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Theorem sge0f1o 38224
Description: Re-index a nonnegative extended sum using a bijection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0f1o.1  |-  F/ k
ph
sge0f1o.2  |-  F/ n ph
sge0f1o.3  |-  ( k  =  G  ->  B  =  D )
sge0f1o.4  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
sge0f1o.5  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
sge0f1o.6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  =  G )
sge0f1o.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
Assertion
Ref Expression
sge0f1o  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  C  |->  D ) ) )
Distinct variable groups:    A, k, n    B, n    C, k, n    D, k    k, F, n    k, G
Allowed substitution hints:    ph( k, n)    B( k)    D( n)    G( n)    V( k, n)

Proof of Theorem sge0f1o
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0f1o.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
2 sge0f1o.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
3 f1ofo 5821 . . . . . . 7  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  F : C -onto-> A )
42, 3syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : C -onto-> A
)
5 fornex 6762 . . . . . 6  |-  ( C  e.  V  ->  ( F : C -onto-> A  ->  A  e.  _V )
)
61, 4, 5sylc 62 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
76adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  ->  A  e.  _V )
8 sge0f1o.1 . . . . . 6  |-  F/ k
ph
9 sge0f1o.7 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
10 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
118, 9, 10fmptdf 6048 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
1211adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  -> 
( k  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
13 pnfex 11413 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  _V
14 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  C  |->  D )  =  ( n  e.  C  |->  D )
1514elrnmpt 5081 . . . . . . . 8  |-  ( +oo  e.  _V  ->  ( +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D )  <->  E. n  e.  C +oo  =  D ) )
1613, 15ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D )  <->  E. n  e.  C +oo  =  D )
1716biimpi 198 . . . . . 6  |-  ( +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D )  ->  E. n  e.  C +oo  =  D )
1817adantl 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  ->  E. n  e.  C +oo  =  D )
19 sge0f1o.2 . . . . . . 7  |-  F/ n ph
20 nfv 1761 . . . . . . 7  |-  F/ n +oo  e.  ran  ( k  e.  A  |->  B )
21 simp3 1010 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C  /\ +oo  =  D )  -> +oo  =  D )
22 f1of 5814 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  F : C
--> A )
232, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : C --> A )
2423ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  e.  A )
25 sge0f1o.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  =  G )
26 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k
( F `  n
)
27 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( F `  n
)  =  G
2826nfcsb1 3378 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k [_ ( F `  n
)  /  k ]_ B
29 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k D
3028, 29nfeq 2603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k
[_ ( F `  n )  /  k ]_ B  =  D
3127, 30nfim 2003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ( F `  n )  =  G  ->  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B  =  D
)
32 eqeq1 2455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( F `  n )  ->  (
k  =  G  <->  ( F `  n )  =  G ) )
33 csbeq1a 3372 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( F `  n )  ->  B  =  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B )
3433eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( F `  n )  ->  ( B  =  D  <->  [_ ( F `
 n )  / 
k ]_ B  =  D ) )
3532, 34imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( F `  n )  ->  (
( k  =  G  ->  B  =  D )  <->  ( ( F `
 n )  =  G  ->  [_ ( F `
 n )  / 
k ]_ B  =  D ) ) )
36 sge0f1o.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  G  ->  B  =  D )
3726, 31, 35, 36vtoclgf 3105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  n )  e.  A  ->  (
( F `  n
)  =  G  ->  [_ ( F `  n
)  /  k ]_ B  =  D )
)
3824, 25, 37sylc 62 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B  =  D )
3938eqcomd 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  D  =  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B )
40393adant3 1028 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C  /\ +oo  =  D )  ->  D  =  [_ ( F `  n
)  /  k ]_ B )
4121, 40eqtrd 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C  /\ +oo  =  D )  -> +oo  =  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B
)
42 simpl 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ph )
4342, 24jca 535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( ph  /\  ( F `  n )  e.  A
) )
44 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( F `  n
)  e.  A
458, 44nfan 2011 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ph  /\  ( F `  n )  e.  A )
4628nfel1 2606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k
[_ ( F `  n )  /  k ]_ B  e.  (
0 [,] +oo )
4745, 46nfim 2003 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( ( ph  /\  ( F `  n )  e.  A )  ->  [_ ( F `  n
)  /  k ]_ B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
48 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( F `  n )  ->  (
k  e.  A  <->  ( F `  n )  e.  A
) )
