Theorem sge0fodjrnlem 38372

Description: Re-index a nonnegative extended sum using an onto function with disjoint range, when the empty set is assigned 0 in the sum (this is true, for example, both for measures and outer measures). (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0fodjrnlem.k	|- F/ k ph
sge0fodjrnlem.n	|- F/ n ph
sge0fodjrnlem.bd	|- ( k = G -> B = D )
sge0fodjrnlem.c	|- ( ph -> C e. V )
sge0fodjrnlem.f	|- ( ph -> F : C -onto-> A )
sge0fodjrnlem.dj	|- ( ph -> Disj n e. C ( F ` n ) )
sge0fodjrnlem.fng	|- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) = G )
sge0fodjrnlem.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
sge0fodjrnlem.b0	|- ( ( ph /\ k = (/) ) -> B = 0 )
sge0fodjrnlem.z	|- Z = ( `' F " { (/) } )

Assertion

Ref	Expression
sge0fodjrnlem	|- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = (Σ^ ` ( n e. C |-> D ) ) )

Distinct variable groups:   A, k, n   B, n   C, k, n   D, k   k, F, n   k, G   k, Z, n

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   B( k)   D( n)   G( n)   V( k, n)

Proof of Theorem sge0fodjrnlem

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0fodjrnlem.k	. . . 4 |- F/ k ph
2		sge0fodjrnlem.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. V )
3		sge0fodjrnlem.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : C -onto-> A )
4		fornex 6781	. . . . 5 |- ( C e. V -> ( F : C -onto-> A -> A e. _V ) )
5	2, 3, 4	sylc 61	. . . 4 |- ( ph -> A e. _V )
6		difssd 3550	. . . 4 |- ( ph -> ( A \ { (/) } ) C_ A )
7		simpl 464	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ { (/) } ) ) -> ph )
8	6	sselda 3418	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ { (/) } ) ) -> k e. A )
9		sge0fodjrnlem.b	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
10	7, 8, 9	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ { (/) } ) ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
11		simpl 464	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ ( A \ { (/) } ) ) ) -> ph )
12		dfin4 3674	. . . . . . . . . 10 |- ( A i^i { (/) } ) = ( A \ ( A \ { (/) } ) )
13	12	eqcomi 2480	. . . . . . . . 9 |- ( A \ ( A \ { (/) } ) ) = ( A i^i { (/) } )
14		inss2 3644	. . . . . . . . 9 |- ( A i^i { (/) } ) C_ { (/) }
15	13, 14	eqsstri 3448	. . . . . . . 8 |- ( A \ ( A \ { (/) } ) ) C_ { (/) }
16		id 22	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( A \ ( A \ { (/) } ) ) -> k e. ( A \ ( A \ { (/) } ) ) )
17	15, 16	sseldi 3416	. . . . . . 7 |- ( k e. ( A \ ( A \ { (/) } ) ) -> k e. { (/) } )
18		elsni 3985	. . . . . . 7 |- ( k e. { (/) } -> k = (/) )
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 |- ( k e. ( A \ ( A \ { (/) } ) ) -> k = (/) )
20	19	adantl 473	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ ( A \ { (/) } ) ) ) -> k = (/) )
21		sge0fodjrnlem.b0	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k = (/) ) -> B = 0 )
22	11, 20, 21	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ ( A \ { (/) } ) ) ) -> B = 0 )
23	1, 5, 6, 10, 22	sge0ss 38368	. . 3 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. ( A \ { (/) } ) |-> B ) ) = (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) )
24	23	eqcomd 2477	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = (Σ^ ` ( k e. ( A \ { (/) } ) |-> B ) ) )
25		sge0fodjrnlem.n	. . 3 |- F/ n ph
26		sge0fodjrnlem.bd	. . 3 |- ( k = G -> B = D )
27		difexg 4545	. . . 4 |- ( C e. V -> ( C \ Z ) e. _V )
28	2, 27	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( C \ Z ) e. _V )
29		eqid 2471	. . . . 5 |- ( n e. C |-> ( F ` n ) ) = ( n e. C |-> ( F ` n ) )
30		fof 5806	. . . . . . 7 |- ( F : C -onto-> A -> F : C --> A )
31	3, 30	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> F : C --> A )
32	31	ffvelrnda 6037	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) e. A )
33		sge0fodjrnlem.dj	. . . . 5 |- ( ph -> Disj n e. C ( F ` n ) )
34		fveq2 5879	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( F ` m ) = ( F ` n ) )
35	34	neeq1d 2702	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( ( F ` m ) =/= (/) <-> ( F ` n ) =/= (/) ) )
36	35	cbvrabv 3030	. . . . 5 |- { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } = { n e. C | ( F ` n ) =/= (/) }
37	34	cbvmptv 4488	. . . . . . 7 |- ( m e. C |-> ( F ` m ) ) = ( n e. C |-> ( F ` n ) )
