Theorem sge0f1o 38018

Description: Re-index a nonnegative extended sum using a bijection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0f1o.1	|- F/ k ph
sge0f1o.2	|- F/ n ph
sge0f1o.3	|- ( k = G -> B = D )
sge0f1o.4	|- ( ph -> C e. V )
sge0f1o.5	|- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
sge0f1o.6	|- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) = G )
sge0f1o.7	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )

Assertion

Ref	Expression
sge0f1o	|- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = (Σ^ ` ( n e. C |-> D ) ) )

Distinct variable groups:   A, k, n   B, n   C, k, n   D, k   k, F, n   k, G

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   B( k)   D( n)   G( n)   V( k, n)

Proof of Theorem sge0f1o

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0f1o.4	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. V )
2		sge0f1o.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
3		f1ofo 5836	. . . . . . 7 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> F : C -onto-> A )
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> F : C -onto-> A )
5		fornex 6774	. . . . . 6 |- ( C e. V -> ( F : C -onto-> A -> A e. _V ) )
6	1, 4, 5	sylc 63	. . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
7	6	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> A e. _V )
8		sge0f1o.1	. . . . . 6 |- F/ k ph
9		sge0f1o.7	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
10		eqid 2423	. . . . . 6 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
11	8, 9, 10	fmptdf 6061	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. A |-> B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
12	11	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
13		pnfex 11415	. . . . . . . 8 |- +oo e. _V
14		eqid 2423	. . . . . . . . 9 |- ( n e. C |-> D ) = ( n e. C |-> D )
15	14	elrnmpt 5098	. . . . . . . 8 |- ( +oo e. _V -> ( +oo e. ran ( n e. C |-> D ) <-> E. n e. C +oo = D ) )
16	13, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( +oo e. ran ( n e. C |-> D ) <-> E. n e. C +oo = D )
17	16	biimpi 198	. . . . . 6 |- ( +oo e. ran ( n e. C |-> D ) -> E. n e. C +oo = D )
18	17	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> E. n e. C +oo = D )
19		sge0f1o.2	. . . . . . 7 |- F/ n ph
20		nfv 1752	. . . . . . 7 |- F/ n +oo e. ran ( k e. A |-> B )
21		simp3 1008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. C /\ +oo = D ) -> +oo = D )
22		f1of 5829	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> F : C --> A )
23	2, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F : C --> A )
24	23	ffvelrnda 6035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) e. A )
25		sge0f1o.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) = G )
26		nfcv 2585	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k ( F ` n )
27		nfv 1752	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( F ` n ) = G
28	26	nfcsb1 3411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k [_ ( F ` n ) / k ]_ B
29		nfcv 2585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k D
30	28, 29	nfeq 2596	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k [_ ( F ` n ) / k ]_ B = D
31	27, 30	nfim 1977	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k ( ( F ` n ) = G -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B = D )
32		eqeq1 2427	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( F ` n ) -> ( k = G <-> ( F ` n ) = G ) )
33		csbeq1a 3405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( F ` n ) -> B = [_ ( F ` n ) / k ]_ B )
34	33	eqeq1d 2425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( F ` n ) -> ( B = D <-> [_ ( F ` n ) / k ]_ B = D ) )
35	32, 34	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( F ` n ) -> ( ( k = G -> B = D ) <-> ( ( F ` n ) = G -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B = D ) ) )
36		sge0f1o.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = G -> B = D )
37	26, 31, 35, 36	vtoclgf 3138	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` n ) e. A -> ( ( F ` n ) = G -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B = D ) )
38	24, 25, 37	sylc 63	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B = D )
39	38	eqcomd 2431	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> D = [_ ( F ` n ) / k ]_ B )
40	39	3adant3 1026	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. C /\ +oo = D ) -> D = [_ ( F ` n ) / k ]_ B )
41	21, 40	eqtrd 2464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. C /\ +oo = D ) -> +oo = [_ ( F ` n ) / k ]_ B )
42		simpl 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ph )
43	42, 24	jca 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ph /\ ( F ` n ) e. A ) )
44		nfv 1752	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( F ` n ) e. A
45	8, 44	nfan 1985	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k ( ph /\ ( F ` n ) e. A )
46	28	nfel1 2601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. ( 0 [,] +oo )
47	45, 46	nfim 1977	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k ( ( ph /\ ( F ` n ) e. A ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. ( 0 [,] +oo ) )
