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Theorem sge0f1o 38338
Description: Re-index a nonnegative extended sum using a bijection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0f1o.1  |-  F/ k
ph
sge0f1o.2  |-  F/ n ph
sge0f1o.3  |-  ( k  =  G  ->  B  =  D )
sge0f1o.4  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
sge0f1o.5  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
sge0f1o.6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  =  G )
sge0f1o.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
Assertion
Ref Expression
sge0f1o  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  C  |->  D ) ) )
Distinct variable groups:    A, k, n    B, n    C, k, n    D, k    k, F, n    k, G
Allowed substitution hints:    ph( k, n)    B( k)    D( n)    G( n)    V( k, n)

Proof of Theorem sge0f1o
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0f1o.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
2 sge0f1o.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
3 f1ofo 5835 . . . . . . 7  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  F : C -onto-> A )
42, 3syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : C -onto-> A
)
5 fornex 6781 . . . . . 6  |-  ( C  e.  V  ->  ( F : C -onto-> A  ->  A  e.  _V )
)
61, 4, 5sylc 61 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
76adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  ->  A  e.  _V )
8 sge0f1o.1 . . . . . 6  |-  F/ k
ph
9 sge0f1o.7 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
10 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
118, 9, 10fmptdf 6063 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
1211adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  -> 
( k  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
13 pnfex 11436 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  _V
14 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  C  |->  D )  =  ( n  e.  C  |->  D )
1514elrnmpt 5087 . . . . . . . 8  |-  ( +oo  e.  _V  ->  ( +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D )  <->  E. n  e.  C +oo  =  D ) )
1613, 15ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D )  <->  E. n  e.  C +oo  =  D )
1716biimpi 199 . . . . . 6  |-  ( +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D )  ->  E. n  e.  C +oo  =  D )
1817adantl 473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  ->  E. n  e.  C +oo  =  D )
19 sge0f1o.2 . . . . . . 7  |-  F/ n ph
20 nfv 1769 . . . . . . 7  |-  F/ n +oo  e.  ran  ( k  e.  A  |->  B )
21 simp3 1032 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C  /\ +oo  =  D )  -> +oo  =  D )
22 f1of 5828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  F : C
--> A )
232, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : C --> A )
2423ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  e.  A )
25 sge0f1o.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  =  G )
26 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k
( F `  n
)
27 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( F `  n
)  =  G
2826nfcsb1 3364 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k [_ ( F `  n
)  /  k ]_ B
29 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k D
3028, 29nfeq 2623 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k
[_ ( F `  n )  /  k ]_ B  =  D
3127, 30nfim 2023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ( F `  n )  =  G  ->  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B  =  D
)
32 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( F `  n )  ->  (
k  =  G  <->  ( F `  n )  =  G ) )
33 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( F `  n )  ->  B  =  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B )
3433eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( F `  n )  ->  ( B  =  D  <->  [_ ( F `
 n )  / 
k ]_ B  =  D ) )
3532, 34imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( F `  n )  ->  (
( k  =  G  ->  B  =  D )  <->  ( ( F `
 n )  =  G  ->  [_ ( F `
 n )  / 
k ]_ B  =  D ) ) )
36 sge0f1o.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  G  ->  B  =  D )
3726, 31, 35, 36vtoclgf 3091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  n )  e.  A  ->  (
( F `  n
)  =  G  ->  [_ ( F `  n
)  /  k ]_ B  =  D )
)
3824, 25, 37sylc 61 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B  =  D )
3938eqcomd 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  D  =  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B )
40393adant3 1050 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C  /\ +oo  =  D )  ->  D  =  [_ ( F `  n
)  /  k ]_ B )
4121, 40eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C  /\ +oo  =  D )  -> +oo  =  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B
)
42 simpl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ph )
4342, 24jca 541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( ph  /\  ( F `  n )  e.  A
) )
44 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( F `  n
)  e.  A
458, 44nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ph  /\  ( F `  n )  e.  A )
4628nfel1 2626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k
[_ ( F `  n )  /  k ]_ B  e.  (
0 [,] +oo )
4745, 46nfim 2023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( ( ph  /\  ( F `  n )  e.  A )  ->  [_ ( F `  n
)  /  k ]_ B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
48 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( F `  n )  ->  (
k  e.  A  <->  ( F `  n )  e.  A
) )
