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Theorem sge0isum 38383
Description: If a series of nonnegative reals is convergent, then it agrees with the generalized sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0isum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
sge0isum.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
sge0isum.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( 0 [,) +oo ) )
sge0isum.g  |-  G  =  seq M (  +  ,  F )
sge0isum.gcnv  |-  ( ph  ->  G  ~~>  B )
Assertion
Ref Expression
sge0isum  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  =  B )

Proof of Theorem sge0isum
Dummy variables  i 
j  k  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0isum.z . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 fvex 5889 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
31, 2eqeltri 2545 . . . . 5  |-  Z  e. 
_V
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  _V )
5 sge0isum.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( 0 [,) +oo ) )
6 icossicc 11746 . . . . . 6  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo ) )
85, 7fssd 5750 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( 0 [,] +oo ) )
94, 8sge0xrcl 38341 . . 3  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR* )
10 sge0isum.m . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
11 sge0isum.g . . . . . 6  |-  G  =  seq M (  +  ,  F )
12 eqidd 2472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
13 rge0ssre 11766 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
145ffvelrnda 6037 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1513, 14sseldi 3416 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
16 0xr 9705 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
1716a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  e.  RR* )
18 pnfxr 11435 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  RR*
1918a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  -> +oo  e.  RR* )
20 icogelb 11711 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  ( F `
 k )  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  0  <_  ( F `  k
) )
2117, 19, 14, 20syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  ( F `  k
) )
22 seqex 12253 . . . . . . . . . . 11  |-  seq M
(  +  ,  F
)  e.  _V
2311, 22eqeltri 2545 . . . . . . . . . 10  |-  G  e. 
_V
2423a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  _V )
25 sge0isum.gcnv . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  ~~>  B )
26 climcl 13640 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  ~~>  B  ->  B  e.  CC )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
28 breldmg 5046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  _V  /\  B  e.  CC  /\  G  ~~>  B )  ->  G  e.  dom  ~~>  )
2924, 27, 25, 28syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  dom  ~~>  )
3011a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  G  =  seq M (  +  ,  F ) )
3130fveq1d 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( G `  j )  =  (  seq M (  +  ,  F ) `
 j ) )
321eleq2i 2541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  Z  <->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3332biimpi 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3433adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
35 simpll 768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  ph )
36 elfzuz 11822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( M ... j )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3736, 1syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( M ... j )  ->  k  e.  Z )
3837adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  k  e.  Z )
3935, 38, 15syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
40 readdcl 9640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  RR  /\  i  e.  RR )  ->  ( k  +  i )  e.  RR )
4140adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  e.  RR  /\  i  e.  RR )
)  ->  ( k  +  i )  e.  RR )
4234, 39, 41seqcl 12271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
)  e.  RR )
4331, 42eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( G `  j )  e.  RR )
4443recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( G `  j )  e.  CC )
4544ralrimiva 2809 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. j  e.  Z  ( G `  j )  e.  CC )
461climbdd 13812 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  G  e.  dom  ~~>  /\  A. j  e.  Z  ( G `  j )  e.  CC )  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  Z  ( abs `  ( G `  j )
)  <_  x )
4710, 29, 45, 46syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  Z  ( abs `  ( G `
 j ) )  <_  x )
4843ad4ant13 1258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  Z
)  /\  ( abs `  ( G `  j
) )  <_  x
)  ->  ( G `  j )  e.  RR )
4944ad4ant13 1258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  Z
)  /\  ( abs `  ( G `  j
) )  <_  x
)  ->  ( G `  j )  e.  CC )
5049abscld 13575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  Z
)  /\  ( abs `  ( G `  j
) )  <_  x
)  ->  ( abs `  ( G `  j
) )  e.  RR )
51 simpllr 777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  Z
)  /\  ( abs `  ( G `  j
) )  <_  x
)  ->  x  e.  RR )
5248leabsd 13553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  Z
)  /\  ( abs `  ( G `  j
) )  <_  x
)  ->  ( G `  j )  <_  ( abs `  ( G `  j ) ) )
53 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  Z
)  /\  ( abs `  ( G `  j
) )  <_  x
)  ->  ( abs `  ( G `  j