48		eleq1 2495	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( F ` n ) -> ( k e. A <-> ( F ` n ) e. A ) )
49	48	anbi2d 709	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( F ` n ) -> ( ( ph /\ k e. A ) <-> ( ph /\ ( F ` n ) e. A ) ) )
50	33	eleq1d 2492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( F ` n ) -> ( B e. ( 0 [,] +oo ) <-> [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. ( 0 [,] +oo ) ) )
51	49, 50	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( F ` n ) -> ( ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) ) <-> ( ( ph /\ ( F ` n ) e. A ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. ( 0 [,] +oo ) ) ) )
52	26, 47, 51, 9	vtoclgf 3138	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` n ) e. A -> ( ( ph /\ ( F ` n ) e. A ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. ( 0 [,] +oo ) ) )
53	24, 43, 52	sylc 63	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. ( 0 [,] +oo ) )
54	28, 10, 33	elrnmpt1sf 37320	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` n ) e. A /\ [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. ran ( k e. A |-> B ) )
55	24, 53, 54	syl2anc 666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. ran ( k e. A |-> B ) )
56	55	3adant3 1026	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. C /\ +oo = D ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. ran ( k e. A |-> B ) )
57	41, 56	eqeltrd 2511	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. C /\ +oo = D ) -> +oo e. ran ( k e. A |-> B ) )
58	57	3exp 1205	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n e. C -> ( +oo = D -> +oo e. ran ( k e. A |-> B ) ) ) )
59	19, 20, 58	rexlimd 2910	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. n e. C +oo = D -> +oo e. ran ( k e. A |-> B ) ) )
60	59	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> ( E. n e. C +oo = D -> +oo e. ran ( k e. A |-> B ) ) )
61	18, 60	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> +oo e. ran ( k e. A |-> B ) )
62	7, 12, 61	sge0pnfval 38009	. . 3 |- ( ( ph /\ +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo )
63	1	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> C e. V )
64	39, 53	eqeltrd 2511	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
65	19, 64, 14	fmptdf 6061	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. C |-> D ) : C --> ( 0 [,] +oo ) )
66	65	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> ( n e. C |-> D ) : C --> ( 0 [,] +oo ) )
67		simpr 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> +oo e. ran ( n e. C |-> D ) )
68	63, 66, 67	sge0pnfval 38009	. . 3 |- ( ( ph /\ +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> (Σ^ ` ( n e. C |-> D ) ) = +oo )
69	62, 68	eqtr4d 2467	. 2 |- ( ( ph /\ +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = (Σ^ ` ( n e. C |-> D ) ) )
70		sumex 13747	. . . . . . 7 |- sum_ k e. y B e. _V
71	70	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. y B e. _V )
72		cnvimass 5205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' F " y ) C_ dom F
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( `' F " y ) C_ dom F )
74		fdm 5748	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : C --> A -> dom F = C )
75	23, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom F = C )
76	73, 75	sseqtrd 3501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( `' F " y ) C_ C )
77		fex 6151	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : C --> A /\ C e. V ) -> F e. _V )
78	23, 1, 77	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F e. _V )
79		cnvexg 6751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. _V -> `' F e. _V )
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> `' F e. _V )
81		imaexg 6742	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' F e. _V -> ( `' F " y ) e. _V )
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( `' F " y ) e. _V )
83		elpwg 3988	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( `' F " y ) e. _V -> ( ( `' F " y ) e. ~P C <-> ( `' F " y ) C_ C ) )
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( `' F " y ) e. ~P C <-> ( `' F " y ) C_ C ) )
85	76, 84	mpbird 236	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( `' F " y ) e. ~P C )
86	85	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( `' F " y ) e. ~P C )
87		f1ocnv 5841	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> `' F : A -1-1-onto-> C )
88	2, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> `' F : A -1-1-onto-> C )
89		f1ofun 5831	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' F : A -1-1-onto-> C -> Fun `' F )
90	88, 89	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Fun `' F )
91	90	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> Fun `' F )
92		elinel2 3653	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y e. Fin )
93	92	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y e. Fin )
94		imafi 7871	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun `' F /\ y e. Fin ) -> ( `' F " y ) e. Fin )
95	91, 93, 94	syl2anc 666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( `' F " y ) e. Fin )