4948anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( F `  n )  ->  (
( ph  /\  k  e.  A )  <->  ( ph  /\  ( F `  n
)  e.  A ) ) )
5033eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( F `  n )  ->  ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  [_ ( F `
 n )  / 
k ]_ B  e.  ( 0 [,] +oo )
) )
5149, 50imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( F `  n )  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  <-> 
( ( ph  /\  ( F `  n )  e.  A )  ->  [_ ( F `  n
)  /  k ]_ B  e.  ( 0 [,] +oo ) ) ) )
5226, 47, 51, 9vtoclgf 3091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  n )  e.  A  ->  (
( ph  /\  ( F `  n )  e.  A )  ->  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
5324, 43, 52sylc 61 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5428, 10, 33elrnmpt1sf 37535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  A  /\  [_ ( F `  n
)  /  k ]_ B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B  e.  ran  ( k  e.  A  |->  B ) )
5524, 53, 54syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B  e.  ran  ( k  e.  A  |->  B ) )
56553adant3 1050 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C  /\ +oo  =  D )  ->  [_ ( F `
 n )  / 
k ]_ B  e.  ran  ( k  e.  A  |->  B ) )
5741, 56eqeltrd 2549 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C  /\ +oo  =  D )  -> +oo  e.  ran  ( k  e.  A  |->  B ) )
58573exp 1230 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  C  ->  ( +oo  =  D  -> +oo  e.  ran  ( k  e.  A  |->  B ) ) ) )
5919, 20, 58rexlimd 2866 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  C +oo  =  D  -> +oo  e.  ran  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
6059adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  -> 
( E. n  e.  C +oo  =  D  -> +oo  e.  ran  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
6118, 60mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  -> +oo  e.  ran  ( k  e.  A  |->  B ) )
627, 12, 61sge0pnfval 38329 . . 3  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  -> 
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )
631adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  ->  C  e.  V )
6439, 53eqeltrd 2549 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
6519, 64, 14fmptdf 6063 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  C  |->  D ) : C --> ( 0 [,] +oo ) )
6665adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  -> 
( n  e.  C  |->  D ) : C --> ( 0 [,] +oo ) )
67 simpr 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  -> +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )
6863, 66, 67sge0pnfval 38329 . . 3  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  -> 
(Σ^ `  ( n  e.  C  |->  D ) )  = +oo )
6962, 68eqtr4d 2508 . 2  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  -> 
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  C  |->  D ) ) )
70 sumex 13831 . . . . . . 7  |-  sum_ k  e.  y  B  e.  _V
7170a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  y  B  e.  _V )
72 cnvimass 5194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' F " y ) 
C_  dom  F
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' F "
y )  C_  dom  F )
74 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : C --> A  ->  dom  F  =  C )
7523, 74syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  F  =  C )
7673, 75sseqtrd 3454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' F "
y )  C_  C
)
77 fex 6155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : C --> A  /\  C  e.  V )  ->  F  e.  _V )
7823, 1, 77syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
79 cnvexg 6758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  _V  ->  `' F  e.  _V )
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  `' F  e.  _V )
81 imaexg 6749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " y )  e.  _V )
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' F "
y )  e.  _V )
83 elpwg 3950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F " y )  e.  _V  ->  (
( `' F "
y )  e.  ~P C 
<->  ( `' F "
y )  C_  C
) )
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( `' F " y )  e.  ~P C 
<->  ( `' F "
y )  C_  C
) )
8576, 84mpbird 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' F "
y )  e.  ~P C )
8685adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( `' F " y )  e.  ~P C )
87 f1ocnv 5840 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  `' F : A -1-1-onto-> C )
882, 87syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  `' F : A -1-1-onto-> C )
89 f1ofun 5830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' F : A -1-1-onto-> C  ->  Fun  `' F )
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Fun  `' F )
9190adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  Fun  `' F )
92 elinel2 3611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
9392adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
94 imafi 7885 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  `' F  /\  y  e.  Fin )  ->  ( `' F "
y )  e.  Fin )
9591, 93, 94syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( `' F " y )  e.  Fin )
9686, 95elind 3609 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( `' F " y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )
9796adantlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( `' F " y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )
98 nfv 1769 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D )
