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Theorem sge0fodjrnlem 38372
Description: Re-index a nonnegative extended sum using an onto function with disjoint range, when the empty set is assigned  0 in the sum (this is true, for example, both for measures and outer measures). (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0fodjrnlem.k  |-  F/ k
ph
sge0fodjrnlem.n  |-  F/ n ph
sge0fodjrnlem.bd  |-  ( k  =  G  ->  B  =  D )
sge0fodjrnlem.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
sge0fodjrnlem.f  |-  ( ph  ->  F : C -onto-> A
)
sge0fodjrnlem.dj  |-  ( ph  -> Disj  n  e.  C  ( F `  n )
)
sge0fodjrnlem.fng  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  =  G )
sge0fodjrnlem.b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
sge0fodjrnlem.b0  |-  ( (
ph  /\  k  =  (/) )  ->  B  = 
0 )
sge0fodjrnlem.z  |-  Z  =  ( `' F " { (/) } )
Assertion
Ref Expression
sge0fodjrnlem  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  C  |->  D ) ) )
Distinct variable groups:    A, k, n    B, n    C, k, n    D, k    k, F, n    k, G    k, Z, n
Allowed substitution hints:    ph( k, n)    B( k)    D( n)    G( n)    V( k, n)

Proof of Theorem sge0fodjrnlem
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0fodjrnlem.k . . . 4  |-  F/ k
ph
2 sge0fodjrnlem.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
3 sge0fodjrnlem.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : C -onto-> A
)
4 fornex 6781 . . . . 5  |-  ( C  e.  V  ->  ( F : C -onto-> A  ->  A  e.  _V )
)
52, 3, 4sylc 61 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
6 difssd 3550 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  \  { (/)
} )  C_  A
)
7 simpl 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  { (/) } ) )  ->  ph )
86sselda 3418 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  { (/) } ) )  ->  k  e.  A )
9 sge0fodjrnlem.b . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
107, 8, 9syl2anc 673 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  { (/) } ) )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
11 simpl 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  ( A  \  { (/) } ) ) )  ->  ph )
12 dfin4 3674 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  { (/) } )  =  ( A  \ 
( A  \  { (/)
} ) )
1312eqcomi 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
\  ( A  \  { (/) } ) )  =  ( A  i^i  {
(/) } )
14 inss2 3644 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  { (/) } ) 
C_  { (/) }
1513, 14eqsstri 3448 . . . . . . . 8  |-  ( A 
\  ( A  \  { (/) } ) ) 
C_  { (/) }
16 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( A  \ 
( A  \  { (/)
} ) )  -> 
k  e.  ( A 
\  ( A  \  { (/) } ) ) )
1715, 16sseldi 3416 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( A  \ 
( A  \  { (/)
} ) )  -> 
k  e.  { (/) } )
18 elsni 3985 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { (/) }  ->  k  =  (/) )
1917, 18syl 17 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( A  \ 
( A  \  { (/)
} ) )  -> 
k  =  (/) )
2019adantl 473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  ( A  \  { (/) } ) ) )  ->  k  =  (/) )
21 sge0fodjrnlem.b0 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  =  (/) )  ->  B  = 
0 )
2211, 20, 21syl2anc 673 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  ( A  \  { (/) } ) ) )  ->  B  =  0 )
231, 5, 6, 10, 22sge0ss 38368 . . 3  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  ( A  \  { (/) } )  |->  B ) )  =  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
2423eqcomd 2477 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  (Σ^ `  ( k  e.  ( A  \  { (/) } )  |->  B ) ) )
25 sge0fodjrnlem.n . . 3  |-  F/ n ph
26 sge0fodjrnlem.bd . . 3  |-  ( k  =  G  ->  B  =  D )
27 difexg 4545 . . . 4  |-  ( C  e.  V  ->  ( C  \  Z )  e. 