96	86, 95	elind 3651	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) )
97	96	adantlr 720	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) )
98		nfv 1752	. . . . . . . . . 10 |- F/ k -. +oo e. ran ( n e. C |-> D )
99	8, 98	nfan 1985	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) )
100		nfv 1752	. . . . . . . . 9 |- F/ k y e. ( ~P A i^i Fin )
101	99, 100	nfan 1985	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) )
102		nfcv 2585	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n +oo
103		nfmpt1 4511	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n ( n e. C |-> D )
104	103	nfrn 5094	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n ran ( n e. C |-> D )
105	102, 104	nfel 2598	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n +oo e. ran ( n e. C |-> D )
106	105	nfn 1957	. . . . . . . . . 10 |- F/ n -. +oo e. ran ( n e. C |-> D )
107	19, 106	nfan 1985	. . . . . . . . 9 |- F/ n ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) )
108		nfv 1752	. . . . . . . . 9 |- F/ n y e. ( ~P A i^i Fin )
109	107, 108	nfan 1985	. . . . . . . 8 |- F/ n ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) )
110	95	adantlr 720	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( `' F " y ) e. Fin )
111		f1of1 5828	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> F : C -1-1-> A )
112	2, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : C -1-1-> A )
113	112	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> F : C -1-1-> A )
114	84	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( `' F " y ) e. ~P C <-> ( `' F " y ) C_ C ) )
115	86, 114	mpbid 214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( `' F " y ) C_ C )
116		f1ores 5843	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : C -1-1-> A /\ ( `' F " y ) C_ C ) -> ( F |` ( `' F " y ) ) : ( `' F " y ) -1-1-onto-> ( F " ( `' F " y ) ) )
117	113, 115, 116	syl2anc 666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F |` ( `' F " y ) ) : ( `' F " y ) -1-1-onto-> ( F " ( `' F " y ) ) )
118	4	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> F : C -onto-> A )
119		elpwinss 37255	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y C_ A )
120	119	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y C_ A )
121		foimacnv 5846	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : C -onto-> A /\ y C_ A ) -> ( F " ( `' F " y ) ) = y )
122	118, 120, 121	syl2anc 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F " ( `' F " y ) ) = y )
123	122	f1oeq3d 37297	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( F |` ( `' F " y ) ) : ( `' F " y ) -1-1-onto-> ( F " ( `' F " y ) ) <-> ( F |` ( `' F " y ) ) : ( `' F " y ) -1-1-onto-> y ) )
124	117, 123	mpbid 214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F |` ( `' F " y ) ) : ( `' F " y ) -1-1-onto-> y )
125	124	adantlr 720	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F |` ( `' F " y ) ) : ( `' F " y ) -1-1-onto-> y )
126	82	ad2antrr 731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ n e. ( `' F " y ) ) -> ( `' F " y ) e. _V )
127		simpll 759	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ n e. ( `' F " y ) ) -> ph )
128	96	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ n e. ( `' F " y ) ) -> ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) )
129		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ n e. ( `' F " y ) ) -> n e. ( `' F " y ) )
130	127, 128, 129	jca31 537	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ n e. ( `' F " y ) ) -> ( ( ph /\ ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. ( `' F " y ) ) )
131		eleq1 2495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( x e. ( ~P C i^i Fin ) <-> ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) ) )
132	131	anbi2d 709	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) <-> ( ph /\ ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) ) ) )
133		eleq2 2496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( n e. x <-> n e. ( `' F " y ) ) )
134	132, 133	anbi12d 716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. x ) <-> ( ( ph /\ ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. ( `' F " y ) ) ) )
135		reseq2 5117	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( F |` x ) = ( F |` ( `' F " y ) ) )
136	135	fveq1d 5881	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( F |` x ) ` n ) = ( ( F |` ( `' F " y ) ) ` n ) )
137	136	eqeq1d 2425	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( ( F |` x ) ` n ) = G <-> ( ( F |` ( `' F " y ) ) ` n ) = G ) )
138	134, 137	imbi12d 322	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. x ) -> ( ( F |` x ) ` n ) = G ) <-> ( ( ( ph /\ ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. ( `' F " y ) ) -> ( ( F |` ( `' F " y ) ) ` n ) = G ) ) )
139		fvres 5893	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. x -> ( ( F |` x ) ` n ) = ( F ` n ) )
140	139	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. x ) -> ( ( F |` x ) ` n ) = ( F ` n ) )
141		simpll 759	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. x ) -> ph )