998, 98nfan 2031 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )
100 nfv 1769 . . . . . . . . 9  |-  F/ k  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
10199, 100nfan 2031 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
102 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n +oo
103 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n
( n  e.  C  |->  D )
104103nfrn 5083 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n ran  ( n  e.  C  |->  D )
105102, 104nfel 2624 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D )
106105nfn 2003 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D )
10719, 106nfan 2031 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )
108 nfv 1769 . . . . . . . . 9  |-  F/ n  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
109107, 108nfan 2031 . . . . . . . 8  |-  F/ n
( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
11095adantlr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( `' F " y )  e.  Fin )
111 f1of1 5827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  F : C -1-1-> A )
1122, 111syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-> A
)
113112adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  F : C -1-1-> A )
11484adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( `' F "
y )  e.  ~P C 
<->  ( `' F "
y )  C_  C
) )
11586, 114mpbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( `' F " y ) 
C_  C )
116 f1ores 5842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : C -1-1-> A  /\  ( `' F "
y )  C_  C
)  ->  ( F  |`  ( `' F "
y ) ) : ( `' F "
y ) -1-1-onto-> ( F " ( `' F " y ) ) )
117113, 115, 116syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  ( `' F " y ) ) : ( `' F "
y ) -1-1-onto-> ( F " ( `' F " y ) ) )
1184adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  F : C -onto-> A )
119 elpwinss 37446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  C_  A )
120119adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  A )
121 foimacnv 5845 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : C -onto-> A  /\  y  C_  A )  ->  ( F "
( `' F "
y ) )  =  y )
122118, 120, 121syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F " ( `' F " y ) )  =  y )
123122f1oeq3d 5825 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( F  |`  ( `' F " y ) ) : ( `' F " y ) -1-1-onto-> ( F " ( `' F " y ) )  <->  ( F  |`  ( `' F " y ) ) : ( `' F " y ) -1-1-onto-> y ) )
124117, 123mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  ( `' F " y ) ) : ( `' F "
y ) -1-1-onto-> y )
125124adantlr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  ( `' F " y ) ) : ( `' F "
y ) -1-1-onto-> y )
12682ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  ( `' F "
y ) )  -> 
( `' F "
y )  e.  _V )
127 simpll 768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  ( `' F "
y ) )  ->  ph )
12896adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  ( `' F "
y ) )  -> 
( `' F "
y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )
129 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  ( `' F "
y ) )  ->  n  e.  ( `' F " y ) )
130127, 128, 129jca31 543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  ( `' F "
y ) )  -> 
( ( ph  /\  ( `' F " y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  ( `' F " y ) ) )
131 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  <->  ( `' F " y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ) )
132131anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
( ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  <->  ( ph  /\  ( `' F "
y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ) ) )
133 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
n  e.  x  <->  n  e.  ( `' F " y ) ) )
134132, 133anbi12d 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  x
)  <->  ( ( ph  /\  ( `' F "
y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  ( `' F "
y ) ) ) )
135 reseq2 5106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  ( F  |`  x )  =  ( F  |`  ( `' F " y ) ) )
136135fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
( F  |`  x
) `  n )  =  ( ( F  |`  ( `' F "
y ) ) `  n ) )
137136eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
( ( F  |`  x ) `  n
)  =  G  <->  ( ( F  |`  ( `' F " y ) ) `  n )  =  G ) )
138134, 137imbi12d 327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
)  /\  n  e.  x )  ->  (
( F  |`  x
) `  n )  =  G )  <->  ( (
( ph  /\  ( `' F " y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  ( `' F " y ) )  ->  ( ( F  |`  ( `' F "
y ) ) `  n )  =  G ) ) )
139 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  x  ->  (
( F  |`  x
) `  n )  =  ( F `  n ) )
140139adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  x )  ->  (
( F  |`  x
) `  n )  =  ( F `  n ) )
141 simpll 768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  x )  ->  ph )
142 elpwinss 37446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  ->  x  C_  C )
143142adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  x  C_  C )
144143sselda 3418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  x )  ->  n  e.  C )
145141, 144, 25syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  x )  ->  ( F `  n )  =  G )
146140, 145eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  x )  ->  (
( F  |`  x
) `  n )  =  G )
147138, 146vtoclg 3093 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F " y )  e.  _V  ->  (
( ( ph  /\  ( `' F " y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  ( `' F " y ) )  ->  ( ( F  |`  ( `' F "
