Theorem sge0f1o 38338

Description: Re-index a nonnegative extended sum using a bijection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0f1o.1	|- F/ k ph
sge0f1o.2	|- F/ n ph
sge0f1o.3	|- ( k = G -> B = D )
sge0f1o.4	|- ( ph -> C e. V )
sge0f1o.5	|- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
sge0f1o.6	|- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) = G )
sge0f1o.7	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )

Assertion

Ref	Expression
sge0f1o	|- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = (Σ^ ` ( n e. C |-> D ) ) )

Distinct variable groups:   A, k, n   B, n   C, k, n   D, k   k, F, n   k, G

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   B( k)   D( n)   G( n)   V( k, n)

Proof of Theorem sge0f1o

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0f1o.4	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. V )
2		sge0f1o.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
3		f1ofo 5835	. . . . . . 7 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> F : C -onto-> A )
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> F : C -onto-> A )
5		fornex 6781	. . . . . 6 |- ( C e. V -> ( F : C -onto-> A -> A e. _V ) )
6	1, 4, 5	sylc 61	. . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
7	6	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> A e. _V )
8		sge0f1o.1	. . . . . 6 |- F/ k ph
9		sge0f1o.7	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
10		eqid 2471	. . . . . 6 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
11	8, 9, 10	fmptdf 6063	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. A |-> B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
12	11	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
13		pnfex 11436	. . . . . . . 8 |- +oo e. _V
14		eqid 2471	. . . . . . . . 9 |- ( n e. C |-> D ) = ( n e. C |-> D )
15	14	elrnmpt 5087	. . . . . . . 8 |- ( +oo e. _V -> ( +oo e. ran ( n e. C |-> D ) <-> E. n e. C +oo = D ) )
16	13, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( +oo e. ran ( n e. C |-> D ) <-> E. n e. C +oo = D )
17	16	biimpi 199	. . . . . 6 |- ( +oo e. ran ( n e. C |-> D ) -> E. n e. C +oo = D )
18	17	adantl 473	. . . . 5 |- ( ( ph /\ +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> E. n e. C +oo = D )
19		sge0f1o.2	. . . . . . 7 |- F/ n ph
20		nfv 1769	. . . . . . 7 |- F/ n +oo e. ran ( k e. A |-> B )
21		simp3 1032	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. C /\ +oo = D ) -> +oo = D )
22		f1of 5828	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> F : C --> A )
23	2, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F : C --> A )
24	23	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) e. A )
25		sge0f1o.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) = G )
26		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k ( F ` n )
27		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( F ` n ) = G
28	26	nfcsb1 3364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k [_ ( F ` n ) / k ]_ B
29		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k D
30	28, 29	nfeq 2623	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k [_ ( F ` n ) / k ]_ B = D
31	27, 30	nfim 2023	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k ( ( F ` n ) = G -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B = D )
32		eqeq1 2475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( F ` n ) -> ( k = G <-> ( F ` n ) = G ) )
33		csbeq1a 3358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( F ` n ) -> B = [_ ( F ` n ) / k ]_ B )
34	33	eqeq1d 2473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( F ` n ) -> ( B = D <-> [_ ( F ` n ) / k ]_ B = D ) )
35	32, 34	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( F ` n ) -> ( ( k = G -> B = D ) <-> ( ( F ` n ) = G -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B = D ) ) )
36		sge0f1o.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = G -> B = D )
37	26, 31, 35, 36	vtoclgf 3091	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` n ) e. A -> ( ( F ` n ) = G -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B = D ) )
38	24, 25, 37	sylc 61	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B = D )
39	38	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> D = [_ ( F ` n ) / k ]_ B )
40	39	3adant3 1050	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. C /\ +oo = D ) -> D = [_ ( F ` n ) / k ]_ B )
41	21, 40	eqtrd 2505	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. C /\ +oo = D ) -> +oo = [_ ( F ` n ) / k ]_ B )
42		simpl 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ph )
43	42, 24	jca 541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ph /\ ( F ` n ) e. A ) )
44		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( F ` n ) e. A
45	8, 44	nfan 2031	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k ( ph /\ ( F ` n ) e. A )
46	28	nfel1 2626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. ( 0 [,] +oo )