4948anbi2d 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( F `  n )  ->  (
( ph  /\  k  e.  A )  <->  ( ph  /\  ( F `  n
)  e.  A ) ) )
5033eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( F `  n )  ->  ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  [_ ( F `
 n )  / 
k ]_ B  e.  ( 0 [,] +oo )
) )
5149, 50imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( F `  n )  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  <-> 
( ( ph  /\  ( F `  n )  e.  A )  ->  [_ ( F `  n
)  /  k ]_ B  e.  ( 0 [,] +oo ) ) ) )
5226, 47, 51, 9vtoclgf 3105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  n )  e.  A  ->  (
( ph  /\  ( F `  n )  e.  A )  ->  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
5324, 43, 52sylc 62 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5428, 10, 33elrnmpt1sf 37464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  A  /\  [_ ( F `  n
)  /  k ]_ B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B  e.  ran  ( k  e.  A  |->  B ) )
5524, 53, 54syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B  e.  ran  ( k  e.  A  |->  B ) )
56553adant3 1028 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C  /\ +oo  =  D )  ->  [_ ( F `
 n )  / 
k ]_ B  e.  ran  ( k  e.  A  |->  B ) )
5741, 56eqeltrd 2529 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C  /\ +oo  =  D )  -> +oo  e.  ran  ( k  e.  A  |->  B ) )
58573exp 1207 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  C  ->  ( +oo  =  D  -> +oo  e.  ran  ( k  e.  A  |->  B ) ) ) )
5919, 20, 58rexlimd 2871 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  C +oo  =  D  -> +oo  e.  ran  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
6059adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  -> 
( E. n  e.  C +oo  =  D  -> +oo  e.  ran  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
6118, 60mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  -> +oo  e.  ran  ( k  e.  A  |->  B ) )
627, 12, 61sge0pnfval 38215 . . 3  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  -> 
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )
631adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  ->  C  e.  V )
6439, 53eqeltrd 2529 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
6519, 64, 14fmptdf 6048 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  C  |->  D ) : C --> ( 0 [,] +oo ) )
6665adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  -> 
( n  e.  C  |->  D ) : C --> ( 0 [,] +oo ) )
67 simpr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  -> +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )
6863, 66, 67sge0pnfval 38215 . . 3  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  -> 
(Σ^ `  ( n  e.  C  |->  D ) )  = +oo )
6962, 68eqtr4d 2488 . 2  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  -> 
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  C  |->  D ) ) )
70 sumex 13754 . . . . . . 7  |-  sum_ k  e.  y  B  e.  _V
7170a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  y  B  e.  _V )
72 cnvimass 5188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' F " y ) 
C_  dom  F
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' F "
y )  C_  dom  F )
74 fdm 5733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : C --> A  ->  dom  F  =  C )
7523, 74syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  F  =  C )
7673, 75sseqtrd 3468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' F "
y )  C_  C
)
77 fex 6138 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : C --> A  /\  C  e.  V )  ->  F  e.  _V )
7823, 1, 77syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
79 cnvexg 6739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  _V  ->  `' F  e.  _V )
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  `' F  e.  _V )
81 imaexg 6730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " y )  e.  _V )
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' F "
y )  e.  _V )
83 elpwg 3959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F " y )  e.  _V  ->  (
( `' F "
y )  e.  ~P C 
<->  ( `' F "
y )  C_  C
) )
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( `' F " y )  e.  ~P C 
<->  ( `' F "
y )  C_  C
) )
8576, 84mpbird 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' F "
y )  e.  ~P C )
8685adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( `' F " y )  e.  ~P C )
87 f1ocnv 5826 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  `' F : A -1-1-onto-> C )
882, 87syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  `' F : A -1-1-onto-> C )
89 f1ofun 5816 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' F : A -1-1-onto-> C  ->  Fun  `' F )
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Fun  `' F )
9190adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  Fun  `' F )
92 elinel2 3620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
9392adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
94 imafi 7867 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  `' F  /\  y  e.  Fin )  ->  ( `' F "
y )  e.  Fin )
9591, 93, 94syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( `' F " y )  e.  Fin )
9686, 95elind 3618 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( `' F " y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )
9796adantlr 721 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( `' F " y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )
98 nfv 1761 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D )
998, 98nfan 2011 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )
100 nfv 1761 . . . . . . . . 9  |-  F/ k  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
10199, 100nfan 2011 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
102 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n +oo
103 nfmpt1 4492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n
( n  e.  C  |->  D )
104103nfrn 5077 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n ran  ( n  e.  C  |->  D )
105102, 104nfel 2604 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D )
106105nfn 1983 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D )
10719, 106nfan 2011 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )
108 nfv 1761 . . . . . . . . 9  |-  F/ n  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
109107, 108nfan 2011 . . . . . . . 8  |-  F/ n
( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
11095adantlr 721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( `' F " y )  e.  Fin )
111 f1of1 5813 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  F : C -1-1-> A )
1122, 111syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-> A
)
113112adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  F : C -1-1-> A )
11484adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( `' F "
y )  e.  ~P C 
<->  ( `' F "
y )  C_  C
) )
11586, 114mpbid 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( `' F " y ) 
C_  C )
116 f1ores 5828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : C -1-1-> A  /\  ( `' F "
y )  C_  C
)  ->  ( F  |`  ( `' F "
y ) ) : ( `' F "
y ) -1-1-onto-> ( F " ( `' F " y ) ) )
117113, 115, 116syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  ( `' F " y ) ) : ( `' F "
y ) -1-1-onto-> ( F " ( `' F " y ) ) )
1184adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  F : C -onto-> A )
119 elpwinss 37387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  C_  A )
120119adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  A )
121 foimacnv 5831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : C -onto-> A  /\  y  C_  A )  ->  ( F "
( `' F "
y ) )  =  y )
122118, 120, 121syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F " ( `' F " y ) )  =  y )
123122f1oeq3d 37442 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( F  |`  ( `' F " y ) ) : ( `' F " y ) -1-1-onto-> ( F " ( `' F " y ) )  <->  ( F  |`  ( `' F " y ) ) : ( `' F " y ) -1-1-onto-> y ) )
124117, 123mpbid 214 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  ( `' F " y ) ) : ( `' F "
y ) -1-1-onto-> y )
125124adantlr 721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  ( `' F " y ) ) : ( `' F "
y ) -1-1-onto-> y )
12682ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  ( `' F "
y ) )  -> 
( `' F "
y )  e.  _V )
127 simpll 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  ( `' F "
y ) )  ->  ph )
12896adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  ( `' F "
y ) )  -> 
( `' F "
y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )
129 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  ( `' F "
y ) )  ->  n  e.  ( `' F " y ) )
130127, 128, 129jca31 537 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  ( `' F "
y ) )  -> 
( ( ph  /\  ( `' F " y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  ( `' F " y ) ) )
131 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  <->  ( `' F " y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ) )
132131anbi2d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
( ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  <->  ( ph  /\  ( `' F "
y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ) ) )
133 eleq2 2518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
n  e.  x  <->  n  e.  ( `' F " y ) ) )
134132, 133anbi12d 717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  x
)  <->  ( ( ph  /\  ( `' F "
y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  ( `' F "
y ) ) ) )
135 reseq2 5100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  ( F  |`  x )  =  ( F  |`  ( `' F " y ) ) )
136135fveq1d 5867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
( F  |`  x
) `  n )  =  ( ( F  |`  ( `' F "
y ) ) `  n ) )
137136eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
( ( F  |`  x ) `  n
)  =  G  <->  ( ( F  |`  ( `' F " y ) ) `  n )  =  G ) )
138134, 137imbi12d 322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
)  /\  n  e.  x )  ->  (
( F  |`  x
) `  n )  =  G )  <->  ( (
( ph  /\  ( `' F " y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  ( `' F " y ) )  ->  ( ( F  |`  ( `' F "
y ) ) `  n )  =  G ) ) )
139 fvres 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  x  ->  (
( F  |`  x
) `  n )  =  ( F `  n ) )
140139adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  x )  ->  (
( F  |`  x
) `  n )  =  ( F `  n ) )
141 simpll 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  x )  ->  ph )
142 elpwinss 37387 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  ->  x  C_  C )
143142adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  x  C_  C )
144143sselda 3432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  x )  ->  n  e.  C )
145141, 144, 25syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  x )  ->  ( F `  n )  =  G )
146140, 145eqtrd 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  x )  ->  (
( F  |`  x
) `  n )  =  G )
147138, 146vtoclg 3107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F " y )  e.  _V  ->  (
( ( ph  /\  ( `' F " y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  ( `' F " y ) )  ->  ( ( F  |`  ( `' F "