) )  <_  x
)
5448, 50, 51, 52, 53letrd 9809 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  Z
)  /\  ( abs `  ( G `  j
) )  <_  x
)  ->  ( G `  j )  <_  x
)
5554ex 441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  Z )  ->  (
( abs `  ( G `  j )
)  <_  x  ->  ( G `  j )  <_  x ) )
5655ralimdva 2805 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. j  e.  Z  ( abs `  ( G `  j ) )  <_  x  ->  A. j  e.  Z  ( G `  j )  <_  x ) )
5756reximdva 2858 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  RR  A. j  e.  Z  ( abs `  ( G `  j )
)  <_  x  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  Z  ( G `  j )  <_  x ) )
5847, 57mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  Z  ( G `  j )  <_  x )
591, 11, 10, 12, 15, 21, 58isumsup2 13981 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  ~~>  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
)
601, 10, 59, 43climrecl 13724 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  e.  RR )
6160rexrd 9708 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  e.  RR* )
625feqmptd 5932 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =  ( k  e.  Z  |->  ( F `
 k ) ) )
6362fveq2d 5883 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  =  (Σ^ `  (
k  e.  Z  |->  ( F `  k ) ) ) )
64 mpteq1 4476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  ( k  e.  y  |->  ( F `
 k ) )  =  ( k  e.  (/)  |->  ( F `  k ) ) )
6564fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  (Σ^ `  ( k  e.  y 
|->  ( F `  k
) ) )  =  (Σ^ `  ( k  e.  (/)  |->  ( F `  k ) ) ) )
66 mpt0 5715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  (/)  |->  ( F `  k ) )  =  (/)
6766fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Σ^ `  ( k  e.  (/)  |->  ( F `  k ) ) )  =  (Σ^ `  (/) )
68 sge00 38332 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Σ^ `  (/) )  =  0
6967, 68eqtri 2493 . . . . . . . . . . 11  |-  (Σ^ `  ( k  e.  (/)  |->  ( F `  k ) ) )  =  0
7069a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  (Σ^ `  ( k  e.  (/)  |->  ( F `  k ) ) )  =  0 )
7165, 70eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  (/)  ->  (Σ^ `  ( k  e.  y 
|->  ( F `  k
) ) )  =  0 )
7271adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  y  =  (/) )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  y  |->  ( F `  k ) ) )  =  0 )
73 0red 9662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
7440adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  RR  /\  i  e.  RR ) )  -> 
( k  +  i )  e.  RR )
751, 10, 15, 74seqf 12272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
7611a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G  =  seq M
(  +  ,  F
) )
7776feq1d 5724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G : Z --> RR 
<->  seq M (  +  ,  F ) : Z --> RR ) )
7875, 77mpbird 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G : Z --> RR )
79 frn 5747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : Z --> RR  ->  ran 
G  C_  RR )
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  G  C_  RR )
81 ffun 5742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : Z --> RR  ->  Fun 
G )
8278, 81syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Fun  G )
83 uzid 11197 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
8410, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
851eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= `  M )  =  Z
8684, 85syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
87 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : Z --> RR  ->  dom 
G  =  Z )
8878, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  G  =  Z )
8988eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Z  =  dom  G
)
9086, 89eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  dom  G
)
91 fvelrn 6030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  G  /\  M  e.  dom  G )  -> 
( G `  M
)  e.  ran  G
)
9282, 90, 91syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G `  M
)  e.  ran  G
)
9380, 92sseldd 3419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G `  M
)  e.  RR )
9416a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  e.  RR* )
9518a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
965, 86ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
97 icogelb 11711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  ( F `
 M )  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  0  <_  ( F `  M
) )
9894, 95, 96, 97syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  ( F `  M ) )
9911fveq1i 5880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G `
 M )  =  (  seq M (  +  ,  F ) `
 M )
10099a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G `  M
)  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  M
) )
101 seq1 12264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
10210, 101syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `
 M )  =  ( F `  M
) )
103100, 102eqtr2d 2506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  =  ( G `
 M ) )
10498, 103breqtrd 4420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( G `  M ) )
105 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  M )  e.  ran  G  ->  ran  G  =/=  (/) )
10692, 105syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  G  =/=  (/) )
107 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ran  G )  ->  z  e.  ran  G )
108 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( G : Z --> RR  ->  G  Fn  Z )