47	45, 46	nfim 2023	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k ( ( ph /\ ( F ` n ) e. A ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. ( 0 [,] +oo ) )
48		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( F ` n ) -> ( k e. A <-> ( F ` n ) e. A ) )
49	48	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( F ` n ) -> ( ( ph /\ k e. A ) <-> ( ph /\ ( F ` n ) e. A ) ) )
50	33	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( F ` n ) -> ( B e. ( 0 [,] +oo ) <-> [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. ( 0 [,] +oo ) ) )
51	49, 50	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( F ` n ) -> ( ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) ) <-> ( ( ph /\ ( F ` n ) e. A ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. ( 0 [,] +oo ) ) ) )
52	26, 47, 51, 9	vtoclgf 3091	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` n ) e. A -> ( ( ph /\ ( F ` n ) e. A ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. ( 0 [,] +oo ) ) )
53	24, 43, 52	sylc 61	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. ( 0 [,] +oo ) )
54	28, 10, 33	elrnmpt1sf 37535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` n ) e. A /\ [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. ran ( k e. A |-> B ) )
55	24, 53, 54	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. ran ( k e. A |-> B ) )
56	55	3adant3 1050	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. C /\ +oo = D ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. ran ( k e. A |-> B ) )
57	41, 56	eqeltrd 2549	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. C /\ +oo = D ) -> +oo e. ran ( k e. A |-> B ) )
58	57	3exp 1230	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n e. C -> ( +oo = D -> +oo e. ran ( k e. A |-> B ) ) ) )
59	19, 20, 58	rexlimd 2866	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. n e. C +oo = D -> +oo e. ran ( k e. A |-> B ) ) )
60	59	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> ( E. n e. C +oo = D -> +oo e. ran ( k e. A |-> B ) ) )
61	18, 60	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> +oo e. ran ( k e. A |-> B ) )
62	7, 12, 61	sge0pnfval 38329	. . 3 |- ( ( ph /\ +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo )
63	1	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> C e. V )
64	39, 53	eqeltrd 2549	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
65	19, 64, 14	fmptdf 6063	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. C |-> D ) : C --> ( 0 [,] +oo ) )
66	65	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> ( n e. C |-> D ) : C --> ( 0 [,] +oo ) )
67		simpr 468	. . . 4 |- ( ( ph /\ +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> +oo e. ran ( n e. C |-> D ) )
68	63, 66, 67	sge0pnfval 38329	. . 3 |- ( ( ph /\ +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> (Σ^ ` ( n e. C |-> D ) ) = +oo )
69	62, 68	eqtr4d 2508	. 2 |- ( ( ph /\ +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = (Σ^ ` ( n e. C |-> D ) ) )
70		sumex 13831	. . . . . . 7 |- sum_ k e. y B e. _V
71	70	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. y B e. _V )
72		cnvimass 5194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' F " y ) C_ dom F
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( `' F " y ) C_ dom F )
74		fdm 5745	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : C --> A -> dom F = C )
75	23, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom F = C )
76	73, 75	sseqtrd 3454	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( `' F " y ) C_ C )
77		fex 6155	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : C --> A /\ C e. V ) -> F e. _V )
78	23, 1, 77	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F e. _V )
79		cnvexg 6758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. _V -> `' F e. _V )
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> `' F e. _V )
81		imaexg 6749	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' F e. _V -> ( `' F " y ) e. _V )
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( `' F " y ) e. _V )
83		elpwg 3950	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( `' F " y ) e. _V -> ( ( `' F " y ) e. ~P C <-> ( `' F " y ) C_ C ) )
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( `' F " y ) e. ~P C <-> ( `' F " y ) C_ C ) )
85	76, 84	mpbird 240	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( `' F " y ) e. ~P C )
86	85	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( `' F " y ) e. ~P C )
87		f1ocnv 5840	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> `' F : A -1-1-onto-> C )
88	2, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> `' F : A -1-1-onto-> C )
89		f1ofun 5830	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' F : A -1-1-onto-> C -> Fun `' F )
90	88, 89	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Fun `' F )
91	90	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> Fun `' F )
92		elinel2 3611	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y e. Fin )
93	92	adantl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y e. Fin )
