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Theorem sge0gtfsumgt 38399
Description: If the generalized sum of nonnegative reals is larger than a given number, then that number can be dominated by a finite subsum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0gtfsumgt.k  |-  F/ k
ph
sge0gtfsumgt.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
sge0gtfsumgt.b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
sge0gtfsumgt.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
sge0gtfsumgt.l  |-  ( ph  ->  C  <  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
Assertion
Ref Expression
sge0gtfsumgt  |-  ( ph  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) C  <  sum_ k  e.  y  B )
Distinct variable groups:    A, k,
y    y, B    y, C    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( k)    B( k)    C( k)    V( y, k)

Proof of Theorem sge0gtfsumgt
StepHypRef Expression
1 sge0gtfsumgt.k . . . . 5  |-  F/ k
ph
2 nfcv 2612 . . . . . . 7  |-  F/_ kΣ^
3 nfmpt1 4485 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( k  e.  A  |->  B )
42, 3nffv 5886 . . . . . 6  |-  F/_ k
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )
5 nfcv 2612 . . . . . 6  |-  F/_ k RR
64, 5nfel 2624 . . . . 5  |-  F/ k (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR
71, 6nfan 2031 . . . 4  |-  F/ k ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )
8 sge0gtfsumgt.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
98adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  ->  A  e.  V )
10 icossicc 11746 . . . . . 6  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
11 sge0gtfsumgt.b . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1210, 11sseldi 3416 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1312adantlr 729 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
14 sge0gtfsumgt.l . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  <  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
1514adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  ->  C  <  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
16 sge0gtfsumgt.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
1716adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  ->  C  e.  RR )
18 simpr 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )
19 difrp 11360 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  RR  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  ->  ( C  <  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  <->  ( (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  -  C
)  e.  RR+ )
)
2017, 18, 19syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  ->  ( C  <  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  <->  ( (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  -  C
)  e.  RR+ )
)
2115, 20mpbid 215 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  ->  (
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  -  C )  e.  RR+ )
227, 9, 13, 21, 18sge0ltfirpmpt2 38382 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  y  B  +  ( (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  -  C
) ) )
23 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  <  ( sum_ k  e.  y  B  +  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  -  C ) ) )  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  y  B  +  ( (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  -  C
) ) )
24 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
251, 24nfan 2031 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
26 elinel2 3611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
2726adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
28 simpll 768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  ph )
29 elpwinss 37446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  C_  A )
3029adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  k  e.  y
)  ->  y  C_  A )
31 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  k  e.  y
)  ->  k  e.  y )
3230, 31sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  k  e.  y
)  ->  k  e.  A )
3332adantll 728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  k  e.  A )
34 rge0ssre 11766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
3534, 11sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
3628, 33, 35syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  B  e.  RR )
3725, 27, 36fsumreclf 37751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  y  B  e.  RR )
3837recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  y  B  e.  CC )
3938ad4ant13 1258 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  <  ( sum_ k  e.  y  B  +  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  -  C ) ) )  ->  sum_ k  e.  y  B  e.  CC )
4018ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  <  ( sum_ k  e.  y  B  +  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  -  C ) ) )  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )
4140recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  <  ( sum_ k  e.  y  B  +  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  -  C ) ) )  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  CC )
4217ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  <  ( sum_ k  e.  y  B  +  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  -  C ) ) )  ->  C  e.  RR )
4342recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  <  ( sum_ k  e.  y  B  +  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  -  C ) ) )  ->  C  e.  CC )
4441, 43subcld 10005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  <  ( sum_ k  e.  y  B  +  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  -  C ) ) )  ->  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  -  C )  e.  CC )
4539, 44addcomd 9853 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  <  ( sum_ k  e.  y  B  +  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  -  C ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  y  B  +  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  -  C ) )  =  ( ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  -  C )  +  sum_ k  e.  y  B
) )
4623, 45breqtrd 4420 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  <  ( sum_ k  e.  y  B  +  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  -  C ) ) )  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  -  C )  +  sum_ k  e.  y  B
) )
4740, 42resubcld 10068 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  <  ( sum_ k  e.  y  B  +  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  -  C ) ) )  ->  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  -  C )  e.  RR )
4837ad4ant13 1258 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  <  ( sum_ k  e.  y  B  +  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  -  C ) ) )  ->  sum_ k  e.  y  B  e.  RR )
4940, 47, 48ltsubadd2d 10232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  <  ( sum_ k  e.  y  B  +  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  -  C ) ) )  ->  ( ( (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  -  (
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  -  C ) )  <  sum_ k  e.  y  B  <-> 
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  -  C )  +  sum_ k  e.  y  B
) ) )
5046, 49mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  <  ( sum_ k  e.  y  B  +  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  -  C ) ) )  ->  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  -  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  -  C ) )  <  sum_ k  e.  y  B )
5141, 43nncand 10010 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  <  ( sum_ k  e.  y  B  +  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  -  C ) ) )  ->  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  -  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  -  C ) )  =  C )
5251breq1d 4405 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  <  ( sum_ k  e.  y  B  +  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  -  C ) ) )  ->  ( ( (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  -  (
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  -  C ) )  <  sum_ k  e.  y  B  <-> 
C  <  sum_ k  e.  y  B ) )
5350, 52mpbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  <  ( sum_ k  e.  y  B  +  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  -  C ) ) )  ->  C  <  sum_ k  e.  y  B
)
5453ex 441 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  y  B  +  ( (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  -  C
) )  ->  C  <  sum_ k  e.  y  B ) )
5554reximdva 2858 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  y  B  +  ( (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  -  C
) )  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) C  <  sum_ k  e.  y  B
) )
5622, 55mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) C  <  sum_ k  e.  y  B
)
57 simpl 464 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  ->  ph )
58 simpr 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  ->  -.  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )
59 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
601, 11, 59fmptdf 6063 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,) +oo ) )
6110a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo ) )
6260, 61fssd 5750 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
638, 62sge0repnf 38342 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo ) )
6463adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  ->  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo ) )
6558, 64mtbid 307 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  ->  -.  -.  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )
66 notnot 297 . . . 4  |-  ( (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  = +oo  <->  -.  -.  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )
6765, 66sylibr 217 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )
684nfeq1 2625 . . . . 5  |-  F/ k (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo
691, 68nfan 2031 . . . 4  |-  F/ k ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )
708adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  ->  A  e.  V )
7111adantlr 729 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  /\  k  e.  A
)  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
72 simpr 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )
7316adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  ->  C  e.  RR )
7469, 70, 71, 72, 73sge0pnffsumgt 38398 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) C  <  sum_ k  e.  y  B
)
7557, 67, 74syl2anc 673 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) C  <  sum_ k  e.  y  B )
7656, 75pm2.61dan 808 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) C  <  sum_ k  e.  y  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452   F/wnf 1675    e. wcel 1904   E.wrex 2757    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557    + caddc 9560   +oocpnf 9690    < clt 9693    - cmin 9880   RR+crp 11325   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   sum_csu 13829  Σ^csumge0 38318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319
This theorem is referenced by:  sge0uzfsumgt  38400  sge0seq  38402
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