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Theorem sge0fsum 38017
Description: The arbitrary sum of a finite set of nonnegative extended real numbers is equal to the sum of those numbers, when none of them is +oo (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0fsum.x  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sge0fsum.f  |-  ( ph  ->  F : X --> ( 0 [,) +oo ) )
Assertion
Ref Expression
sge0fsum  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  =  sum_ x  e.  X  ( F `
 x ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, X    ph, x

Proof of Theorem sge0fsum
Dummy variables  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0fsum.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
2 sge0fsum.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : X --> ( 0 [,) +oo ) )
32fge0icoicc 37995 . . 3  |-  ( ph  ->  F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
41, 3sge0xrcl 38015 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR* )
5 rge0ssre 11741 . . . . 5  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
62ffvelrnda 6034 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
75, 6sseldi 3462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
81, 7fsumrecl 13788 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  X  ( F `  x )  e.  RR )
98rexrd 9691 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  X  ( F `  x )  e.  RR* )
101, 2sge0reval 38002 . . 3  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  =  sup ( ran  ( y  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ x  e.  y  ( F `  x
) ) ,  RR* ,  <  ) )
11 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ran  ( y  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ x  e.  y  ( F `  x
) ) )  ->  w  e.  ran  ( y  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ x  e.  y  ( F `  x ) ) )
12 vex 3084 . . . . . . . . 9  |-  w  e. 
_V
1312a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ran  ( y  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ x  e.  y  ( F `  x
) ) )  ->  w  e.  _V )
14 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ x  e.  y  ( F `  x ) )  =  ( y  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ x  e.  y  ( F `  x
) )
1514elrnmpt 5097 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  _V  ->  (
w  e.  ran  (
y  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ x  e.  y 
( F `  x
) )  <->  E. y  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) w  =  sum_ x  e.  y  ( F `
 x ) ) )
1613, 15syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ran  ( y  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ x  e.  y  ( F `  x
) ) )  -> 
( w  e.  ran  ( y  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ x  e.  y  ( F `  x
) )  <->  E. y  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) w  =  sum_ x  e.  y  ( F `
 x ) ) )
1711, 16mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ran  ( y  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ x  e.  y  ( F `  x
) ) )  ->  E. y  e.  ( ~P X  i^i  Fin )
w  =  sum_ x  e.  y  ( F `  x ) )
18 simp3 1007 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  w  =  sum_ x  e.  y  ( F `
 x ) )  ->  w  =  sum_ x  e.  y  ( F `
 x ) )
191adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  X  e.  Fin )
202fge0npnf 37997 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  -. +oo  e.  ran  F )
213, 20fge0iccre 38004 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
2221adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  F : X --> RR )
2322adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  X )  ->  F : X --> RR )
24 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
2523, 24ffvelrnd 6035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
26 0xr 9688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR*
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  X )  ->  0  e.  RR* )
28 pnfxr 11413 . . . . . . . . . . . . . 14  |- +oo  e.  RR*
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  X )  -> +oo  e.  RR* )
303adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
3130ffvelrnda 6034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
32 iccgelb 11692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  ( F `
 x )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  0  <_  ( F `  x
) )
3327, 29, 31, 32syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( F `  x
) )
34 elinel1 3651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  y  e.  ~P X )
35 elpwi 3988 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
y  C_  X )
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  y  C_  X )
3736adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  X )
3819, 25, 33, 37fsumless 13844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  sum_ x  e.  y  ( F `  x )  <_  sum_ x  e.  X  ( F `  x ) )