38	37	rneqi 5067	. . . . . 6 |- ran ( m e. C |-> ( F ` m ) ) = ran ( n e. C |-> ( F ` n ) )
39	38	difeq1i 3536	. . . . 5 |- ( ran ( m e. C |-> ( F ` m ) ) \ { (/) } ) = ( ran ( n e. C |-> ( F ` n ) ) \ { (/) } )
40	25, 29, 32, 33, 36, 39	disjf1o 37537	. . . 4 |- ( ph -> ( ( n e. C |-> ( F ` n ) ) |` { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) : { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } -1-1-onto-> ( ran ( m e. C |-> ( F ` m ) ) \ { (/) } ) )
41	31	feqmptd 5932	. . . . . 6 |- ( ph -> F = ( n e. C |-> ( F ` n ) ) )
42		difssd 3550	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( C \ Z ) C_ C )
43	42	sselda 3418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> n e. C )
44		eldifi 3544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. ( C \ Z ) -> n e. C )
45	44	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. ( C \ Z ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> n e. C )
46		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F ` n ) = (/) -> ( F ` n ) = (/) )
47		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( F ` n ) e. _V
48		elsncg 3983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F ` n ) e. _V -> ( ( F ` n ) e. { (/) } <-> ( F ` n ) = (/) ) )
49	47, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F ` n ) e. { (/) } <-> ( F ` n ) = (/) )
50	46, 49	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F ` n ) = (/) -> ( F ` n ) e. { (/) } )
51	50	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. ( C \ Z ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> ( F ` n ) e. { (/) } )
52	45, 51	jca 541	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. ( C \ Z ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> ( n e. C /\ ( F ` n ) e. { (/) } ) )
53	52	adantll 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> ( n e. C /\ ( F ` n ) e. { (/) } ) )
54	31	ffnd 5740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F Fn C )
55		elpreima 6017	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F Fn C -> ( n e. ( `' F " { (/) } ) <-> ( n e. C /\ ( F ` n ) e. { (/) } ) ) )
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( n e. ( `' F " { (/) } ) <-> ( n e. C /\ ( F ` n ) e. { (/) } ) ) )
57	56	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> ( n e. ( `' F " { (/) } ) <-> ( n e. C /\ ( F ` n ) e. { (/) } ) ) )
58	53, 57	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> n e. ( `' F " { (/) } ) )
59		sge0fodjrnlem.z	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Z = ( `' F " { (/) } )
60	58, 59	syl6eleqr 2560	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> n e. Z )
61		eldifn 3545	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( C \ Z ) -> -. n e. Z )
62	61	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> -. n e. Z )
63	60, 62	pm2.65da 586	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> -. ( F ` n ) = (/) )
64	63	neqned 2650	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> ( F ` n ) =/= (/) )
65	43, 64	jca 541	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> ( n e. C /\ ( F ` n ) =/= (/) ) )
66	35	elrab 3184	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } <-> ( n e. C /\ ( F ` n ) =/= (/) ) )
67	65, 66	sylibr 217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } )
68	67	ex 441	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( n e. ( C \ Z ) -> n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) )
69	66	simplbi 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } -> n e. C )
70	69	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) -> n e. C )
71	59	eleq2i 2541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. Z <-> n e. ( `' F " { (/) } ) )
72	71	biimpi 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n e. Z -> n e. ( `' F " { (/) } ) )
73	72	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> n e. ( `' F " { (/) } ) )
74	56	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( n e. ( `' F " { (/) } ) <-> ( n e. C /\ ( F ` n ) e. { (/) } ) ) )
75	73, 74	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( n e. C /\ ( F ` n ) e. { (/) } ) )
76	75	simprd 470	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) e. { (/) } )
77		elsni 3985	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` n ) e. { (/) } -> ( F ` n ) = (/) )
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) = (/) )