y ) ) `  n )  =  G ) )
148126, 130, 147sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  ( `' F "
y ) )  -> 
( ( F  |`  ( `' F " y ) ) `  n )  =  G )
149148adantllr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  ( `' F "
y ) )  -> 
( ( F  |`  ( `' F " y ) ) `  n )  =  G )
15082ad3antrrr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  ( `' F " y )  e.  _V )
151 simpll 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) ) )
15285ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  ( `' F " y )  e.  ~P C )
153110adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  ( `' F " y )  e.  Fin )
154152, 153elind 3618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  ( `' F " y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )
155 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  k  e.  y )
156122eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  =  ( F "
( `' F "
y ) ) )
157156adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  y  =  ( F "
( `' F "
y ) ) )
158155, 157eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  k  e.  ( F " ( `' F " y ) ) )
159158adantllr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  k  e.  ( F " ( `' F " y ) ) )
160151, 154, 159jca31 537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  (
( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  ( `' F " y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( F " ( `' F "
y ) ) ) )
161131anbi2d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  <->  ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  ( `' F " y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ) ) )
162 imaeq2 5164 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  ( F " x )  =  ( F " ( `' F " y ) ) )
163162eleq2d 2514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
k  e.  ( F
" x )  <->  k  e.  ( F " ( `' F " y ) ) ) )
164161, 163anbi12d 717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( F " x ) )  <->  ( ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  ( `' F " y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( F " ( `' F "
y ) ) ) ) )
165164imbi1d 319 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
( ( ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( F " x ) )  ->  B  e.  CC )  <->  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  ( `' F " y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( F " ( `' F "
y ) ) )  ->  B  e.  CC ) ) )
166 rge0ssre 11740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
167 ax-resscn 9596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  CC
168166, 167sstri 3441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  CC
169 simplll 768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( F " x
) )  ->  ph )
170 simpllr 769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( F " x
) )  ->  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )
171 fimass 37443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : C --> A  -> 
( F " x
)  C_  A )
17223, 171syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F " x
)  C_  A )
173172ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( F " x
) )  ->  ( F " x )  C_  A )
174 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( F " x
) )  ->  k  e.  ( F " x
) )
175173, 174sseldd 3433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( F " x
) )  ->  k  e.  A )
176175adantllr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( F " x
) )  ->  k  e.  A )
177 foelrni 5913 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : C -onto-> A  /\  k  e.  A
)  ->  E. n  e.  C  ( F `  n )  =  k )
1784, 177sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  E. n  e.  C  ( F `  n )  =  k )
179178adantlr 721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  k  e.  A )  ->  E. n  e.  C  ( F `  n )  =  k )
180 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ n  k  e.  A
181107, 180nfan 2011 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ n
( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  k  e.  A )
182 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ n  B  e.  ( 0 [,) +oo )
183 csbid 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  [_ k  /  k ]_ B  =  B
184183eqcomi 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  B  = 
[_ k  /  k ]_ B
185184a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C  /\  ( F `  n )  =  k )  ->  B  =  [_ k  /  k ]_ B )
186 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F `  n )  =  k  ->  ( F `  n )  =  k )
187186eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F `  n )  =  k  ->  k  =  ( F `  n ) )
188187csbeq1d 3370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F `  n )  =  k  ->  [_ k  /  k ]_ B  =  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B )
1891883ad2ant3 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C  /\  ( F `  n )  =  k )  ->  [_ k  / 
k ]_ B  =  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B
)
19038idi 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B  =  D )
1911903adant3 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C  /\  ( F `  n )  =  k )  ->  [_ ( F `
 n )  / 
k ]_ B  =  D )
192185, 189, 1913eqtrd 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C  /\  ( F `  n )  =  k )  ->  B  =  D )
1931923adant1r 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  n  e.  C  /\  ( F `
 n )  =  k )  ->  B  =  D )
194 0xr 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  0  e.  RR*
