Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0fodjrnlem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem sge0fodjrnlem 38268
 Description: Re-index a nonnegative extended sum using an onto function with disjoint range, when the empty set is assigned in the sum (this is true, for example, both for measures and outer measures). (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0fodjrnlem.k
sge0fodjrnlem.n
sge0fodjrnlem.bd
sge0fodjrnlem.c
sge0fodjrnlem.f
sge0fodjrnlem.dj Disj
sge0fodjrnlem.fng
sge0fodjrnlem.b
sge0fodjrnlem.b0
sge0fodjrnlem.z
Assertion
Ref Expression
sge0fodjrnlem Σ^ Σ^
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   ()   (,)

Proof of Theorem sge0fodjrnlem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0fodjrnlem.k . . . 4
2 sge0fodjrnlem.c . . . . 5
3 sge0fodjrnlem.f . . . . 5
4 fornex 6767 . . . . 5
52, 3, 4sylc 62 . . . 4
6 difssd 3563 . . . 4
7 simpl 459 . . . . 5
86sselda 3434 . . . . 5
9 sge0fodjrnlem.b . . . . 5
107, 8, 9syl2anc 667 . . . 4
11 simpl 459 . . . . 5
12 dfin4 3685 . . . . . . . . . 10
1312eqcomi 2462 . . . . . . . . 9
14 inss2 3655 . . . . . . . . 9
1513, 14eqsstri 3464 . . . . . . . 8
16 id 22 . . . . . . . 8
1715, 16sseldi 3432 . . . . . . 7
18 elsni 3995 . . . . . . 7
1917, 18syl 17 . . . . . 6
2019adantl 468 . . . . 5
21 sge0fodjrnlem.b0 . . . . 5
2211, 20, 21syl2anc 667 . . . 4
231, 5, 6, 10, 22sge0ss 38264 . . 3 Σ^ Σ^
2423eqcomd 2459 . 2 Σ^ Σ^
25 sge0fodjrnlem.n . . 3
26 sge0fodjrnlem.bd . . 3
27 difexg 4554 . . . 4
282, 27syl 17 . . 3
29 eqid 2453 . . . . 5
30 fof 5798 . . . . . . 7
313, 30syl 17 . . . . . 6
3231ffvelrnda 6027 . . . . 5
33 sge0fodjrnlem.dj . . . . 5 Disj
34 fveq2 5870 . . . . . . 7
3534neeq1d 2685 . . . . . 6
3635cbvrabv 3046 . . . . 5
3734cbvmptv 4498 . . . . . . 7
3837rneqi 5064 . . . . . 6
3938difeq1i 3549 . . . . 5
4025, 29, 32, 33, 36, 39disjf1o 37476 . . . 4
4131feqmptd 5923 . . . . . 6
42 difssd 3563 . . . . . . . . . . . . 13
4342sselda 3434 . . . . . . . . . . . 12
44 eldifi 3557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4544adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
46 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
47 fvex 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
48 elsncg 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5046, 49sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5150adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5245, 51jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5352adantll 721 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5431ffnd 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
55 elpreima 6007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5756ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5853, 57mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . 15
59 sge0fodjrnlem.z . . . . . . . . . . . . . . 15
6058, 59syl6eleqr 2542 . . . . . . . . . . . . . 14
61 eldifn 3558 . . . . . . . . . . . . . . 15
6261ad2antlr 734 . . . . . . . . . . . . . 14
6360, 62pm2.65da 580 . . . . . . . . . . . . 13
6463neqned 2633 . . . . . . . . . . . 12
6543, 64jca 535 . . . . . . . . . . 11
6635elrab 3198 . . . . . . . . . . 11
6765, 66sylibr 216 . . . . . . . . . 10
6867ex 436 . . . . . . . . 9
6966simplbi 462 . . . . . . . . . . . . . . 15
7069adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14
7159eleq2i 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7271biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7372adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7456adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7573, 74mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7675simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