79	78	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) = (/) )
80	66	simprbi 471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } -> ( F ` n ) =/= (/) )
81	80	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) =/= (/) )
82	81	neneqd 2648	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) /\ n e. Z ) -> -. ( F ` n ) = (/) )
83	79, 82	pm2.65da 586	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) -> -. n e. Z )
84	70, 83	eldifd 3401	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) -> n e. ( C \ Z ) )
85	84	ex 441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } -> n e. ( C \ Z ) ) )
86	25, 85	ralrimi 2800	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } n e. ( C \ Z ) )
87		dfss3 3408	. . . . . . . . . . 11 |- ( { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } C_ ( C \ Z ) <-> A. n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } n e. ( C \ Z ) )
88	86, 87	sylibr 217	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } C_ ( C \ Z ) )
89	88	sseld 3417	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } -> n e. ( C \ Z ) ) )
90	68, 89	impbid 195	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( n e. ( C \ Z ) <-> n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) )
91	25, 90	alrimi 1975	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n ( n e. ( C \ Z ) <-> n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) )
92		dfcleq 2465	. . . . . . 7 |- ( ( C \ Z ) = { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } <-> A. n ( n e. ( C \ Z ) <-> n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) )
93	91, 92	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C \ Z ) = { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } )
94	41, 93	reseq12d 5112	. . . . 5 |- ( ph -> ( F |` ( C \ Z ) ) = ( ( n e. C |-> ( F ` n ) ) |` { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) )
95	41, 37	syl6eqr 2523	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F = ( m e. C |-> ( F ` m ) ) )
96	95	eqcomd 2477	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( m e. C |-> ( F ` m ) ) = F )
97	96	rneqd 5068	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran ( m e. C |-> ( F ` m ) ) = ran F )
98		forn 5809	. . . . . . . 8 |- ( F : C -onto-> A -> ran F = A )
99	3, 98	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran F = A )
100	97, 99	eqtr2d 2506	. . . . . 6 |- ( ph -> A = ran ( m e. C |-> ( F ` m ) ) )
101	100	difeq1d 3539	. . . . 5 |- ( ph -> ( A \ { (/) } ) = ( ran ( m e. C |-> ( F ` m ) ) \ { (/) } ) )
102	94, 93, 101	f1oeq123d 5824	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F |` ( C \ Z ) ) : ( C \ Z ) -1-1-onto-> ( A \ { (/) } ) <-> ( ( n e. C |-> ( F ` n ) ) |` { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) : { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } -1-1-onto-> ( ran ( m e. C |-> ( F ` m ) ) \ { (/) } ) ) )
103	40, 102	mpbird 240	. . 3 |- ( ph -> ( F |` ( C \ Z ) ) : ( C \ Z ) -1-1-onto-> ( A \ { (/) } ) )
104		fvres 5893	. . . . 5 |- ( n e. ( C \ Z ) -> ( ( F |` ( C \ Z ) ) ` n ) = ( F ` n ) )
105	104	adantl 473	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> ( ( F |` ( C \ Z ) ) ` n ) = ( F ` n ) )
106		simpl 464	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> ph )
107		sge0fodjrnlem.fng	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) = G )
108	106, 43, 107	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> ( F ` n ) = G )
109	105, 108	eqtrd 2505	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> ( ( F |` ( C \ Z ) ) ` n ) = G )
110	1, 25, 26, 28, 103, 109, 10	sge0f1o 38338	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. ( A \ { (/) } ) |-> B ) ) = (Σ^ ` ( n e. ( C \ Z ) |-> D ) ) )
111	107	eqcomd 2477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> G = ( F ` n ) )
112	111, 32	eqeltrd 2549	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> G e. A )
113	106, 43, 112	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> G e. A )
114	113	ex 441	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. ( C \ Z ) -> G e. A ) )
115	114	imdistani 704	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> ( ph /\ G e. A ) )
116		nfcv 2612	. . . . 5 |- F/_ k G
117		nfv 1769	. . . . . . 7 |- F/ k G e. A
118	1, 117	nfan 2031	. . . . . 6 |- F/ k ( ph /\ G e. A )
119		nfv 1769	. . . . . 6 |- F/ k D e. ( 0 [,] +oo )