94		imafi 7885	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun `' F /\ y e. Fin ) -> ( `' F " y ) e. Fin )
95	91, 93, 94	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( `' F " y ) e. Fin )
96	86, 95	elind 3609	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) )
97	96	adantlr 729	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) )
98		nfv 1769	. . . . . . . . . 10 |- F/ k -. +oo e. ran ( n e. C |-> D )
99	8, 98	nfan 2031	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) )
100		nfv 1769	. . . . . . . . 9 |- F/ k y e. ( ~P A i^i Fin )
101	99, 100	nfan 2031	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) )
102		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n +oo
103		nfmpt1 4485	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n ( n e. C |-> D )
104	103	nfrn 5083	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n ran ( n e. C |-> D )
105	102, 104	nfel 2624	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n +oo e. ran ( n e. C |-> D )
106	105	nfn 2003	. . . . . . . . . 10 |- F/ n -. +oo e. ran ( n e. C |-> D )
107	19, 106	nfan 2031	. . . . . . . . 9 |- F/ n ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) )
108		nfv 1769	. . . . . . . . 9 |- F/ n y e. ( ~P A i^i Fin )
109	107, 108	nfan 2031	. . . . . . . 8 |- F/ n ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) )
110	95	adantlr 729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( `' F " y ) e. Fin )
111		f1of1 5827	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> F : C -1-1-> A )
112	2, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : C -1-1-> A )
113	112	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> F : C -1-1-> A )
114	84	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( `' F " y ) e. ~P C <-> ( `' F " y ) C_ C ) )
115	86, 114	mpbid 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( `' F " y ) C_ C )
116		f1ores 5842	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : C -1-1-> A /\ ( `' F " y ) C_ C ) -> ( F |` ( `' F " y ) ) : ( `' F " y ) -1-1-onto-> ( F " ( `' F " y ) ) )
117	113, 115, 116	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F |` ( `' F " y ) ) : ( `' F " y ) -1-1-onto-> ( F " ( `' F " y ) ) )
118	4	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> F : C -onto-> A )
119		elpwinss 37446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y C_ A )
120	119	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y C_ A )
121		foimacnv 5845	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : C -onto-> A /\ y C_ A ) -> ( F " ( `' F " y ) ) = y )
122	118, 120, 121	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F " ( `' F " y ) ) = y )
123	122	f1oeq3d 5825	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( F |` ( `' F " y ) ) : ( `' F " y ) -1-1-onto-> ( F " ( `' F " y ) ) <-> ( F |` ( `' F " y ) ) : ( `' F " y ) -1-1-onto-> y ) )
124	117, 123	mpbid 215	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F |` ( `' F " y ) ) : ( `' F " y ) -1-1-onto-> y )
125	124	adantlr 729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F |` ( `' F " y ) ) : ( `' F " y ) -1-1-onto-> y )
126	82	ad2antrr 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ n e. ( `' F " y ) ) -> ( `' F " y ) e. _V )
127		simpll 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ n e. ( `' F " y ) ) -> ph )
128	96	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ n e. ( `' F " y ) ) -> ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) )
129		simpr 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ n e. ( `' F " y ) ) -> n e. ( `' F " y ) )
130	127, 128, 129	jca31 543	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ n e. ( `' F " y ) ) -> ( ( ph /\ ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. ( `' F " y ) ) )
131		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( x e. ( ~P C i^i Fin ) <-> ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) ) )
132	131	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) <-> ( ph /\ ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) ) ) )
133		eleq2 2538	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( n e. x <-> n e. ( `' F " y ) ) )
134	132, 133	anbi12d 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. x ) <-> ( ( ph /\ ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. ( `' F " y ) ) ) )
135		reseq2 5106	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( F |` x ) = ( F |` ( `' F " y ) ) )
136	135	fveq1d 5881	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( F |` x ) ` n ) = ( ( F |` ( `' F " y ) ) ` n ) )
137	136	eqeq1d 2473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( ( F |` x ) ` n ) = G <-> ( ( F |` ( `' F " y ) ) ` n ) = G ) )
138	134, 137	imbi12d 327	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. x ) -> ( ( F |` x ) ` n ) = G ) <-> ( ( ( ph /\ ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. ( `' F " y ) ) -> ( ( F |` ( `' F " y ) ) ` n ) = G ) ) )
139		fvres 5893	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. x -> ( ( F |` x ) ` n ) = ( F ` n ) )