y ) ) `  n )  =  G ) )
148126, 130, 147sylc 61 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  ( `' F "
y ) )  -> 
( ( F  |`  ( `' F " y ) ) `  n )  =  G )
149148adantllr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  ( `' F "
y ) )  -> 
( ( F  |`  ( `' F " y ) ) `  n )  =  G )
15082ad3antrrr 744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  ( `' F " y )  e.  _V )
151 simpll 768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) ) )
15285ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  ( `' F " y )  e.  ~P C )
153110adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  ( `' F " y )  e.  Fin )
154152, 153elind 3609 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  ( `' F " y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )
155 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  k  e.  y )
156122eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  =  ( F "
( `' F "
y ) ) )
157156adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  y  =  ( F "
( `' F "
y ) ) )
158155, 157eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  k  e.  ( F " ( `' F " y ) ) )
159158adantllr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  k  e.  ( F " ( `' F " y ) ) )
160151, 154, 159jca31 543 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  (
( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  ( `' F " y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( F " ( `' F "
y ) ) ) )
161131anbi2d 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  <->  ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  ( `' F " y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ) ) )
162 imaeq2 5170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  ( F " x )  =  ( F " ( `' F " y ) ) )
163162eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
k  e.  ( F
" x )  <->  k  e.  ( F " ( `' F " y ) ) ) )
164161, 163anbi12d 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( F " x ) )  <->  ( ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  ( `' F " y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( F " ( `' F "
y ) ) ) ) )
165164imbi1d 324 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
( ( ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( F " x ) )  ->  B  e.  CC )  <->  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  ( `' F " y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( F " ( `' F "
y ) ) )  ->  B  e.  CC ) ) )
166 rge0ssre 11766 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
167 ax-resscn 9614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  CC
168166, 167sstri 3427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  CC
169 simplll 776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( F " x
) )  ->  ph )
170 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( F " x
) )  ->  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )
171 fimass 5772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : C --> A  -> 
( F " x
)  C_  A )
17223, 171syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F " x
)  C_  A )
173172ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( F " x
) )  ->  ( F " x )  C_  A )
174 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( F " x
) )  ->  k  e.  ( F " x
) )
175173, 174sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( F " x
) )  ->  k  e.  A )
176175adantllr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( F " x
) )  ->  k  e.  A )
177 foelrni 5927 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : C -onto-> A  /\  k  e.  A
)  ->  E. n  e.  C  ( F `  n )  =  k )
1784, 177sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  E. n  e.  C  ( F `  n )  =  k )
179178adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  k  e.  A )  ->  E. n  e.  C  ( F `  n )  =  k )
180 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ n  k  e.  A
181107, 180nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ n
( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  k  e.  A )
182 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ n  B  e.  ( 0 [,) +oo )
183 csbid 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  [_ k  /  k ]_ B  =  B
184183eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  B  = 
[_ k  /  k ]_ B
185184a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C  /\  ( F `  n )  =  k )  ->  B  =  [_ k  /  k ]_ B )
186 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F `  n )  =  k  ->  ( F `  n )  =  k )
187186eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F `  n )  =  k  ->  k  =  ( F `  n ) )
188187csbeq1d 3356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F `  n )  =  k  ->  [_ k  /  k ]_ B  =  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B )
1891883ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C  /\  ( F `  n )  =  k )  ->  [_ k  / 
k ]_ B  =  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B
)
19038idi 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B  =  D )
1911903adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C  /\  ( F `  n )  =  k )  ->  [_ ( F `
 n )  / 
k ]_ B  =  D )
192185, 189, 1913eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C  /\  ( F `  n )  =  k )  ->  B  =  D )
1931923adant1r 1285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  n  e.  C  /\  ( F `
 n )  =  k )  ->  B  =  D )
194 0xr 9705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  0  e.  RR*
