 Σ^
6967, 68eqtri 2493 . . . . . . . . . . 11 Σ^
7069a1i 11 . . . . . . . . . 10 Σ^
7165, 70eqtrd 2505 . . . . . . . . 9 Σ^
7271adantl 473 . . . . . . . 8 Σ^
73 0red 9662 . . . . . . . . . 10
7440adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14
751, 10, 15, 74seqf 12272 . . . . . . . . . . . . 13
7611a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
7776feq1d 5724 . . . . . . . . . . . . 13
7875, 77mpbird 240 . . . . . . . . . . . 12
79 frn 5747 . . . . . . . . . . . 12
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . 11
81 ffun 5742 . . . . . . . . . . . . 13
8278, 81syl 17 . . . . . . . . . . . 12
83 uzid 11197 . . . . . . . . . . . . . . 15
8410, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
851eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . 14
8684, 85syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . 13
87 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . 15
8878, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
8988eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . 13
9086, 89eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . 12
91 fvelrn 6030 . . . . . . . . . . . 12
9282, 90, 91syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
9380, 92sseldd 3419 . . . . . . . . . 10
9416a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
9518a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
965, 86ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . 12
97 icogelb 11711 . . . . . . . . . . . 12
9894, 95, 96, 97syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11
9911fveq1i 5880 . . . . . . . . . . . . 13
10099a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
101 seq1 12264 . . . . . . . . . . . . 13
10210, 101syl 17 . . . . . . . . . . . 12
103100, 102eqtr2d 2506 . . . . . . . . . . 11
10498, 103breqtrd 4420 . . . . . . . . . 10
105 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . 12
10692, 105syl 17 . . . . . . . . . . 11
107 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
108 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10978, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
110 fvelrnb 5926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
112111adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
113107, 112mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
114113adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16
115 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
116 nfra1 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117115, 116nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
118 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
119117, 118nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
120 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
121 rspa 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1221213adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
123 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
124 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
125124eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
126125adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
127 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
128126, 127eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
129122, 123, 128syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1301293exp 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
131130ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
132119, 120, 131rexlimd 2866 . . . . . . . . . . . . . . . 16
133114, 132mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
134133ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . 14
135134ex 441 . . . . . . . . . . . . 13
136135reximdv 2857 . . . . . . . . . . . 12
13758, 136mpd 15 . . . . . . . . . . 11
138 suprub 10592 . . . . . . . . . . 11
13980, 106, 137, 92, 138syl31anc 1295 . . . . . . . . . 10
14073, 93, 60, 104, 139letrd 9809 . . . . . . . . 9
141140ad2antrr 740 . . . . . . . 8
14272, 141eqbrtrd 4416 . . . . . . 7 Σ^
143 simpr 468 . . . . . . . . . 10
144 simpll 768 . . . . . . . . . . . 12
145 elpwinss 37446 . . . . . . . . . . . . . 14
146145sselda 3418 . . . . . . . . . . . . 13
147146adantll 728 . . . . . . . . . . . 12
1486, 14sseldi 3416 . . . . . . . . . . . 12
149144, 147, 148syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
150 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
151149, 150fmptd 6061 . . . . . . . . . 10
152143, 151sge0xrcl 38341 . . . . . . . . 9 Σ^
153152adantr 472 . . . . . . . 8 Σ^
154 fzfid 12224 . . . . . . . . . 10
155 elfzuz 11822 . . . . . . . . . . . . . 14
156155, 85syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . 13
157156, 148sylan2 482 . . . . . . . . . . . 12
158 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12
159157, 158fmptd 6061 . . . . . . . . . . 11
160159adantr 472 . . . . . . . . . 10
161154, 160sge0xrcl 38341 . . . . . . . . 9 Σ^
162161adantr 472 . . . . . . . 8 Σ^
16361adantr 472 . . . . . . . . 9
164163adantr 472 . . . . . . . 8
165 simpll 768 . . . . . . . . . . 11
166156adantl 473 . . . . . . . . . . 11
167165, 166, 148syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
168 elinel2 3611 . . . . . . . . . . . 12
