Theorem sge0fodjrnlem 38268

Description: Re-index a nonnegative extended sum using an onto function with disjoint range, when the empty set is assigned 0 in the sum (this is true, for example, both for measures and outer measures). (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0fodjrnlem.k	|- F/ k ph
sge0fodjrnlem.n	|- F/ n ph
sge0fodjrnlem.bd	|- ( k = G -> B = D )
sge0fodjrnlem.c	|- ( ph -> C e. V )
sge0fodjrnlem.f	|- ( ph -> F : C -onto-> A )
sge0fodjrnlem.dj	|- ( ph -> Disj n e. C ( F ` n ) )
sge0fodjrnlem.fng	|- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) = G )
sge0fodjrnlem.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
sge0fodjrnlem.b0	|- ( ( ph /\ k = (/) ) -> B = 0 )
sge0fodjrnlem.z	|- Z = ( `' F " { (/) } )

Assertion

Ref	Expression
sge0fodjrnlem	|- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = (Σ^ ` ( n e. C |-> D ) ) )

Distinct variable groups:   A, k, n   B, n   C, k, n   D, k   k, F, n   k, G   k, Z, n

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   B( k)   D( n)   G( n)   V( k, n)

Proof of Theorem sge0fodjrnlem

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0fodjrnlem.k	. . . 4 |- F/ k ph
2		sge0fodjrnlem.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. V )
3		sge0fodjrnlem.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : C -onto-> A )
4		fornex 6767	. . . . 5 |- ( C e. V -> ( F : C -onto-> A -> A e. _V ) )
5	2, 3, 4	sylc 62	. . . 4 |- ( ph -> A e. _V )
6		difssd 3563	. . . 4 |- ( ph -> ( A \ { (/) } ) C_ A )
7		simpl 459	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ { (/) } ) ) -> ph )
8	6	sselda 3434	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ { (/) } ) ) -> k e. A )
9		sge0fodjrnlem.b	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
10	7, 8, 9	syl2anc 667	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ { (/) } ) ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
11		simpl 459	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ ( A \ { (/) } ) ) ) -> ph )
12		dfin4 3685	. . . . . . . . . 10 |- ( A i^i { (/) } ) = ( A \ ( A \ { (/) } ) )
13	12	eqcomi 2462	. . . . . . . . 9 |- ( A \ ( A \ { (/) } ) ) = ( A i^i { (/) } )
14		inss2 3655	. . . . . . . . 9 |- ( A i^i { (/) } ) C_ { (/) }
15	13, 14	eqsstri 3464	. . . . . . . 8 |- ( A \ ( A \ { (/) } ) ) C_ { (/) }
16		id 22	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( A \ ( A \ { (/) } ) ) -> k e. ( A \ ( A \ { (/) } ) ) )
17	15, 16	sseldi 3432	. . . . . . 7 |- ( k e. ( A \ ( A \ { (/) } ) ) -> k e. { (/) } )
18		elsni 3995	. . . . . . 7 |- ( k e. { (/) } -> k = (/) )
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 |- ( k e. ( A \ ( A \ { (/) } ) ) -> k = (/) )
20	19	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ ( A \ { (/) } ) ) ) -> k = (/) )
21		sge0fodjrnlem.b0	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k = (/) ) -> B = 0 )
22	11, 20, 21	syl2anc 667	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ ( A \ { (/) } ) ) ) -> B = 0 )
23	1, 5, 6, 10, 22	sge0ss 38264	. . 3 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. ( A \ { (/) } ) |-> B ) ) = (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) )
24	23	eqcomd 2459	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = (Σ^ ` ( k e. ( A \ { (/) } ) |-> B ) ) )
25		sge0fodjrnlem.n	. . 3 |- F/ n ph
26		sge0fodjrnlem.bd	. . 3 |- ( k = G -> B = D )
27		difexg 4554	. . . 4 |- ( C e. V -> ( C \ Z ) e. _V )
28	2, 27	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( C \ Z ) e. _V )
29		eqid 2453	. . . . 5 |- ( n e. C |-> ( F ` n ) ) = ( n e. C |-> ( F ` n ) )
30		fof 5798	. . . . . . 7 |- ( F : C -onto-> A -> F : C --> A )
31	3, 30	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> F : C --> A )
32	31	ffvelrnda 6027	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) e. A )
33		sge0fodjrnlem.dj	. . . . 5 |- ( ph -> Disj n e. C ( F ` n ) )
34		fveq2 5870	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( F ` m ) = ( F ` n ) )
35	34	neeq1d 2685	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( ( F ` m ) =/= (/) <-> ( F ` n ) =/= (/) ) )
36	35	cbvrabv 3046	. . . . 5 |- { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } = { n e. C | ( F ` n ) =/= (/) }
37	34	cbvmptv 4498	. . . . . . 7 |- ( m e. C |-> ( F ` m ) ) = ( n e. C |-> ( F ` n ) )
38	37	rneqi 5064	. . . . . 6 |- ran ( m e. C |-> ( F ` m ) ) = ran ( n e. C |-> ( F ` n ) )