120	118, 119	nfim 2023	. . . . 5 |- F/ k ( ( ph /\ G e. A ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
121		eleq1 2537	. . . . . . 7 |- ( k = G -> ( k e. A <-> G e. A ) )
122	121	anbi2d 718	. . . . . 6 |- ( k = G -> ( ( ph /\ k e. A ) <-> ( ph /\ G e. A ) ) )
123	26	eleq1d 2533	. . . . . 6 |- ( k = G -> ( B e. ( 0 [,] +oo ) <-> D e. ( 0 [,] +oo ) ) )
124	122, 123	imbi12d 327	. . . . 5 |- ( k = G -> ( ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) ) <-> ( ( ph /\ G e. A ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) ) ) )
125	116, 120, 124, 9	vtoclgf 3091	. . . 4 |- ( G e. A -> ( ( ph /\ G e. A ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) ) )
126	113, 115, 125	sylc 61	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
127		simpl 464	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ ( C \ Z ) ) ) -> ph )
128		eldifi 3544	. . . . . 6 |- ( n e. ( C \ ( C \ Z ) ) -> n e. C )
129	128	adantl 473	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ ( C \ Z ) ) ) -> n e. C )
130	127, 129, 112	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ ( C \ Z ) ) ) -> G e. A )
131		dfin4 3674	. . . . . . . . 9 |- ( Z i^i C ) = ( Z \ ( Z \ C ) )
132		difss 3549	. . . . . . . . 9 |- ( Z \ ( Z \ C ) ) C_ Z
133	131, 132	eqsstri 3448	. . . . . . . 8 |- ( Z i^i C ) C_ Z
134		inss2 3644	. . . . . . . . . 10 |- ( C i^i Z ) C_ Z
135		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( C \ ( C \ Z ) ) -> n e. ( C \ ( C \ Z ) ) )
136		dfin4 3674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C i^i Z ) = ( C \ ( C \ Z ) )
137	136	eqcomi 2480	. . . . . . . . . . 11 |- ( C \ ( C \ Z ) ) = ( C i^i Z )
138	135, 137	syl6eleq 2559	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( C \ ( C \ Z ) ) -> n e. ( C i^i Z ) )
139	134, 138	sseldi 3416	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( C \ ( C \ Z ) ) -> n e. Z )
140	139, 128	elind 3609	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( C \ ( C \ Z ) ) -> n e. ( Z i^i C ) )
141	133, 140	sseldi 3416	. . . . . . 7 |- ( n e. ( C \ ( C \ Z ) ) -> n e. Z )
142	141	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ ( C \ Z ) ) ) -> n e. Z )
143	78	eqcomd 2477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> (/) = ( F ` n ) )
144		simpl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ph )
145	75	simpld 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> n e. C )
146	144, 145, 107	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) = G )
147	143, 146	eqtr2d 2506	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> G = (/) )
148	127, 142, 147	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ ( C \ Z ) ) ) -> G = (/) )
149	127, 148	jca 541	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ ( C \ Z ) ) ) -> ( ph /\ G = (/) ) )
150		nfv 1769	. . . . . . 7 |- F/ k G = (/)
151	1, 150	nfan 2031	. . . . . 6 |- F/ k ( ph /\ G = (/) )
152		nfv 1769	. . . . . 6 |- F/ k D = 0
153	151, 152	nfim 2023	. . . . 5 |- F/ k ( ( ph /\ G = (/) ) -> D = 0 )
154		eqeq1 2475	. . . . . . 7 |- ( k = G -> ( k = (/) <-> G = (/) ) )
155	154	anbi2d 718	. . . . . 6 |- ( k = G -> ( ( ph /\ k = (/) ) <-> ( ph /\ G = (/) ) ) )
156	26	eqeq1d 2473	. . . . . 6 |- ( k = G -> ( B = 0 <-> D = 0 ) )
157	155, 156	imbi12d 327	. . . . 5 |- ( k = G -> ( ( ( ph /\ k = (/) ) -> B = 0 ) <-> ( ( ph /\ G = (/) ) -> D = 0 ) ) )
158	116, 153, 157, 21	vtoclgf 3091	. . . 4 |- ( G e. A -> ( ( ph /\ G = (/) ) -> D = 0 ) )
159	130, 149, 158	sylc 61	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ ( C \ Z ) ) ) -> D = 0 )
160	25, 2, 42, 126, 159	sge0ss 38368	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. ( C \ Z ) |-> D ) ) = (Σ^ ` ( n e. C |-> D ) ) )
161	24, 110, 160	3eqtrd 2509	1 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = (Σ^ ` ( n e. C |-> D ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   A.wal 1450   = wceq 1452   F/wnf 1675   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959  Disj wdisj 4366   |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   ran crn 4840   |` cres 4841   "cima 4842   Fn wfn 5584   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557   +oocpnf 9690   [,]cicc 11663  Σ^{^}csumge0 38318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319

This theorem is referenced by:  sge0fodjrn  38373