_V )
282, 27syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  \  Z
)  e.  _V )
29 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( n  e.  C  |->  ( F `
 n ) )  =  ( n  e.  C  |->  ( F `  n ) )
30 fof 5806 . . . . . . 7  |-  ( F : C -onto-> A  ->  F : C --> A )
313, 30syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : C --> A )
3231ffvelrnda 6037 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  e.  A )
33 sge0fodjrnlem.dj . . . . 5  |-  ( ph  -> Disj  n  e.  C  ( F `  n )
)
34 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  ( F `  m )  =  ( F `  n ) )
3534neeq1d 2702 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( F `  m
)  =/=  (/)  <->  ( F `  n )  =/=  (/) ) )
3635cbvrabv 3030 . . . . 5  |-  { m  e.  C  |  ( F `  m )  =/=  (/) }  =  {
n  e.  C  | 
( F `  n
)  =/=  (/) }
3734cbvmptv 4488 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  C  |->  ( F `
 m ) )  =  ( n  e.  C  |->  ( F `  n ) )
3837rneqi 5067 . . . . . 6  |-  ran  (
m  e.  C  |->  ( F `  m ) )  =  ran  (
n  e.  C  |->  ( F `  n ) )
3938difeq1i 3536 . . . . 5  |-  ( ran  ( m  e.  C  |->  ( F `  m
) )  \  { (/)
} )  =  ( ran  ( n  e.  C  |->  ( F `  n ) )  \  { (/) } )
4025, 29, 32, 33, 36, 39disjf1o 37537 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  C  |->  ( F `  n ) )  |`  { m  e.  C  |  ( F `  m )  =/=  (/) } ) : { m  e.  C  |  ( F `
 m )  =/=  (/) } -1-1-onto-> ( ran  ( m  e.  C  |->  ( F `
 m ) ) 
\  { (/) } ) )
4131feqmptd 5932 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  ( n  e.  C  |->  ( F `
 n ) ) )
42 difssd 3550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C  \  Z
)  C_  C )
4342sselda 3418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( C  \  Z ) )  ->  n  e.  C )
44 eldifi 3544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( C  \  Z )  ->  n  e.  C )
4544adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( C 
\  Z )  /\  ( F `  n )  =  (/) )  ->  n  e.  C )
46 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F `  n )  =  (/)  ->  ( F `
 n )  =  (/) )
47 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F `
 n )  e. 
_V
48 elsncg 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F `  n )  e.  _V  ->  (
( F `  n
)  e.  { (/) }  <-> 
( F `  n
)  =  (/) ) )
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F `  n )  e.  { (/) }  <->  ( F `  n )  =  (/) )
5046, 49sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  n )  =  (/)  ->  ( F `
 n )  e. 
{ (/) } )
5150adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( C 
\  Z )  /\  ( F `  n )  =  (/) )  ->  ( F `  n )  e.  { (/) } )
5245, 51jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( C 
\  Z )  /\  ( F `  n )  =  (/) )  ->  (
n  e.  C  /\  ( F `  n )  e.  { (/) } ) )
5352adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( C  \  Z
) )  /\  ( F `  n )  =  (/) )  ->  (
n  e.  C  /\  ( F `  n )  e.  { (/) } ) )
5431ffnd 5740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F  Fn  C )
55 elpreima 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  Fn  C  ->  (
n  e.  ( `' F " { (/) } )  <->  ( n  e.  C  /\  ( F `
 n )  e. 
{ (/) } ) ) )
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( `' F " { (/) } )  <->  ( n  e.  C  /\  ( F `
 n )  e. 
{ (/) } ) ) )
5756ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( C  \  Z
) )  /\  ( F `  n )  =  (/) )  ->  (
n  e.  ( `' F " { (/) } )  <->  ( n  e.  C  /\  ( F `
 n )  e. 