39	38	difeq1i 3549	. . . . 5 |- ( ran ( m e. C |-> ( F ` m ) ) \ { (/) } ) = ( ran ( n e. C |-> ( F ` n ) ) \ { (/) } )
40	25, 29, 32, 33, 36, 39	disjf1o 37476	. . . 4 |- ( ph -> ( ( n e. C |-> ( F ` n ) ) |` { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) : { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } -1-1-onto-> ( ran ( m e. C |-> ( F ` m ) ) \ { (/) } ) )
41	31	feqmptd 5923	. . . . . 6 |- ( ph -> F = ( n e. C |-> ( F ` n ) ) )
42		difssd 3563	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( C \ Z ) C_ C )
43	42	sselda 3434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> n e. C )
44		eldifi 3557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. ( C \ Z ) -> n e. C )
45	44	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. ( C \ Z ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> n e. C )
46		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F ` n ) = (/) -> ( F ` n ) = (/) )
47		fvex 5880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( F ` n ) e. _V
48		elsncg 3993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F ` n ) e. _V -> ( ( F ` n ) e. { (/) } <-> ( F ` n ) = (/) ) )
49	47, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F ` n ) e. { (/) } <-> ( F ` n ) = (/) )
50	46, 49	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F ` n ) = (/) -> ( F ` n ) e. { (/) } )
51	50	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. ( C \ Z ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> ( F ` n ) e. { (/) } )
52	45, 51	jca 535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. ( C \ Z ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> ( n e. C /\ ( F ` n ) e. { (/) } ) )
53	52	adantll 721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> ( n e. C /\ ( F ` n ) e. { (/) } ) )
54	31	ffnd 5734	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F Fn C )
55		elpreima 6007	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F Fn C -> ( n e. ( `' F " { (/) } ) <-> ( n e. C /\ ( F ` n ) e. { (/) } ) ) )
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( n e. ( `' F " { (/) } ) <-> ( n e. C /\ ( F ` n ) e. { (/) } ) ) )
57	56	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> ( n e. ( `' F " { (/) } ) <-> ( n e. C /\ ( F ` n ) e. { (/) } ) ) )
58	53, 57	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> n e. ( `' F " { (/) } ) )
59		sge0fodjrnlem.z	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Z = ( `' F " { (/) } )
60	58, 59	syl6eleqr 2542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> n e. Z )
61		eldifn 3558	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( C \ Z ) -> -. n e. Z )
62	61	ad2antlr 734	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> -. n e. Z )
63	60, 62	pm2.65da 580	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> -. ( F ` n ) = (/) )
64	63	neqned 2633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> ( F ` n ) =/= (/) )
65	43, 64	jca 535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> ( n e. C /\ ( F ` n ) =/= (/) ) )
66	35	elrab 3198	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } <-> ( n e. C /\ ( F ` n ) =/= (/) ) )
67	65, 66	sylibr 216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } )
68	67	ex 436	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( n e. ( C \ Z ) -> n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) )
69	66	simplbi 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } -> n e. C )
70	69	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) -> n e. C )
71	59	eleq2i 2523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. Z <-> n e. ( `' F " { (/) } ) )
72	71	biimpi 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n e. Z -> n e. ( `' F " { (/) } ) )
73	72	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> n e. ( `' F " { (/) } ) )
74	56	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( n e. ( `' F " { (/) } ) <-> ( n e. C /\ ( F ` n ) e. { (/) } ) ) )
75	73, 74	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( n e. C /\ ( F ` n ) e. { (/) } ) )
76	75	simprd 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) e. { (/) } )
77		elsni 3995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` n ) e. { (/) } -> ( F ` n ) = (/) )
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) = (/) )
79	78	adantlr 722	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) = (/) )
80	66	simprbi 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } -> ( F ` n ) =/= (/) )