195194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  C )  /\  -.  D  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  0  e.  RR* )
196 pnfxr 11435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |- +oo  e.  RR*
197196a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  C )  /\  -.  D  e.  ( 0 [,) +oo ) )  -> +oo  e.  RR* )
19864adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  C )  /\  -.  D  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo )
)
199 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  C )  /\  -.  D  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  -.  D  e.  ( 0 [,) +oo ) )
200195, 197, 198, 199eliccnelico 37727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  C )  /\  -.  D  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  D  = +oo )
201200eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  C )  /\  -.  D  e.  ( 0 [,) +oo ) )  -> +oo  =  D
)
202 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  n  e.  C )
20364idi 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
20414elrnmpt1 5089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( n  e.  C  /\  D  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  D  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )
205202, 203, 204syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  D  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )
206205adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  C )  /\  -.  D  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  D  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )
207201, 206eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  C )  /\  -.  D  e.  ( 0 [,) +oo ) )  -> +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )
208207adantllr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  n  e.  C )  /\  -.  D  e.  ( 0 [,) +oo ) )  -> +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )
209 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  n  e.  C )  /\  -.  D  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )
210208, 209condan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  n  e.  C )  ->  D  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2112103adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  n  e.  C  /\  ( F `
 n )  =  k )  ->  D  e.  ( 0 [,) +oo ) )
212193, 211eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  n  e.  C  /\  ( F `
 n )  =  k )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2132123exp 1230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  -> 
( n  e.  C  ->  ( ( F `  n )  =  k  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo )
) ) )
214213adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  k  e.  A )  ->  (
n  e.  C  -> 
( ( F `  n )  =  k  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo )
) ) )
215181, 182, 214rexlimd 2866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( E. n  e.  C  ( F `  n )  =  k  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
216179, 215mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
217169, 170, 176, 216syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( F " x
) )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
218168, 217sseldi 3416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( F " x
) )  ->  B  e.  CC )
219218idi 2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( F " x
) )  ->  B  e.  CC )
220165, 219vtoclg 3093 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F " y )  e.  _V  ->  (
( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  ( `' F " y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( F " ( `' F "
y ) ) )  ->  B  e.  CC ) )
221150, 160, 220sylc 61 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  B  e.  CC )
222101, 109, 36, 110, 125, 149, 221fsumf1of 37749 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  y  B  =  sum_ n  e.  ( `' F " y ) D )
223 sumeq1 13832 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  sum_ n  e.  x  D  =  sum_ n  e.  ( `' F " y ) D )
224223eqeq2d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  ( sum_ k  e.  y  B  =  sum_ n  e.  x  D 
<-> 
sum_ k  e.  y  B  =  sum_ n  e.  ( `' F "
y ) D ) )
225224rspcev 3136 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' F "
y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  sum_ n  e.  ( `' F "
y ) D )  ->  E. x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) sum_ k  e.  y  B  =  sum_ n  e.  x  D )
22697, 222, 225syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  E. x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) sum_ k  e.  y  B  =  sum_ n  e.  x  D )
22771, 226rnmptssrn 37527 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  ->  ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  y  B )  C_  ran  ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |-> 
sum_ n  e.  x  D ) )
228 sumex 13831 . . . . . . 7  |-  sum_ n  e.  x  D  e.  _V
229228a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  sum_ n  e.  x  D  e.  _V )
2306, 172ssexd 4543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F " x
)  e.  _V )
231 elpwg 3950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F " x )  e.  _V  ->  (
( F " x
)  e.  ~P A  <->  ( F " x ) 
C_  A ) )
232230, 231syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( F "
x )  e.  ~P A 
<->  ( F " x
)  C_  A )
)
233172, 232mpbird 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F " x
)  e.  ~P A
)
234233adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( F " x )  e. 