1691, 145, 168ssuzfz 37659 . . . . . . . . . . 11
170169adantl 473 . . . . . . . . . 10
171154, 167, 170sge0lessmpt 38355 . . . . . . . . 9 Σ^ Σ^
172171adantr 472 . . . . . . . 8 Σ^ Σ^
17380adantr 472 . . . . . . . . . 10
174173adantr 472 . . . . . . . . 9
175106adantr 472 . . . . . . . . . 10
176175adantr 472 . . . . . . . . 9
177137adantr 472 . . . . . . . . . 10
178177adantr 472 . . . . . . . . 9
179165, 166, 14syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13
180154, 179sge0fsummpt 38346 . . . . . . . . . . . 12 Σ^
181180adantr 472 . . . . . . . . . . 11 Σ^
182 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . 12
183145, 1syl6sseq 3464 . . . . . . . . . . . . . . 15
184183adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
185 uzssz 11202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1861, 185eqsstri 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
187145, 186syl6ss 3430 . . . . . . . . . . . . . . . 16
188187adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
189 neqne 2651 . . . . . . . . . . . . . . . 16
190189adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15
191168adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
192 suprfinzcl 11073 . . . . . . . . . . . . . . 15
193188, 190, 191, 192syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14
194184, 193sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . 13
195194adantll 728 . . . . . . . . . . . 12
19615recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14
197165, 166, 196syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13
198197adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12
199182, 195, 198fsumser 13873 . . . . . . . . . . 11
20011eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . 13
201200fveq1i 5880 . . . . . . . . . . . 12
202201a1i 11 . . . . . . . . . . 11
203181, 199, 2023eqtrd 2509 . . . . . . . . . 10 Σ^
20482adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
205204adantr 472 . . . . . . . . . . 11
206195, 85syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . 12
20789ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12
208206, 207eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . 11
209 fvelrn 6030 . . . . . . . . . . 11
210205, 208, 209syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
211203, 210eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9 Σ^
212 suprub 10592 . . . . . . . . 9 Σ^ Σ^
213174, 176, 178, 211, 212syl31anc 1295 . . . . . . . 8 Σ^
214153, 162, 164, 172, 213xrletrd 11482 . . . . . . 7 Σ^
215142, 214pm2.61dan 808 . . . . . 6 Σ^
216215ralrimiva 2809 . . . . 5 Σ^
217 nfv 1769 . . . . . 6
218217, 4, 148, 61sge0lefimpt 38379 . . . . 5 Σ^ Σ^
219216, 218mpbird 240 . . . 4 Σ^
22063, 219eqbrtrd 4416 . . 3 Σ^
22137ssriv 3422 . . . . . . . . . . . . 13
222221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
2234, 148, 222sge0lessmpt 38355 . . . . . . . . . . 11 Σ^ Σ^
2242233ad2ant1 1051 . . . . . . . . . 10 Σ^ Σ^
225 fzfid 12224 . . . . . . . . . . . . . . 15
22637, 14sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . 15
227225, 226sge0fsummpt 38346 . . . . . . . . . . . . . 14 Σ^
2282273ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . 13 Σ^
22935, 38, 12syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15
23035, 38, 196syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15
231229, 34, 230fsumser 13873 . . . . . . . . . . . . . 14
2322313adant3 1050 . . . . . . . . . . . . 13
233228, 232eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12 Σ^
234200fveq1i 5880 . . . . . . . . . . . . 13
235234a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
236 simp3 1032 . . . . . . . . . . . 12
237233, 235, 2363eqtrrd 2510 . . . . . . . . . . 11 Σ^
238633ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . 11 Σ^ Σ^
239237, 238breq12d 4408 . . . . . . . . . 10 Σ^ Σ^ Σ^
240224, 239mpbird 240 . . . . . . . . 9 Σ^
2412403exp 1230 . . . . . . . 8 Σ^
242241adantr 472 . . . . . . 7 Σ^
243242rexlimdv 2870 . . . . . 6 Σ^
244113, 243mpd 15 . . . . 5 Σ^
245244ralrimiva 2809 . . . 4 Σ^
2464, 8sge0cl 38337 . . . . . 6 Σ^
24760ltpnfd 11446 . . . . . . . . 9
2489, 61, 95, 220, 247xrlelttrd 11480 . . . . . . . 8 Σ^
2499, 95, 248xrgtned 37632 . . . . . . 7 Σ^
250249necomd 2698 . . . . . 6 Σ^
251 ge0xrre 37729 . . . . . 6 Σ^ Σ^ Σ^
252246, 250, 251syl2anc 673 . . . . 5 Σ^
253 suprleub 10595 . . . . 5 Σ^ Σ^ Σ^
25480, 106, 137, 252, 253syl31anc 1295 . . . 4 Σ^ Σ^
255245, 254mpbird 240 . . 3 Σ^
2569, 61, 220, 255xrletrid 11475 . 2 Σ^
257 climuni 13693 . . 3
25825, 59, 257syl2anc 673 . 2
259256, 258eqtr4d 2508 1 Σ^
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   cin 3389   wss 3390  c0 3722  cpw 3942   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839   crn 4840   wfun 5583   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  csup 7972  cc 9555  cr 9556  cc0 9557   caddc 9560   cpnf 9690  cxr 9692   clt 9693   cle 9694  cz 10961  cuz 11182  cico 11662  cicc 11663  cfz 11810   cseq 12251  cabs 13374   cli 13625  csu 13829  Σ^csumge0 38318 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-sumge0 38319 This theorem is referenced by:  sge0isummpt  38386
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