81	80	ad2antlr 734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) =/= (/) )
82	81	neneqd 2631	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) /\ n e. Z ) -> -. ( F ` n ) = (/) )
83	79, 82	pm2.65da 580	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) -> -. n e. Z )
84	70, 83	eldifd 3417	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) -> n e. ( C \ Z ) )
85	84	ex 436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } -> n e. ( C \ Z ) ) )
86	25, 85	ralrimi 2790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } n e. ( C \ Z ) )
87		dfss3 3424	. . . . . . . . . . 11 |- ( { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } C_ ( C \ Z ) <-> A. n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } n e. ( C \ Z ) )
88	86, 87	sylibr 216	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } C_ ( C \ Z ) )
89	88	sseld 3433	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } -> n e. ( C \ Z ) ) )
90	68, 89	impbid 194	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( n e. ( C \ Z ) <-> n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) )
91	25, 90	alrimi 1957	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n ( n e. ( C \ Z ) <-> n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) )
92		dfcleq 2447	. . . . . . 7 |- ( ( C \ Z ) = { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } <-> A. n ( n e. ( C \ Z ) <-> n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) )
93	91, 92	sylibr 216	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C \ Z ) = { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } )
94	41, 93	reseq12d 5109	. . . . 5 |- ( ph -> ( F |` ( C \ Z ) ) = ( ( n e. C |-> ( F ` n ) ) |` { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) )
95	41, 37	syl6eqr 2505	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F = ( m e. C |-> ( F ` m ) ) )
96	95	eqcomd 2459	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( m e. C |-> ( F ` m ) ) = F )
97	96	rneqd 5065	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran ( m e. C |-> ( F ` m ) ) = ran F )
98		forn 5801	. . . . . . . 8 |- ( F : C -onto-> A -> ran F = A )
99	3, 98	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran F = A )
100	97, 99	eqtr2d 2488	. . . . . 6 |- ( ph -> A = ran ( m e. C |-> ( F ` m ) ) )
101	100	difeq1d 3552	. . . . 5 |- ( ph -> ( A \ { (/) } ) = ( ran ( m e. C |-> ( F ` m ) ) \ { (/) } ) )
102	94, 93, 101	f1oeq123d 5816	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F |` ( C \ Z ) ) : ( C \ Z ) -1-1-onto-> ( A \ { (/) } ) <-> ( ( n e. C |-> ( F ` n ) ) |` { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) : { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } -1-1-onto-> ( ran ( m e. C |-> ( F ` m ) ) \ { (/) } ) ) )
103	40, 102	mpbird 236	. . 3 |- ( ph -> ( F |` ( C \ Z ) ) : ( C \ Z ) -1-1-onto-> ( A \ { (/) } ) )
104		fvres 5884	. . . . 5 |- ( n e. ( C \ Z ) -> ( ( F |` ( C \ Z ) ) ` n ) = ( F ` n ) )
105	104	adantl 468	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> ( ( F |` ( C \ Z ) ) ` n ) = ( F ` n ) )
106		simpl 459	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> ph )
107		sge0fodjrnlem.fng	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) = G )
108	106, 43, 107	syl2anc 667	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> ( F ` n ) = G )
109	105, 108	eqtrd 2487	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> ( ( F |` ( C \ Z ) ) ` n ) = G )
110	1, 25, 26, 28, 103, 109, 10	sge0f1o 38234	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. ( A \ { (/) } ) |-> B ) ) = (Σ^ ` ( n e. ( C \ Z ) |-> D ) ) )
111	107	eqcomd 2459	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> G = ( F ` n ) )
112	111, 32	eqeltrd 2531	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> G e. A )
113	106, 43, 112	syl2anc 667	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> G e. A )
114	113	ex 436	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. ( C \ Z ) -> G e. A ) )
115	114	imdistani 697	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> ( ph /\ G e. A ) )
116		nfcv 2594	. . . . 5 |- F/_ k G
117		nfv 1763	. . . . . . 7 |- F/ k G e. A
118	1, 117	nfan 2013	. . . . . 6 |- F/ k ( ph /\ G e. A )
119		nfv 1763	. . . . . 6 |- F/ k D e. ( 0 [,] +oo )
120	118, 119	nfim 2005	. . . . 5 |- F/ k ( ( ph /\ G e. A ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
121		eleq1 2519	. . . . . . 7 |- ( k = G -> ( k e. A <-> G e. A ) )