~P A )
235 ffun 5742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : C --> A  ->  Fun  F )
23623, 235syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Fun  F )
237236adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  Fun  F )
238 elinel2 3611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
239238adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
240 imafi 7885 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  Fin )  ->  ( F " x )  e. 
Fin )
241237, 239, 240syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( F " x )  e. 
Fin )
242234, 241elind 3609 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( F " x )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
243242adantlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( F " x )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
244 nfv 1769 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
24599, 244nfan 2031 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )
246 nfv 1769 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
247107, 246nfan 2031 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )
248238adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
249112adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  F : C -1-1-> A )
250 f1ores 5842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : C -1-1-> A  /\  x  C_  C )  ->  ( F  |`  x ) : x -1-1-onto-> ( F " x ) )
251249, 143, 250syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  x ) : x -1-1-onto-> ( F " x
) )
252251adantlr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  x ) : x -1-1-onto-> ( F " x
) )
253146adantllr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  x )  ->  (
( F  |`  x
) `  n )  =  G )
254245, 247, 36, 248, 252, 253, 218fsumf1of 37749 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  ( F " x
) B  =  sum_ n  e.  x  D )
255254eqcomd 2477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  sum_ n  e.  x  D  =  sum_ k  e.  ( F
" x ) B )
256 sumeq1 13832 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( F "
x )  ->  sum_ k  e.  y  B  =  sum_ k  e.  ( F
" x ) B )
257256eqeq2d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F "
x )  ->  ( sum_ n  e.  x  D  =  sum_ k  e.  y  B  <->  sum_ n  e.  x  D  =  sum_ k  e.  ( F " x
) B ) )
258257rspcev 3136 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F " x
)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  sum_ n  e.  x  D  =  sum_ k  e.  ( F " x
) B )  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) sum_ n  e.  x  D  =  sum_ k  e.  y  B )
259243, 255, 258syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) sum_ n  e.  x  D  =  sum_ k  e.  y  B )
260229, 259rnmptssrn 37527 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  ->  ran  ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  sum_ n  e.  x  D )  C_  ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  y  B ) )
261227, 260eqssd 3435 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  ->  ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  y  B )  =  ran  ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |-> 
sum_ n  e.  x  D ) )
262261supeq1d 7978 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  ->  sup ( ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  y  B ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |-> 
sum_ n  e.  x  D ) ,  RR* ,  <  ) )
2636adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  ->  A  e.  _V )
26499, 263, 216sge0revalmpt 38334 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  -> 
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  sup ( ran  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  y  B ) ,  RR* ,  <  ) )
2651adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  ->  C  e.  V )
266107, 265, 210sge0revalmpt 38334 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  -> 
(Σ^ `  ( n  e.  C  |->  D ) )  =  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |-> 
sum_ n  e.  x  D ) ,  RR* ,  <  ) )
267262, 264, 2663eqtr4d 2515 . 2  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  -> 
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  C  |->  D ) ) )
26869, 267pm2.61dan 808 1  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  C  |->  D ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   F/wnf 1675    e. wcel 1904   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   [_csb 3349    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942    |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   "cima 4842   Fun wfun 5583   -->wf 5585   -1-1->wf1 5586   -onto->wfo 5587   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   supcsup 7972   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   sum_csu 13829  Σ^csumge0 38318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319
This theorem is referenced by:  sge0resrnlem  38359  sge0fodjrnlem  38372  sge0xp  38385  meadjiunlem  38419  isomenndlem  38470  ovnsubaddlem1  38510
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