10978, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  G  Fn  Z )
110 fvelrnb 5926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( G  Fn  Z  ->  (
z  e.  ran  G  <->  E. j  e.  Z  ( G `  j )  =  z ) )
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ran  G  <->  E. j  e.  Z  ( G `  j )  =  z ) )
112111adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ran  G )  ->  (
z  e.  ran  G  <->  E. j  e.  Z  ( G `  j )  =  z ) )
113107, 112mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ran  G )  ->  E. j  e.  Z  ( G `  j )  =  z )
114113adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  A. j  e.  Z  ( G `  j )  <_  x )  /\  z  e.  ran  G )  ->  E. j  e.  Z  ( G `  j )  =  z )
115 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ j
ph
116 nfra1 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ j A. j  e.  Z  ( G `  j )  <_  x
117115, 116nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ j ( ph  /\  A. j  e.  Z  ( G `  j )  <_  x )
118 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ j  z  e.  ran  G
119117, 118nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ j ( ( ph  /\  A. j  e.  Z  ( G `  j )  <_  x )  /\  z  e.  ran  G )
120 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ j  z  <_  x
121 rspa 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A. j  e.  Z  ( G `  j )  <_  x  /\  j  e.  Z )  ->  ( G `  j )  <_  x )
1221213adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. j  e.  Z  ( G `  j )  <_  x  /\  j  e.  Z  /\  ( G `  j )  =  z )  -> 
( G `  j
)  <_  x )
123 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. j  e.  Z  ( G `  j )  <_  x  /\  j  e.  Z  /\  ( G `  j )  =  z )  -> 
( G `  j
)  =  z )
124 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( G `  j )  =  z  ->  ( G `  j )  =  z )
125124eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( G `  j )  =  z  ->  z  =  ( G `  j ) )
126125adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( G `  j
)  <_  x  /\  ( G `  j )  =  z )  -> 
z  =  ( G `
 j ) )
127 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( G `  j
)  <_  x  /\  ( G `  j )  =  z )  -> 
( G `  j
)  <_  x )
128126, 127eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( G `  j
)  <_  x  /\  ( G `  j )  =  z )  -> 
z  <_  x )
129122, 123, 128syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. j  e.  Z  ( G `  j )  <_  x  /\  j  e.  Z  /\  ( G `  j )  =  z )  -> 
z  <_  x )
1301293exp 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. j  e.  Z  ( G `  j )  <_  x  ->  ( j  e.  Z  ->  ( ( G `  j )  =  z  ->  z  <_  x ) ) )
131130ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  A. j  e.  Z  ( G `  j )  <_  x )  /\  z  e.  ran  G )  -> 
( j  e.  Z  ->  ( ( G `  j )  =  z  ->  z  <_  x
) ) )
132119, 120, 131rexlimd 2866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  A. j  e.  Z  ( G `  j )  <_  x )  /\  z  e.  ran  G )  -> 
( E. j  e.  Z  ( G `  j )  =  z  ->  z  <_  x
) )
133114, 132mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A. j  e.  Z  ( G `  j )  <_  x )  /\  z  e.  ran  G )  -> 
z  <_  x )
134133ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  A. j  e.  Z  ( G `  j )  <_  x
)  ->  A. z  e.  ran  G  z  <_  x )
135134ex 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A. j  e.  Z  ( G `  j )  <_  x  ->  A. z  e.  ran  G  z  <_  x )
)
136135reximdv 2857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  RR  A. j  e.  Z  ( G `  j )  <_  x  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  G  z  <_  x ) )
13758, 136mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  G  z  <_  x )
138 suprub 10592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ran  G  C_  RR  /\  ran  G  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e. 
ran  G  z  <_  x )  /\  ( G `
 M )  e. 
ran  G )  -> 
( G `  M
)  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
13980, 106, 137, 92, 138syl31anc 1295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G `  M
)  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
14073, 93, 60, 104, 139letrd 9809 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
141140ad2antrr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  y  =  (/) )  ->  0  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
)
14272, 141eqbrtrd 4416 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  y  =  (/) )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  y  |->  ( F `  k ) ) )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
143 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )
144 simpll 768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  ph )
145 elpwinss 37446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  ->  y  C_  Z )
146145sselda 3418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  /\  k  e.  y
)  ->  k  e.  Z )
147146adantll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  k  e.  Z )
1486, 14sseldi 3416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
149144, 147, 148syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
150 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  y  |->  ( F `
 k ) )  =  ( k  e.  y  |->  ( F `  k ) )
151149, 150fmptd 6061 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (
k  e.  y  |->  ( F `  k ) ) : y --> ( 0 [,] +oo )
)
152143, 151sge0xrcl 38341 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  y  |->  ( F `  k ) ) )  e.  RR* )
153152adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
(Σ^ `  ( k  e.  y 
|->  ( F `  k
) ) )  e. 