140	139	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. x ) -> ( ( F |` x ) ` n ) = ( F ` n ) )
141		simpll 768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. x ) -> ph )
142		elpwinss 37446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ~P C i^i Fin ) -> x C_ C )
143	142	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> x C_ C )
144	143	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. x ) -> n e. C )
145	141, 144, 25	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. x ) -> ( F ` n ) = G )
146	140, 145	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. x ) -> ( ( F |` x ) ` n ) = G )
147	138, 146	vtoclg 3093	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' F " y ) e. _V -> ( ( ( ph /\ ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. ( `' F " y ) ) -> ( ( F |` ( `' F " y ) ) ` n ) = G ) )
148	126, 130, 147	sylc 61	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ n e. ( `' F " y ) ) -> ( ( F |` ( `' F " y ) ) ` n ) = G )
149	148	adantllr 733	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ n e. ( `' F " y ) ) -> ( ( F |` ( `' F " y ) ) ` n ) = G )
150	82	ad3antrrr 744	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> ( `' F " y ) e. _V )
151		simpll 768	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) )
152	85	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> ( `' F " y ) e. ~P C )
153	110	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> ( `' F " y ) e. Fin )
154	152, 153	elind 3609	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) )
155		simpr 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> k e. y )
156	122	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y = ( F " ( `' F " y ) ) )
157	156	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> y = ( F " ( `' F " y ) ) )
158	155, 157	eleqtrd 2551	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> k e. ( F " ( `' F " y ) ) )
159	158	adantllr 733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> k e. ( F " ( `' F " y ) ) )
160	151, 154, 159	jca31 543	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " ( `' F " y ) ) ) )
161	131	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) <-> ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) ) ) )
162		imaeq2 5170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( F " x ) = ( F " ( `' F " y ) ) )
163	162	eleq2d 2534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( k e. ( F " x ) <-> k e. ( F " ( `' F " y ) ) ) )
164	161, 163	anbi12d 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " x ) ) <-> ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " ( `' F " y ) ) ) ) )
165	164	imbi1d 324	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " x ) ) -> B e. CC ) <-> ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " ( `' F " y ) ) ) -> B e. CC ) ) )
166		rge0ssre 11766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
167		ax-resscn 9614	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ CC
168	166, 167	sstri 3427	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 [,) +oo ) C_ CC
169		simplll 776	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " x ) ) -> ph )
170		simpllr 777	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " x ) ) -> -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) )
171		fimass 5772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : C --> A -> ( F " x ) C_ A )
172	23, 171	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F " x ) C_ A )
173	172	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " x ) ) -> ( F " x ) C_ A )
174		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " x ) ) -> k e. ( F " x ) )
175	173, 174	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " x ) ) -> k e. A )
176	175	adantllr 733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " x ) ) -> k e. A )
177		foelrni 5927	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : C -onto-> A /\ k e. A ) -> E. n e. C ( F ` n ) = k )
178	4, 177	sylan 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> E. n e. C ( F ` n ) = k )
179	178	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ k e. A ) -> E. n e. C ( F ` n ) = k )
180		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ n k e. A
181	107, 180	nfan 2031	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ n ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ k e. A )
182		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ n B e. ( 0 [,) +oo )
183		csbid 3357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- [_ k / k ]_ B = B
184	183	eqcomi 2480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- B = [_ k / k ]_ B
185	184	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ n e. C /\ ( F ` n ) = k ) -> B = [_ k / k ]_ B )
186		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( F ` n ) = k -> ( F ` n ) = k )
187	186	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F ` n ) = k -> k = ( F ` n ) )
188	187	csbeq1d 3356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F ` n ) = k -> [_ k / k ]_ B = [_ ( F ` n ) / k ]_ B )