142		elpwinss 37255	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ~P C i^i Fin ) -> x C_ C )
143	142	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> x C_ C )
144	143	sselda 3465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. x ) -> n e. C )
145	141, 144, 25	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. x ) -> ( F ` n ) = G )
146	140, 145	eqtrd 2464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. x ) -> ( ( F |` x ) ` n ) = G )
147	138, 146	vtoclg 3140	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' F " y ) e. _V -> ( ( ( ph /\ ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. ( `' F " y ) ) -> ( ( F |` ( `' F " y ) ) ` n ) = G ) )
148	126, 130, 147	sylc 63	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ n e. ( `' F " y ) ) -> ( ( F |` ( `' F " y ) ) ` n ) = G )
149	148	adantllr 724	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ n e. ( `' F " y ) ) -> ( ( F |` ( `' F " y ) ) ` n ) = G )
150	82	ad3antrrr 735	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> ( `' F " y ) e. _V )
151		simpll 759	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) )
152	85	ad3antrrr 735	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> ( `' F " y ) e. ~P C )
153	110	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> ( `' F " y ) e. Fin )
154	152, 153	elind 3651	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) )
155		simpr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> k e. y )
156	122	eqcomd 2431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y = ( F " ( `' F " y ) ) )
157	156	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> y = ( F " ( `' F " y ) ) )
158	155, 157	eleqtrd 2513	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> k e. ( F " ( `' F " y ) ) )
159	158	adantllr 724	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> k e. ( F " ( `' F " y ) ) )
160	151, 154, 159	jca31 537	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " ( `' F " y ) ) ) )
161	131	anbi2d 709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) <-> ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) ) ) )
162		imaeq2 5181	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( F " x ) = ( F " ( `' F " y ) ) )
163	162	eleq2d 2493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( k e. ( F " x ) <-> k e. ( F " ( `' F " y ) ) ) )
164	161, 163	anbi12d 716	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " x ) ) <-> ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " ( `' F " y ) ) ) ) )
165	164	imbi1d 319	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " x ) ) -> B e. CC ) <-> ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " ( `' F " y ) ) ) -> B e. CC ) ) )
166		rge0ssre 11742	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
167		ax-resscn 9598	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ CC
168	166, 167	sstri 3474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 [,) +oo ) C_ CC
169		simplll 767	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " x ) ) -> ph )
170		simpllr 768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " x ) ) -> -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) )
171		fimass 37298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : C --> A -> ( F " x ) C_ A )
172	23, 171	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F " x ) C_ A )
173	172	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " x ) ) -> ( F " x ) C_ A )
174		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " x ) ) -> k e. ( F " x ) )
175	173, 174	sseldd 3466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " x ) ) -> k e. A )
176	175	adantllr 724	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " x ) ) -> k e. A )
177		foelrni 5927	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : C -onto-> A /\ k e. A ) -> E. n e. C ( F ` n ) = k )
178	4, 177	sylan 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> E. n e. C ( F ` n ) = k )
179	178	adantlr 720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ k e. A ) -> E. n e. C ( F ` n ) = k )
180		nfv 1752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ n k e. A
181	107, 180	nfan 1985	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ n ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ k e. A )
182		nfv 1752	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ n B e. ( 0 [,) +oo )
183		csbid 3404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- [_ k / k ]_ B = B
184	183	eqcomi 2436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- B = [_ k / k ]_ B
185	184	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ n e. C /\ ( F ` n ) = k ) -> B = [_ k / k ]_ B )
186		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( F ` n ) = k -> ( F ` n ) = k )
187	186	eqcomd 2431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F ` n ) = k -> k = ( F ` n ) )
188	187	csbeq1d 3403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F ` n ) = k -> [_ k / k ]_ B = [_ ( F ` n ) / k ]_ B )
189	188	3ad2ant3 1029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ n e. C /\ ( F ` n ) = k ) -> [_ k / k ]_ B = [_ ( F ` n ) / k ]_ B )