RR* )
154 fzfid 12224 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  ( M ... sup ( y ,  RR ,  <  ) )  e.  Fin )
155 elfzuz 11822 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( M ... sup ( y ,  RR ,  <  ) )  -> 
k  e.  ( ZZ>= `  M ) )
156155, 85syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( M ... sup ( y ,  RR ,  <  ) )  -> 
k  e.  Z )
157156, 148sylan2 482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... sup (
y ,  RR ,  <  ) ) )  -> 
( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
158 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( M ... sup ( y ,  RR ,  <  ) )  |->  ( F `  k ) )  =  ( k  e.  ( M ... sup ( y ,  RR ,  <  ) )  |->  ( F `  k ) )
159157, 158fmptd 6061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( M ... sup (
y ,  RR ,  <  ) )  |->  ( F `
 k ) ) : ( M ... sup ( y ,  RR ,  <  ) ) --> ( 0 [,] +oo )
)
160159adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (
k  e.  ( M ... sup ( y ,  RR ,  <  ) )  |->  ( F `  k ) ) : ( M ... sup ( y ,  RR ,  <  ) ) --> ( 0 [,] +oo )
)
161154, 160sge0xrcl 38341 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  ( M ... sup ( y ,  RR ,  <  ) )  |->  ( F `  k ) ) )  e.  RR* )
162161adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
(Σ^ `  ( k  e.  ( M ... sup (
y ,  RR ,  <  ) )  |->  ( F `
 k ) ) )  e.  RR* )
16361adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  e.  RR* )
164163adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  -.  y  =  (/) )  ->  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  e. 
RR* )
165 simpll 768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( M ... sup ( y ,  RR ,  <  ) ) )  ->  ph )
166156adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( M ... sup ( y ,  RR ,  <  ) ) )  ->  k  e.  Z
)
167165, 166, 148syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( M ... sup ( y ,  RR ,  <  ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
168 elinel2 3611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
1691, 145, 168ssuzfz 37659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  ->  y  C_  ( M ... sup ( y ,  RR ,  <  ) ) )
170169adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  ( M ... sup ( y ,  RR ,  <  ) ) )
171154, 167, 170sge0lessmpt 38355 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  y  |->  ( F `  k ) ) )  <_  (Σ^ `  (
k  e.  ( M ... sup ( y ,  RR ,  <  ) )  |->  ( F `  k ) ) ) )
172171adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
(Σ^ `  ( k  e.  y 
|->  ( F `  k
) ) )  <_ 
(Σ^ `  ( k  e.  ( M ... sup (
y ,  RR ,  <  ) )  |->  ( F `
 k ) ) ) )
17380adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  ran  G 
C_  RR )
174173adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  -.  y  =  (/) )  ->  ran  G  C_  RR )
175106adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  ran  G  =/=  (/) )
176175adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  -.  y  =  (/) )  ->  ran  G  =/=  (/) )
177137adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e. 
ran  G  z  <_  x )
178177adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  -.  y  =  (/) )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  G  z  <_  x )
179165, 166, 14syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( M ... sup ( y ,  RR ,  <  ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
180154, 179sge0fsummpt 38346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  ( M ... sup ( y ,  RR ,  <  ) )  |->  ( F `  k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( M ... sup (
y ,  RR ,  <  ) ) ( F `
 k ) )
181180adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
(Σ^ `  ( k  e.  ( M ... sup (
y ,  RR ,  <  ) )  |->  ( F `
 k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( M ... sup ( y ,  RR ,  <  ) ) ( F `  k ) )
182 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  -.  y  =  (/) )  /\  k  e.  ( M ... sup ( y ,  RR ,  <  ) ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
183145, 1syl6sseq 3464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  ->  y  C_  ( ZZ>= `  M )
)
184183adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  /\  -.  y  =  (/) )  ->  y  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
185 uzssz 11202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
1861, 185eqsstri 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Z  C_  ZZ
187145, 186syl6ss 3430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  ->  y  C_  ZZ )
188187adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  /\  -.  y  =  (/) )  ->  y  C_  ZZ )
189 neqne 2651 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  y  =  (/)  ->  y  =/=  (/) )
190189adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  /\  -.  y  =  (/) )  ->  y  =/=  (/) )
191168adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  /\  -.  y  =  (/) )  ->  y  e.  Fin )
192 suprfinzcl 11073 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  C_  ZZ  /\  y  =/=  (/)  /\  y  e. 