195194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  C )  /\  -.  D  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  0  e.  RR* )
196 pnfxr 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |- +oo  e.  RR*
197196a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  C )  /\  -.  D  e.  ( 0 [,) +oo ) )  -> +oo  e.  RR* )
19864adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  C )  /\  -.  D  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo )
)
199 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  C )  /\  -.  D  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  -.  D  e.  ( 0 [,) +oo ) )
200195, 197, 198, 199eliccnelico 37631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  C )  /\  -.  D  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  D  = +oo )
201200eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  C )  /\  -.  D  e.  ( 0 [,) +oo ) )  -> +oo  =  D
)
202 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  n  e.  C )
20364idi 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
20414elrnmpt1 5083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( n  e.  C  /\  D  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  D  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )
205202, 203, 204syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  D  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )
206205adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  C )  /\  -.  D  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  D  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )
207201, 206eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  C )  /\  -.  D  e.  ( 0 [,) +oo ) )  -> +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )
208207adantllr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  n  e.  C )  /\  -.  D  e.  ( 0 [,) +oo ) )  -> +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )
209 simpllr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  n  e.  C )  /\  -.  D  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )
210208, 209condan 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  n  e.  C )  ->  D  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2112103adant3 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  n  e.  C  /\  ( F `
 n )  =  k )  ->  D  e.  ( 0 [,) +oo ) )
212193, 211eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  n  e.  C  /\  ( F `
 n )  =  k )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2132123exp 1207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  -> 
( n  e.  C  ->  ( ( F `  n )  =  k  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo )
) ) )
214213adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  k  e.  A )  ->  (
n  e.  C  -> 
( ( F `  n )  =  k  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo )
) ) )
215181, 182, 214rexlimd 2871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( E. n  e.  C  ( F `  n )  =  k  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
216179, 215mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
217169, 170, 176, 216syl21anc 1267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( F " x
) )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
218168, 217sseldi 3430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( F " x
) )  ->  B  e.  CC )
219218idi 2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( F " x
) )  ->  B  e.  CC )
220165, 219vtoclg 3107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F " y )  e.  _V  ->  (
( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  ( `' F " y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  ( F " ( `' F "
y ) ) )  ->  B  e.  CC ) )
221150, 160, 220sylc 62 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  B  e.  CC )
222101, 109, 36, 110, 125, 149, 221fsumf1of 37653 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  y  B  =  sum_ n  e.  ( `' F " y ) D )
223 sumeq1 13755 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  sum_ n  e.  x  D  =  sum_ n  e.  ( `' F " y ) D )
224223eqeq2d 2461 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  ( sum_ k  e.  y  B  =  sum_ n  e.  x  D 
<-> 
sum_ k  e.  y  B  =  sum_ n  e.  ( `' F "
y ) D ) )
225224rspcev 3150 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' F "
y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  sum_ n  e.  ( `' F "
y ) D )  ->  E. x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) sum_ k  e.  y  B  =  sum_ n  e.  x  D )
22697, 222, 225syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  E. x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) sum_ k  e.  y  B  =  sum_ n  e.  x  D )
22771, 226rnmptssrn 37456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  ->  ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  y  B )  C_  ran  ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |-> 
sum_ n  e.  x  D ) )
228 sumex 13754 . . . . . . 7  |-  sum_ n  e.  x  D  e.  _V
229228a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  sum_ n  e.  x  D  e.  _V )
2306, 172ssexd 4550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F " x
)  e.  _V )
231 elpwg 3959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F " x )  e.  _V  ->  (
( F " x
)  e.  ~P A  <->  ( F " x ) 
C_  A ) )
232230, 231syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( F "
x )  e.  ~P A 
<->  ( F " x
)  C_  A )
)
233172, 232mpbird 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F " x
)  e.  ~P A
)
234233adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( F " x )  e. 