190	38	idi 2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B = D )
191	190	3adant3 1026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ n e. C /\ ( F ` n ) = k ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B = D )
192	185, 189, 191	3eqtrd 2468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ n e. C /\ ( F ` n ) = k ) -> B = D )
193	192	3adant1r 1258	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ n e. C /\ ( F ` n ) = k ) -> B = D )
194		0xr 9689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 0 e. RR*
195	194	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ n e. C ) /\ -. D e. ( 0 [,) +oo ) ) -> 0 e. RR* )
196		pnfxr 11414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- +oo e. RR*
197	196	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ n e. C ) /\ -. D e. ( 0 [,) +oo ) ) -> +oo e. RR* )
198	64	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ n e. C ) /\ -. D e. ( 0 [,) +oo ) ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
199		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ n e. C ) /\ -. D e. ( 0 [,) +oo ) ) -> -. D e. ( 0 [,) +oo ) )
200	195, 197, 198, 199	eliccnelico 37468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ n e. C ) /\ -. D e. ( 0 [,) +oo ) ) -> D = +oo )
201	200	eqcomd 2431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ n e. C ) /\ -. D e. ( 0 [,) +oo ) ) -> +oo = D )
202		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> n e. C )
203	64	idi 2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
204	14	elrnmpt1 5100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( n e. C /\ D e. ( 0 [,] +oo ) ) -> D e. ran ( n e. C |-> D ) )
205	202, 203, 204	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> D e. ran ( n e. C |-> D ) )
206	205	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ n e. C ) /\ -. D e. ( 0 [,) +oo ) ) -> D e. ran ( n e. C |-> D ) )
207	201, 206	eqeltrd 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ n e. C ) /\ -. D e. ( 0 [,) +oo ) ) -> +oo e. ran ( n e. C |-> D ) )
208	207	adantllr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ n e. C ) /\ -. D e. ( 0 [,) +oo ) ) -> +oo e. ran ( n e. C |-> D ) )
209		simpllr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ n e. C ) /\ -. D e. ( 0 [,) +oo ) ) -> -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) )
210	208, 209	condan 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ n e. C ) -> D e. ( 0 [,) +oo ) )
211	210	3adant3 1026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ n e. C /\ ( F ` n ) = k ) -> D e. ( 0 [,) +oo ) )
212	193, 211	eqeltrd 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ n e. C /\ ( F ` n ) = k ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
213	212	3exp 1205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> ( n e. C -> ( ( F ` n ) = k -> B e. ( 0 [,) +oo ) ) ) )
214	213	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ k e. A ) -> ( n e. C -> ( ( F ` n ) = k -> B e. ( 0 [,) +oo ) ) ) )
215	181, 182, 214	rexlimd 2910	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ k e. A ) -> ( E. n e. C ( F ` n ) = k -> B e. ( 0 [,) +oo ) ) )
216	179, 215	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
217	169, 170, 176, 216	syl21anc 1264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " x ) ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
218	168, 217	sseldi 3463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " x ) ) -> B e. CC )
219	218	idi 2	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " x ) ) -> B e. CC )
220	165, 219	vtoclg 3140	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F " y ) e. _V -> ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " ( `' F " y ) ) ) -> B e. CC ) )
221	150, 160, 220	sylc 63	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
222	101, 109, 36, 110, 125, 149, 221	fsumf1of 37482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. y B = sum_ n e. ( `' F " y ) D )
223		sumeq1 13748	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( `' F " y ) -> sum_ n e. x D = sum_ n e. ( `' F " y ) D )
224	223	eqeq2d 2437	. . . . . . . 8 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( sum_ k e. y B = sum_ n e. x D <-> sum_ k e. y B = sum_ n e. ( `' F " y ) D ) )
225	224	rspcev 3183	. . . . . . 7 |- ( ( ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) /\ sum_ k e. y B = sum_ n e. ( `' F " y ) D ) -> E. x e. ( ~P C i^i Fin ) sum_ k e. y B = sum_ n e. x D )
226	97, 222, 225	syl2anc 666	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> E. x e. ( ~P C i^i Fin ) sum_ k e. y B = sum_ n e. x D )
227	71, 226	rnmptssrn 37312	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) C_ ran ( x e. ( ~P C i^i Fin ) |-> sum_ n e. x D ) )
228		sumex 13747	. . . . . . 7 |- sum_ n e. x D e. _V
229	228	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> sum_ n e. x D e. _V )
230	6, 172	ssexd 4569	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F " x ) e. _V )
231		elpwg 3988	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F " x ) e. _V -> ( ( F " x ) e. ~P A <-> ( F " x ) C_ A ) )