39383adant3 1025 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  w  =  sum_ x  e.  y  ( F `
 x ) )  ->  sum_ x  e.  y  ( F `  x
)  <_  sum_ x  e.  X  ( F `  x ) )
4018, 39eqbrtrd 4441 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  w  =  sum_ x  e.  y  ( F `
 x ) )  ->  w  <_  sum_ x  e.  X  ( F `  x ) )
41403exp 1204 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  ( w  = 
sum_ x  e.  y 
( F `  x
)  ->  w  <_  sum_
x  e.  X  ( F `  x ) ) ) )
4241rexlimdv 2915 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) w  =  sum_ x  e.  y  ( F `
 x )  ->  w  <_  sum_ x  e.  X  ( F `  x ) ) )
4342adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ran  ( y  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ x  e.  y  ( F `  x
) ) )  -> 
( E. y  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) w  =  sum_ x  e.  y  ( F `
 x )  ->  w  <_  sum_ x  e.  X  ( F `  x ) ) )
4417, 43mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ran  ( y  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ x  e.  y  ( F `  x
) ) )  ->  w  <_  sum_ x  e.  X  ( F `  x ) )
4544ralrimiva 2839 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. w  e.  ran  ( y  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ x  e.  y  ( F `  x
) ) w  <_  sum_ x  e.  X  ( F `  x ) )
46 elinel2 3652 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
4746adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
4822adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  y )  ->  F : X --> RR )
4937sselda 3464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  y )  ->  x  e.  X )
5048, 49ffvelrnd 6035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  y )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
5147, 50fsumrecl 13788 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  sum_ x  e.  y  ( F `  x )  e.  RR )
5251rexrd 9691 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  sum_ x  e.  y  ( F `  x )  e.  RR* )
5352ralrimiva 2839 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) sum_ x  e.  y  ( F `  x
)  e.  RR* )
5414rnmptss 6064 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) sum_ x  e.  y  ( F `
 x )  e. 
RR*  ->  ran  ( y  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ x  e.  y  ( F `  x
) )  C_  RR* )
5553, 54syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( y  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ x  e.  y  ( F `  x
) )  C_  RR* )
56 supxrleub 11613 . . . . 5  |-  ( ( ran  ( y  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ x  e.  y  ( F `  x
) )  C_  RR*  /\  sum_ x  e.  X  ( F `
 x )  e. 
RR* )  ->  ( sup ( ran  ( y  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ x  e.  y  ( F `  x ) ) , 
RR* ,  <  )  <_  sum_ x  e.  X  ( F `  x )  <->  A. w  e.  ran  ( y  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ x  e.  y  ( F `  x
) ) w  <_  sum_ x  e.  X  ( F `  x ) ) )
5755, 9, 56syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( y  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ x  e.  y  ( F `  x
) ) ,  RR* ,  <  )  <_  sum_ x  e.  X  ( F `  x )  <->  A. w  e.  ran  ( y  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ x  e.  y  ( F `  x
) ) w  <_  sum_ x  e.  X  ( F `  x ) ) )
5845, 57mpbird 235 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
y  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ x  e.  y 
( F `  x
) ) ,  RR* ,  <  )  <_  sum_ x  e.  X  ( F `  x ) )
5910, 58eqbrtrd 4441 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  <_  sum_ x  e.  X  ( F `  x ) )
60 ssid 3483 . . . 4  |-  X  C_  X
6160a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  X  C_  X )
621, 2, 61, 1fsumlesge0 38007 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  X  ( F `  x )  <_  (Σ^ `  F ) )
634, 9, 59, 62xrletrid 11453 1  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  =  sum_ x  e.  X  ( F `
 x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081    i^i cin 3435    C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479   ran crn 4851   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   Fincfn 7574   supcsup 7957   RRcr 9539   0cc0 9540   +oocpnf 9673   RR*cxr 9675    < clt 9676    <_ cle 9677   [,)cico 11638   [,]cicc 11639   sum_csu 13740  Σ^csumge0 37992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7959  df-oi 8028  df-card 8375  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-rp 11304  df-ico 11642  df-icc 11643  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-clim 13540  df-sum 13741  df-sumge0 37993
This theorem is referenced by:  sge0fsummpt  38020  sge0sup  38021  sge0ltfirp  38030  sge0le  38037  sge0iunmptlemfi  38043  sge0ltfirpmpt2  38056  omeiunltfirp  38119
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