{ (/) } ) ) )
5853, 57mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( C  \  Z
) )  /\  ( F `  n )  =  (/) )  ->  n  e.  ( `' F " { (/) } ) )
59 sge0fodjrnlem.z . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Z  =  ( `' F " { (/) } )
6058, 59syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( C  \  Z
) )  /\  ( F `  n )  =  (/) )  ->  n  e.  Z )
61 eldifn 3545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( C  \  Z )  ->  -.  n  e.  Z )
6261ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( C  \  Z
) )  /\  ( F `  n )  =  (/) )  ->  -.  n  e.  Z )
6360, 62pm2.65da 586 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( C  \  Z ) )  ->  -.  ( F `  n )  =  (/) )
6463neqned 2650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( C  \  Z ) )  ->  ( F `  n )  =/=  (/) )
6543, 64jca 541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( C  \  Z ) )  ->  ( n  e.  C  /\  ( F `  n )  =/=  (/) ) )
6635elrab 3184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  { m  e.  C  |  ( F `
 m )  =/=  (/) }  <->  ( n  e.  C  /\  ( F `
 n )  =/=  (/) ) )
6765, 66sylibr 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( C  \  Z ) )  ->  n  e.  { m  e.  C  | 
( F `  m
)  =/=  (/) } )
6867ex 441 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( C  \  Z )  ->  n  e.  {
m  e.  C  | 
( F `  m
)  =/=  (/) } ) )
6966simplbi 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  { m  e.  C  |  ( F `
 m )  =/=  (/) }  ->  n  e.  C )
7069adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  { m  e.  C  | 
( F `  m
)  =/=  (/) } )  ->  n  e.  C
)
7159eleq2i 2541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  Z  <->  n  e.  ( `' F " { (/) } ) )
7271biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  Z  ->  n  e.  ( `' F " { (/) } ) )
7372adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  n  e.  ( `' F " { (/) } ) )
7456adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
n  e.  ( `' F " { (/) } )  <->  ( n  e.  C  /\  ( F `
 n )  e. 
{ (/) } ) ) )
7573, 74mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
n  e.  C  /\  ( F `  n )  e.  { (/) } ) )
7675simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n )  e.  { (/) } )
77 elsni 3985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  n )  e.  { (/) }  ->  ( F `  n )  =  (/) )
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n )  =  (/) )
7978adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  { m  e.  C  |  ( F `  m )  =/=  (/) } )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( F `  n )  =  (/) )
8066simprbi 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  { m  e.  C  |  ( F `
 m )  =/=  (/) }  ->  ( F `  n )  =/=  (/) )
8180ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  { m  e.  C  |  ( F `  m )  =/=  (/) } )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( F `  n )  =/=  (/) )
8281neneqd 2648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  { m  e.  C  |  ( F `  m )  =/=  (/) } )  /\  n  e.  Z
)  ->  -.  ( F `  n )  =  (/) )
8379, 82pm2.65da 586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  { m  e.  C  | 
( F `  m
)  =/=  (/) } )  ->  -.  n  e.  Z )
8470, 83eldifd 3401 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  { m  e.  C  | 
( F `  m
)  =/=  (/) } )  ->  n  e.  ( C  \  Z ) )
8584ex 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( n  e.  {
m  e.  C  | 
( F `  m
)  =/=  (/) }  ->  n  e.  ( C  \  Z ) ) )
8625, 85ralrimi 2800 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. n  e.  {
m  e.  C  | 
( F `  m
)  =/=  (/) } n  e.  ( C  \  Z
) )
87 dfss3 3408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { m  e.  C  | 
( F `  m
)  =/=  (/) }  C_  ( C  \  Z )  <->  A. n  e.  { m  e.  C  |  ( F `  m )  =/=  (/) } n  e.  ( C  \  Z
) )
8886, 87sylibr 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { m  e.  C  |  ( F `  m )  =/=  (/) }  C_  ( C  \  Z ) )
8988sseld 3417 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( n  e.  {
m  e.  C  | 
( F `  m
)  =/=  (/) }  ->  n  e.  ( C  \  Z ) ) )
9068, 89impbid 195 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( C  \  Z )  <-> 
n  e.  { m  e.  C  |  ( F `  m )  =/=  (/) } ) )