189	188	3ad2ant3 1053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ n e. C /\ ( F ` n ) = k ) -> [_ k / k ]_ B = [_ ( F ` n ) / k ]_ B )
190	38	idi 2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B = D )
191	190	3adant3 1050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ n e. C /\ ( F ` n ) = k ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B = D )
192	185, 189, 191	3eqtrd 2509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ n e. C /\ ( F ` n ) = k ) -> B = D )
193	192	3adant1r 1285	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ n e. C /\ ( F ` n ) = k ) -> B = D )
194		0xr 9705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 0 e. RR*
195	194	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ n e. C ) /\ -. D e. ( 0 [,) +oo ) ) -> 0 e. RR* )
196		pnfxr 11435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- +oo e. RR*
197	196	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ n e. C ) /\ -. D e. ( 0 [,) +oo ) ) -> +oo e. RR* )
198	64	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ n e. C ) /\ -. D e. ( 0 [,) +oo ) ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
199		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ n e. C ) /\ -. D e. ( 0 [,) +oo ) ) -> -. D e. ( 0 [,) +oo ) )
200	195, 197, 198, 199	eliccnelico 37727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ n e. C ) /\ -. D e. ( 0 [,) +oo ) ) -> D = +oo )
201	200	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ n e. C ) /\ -. D e. ( 0 [,) +oo ) ) -> +oo = D )
202		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> n e. C )
203	64	idi 2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
204	14	elrnmpt1 5089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( n e. C /\ D e. ( 0 [,] +oo ) ) -> D e. ran ( n e. C |-> D ) )
205	202, 203, 204	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> D e. ran ( n e. C |-> D ) )
206	205	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ n e. C ) /\ -. D e. ( 0 [,) +oo ) ) -> D e. ran ( n e. C |-> D ) )
207	201, 206	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ n e. C ) /\ -. D e. ( 0 [,) +oo ) ) -> +oo e. ran ( n e. C |-> D ) )
208	207	adantllr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ n e. C ) /\ -. D e. ( 0 [,) +oo ) ) -> +oo e. ran ( n e. C |-> D ) )
209		simpllr 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ n e. C ) /\ -. D e. ( 0 [,) +oo ) ) -> -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) )
210	208, 209	condan 811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ n e. C ) -> D e. ( 0 [,) +oo ) )
211	210	3adant3 1050	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ n e. C /\ ( F ` n ) = k ) -> D e. ( 0 [,) +oo ) )
212	193, 211	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ n e. C /\ ( F ` n ) = k ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
213	212	3exp 1230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> ( n e. C -> ( ( F ` n ) = k -> B e. ( 0 [,) +oo ) ) ) )
214	213	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ k e. A ) -> ( n e. C -> ( ( F ` n ) = k -> B e. ( 0 [,) +oo ) ) ) )
215	181, 182, 214	rexlimd 2866	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ k e. A ) -> ( E. n e. C ( F ` n ) = k -> B e. ( 0 [,) +oo ) ) )
216	179, 215	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
217	169, 170, 176, 216	syl21anc 1291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " x ) ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
218	168, 217	sseldi 3416	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " x ) ) -> B e. CC )
219	218	idi 2	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " x ) ) -> B e. CC )
220	165, 219	vtoclg 3093	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F " y ) e. _V -> ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " ( `' F " y ) ) ) -> B e. CC ) )
221	150, 160, 220	sylc 61	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
222	101, 109, 36, 110, 125, 149, 221	fsumf1of 37749	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. y B = sum_ n e. ( `' F " y ) D )
223		sumeq1 13832	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( `' F " y ) -> sum_ n e. x D = sum_ n e. ( `' F " y ) D )
224	223	eqeq2d 2481	. . . . . . . 8 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( sum_ k e. y B = sum_ n e. x D <-> sum_ k e. y B = sum_ n e. ( `' F " y ) D ) )
225	224	rspcev 3136	. . . . . . 7 |- ( ( ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) /\ sum_ k e. y B = sum_ n e. ( `' F " y ) D ) -> E. x e. ( ~P C i^i Fin ) sum_ k e. y B = sum_ n e. x D )
226	97, 222, 225	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> E. x e. ( ~P C i^i Fin ) sum_ k e. y B = sum_ n e. x D )
227	71, 226	rnmptssrn 37527	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) C_ ran ( x e. ( ~P C i^i Fin ) |-> sum_ n e. x D ) )
228		sumex 13831	. . . . . . 7 |- sum_ n e. x D e. _V
229	228	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> sum_ n e. x D e. _V )