122	121	anbi2d 711	. . . . . 6 |- ( k = G -> ( ( ph /\ k e. A ) <-> ( ph /\ G e. A ) ) )
123	26	eleq1d 2515	. . . . . 6 |- ( k = G -> ( B e. ( 0 [,] +oo ) <-> D e. ( 0 [,] +oo ) ) )
124	122, 123	imbi12d 322	. . . . 5 |- ( k = G -> ( ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) ) <-> ( ( ph /\ G e. A ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) ) ) )
125	116, 120, 124, 9	vtoclgf 3107	. . . 4 |- ( G e. A -> ( ( ph /\ G e. A ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) ) )
126	113, 115, 125	sylc 62	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
127		simpl 459	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ ( C \ Z ) ) ) -> ph )
128		eldifi 3557	. . . . . 6 |- ( n e. ( C \ ( C \ Z ) ) -> n e. C )
129	128	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ ( C \ Z ) ) ) -> n e. C )
130	127, 129, 112	syl2anc 667	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ ( C \ Z ) ) ) -> G e. A )
131		dfin4 3685	. . . . . . . . 9 |- ( Z i^i C ) = ( Z \ ( Z \ C ) )
132		difss 3562	. . . . . . . . 9 |- ( Z \ ( Z \ C ) ) C_ Z
133	131, 132	eqsstri 3464	. . . . . . . 8 |- ( Z i^i C ) C_ Z
134		inss2 3655	. . . . . . . . . 10 |- ( C i^i Z ) C_ Z
135		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( C \ ( C \ Z ) ) -> n e. ( C \ ( C \ Z ) ) )
136		dfin4 3685	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C i^i Z ) = ( C \ ( C \ Z ) )
137	136	eqcomi 2462	. . . . . . . . . . 11 |- ( C \ ( C \ Z ) ) = ( C i^i Z )
138	135, 137	syl6eleq 2541	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( C \ ( C \ Z ) ) -> n e. ( C i^i Z ) )
139	134, 138	sseldi 3432	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( C \ ( C \ Z ) ) -> n e. Z )
140	139, 128	elind 3620	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( C \ ( C \ Z ) ) -> n e. ( Z i^i C ) )
141	133, 140	sseldi 3432	. . . . . . 7 |- ( n e. ( C \ ( C \ Z ) ) -> n e. Z )
142	141	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ ( C \ Z ) ) ) -> n e. Z )
143	78	eqcomd 2459	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> (/) = ( F ` n ) )
144		simpl 459	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ph )
145	75	simpld 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> n e. C )
146	144, 145, 107	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) = G )
147	143, 146	eqtr2d 2488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> G = (/) )
148	127, 142, 147	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ ( C \ Z ) ) ) -> G = (/) )
149	127, 148	jca 535	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ ( C \ Z ) ) ) -> ( ph /\ G = (/) ) )
150		nfv 1763	. . . . . . 7 |- F/ k G = (/)
151	1, 150	nfan 2013	. . . . . 6 |- F/ k ( ph /\ G = (/) )
152		nfv 1763	. . . . . 6 |- F/ k D = 0
153	151, 152	nfim 2005	. . . . 5 |- F/ k ( ( ph /\ G = (/) ) -> D = 0 )
154		eqeq1 2457	. . . . . . 7 |- ( k = G -> ( k = (/) <-> G = (/) ) )
155	154	anbi2d 711	. . . . . 6 |- ( k = G -> ( ( ph /\ k = (/) ) <-> ( ph /\ G = (/) ) ) )
156	26	eqeq1d 2455	. . . . . 6 |- ( k = G -> ( B = 0 <-> D = 0 ) )
157	155, 156	imbi12d 322	. . . . 5 |- ( k = G -> ( ( ( ph /\ k = (/) ) -> B = 0 ) <-> ( ( ph /\ G = (/) ) -> D = 0 ) ) )
158	116, 153, 157, 21	vtoclgf 3107	. . . 4 |- ( G e. A -> ( ( ph /\ G = (/) ) -> D = 0 ) )
159	130, 149, 158	sylc 62	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ ( C \ Z ) ) ) -> D = 0 )
160	25, 2, 42, 126, 159	sge0ss 38264	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. ( C \ Z ) |-> D ) ) = (Σ^ ` ( n e. C |-> D ) ) )
161	24, 110, 160	3eqtrd 2491	1 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = (Σ^ ` ( n e. C |-> D ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   A.wal 1444   = wceq 1446   F/wnf 1669   e. wcel 1889   =/= wne 2624   A.wral 2739   {crab 2743   _Vcvv 3047   \ cdif 3403   i^i cin 3405   C_ wss 3406   (/)c0 3733   {csn 3970  Disj wdisj 4376   |-> cmpt 4464   `'ccnv 4836   ran crn 4838   |` cres 4839   "cima 4840   Fn wfn 5580   -->wf 5581   -onto->wfo 5583   -1-1-onto->wf1o 5584   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   0cc0 9544   +oocpnf 9677   [,]cicc 11645  Σ^{^}csumge0 38214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-disj 4377  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-oi 8030  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-xadd 11417  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-sum 13765  df-sumge0 38215

This theorem is referenced by:  sge0fodjrn  38269