Fin )  ->  sup ( y ,  RR ,  <  )  e.  y )
193188, 190, 191, 192syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  /\  -.  y  =  (/) )  ->  sup ( y ,  RR ,  <  )  e.  y )
194184, 193sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin )  /\  -.  y  =  (/) )  ->  sup ( y ,  RR ,  <  )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
195194adantll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  -.  y  =  (/) )  ->  sup ( y ,  RR ,  <  )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
19615recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
197165, 166, 196syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( M ... sup ( y ,  RR ,  <  ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
198197adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  -.  y  =  (/) )  /\  k  e.  ( M ... sup ( y ,  RR ,  <  ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
199182, 195, 198fsumser 13873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  -.  y  =  (/) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... sup ( y ,  RR ,  <  ) ) ( F `  k )  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  sup ( y ,  RR ,  <  ) ) )
20011eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  seq M
(  +  ,  F
)  =  G
201200fveq1i 5880 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  seq M (  +  ,  F ) `  sup ( y ,  RR ,  <  ) )  =  ( G `  sup ( y ,  RR ,  <  ) )
202201a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
(  seq M (  +  ,  F ) `  sup ( y ,  RR ,  <  ) )  =  ( G `  sup ( y ,  RR ,  <  ) ) )
203181, 199, 2023eqtrd 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
(Σ^ `  ( k  e.  ( M ... sup (
y ,  RR ,  <  ) )  |->  ( F `
 k ) ) )  =  ( G `
 sup ( y ,  RR ,  <  ) ) )
20482adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  Fun  G )
205204adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  -.  y  =  (/) )  ->  Fun  G )
206195, 85syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  -.  y  =  (/) )  ->  sup ( y ,  RR ,  <  )  e.  Z
)
20789ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  -.  y  =  (/) )  ->  Z  =  dom  G )
208206, 207eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  -.  y  =  (/) )  ->  sup ( y ,  RR ,  <  )  e.  dom  G )
209 fvelrn 6030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  G  /\  sup ( y ,  RR ,  <  )  e.  dom  G )  ->  ( G `  sup ( y ,  RR ,  <  )
)  e.  ran  G
)
210205, 208, 209syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
( G `  sup ( y ,  RR ,  <  ) )  e. 
ran  G )
211203, 210eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
(Σ^ `  ( k  e.  ( M ... sup (
y ,  RR ,  <  ) )  |->  ( F `
 k ) ) )  e.  ran  G
)
212 suprub 10592 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ran  G  C_  RR  /\  ran  G  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e. 
ran  G  z  <_  x )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  ( M ... sup (
y ,  RR ,  <  ) )  |->  ( F `
 k ) ) )  e.  ran  G
)  ->  (Σ^ `  ( k  e.  ( M ... sup (
y ,  RR ,  <  ) )  |->  ( F `
 k ) ) )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
213174, 176, 178, 211, 212syl31anc 1295 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
(Σ^ `  ( k  e.  ( M ... sup (
y ,  RR ,  <  ) )  |->  ( F `
 k ) ) )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
214153, 162, 164, 172, 213xrletrd 11482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
(Σ^ `  ( k  e.  y 
|->  ( F `  k
) ) )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
215142, 214pm2.61dan 808 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  y  |->  ( F `  k ) ) )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
216215ralrimiva 2809 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) (Σ^ `  ( k  e.  y 
|->  ( F `  k
) ) )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
217 nfv 1769 . . . . . 6  |-  F/ k
ph
218217, 4, 148, 61sge0lefimpt 38379 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k
) ) )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  <->  A. y  e.  ( ~P Z  i^i  Fin ) (Σ^ `  ( k  e.  y 
|->  ( F `  k
) ) )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) ) )
219216, 218mpbird 240 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k
) ) )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
22063, 219eqbrtrd 4416 . . 3  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
22137ssriv 3422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M ... j )  C_  Z
222221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M ... j
)  C_  Z )
2234, 148, 222sge0lessmpt 38355 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  ( M ... j ) 
|->  ( F `  k
) ) )  <_ 
(Σ^ `  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k
) ) ) )
2242233ad2ant1 1051 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z  /\  ( G `  j )  =  z )  ->  (Σ^ `  ( k  e.  ( M ... j ) 
|->  ( F `  k
) ) )  <_ 
(Σ^ `  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k
) ) ) )
225 fzfid 12224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M ... j
)  e.  Fin )