230	6, 172	ssexd 4543	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F " x ) e. _V )
231		elpwg 3950	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F " x ) e. _V -> ( ( F " x ) e. ~P A <-> ( F " x ) C_ A ) )
232	230, 231	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( F " x ) e. ~P A <-> ( F " x ) C_ A ) )
233	172, 232	mpbird 240	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F " x ) e. ~P A )
234	233	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( F " x ) e. ~P A )
235		ffun 5742	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : C --> A -> Fun F )
236	23, 235	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Fun F )
237	236	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> Fun F )
238		elinel2 3611	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ~P C i^i Fin ) -> x e. Fin )
239	238	adantl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> x e. Fin )
240		imafi 7885	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ x e. Fin ) -> ( F " x ) e. Fin )
241	237, 239, 240	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( F " x ) e. Fin )
242	234, 241	elind 3609	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( F " x ) e. ( ~P A i^i Fin ) )
243	242	adantlr 729	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( F " x ) e. ( ~P A i^i Fin ) )
244		nfv 1769	. . . . . . . . . 10 |- F/ k x e. ( ~P C i^i Fin )
245	99, 244	nfan 2031	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) )
246		nfv 1769	. . . . . . . . . 10 |- F/ n x e. ( ~P C i^i Fin )
247	107, 246	nfan 2031	. . . . . . . . 9 |- F/ n ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) )
248	238	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> x e. Fin )
249	112	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> F : C -1-1-> A )
250		f1ores 5842	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : C -1-1-> A /\ x C_ C ) -> ( F |` x ) : x -1-1-onto-> ( F " x ) )
251	249, 143, 250	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( F |` x ) : x -1-1-onto-> ( F " x ) )
252	251	adantlr 729	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( F |` x ) : x -1-1-onto-> ( F " x ) )
253	146	adantllr 733	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. x ) -> ( ( F |` x ) ` n ) = G )
254	245, 247, 36, 248, 252, 253, 218	fsumf1of 37749	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> sum_ k e. ( F " x ) B = sum_ n e. x D )
255	254	eqcomd 2477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> sum_ n e. x D = sum_ k e. ( F " x ) B )
256		sumeq1 13832	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( F " x ) -> sum_ k e. y B = sum_ k e. ( F " x ) B )
257	256	eqeq2d 2481	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F " x ) -> ( sum_ n e. x D = sum_ k e. y B <-> sum_ n e. x D = sum_ k e. ( F " x ) B ) )
258	257	rspcev 3136	. . . . . . 7 |- ( ( ( F " x ) e. ( ~P A i^i Fin ) /\ sum_ n e. x D = sum_ k e. ( F " x ) B ) -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) sum_ n e. x D = sum_ k e. y B )
259	243, 255, 258	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) sum_ n e. x D = sum_ k e. y B )
260	229, 259	rnmptssrn 37527	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> ran ( x e. ( ~P C i^i Fin ) |-> sum_ n e. x D ) C_ ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) )
261	227, 260	eqssd 3435	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) = ran ( x e. ( ~P C i^i Fin ) |-> sum_ n e. x D ) )
262	261	supeq1d 7978	. . 3 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) = sup ( ran ( x e. ( ~P C i^i Fin ) |-> sum_ n e. x D ) , RR* , < ) )
263	6	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> A e. _V )
264	99, 263, 216	sge0revalmpt 38334	. . 3 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) )
265	1	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> C e. V )
266	107, 265, 210	sge0revalmpt 38334	. . 3 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> (Σ^ ` ( n e. C |-> D ) ) = sup ( ran ( x e. ( ~P C i^i Fin ) |-> sum_ n e. x D ) , RR* , < ) )
267	262, 264, 266	3eqtr4d 2515	. 2 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = (Σ^ ` ( n e. C |-> D ) ) )
268	69, 267	pm2.61dan 808	1 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = (Σ^ ` ( n e. C |-> D ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   F/wnf 1675   e. wcel 1904   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   [_csb 3349   i^i cin 3389   C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   |` cres 4841   "cima 4842   Fun wfun 5583   -->wf 5585   -1-1->wf1 5586   -onto->wfo 5587   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   supcsup 7972   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   < clt 9693   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   sum_csu 13829  Σ^{^}csumge0 38318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319

This theorem is referenced by:  sge0resrnlem  38359  sge0fodjrnlem  38372  sge0xp  38385  meadjiunlem  38419  isomenndlem  38470  ovnsubaddlem1  38510