~P A )
235 ffun 5731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : C --> A  ->  Fun  F )
23623, 235syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Fun  F )
237236adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  Fun  F )
238 elinel2 3620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
239238adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
240 imafi 7867 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  Fin )  ->  ( F " x )  e. 
Fin )
241237, 239, 240syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( F " x )  e. 
Fin )
242234, 241elind 3618 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( F " x )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
243242adantlr 721 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( F " x )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
244 nfv 1761 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
24599, 244nfan 2011 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )
246 nfv 1761 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
247107, 246nfan 2011 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )
248238adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
249112adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  F : C -1-1-> A )
250 f1ores 5828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : C -1-1-> A  /\  x  C_  C )  ->  ( F  |`  x ) : x -1-1-onto-> ( F " x ) )
251249, 143, 250syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  x ) : x -1-1-onto-> ( F " x
) )
252251adantlr 721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  x ) : x -1-1-onto-> ( F " x
) )
253146adantllr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  (
n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  x )  ->  (
( F  |`  x
) `  n )  =  G )
254245, 247, 36, 248, 252, 253, 218fsumf1of 37653 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  ( F " x
) B  =  sum_ n  e.  x  D )
255254eqcomd 2457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  sum_ n  e.  x  D  =  sum_ k  e.  ( F
" x ) B )
256 sumeq1 13755 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( F "
x )  ->  sum_ k  e.  y  B  =  sum_ k  e.  ( F
" x ) B )
257256eqeq2d 2461 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F "
x )  ->  ( sum_ n  e.  x  D  =  sum_ k  e.  y  B  <->  sum_ n  e.  x  D  =  sum_ k  e.  ( F " x
) B ) )
258257rspcev 3150 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F " x
)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  sum_ n  e.  x  D  =  sum_ k  e.  ( F " x
) B )  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) sum_ n  e.  x  D  =  sum_ k  e.  y  B )
259243, 255, 258syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  /\  x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) sum_ n  e.  x  D  =  sum_ k  e.  y  B )
260229, 259rnmptssrn 37456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  ->  ran  ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  sum_ n  e.  x  D )  C_  ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  y  B ) )
261227, 260eqssd 3449 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  ->  ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  y  B )  =  ran  ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |-> 
sum_ n  e.  x  D ) )
262261supeq1d 7960 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  ->  sup ( ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  y  B ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |-> 
sum_ n  e.  x  D ) ,  RR* ,  <  ) )
2636adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  ->  A  e.  _V )
26499, 263, 216sge0revalmpt 38220 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  -> 
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  sup ( ran  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  y  B ) ,  RR* ,  <  ) )
2651adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  ->  C  e.  V )
266107, 265, 210sge0revalmpt 38220 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  -> 
(Σ^ `  ( n  e.  C  |->  D ) )  =  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |-> 
sum_ n  e.  x  D ) ,  RR* ,  <  ) )
267262, 264, 2663eqtr4d 2495 . 2  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( n  e.  C  |->  D ) )  -> 
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  C  |->  D ) ) )
26869, 267pm2.61dan 800 1  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  C  |->  D ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444   F/wnf 1667    e. wcel 1887   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   [_csb 3363    i^i cin 3403    C_ wss 3404   ~Pcpw 3951    |-> cmpt 4461   `'ccnv 4833   dom cdm 4834   ran crn 4835    |` cres 4836   "cima 4837   Fun wfun 5576   -->wf 5578   -1-1->wf1 5579   -onto->wfo 5580   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   supcsup 7954   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674    < clt 9675   [,)cico 11637   [,]cicc 11638   sum_csu 13752  Σ^csumge0 38204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-sumge0 38205
This theorem is referenced by:  sge0resrnlem  38245  sge0fodjrnlem  38258  sge0xp  38271  meadjiunlem  38303  isomenndlem  38351  ovnsubaddlem1  38392
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