9125, 90alrimi 1975 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. n ( n  e.  ( C  \  Z )  <->  n  e.  { m  e.  C  | 
( F `  m
)  =/=  (/) } ) )
92 dfcleq 2465 . . . . . . 7  |-  ( ( C  \  Z )  =  { m  e.  C  |  ( F `
 m )  =/=  (/) }  <->  A. n ( n  e.  ( C  \  Z )  <->  n  e.  { m  e.  C  | 
( F `  m
)  =/=  (/) } ) )
9391, 92sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  \  Z
)  =  { m  e.  C  |  ( F `  m )  =/=  (/) } )
9441, 93reseq12d 5112 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( C  \  Z ) )  =  ( ( n  e.  C  |->  ( F `
 n ) )  |`  { m  e.  C  |  ( F `  m )  =/=  (/) } ) )
9541, 37syl6eqr 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  =  ( m  e.  C  |->  ( F `
 m ) ) )
9695eqcomd 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( m  e.  C  |->  ( F `  m
) )  =  F )
9796rneqd 5068 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  ( m  e.  C  |->  ( F `  m ) )  =  ran  F )
98 forn 5809 . . . . . . . 8  |-  ( F : C -onto-> A  ->  ran  F  =  A )
993, 98syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  F  =  A )
10097, 99eqtr2d 2506 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =  ran  (
m  e.  C  |->  ( F `  m ) ) )
101100difeq1d 3539 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  \  { (/)
} )  =  ( ran  ( m  e.  C  |->  ( F `  m ) )  \  { (/) } ) )
10294, 93, 101f1oeq123d 5824 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( C  \  Z ) ) : ( C 
\  Z ) -1-1-onto-> ( A 
\  { (/) } )  <-> 
( ( n  e.  C  |->  ( F `  n ) )  |`  { m  e.  C  |  ( F `  m )  =/=  (/) } ) : { m  e.  C  |  ( F `
 m )  =/=  (/) } -1-1-onto-> ( ran  ( m  e.  C  |->  ( F `
 m ) ) 
\  { (/) } ) ) )
10340, 102mpbird 240 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( C  \  Z ) ) : ( C  \  Z ) -1-1-onto-> ( A  \  { (/)
} ) )
104 fvres 5893 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( C  \  Z )  ->  (
( F  |`  ( C  \  Z ) ) `
 n )  =  ( F `  n
) )
105104adantl 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( C  \  Z ) )  ->  ( ( F  |`  ( C  \  Z ) ) `  n )  =  ( F `  n ) )
106 simpl 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( C  \  Z ) )  ->  ph )
107 sge0fodjrnlem.fng . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  =  G )
108106, 43, 107syl2anc 673 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( C  \  Z ) )  ->  ( F `  n )  =  G )
109105, 108eqtrd 2505 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( C  \  Z ) )  ->  ( ( F  |`  ( C  \  Z ) ) `  n )  =  G )
1101, 25, 26, 28, 103, 109, 10sge0f1o 38338 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  ( A  \  { (/) } )  |->  B ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  ( C  \  Z ) 
|->  D ) ) )
111107eqcomd 2477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  G  =  ( F `  n ) )
112111, 32eqeltrd 2549 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  G  e.  A )
113106, 43, 112syl2anc 673 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( C  \  Z ) )  ->  G  e.  A )
114113ex 441 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( C  \  Z )  ->  G  e.  A
) )
115114imdistani 704 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( C  \  Z ) )  ->  ( ph  /\  G  e.  A ) )
116 nfcv 2612 . . . . 5  |-  F/_ k G
117 nfv 1769 . . . . . . 7  |-  F/ k  G  e.  A
1181, 117nfan 2031 . . . . . 6  |-  F/ k ( ph  /\  G  e.  A )
119 nfv 1769 . . . . . 6  |-  F/ k  D  e.  ( 0 [,] +oo )
120118, 119nfim 2023 . . . . 5  |-  F/ k ( ( ph  /\  G  e.  A )  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
121 eleq1 2537 . . . . . . 7  |-  ( k  =  G  ->  (
k  e.  A  <->  G  e.  A ) )
122121anbi2d 718 . . . . . 6  |-  ( k  =  G  ->  (
( ph  /\  k  e.  A )  <->  ( ph  /\  G  e.  A ) ) )
12326eleq1d 2533 . . . . . 6  |-  ( k  =  G  ->  ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  D  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
124122, 123imbi12d 327 . . . . 5  |-  ( k  =  G  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  <-> 
( ( ph  /\  G  e.  A )  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo ) ) ) )
125116, 120, 124, 9vtoclgf 3091 . . . 4  |-  ( G  e.  A  ->  (