232	230, 231	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( F " x ) e. ~P A <-> ( F " x ) C_ A ) )
233	172, 232	mpbird 236	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F " x ) e. ~P A )
234	233	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( F " x ) e. ~P A )
235		ffun 5746	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : C --> A -> Fun F )
236	23, 235	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Fun F )
237	236	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> Fun F )
238		elinel2 3653	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ~P C i^i Fin ) -> x e. Fin )
239	238	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> x e. Fin )
240		imafi 7871	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ x e. Fin ) -> ( F " x ) e. Fin )
241	237, 239, 240	syl2anc 666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( F " x ) e. Fin )
242	234, 241	elind 3651	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( F " x ) e. ( ~P A i^i Fin ) )
243	242	adantlr 720	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( F " x ) e. ( ~P A i^i Fin ) )
244		nfv 1752	. . . . . . . . . 10 |- F/ k x e. ( ~P C i^i Fin )
245	99, 244	nfan 1985	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) )
246		nfv 1752	. . . . . . . . . 10 |- F/ n x e. ( ~P C i^i Fin )
247	107, 246	nfan 1985	. . . . . . . . 9 |- F/ n ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) )
248	238	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> x e. Fin )
249	112	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> F : C -1-1-> A )
250		f1ores 5843	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : C -1-1-> A /\ x C_ C ) -> ( F |` x ) : x -1-1-onto-> ( F " x ) )
251	249, 143, 250	syl2anc 666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( F |` x ) : x -1-1-onto-> ( F " x ) )
252	251	adantlr 720	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( F |` x ) : x -1-1-onto-> ( F " x ) )
253	146	adantllr 724	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. x ) -> ( ( F |` x ) ` n ) = G )
254	245, 247, 36, 248, 252, 253, 218	fsumf1of 37482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> sum_ k e. ( F " x ) B = sum_ n e. x D )
255	254	eqcomd 2431	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> sum_ n e. x D = sum_ k e. ( F " x ) B )
256		sumeq1 13748	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( F " x ) -> sum_ k e. y B = sum_ k e. ( F " x ) B )
257	256	eqeq2d 2437	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F " x ) -> ( sum_ n e. x D = sum_ k e. y B <-> sum_ n e. x D = sum_ k e. ( F " x ) B ) )
258	257	rspcev 3183	. . . . . . 7 |- ( ( ( F " x ) e. ( ~P A i^i Fin ) /\ sum_ n e. x D = sum_ k e. ( F " x ) B ) -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) sum_ n e. x D = sum_ k e. y B )
259	243, 255, 258	syl2anc 666	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) sum_ n e. x D = sum_ k e. y B )
260	229, 259	rnmptssrn 37312	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> ran ( x e. ( ~P C i^i Fin ) |-> sum_ n e. x D ) C_ ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) )
261	227, 260	eqssd 3482	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) = ran ( x e. ( ~P C i^i Fin ) |-> sum_ n e. x D ) )
262	261	supeq1d 7964	. . 3 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) = sup ( ran ( x e. ( ~P C i^i Fin ) |-> sum_ n e. x D ) , RR* , < ) )
263	6	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> A e. _V )
264	99, 263, 216	sge0revalmpt 38014	. . 3 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) )
265	1	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> C e. V )
266	107, 265, 210	sge0revalmpt 38014	. . 3 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> (Σ^ ` ( n e. C |-> D ) ) = sup ( ran ( x e. ( ~P C i^i Fin ) |-> sum_ n e. x D ) , RR* , < ) )
267	262, 264, 266	3eqtr4d 2474	. 2 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = (Σ^ ` ( n e. C |-> D ) ) )
268	69, 267	pm2.61dan 799	1 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = (Σ^ ` ( n e. C |-> D ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 983   = wceq 1438   F/wnf 1664   e. wcel 1869   E.wrex 2777   _Vcvv 3082   [_csb 3396   i^i cin 3436   C_ wss 3437   ~Pcpw 3980   |-> cmpt 4480   `'ccnv 4850   dom cdm 4851   ran crn 4852   |` cres 4853   "cima 4854   Fun wfun 5593   -->wf 5595   -1-1->wf1 5596   -onto->wfo 5597   -1-1-onto->wf1o 5598   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   Fincfn 7575   supcsup 7958   CCcc 9539   RRcr 9540   0cc0 9541   +oocpnf 9674   RR*cxr 9676   < clt 9677   [,)cico 11639   [,]cicc 11640   sum_csu 13745  Σ^{^}csumge0 37998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-sup 7960  df-oi 8029  df-card 8376  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-ico 11643  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-seq 12215  df-exp 12274  df-hash 12517  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-clim 13545  df-sum 13746  df-sumge0 37999

This theorem is referenced by:  sge0resrnlem  38039  sge0fodjrnlem  38052  sge0xp  38065  meadjiunlem  38088  isomenndlem  38136  ovnsubaddlem1  38173