77 elsni 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7978adantlr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15
8066simprbi 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8180ad2antlr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8281neneqd 2631 . . . . . . . . . . . . . . 15
8379, 82pm2.65da 580 . . . . . . . . . . . . . 14
8470, 83eldifd 3417 . . . . . . . . . . . . 13
8584ex 436 . . . . . . . . . . . 12
8625, 85ralrimi 2790 . . . . . . . . . . 11
87 dfss3 3424 . . . . . . . . . . 11
8886, 87sylibr 216 . . . . . . . . . 10
8988sseld 3433 . . . . . . . . 9
9068, 89impbid 194 . . . . . . . 8
9125, 90alrimi 1957 . . . . . . 7
92 dfcleq 2447 . . . . . . 7
9391, 92sylibr 216 . . . . . 6
9441, 93reseq12d 5109 . . . . 5
9541, 37syl6eqr 2505 . . . . . . . . 9
9695eqcomd 2459 . . . . . . . 8
9796rneqd 5065 . . . . . . 7
98 forn 5801 . . . . . . . 8
993, 98syl 17 . . . . . . 7
10097, 99eqtr2d 2488 . . . . . 6
101100difeq1d 3552 . . . . 5
10294, 93, 101f1oeq123d 5816 . . . 4
10340, 102mpbird 236 . . 3
104 fvres 5884 . . . . 5
105104adantl 468 . . . 4
106 simpl 459 . . . . 5
107 sge0fodjrnlem.fng . . . . 5
108106, 43, 107syl2anc 667 . . . 4
109105, 108eqtrd 2487 . . 3
1101, 25, 26, 28, 103, 109, 10sge0f1o 38234 . 2 Σ^ Σ^
111107eqcomd 2459 . . . . . 6
112111, 32eqeltrd 2531 . . . . 5
113106, 43, 112syl2anc 667 . . . 4
114113ex 436 . . . . 5
115114imdistani 697 . . . 4
116 nfcv 2594 . . . . 5
117 nfv 1763 . . . . . . 7
1181, 117nfan 2013 . . . . . 6
119 nfv 1763 . . . . . 6
120118, 119nfim 2005 . . . . 5
121 eleq1 2519 . . . . . . 7
122121anbi2d 711 . . . . . 6
12326eleq1d 2515 . . . . . 6
124122, 123imbi12d 322 . . . . 5
125116, 120, 124, 9vtoclgf 3107 . . . 4
126113, 115, 125sylc 62 . . 3
127 simpl 459 . . . . 5
128 eldifi 3557 . . . . . 6
129128adantl 468 . . . . 5
130127, 129, 112syl2anc 667 . . . 4
131 dfin4 3685 . . . . . . . . 9
132 difss 3562 . . . . . . . . 9
133131, 132eqsstri 3464 . . . . . . . 8
134 inss2 3655 . . . . . . . . . 10
135 id 22 . . . . . . . . . . 11
136 dfin4 3685 . . . . . . . . . . . 12
137136eqcomi 2462 . . . . . . . . . . 11
138135, 137syl6eleq 2541 . . . . . . . . . 10
139134, 138sseldi 3432 . . . . . . . . 9
140139, 128elind 3620 . . . . . . . 8
141133, 140sseldi 3432 . . . . . . 7
142141adantl 468 . . . . . 6
14378eqcomd 2459 . . . . . . 7
144 simpl 459 . . . . . . . 8
14575simpld 461 . . . . . . . 8
146144, 145, 107syl2anc 667 . . . . . . 7
147143, 146eqtr2d 2488 . . . . . 6
148127, 142, 147syl2anc 667 . . . . 5
149127, 148jca 535 . . . 4
150 nfv 1763 . . . . . . 7
1511, 150nfan 2013 . . . . . 6
152 nfv 1763 . . . . . 6
153151, 152nfim 2005 . . . . 5
154 eqeq1 2457 . . . . . . 7
155154anbi2d 711 . . . . . 6
15626eqeq1d 2455 . . . . . 6
157155, 156imbi12d 322 . . . . 5
158116, 153, 157, 21vtoclgf 3107 . . . 4
159130, 149, 158sylc 62 . . 3
16025, 2, 42, 126, 159sge0ss 38264 . 2 Σ^ Σ^
16124, 110, 1603eqtrd 2491 1 Σ^ Σ^
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wa 371  wal 1444   wceq 1446  wnf 1669   wcel 1889   wne 2624  wral 2739  crab 2743  cvv 3047   cdif 3403   cin 3405   wss 3406  c0 3733  csn 3970  Disj wdisj 4376   cmpt 4464  ccnv 4836   crn 4838   cres 4839  cima 4840   wfn 5580  wf 5581  wfo 5583  wf1o 5584  cfv 5585  (class class class)co 6295  cc0 9544   cpnf 9677  cicc 11645  Σ^csumge0 38214 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-disj 4377  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-oi 8030  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-xadd 11417  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-sum 13765  df-sumge0 38215 This theorem is referenced by:  sge0fodjrn  38269
 Copyright terms: Public domain W3C validator