22637, 14sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... j ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
227225, 226sge0fsummpt 38346 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  ( M ... j ) 
|->  ( F `  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( M ... j ) ( F `  k
) )
2282273ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z  /\  ( G `  j )  =  z )  ->  (Σ^ `  ( k  e.  ( M ... j ) 
|->  ( F `  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( M ... j ) ( F `  k
) )
22935, 38, 12syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
23035, 38, 196syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
231229, 34, 230fsumser 13873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  sum_ k  e.  ( M ... j
) ( F `  k )  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  j ) )
2322313adant3 1050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z  /\  ( G `  j )  =  z )  ->  sum_ k  e.  ( M ... j
) ( F `  k )  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  j ) )
233228, 232eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z  /\  ( G `  j )  =  z )  ->  (Σ^ `  ( k  e.  ( M ... j ) 
|->  ( F `  k
) ) )  =  (  seq M (  +  ,  F ) `
 j ) )
234200fveq1i 5880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
)  =  ( G `
 j )
235234a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z  /\  ( G `  j )  =  z )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
)  =  ( G `
 j ) )
236 simp3 1032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z  /\  ( G `  j )  =  z )  ->  ( G `  j )  =  z )
237233, 235, 2363eqtrrd 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z  /\  ( G `  j )  =  z )  ->  z  =  (Σ^ `  ( k  e.  ( M ... j ) 
|->  ( F `  k
) ) ) )
238633ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z  /\  ( G `  j )  =  z )  ->  (Σ^ `  F )  =  (Σ^ `  (
k  e.  Z  |->  ( F `  k ) ) ) )
239237, 238breq12d 4408 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z  /\  ( G `  j )  =  z )  ->  ( z  <_  (Σ^ `  F )  <->  (Σ^ `  ( k  e.  ( M ... j ) 
|->  ( F `  k
) ) )  <_ 
(Σ^ `  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k
) ) ) ) )
240224, 239mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z  /\  ( G `  j )  =  z )  ->  z  <_  (Σ^ `  F
) )
2412403exp 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( j  e.  Z  ->  ( ( G `  j )  =  z  ->  z  <_  (Σ^ `  F
) ) ) )
242241adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ran  G )  ->  (
j  e.  Z  -> 
( ( G `  j )  =  z  ->  z  <_  (Σ^ `  F
) ) ) )
243242rexlimdv 2870 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ran  G )  ->  ( E. j  e.  Z  ( G `  j )  =  z  ->  z  <_  (Σ^ `  F ) ) )
244113, 243mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ran  G )  ->  z  <_  (Σ^ `  F ) )
245244ralrimiva 2809 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ran  G  z  <_  (Σ^ `  F ) )
2464, 8sge0cl 38337 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
24760ltpnfd 11446 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  < +oo )
2489, 61, 95, 220, 247xrlelttrd 11480 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  < +oo )
2499, 95, 248xrgtned 37632 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> +oo  =/=  (Σ^ `  F ) )
250249necomd 2698 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  =/= +oo )
251 ge0xrre 37729 . . . . . 6  |-  ( ( (Σ^ `  F )  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  (Σ^ `  F )  =/= +oo )  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR )
252246, 250, 251syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR )
253 suprleub 10595 . . . . 5  |-  ( ( ( ran  G  C_  RR  /\  ran  G  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e. 
ran  G  z  <_  x )  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  ( sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  <_  (Σ^ `  F )  <->  A. z  e.  ran  G  z  <_ 
(Σ^ `  F ) ) )
25480, 106, 137, 252, 253syl31anc 1295 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
G ,  RR ,  <  )  <_  (Σ^ `  F )  <->  A. z  e.  ran  G  z  <_ 
(Σ^ `  F ) ) )
255245, 254mpbird 240 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  <_  (Σ^ `  F ) )
2569, 61, 220, 255xrletrid 11475 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  =  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
257 climuni 13693 . . 3  |-  ( ( G  ~~>  B  /\  G  ~~>  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )  ->  B  =  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
25825, 59, 257syl2anc 673 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
259256, 258eqtr4d 2508 1  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840   Fun wfun 5583    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   supcsup 7972   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557    + caddc 9560   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   ...cfz 11810    seqcseq 12251   abscabs 13374    ~~> cli 13625   sum_csu 13829  Σ^csumge0 38318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-sumge0 38319
This theorem is referenced by:  sge0isummpt  38386
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