( ph  /\  G  e.  A )  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
126113, 115, 125sylc 61 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( C  \  Z ) )  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
127 simpl 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( C  \  ( C  \  Z ) ) )  ->  ph )
128 eldifi 3544 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( C  \ 
( C  \  Z
) )  ->  n  e.  C )
129128adantl 473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( C  \  ( C  \  Z ) ) )  ->  n  e.  C )
130127, 129, 112syl2anc 673 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( C  \  ( C  \  Z ) ) )  ->  G  e.  A )
131 dfin4 3674 . . . . . . . . 9  |-  ( Z  i^i  C )  =  ( Z  \  ( Z  \  C ) )
132 difss 3549 . . . . . . . . 9  |-  ( Z 
\  ( Z  \  C ) )  C_  Z
133131, 132eqsstri 3448 . . . . . . . 8  |-  ( Z  i^i  C )  C_  Z
134 inss2 3644 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  i^i  Z )  C_  Z
135 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( C  \ 
( C  \  Z
) )  ->  n  e.  ( C  \  ( C  \  Z ) ) )
136 dfin4 3674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  i^i  Z )  =  ( C  \  ( C  \  Z ) )
137136eqcomi 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C 
\  ( C  \  Z ) )  =  ( C  i^i  Z
)
138135, 137syl6eleq 2559 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( C  \ 
( C  \  Z
) )  ->  n  e.  ( C  i^i  Z
) )
139134, 138sseldi 3416 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( C  \ 
( C  \  Z
) )  ->  n  e.  Z )
140139, 128elind 3609 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( C  \ 
( C  \  Z
) )  ->  n  e.  ( Z  i^i  C
) )
141133, 140sseldi 3416 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( C  \ 
( C  \  Z
) )  ->  n  e.  Z )
142141adantl 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( C  \  ( C  \  Z ) ) )  ->  n  e.  Z )
14378eqcomd 2477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (/)  =  ( F `  n ) )
144 simpl 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ph )
14575simpld 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  n  e.  C )
146144, 145, 107syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n )  =  G )
147143, 146eqtr2d 2506 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  G  =  (/) )
148127, 142, 147syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( C  \  ( C  \  Z ) ) )  ->  G  =  (/) )
149127, 148jca 541 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( C  \  ( C  \  Z ) ) )  ->  ( ph  /\  G  =  (/) ) )
150 nfv 1769 . . . . . . 7  |-  F/ k  G  =  (/)
1511, 150nfan 2031 . . . . . 6  |-  F/ k ( ph  /\  G  =  (/) )
152 nfv 1769 . . . . . 6  |-  F/ k  D  =  0
153151, 152nfim 2023 . . . . 5  |-  F/ k ( ( ph  /\  G  =  (/) )  ->  D  =  0 )
154 eqeq1 2475 . . . . . . 7  |-  ( k  =  G  ->  (
k  =  (/)  <->  G  =  (/) ) )
155154anbi2d 718 . . . . . 6  |-  ( k  =  G  ->  (
( ph  /\  k  =  (/) )  <->  ( ph  /\  G  =  (/) ) ) )
15626eqeq1d 2473 . . . . . 6  |-  ( k  =  G  ->  ( B  =  0  <->  D  = 
0 ) )
157155, 156imbi12d 327 . . . . 5  |-  ( k  =  G  ->  (
( ( ph  /\  k  =  (/) )  ->  B  =  0 )  <-> 
( ( ph  /\  G  =  (/) )  ->  D  =  0 ) ) )
158116, 153, 157, 21vtoclgf 3091 . . . 4  |-  ( G  e.  A  ->  (
( ph  /\  G  =  (/) )  ->  D  =  0 ) )
159130, 149, 158sylc 61 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( C  \  ( C  \  Z ) ) )  ->  D  = 
0 )
16025, 2, 42, 126, 159sge0ss 38368 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( n  e.  ( C  \  Z ) 
|->  D ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  C  |->  D ) ) )
16124, 110, 1603eqtrd 2509 1  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  C  |->  D ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376   A.wal 1450    = wceq 1452   F/wnf 1675    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959  Disj wdisj 4366    |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   ran crn 4840    |` cres 4841   "cima 4842    Fn wfn 5584   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557   +oocpnf 9690   [,]cicc 11663  Σ^csumge0 38318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319
This theorem is referenced by:  sge0fodjrn  38373
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