Theorem sge0cl 38011

Description: The arbitrary sum of nonnegative extended reals is a nonnegative extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0cl.x	|- ( ph -> X e. V )
sge0cl.f	|- ( ph -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) )

Assertion

Ref	Expression
sge0cl	|- ( ph -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )

Proof of Theorem sge0cl

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5878	. . . . 5 |- ( F = (/) -> (Σ^ ` F ) = (Σ^ ` (/) ) )
2		sge00 38006	. . . . . 6 |- (Σ^ ` (/) ) = 0
3	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( F = (/) -> (Σ^ ` (/) ) = 0 )
4	1, 3	eqtrd 2463	. . . 4 |- ( F = (/) -> (Σ^ ` F ) = 0 )
5		0e0iccpnf 11744	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
6	5	a1i 11	. . . 4 |- ( F = (/) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
7	4, 6	eqeltrd 2510	. . 3 |- ( F = (/) -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )
8	7	adantl 467	. 2 |- ( ( ph /\ F = (/) ) -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )
9		sge0cl.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. V )
10	9	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ +oo e. ran F ) -> X e. V )
11		sge0cl.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
12	11	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ +oo e. ran F ) -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
13		simpr 462	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ +oo e. ran F ) -> +oo e. ran F )
14	10, 12, 13	sge0pnfval 38003	. . . . 5 |- ( ( ph /\ +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) = +oo )
15		pnfel0pnf 37460	. . . . . 6 |- +oo e. ( 0 [,] +oo )
16	15	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ +oo e. ran F ) -> +oo e. ( 0 [,] +oo ) )
17	14, 16	eqeltrd 2510	. . . 4 |- ( ( ph /\ +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )
18	17	adantlr 719	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. F = (/) ) /\ +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )
19		simpll 758	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. F = (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> ph )
20		neqne 37235	. . . . 5 |- ( -. F = (/) -> F =/= (/) )
21	20	ad2antlr 731	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. F = (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> F =/= (/) )
22		simpr 462	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. F = (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> -. +oo e. ran F )
23		0xr 9688	. . . . . 6 |- 0 e. RR*
24	23	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> 0 e. RR* )
25		pnfxr 11413	. . . . . 6 |- +oo e. RR*
26	25	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> +oo e. RR* )
27	9	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> X e. V )
28	11	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
29		simpr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> -. +oo e. ran F )
30	28, 29	fge0iccico 38000	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> F : X --> ( 0 [,) +oo ) )
31	27, 30	sge0reval 38002	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) = sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR* , < ) )
32		elinel2 3652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ~P X i^i Fin ) -> x e. Fin )
33	32	adantl 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> x e. Fin )
34	11	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
35		elinel1 3651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( ~P X i^i Fin ) -> x e. ~P X )
36		elpwi 3988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ~P X -> x C_ X )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( ~P X i^i Fin ) -> x C_ X )
38	37	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> x C_ X )
39	38	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> x C_ X )
40		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> y e. x )
41	39, 40	sseldd 3465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> y e. X )
42	34, 41	ffvelrnd 6035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> ( F ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
43	42	adantllr 723	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> ( F ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
44		nne 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. ( F ` y ) =/= +oo <-> ( F ` y ) = +oo )
45	44	biimpi 197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. ( F ` y ) =/= +oo -> ( F ` y ) = +oo )
46	45	eqcomd 2430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( F ` y ) =/= +oo -> +oo = ( F ` y ) )
47	46	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) /\ -. ( F ` y ) =/= +oo ) -> +oo = ( F ` y ) )
48		ffun 5745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F : X --> ( 0 [,] +oo ) -> Fun F )
49	11, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> Fun F )
50	49	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) /\ y e. x ) -> Fun F )
51	41	3impa 1200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) /\ y e. x ) -> y e. X )
52		fdm 5747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( F : X --> ( 0 [,] +oo ) -> dom F = X )
53	11, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> dom F = X )
54	53	eqcomd 2430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> X = dom F )
55	54	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) /\ y e. x ) -> X = dom F )
56	51, 55	eleqtrd 2512	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) /\ y e. x ) -> y e. dom F )
57		fvelrn 6027	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Fun F /\ y e. dom F ) -> ( F ` y ) e. ran F )
58	50, 56, 57	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) /\ y e. x ) -> ( F ` y ) e. ran F )
59	58	ad5ant134 1251	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) /\ -. ( F ` y ) =/= +oo ) -> ( F ` y ) e. ran F )
60	47, 59	eqeltrd 2510	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) /\ -. ( F ` y ) =/= +oo ) -> +oo e. ran F )
61	29	ad3antrrr 734	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) /\ -. ( F ` y ) =/= +oo ) -> -. +oo e. ran F )
62	60, 61	condan 801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> ( F ` y ) =/= +oo )
63		ge0xrre 37464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ ( F ` y ) =/= +oo ) -> ( F ` y ) e. RR )
64	43, 62, 63	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> ( F ` y ) e. RR )
65	33, 64	fsumrecl 13788	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> sum_ y e. x ( F ` y ) e. RR )
66	65	ralrimiva 2839	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> A. x e. ( ~P X i^i Fin ) sum_ y e. x ( F ` y ) e. RR )
67		eqid 2422	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) = ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) )
68	67	rnmptss 6064	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. ( ~P X i^i Fin ) sum_ y e. x ( F ` y ) e. RR -> ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) C_ RR )
69	66, 68	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) C_ RR )
70		ressxr 9685	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ RR*
71	70	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> RR C_ RR* )
72	69, 71	sstrd 3474	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) C_ RR* )
73		supxrcl 11601	. . . . . . . 8 |- ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) C_ RR* -> sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR* , < ) e. RR* )
74	72, 73	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR* , < ) e. RR* )
75	31, 74	eqeltrd 2510	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) e. RR* )
76	75	adantlr 719	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) e. RR* )
77	54	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> X = dom F )
78		neneq 2626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F =/= (/) -> -. F = (/) )
79	78	adantl 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> -. F = (/) )
80		frel 5746	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X --> ( 0 [,] +oo ) -> Rel F )
81	11, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Rel F )
82	81	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> Rel F )
83		reldm0 5068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Rel F -> ( F = (/) <-> dom F = (/) ) )
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> ( F = (/) <-> dom F = (/) ) )
85	79, 84	mtbid 301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> -. dom F = (/) )
86	85	neqned 2627	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> dom F =/= (/) )
87	77, 86	eqnetrd 2717	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> X =/= (/) )
88		n0 3771	. . . . . . . 8 |- ( X =/= (/) <-> E. z z e. X )
89	87, 88	sylib 199	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> E. z z e. X )
90	89	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> E. z z e. X )
91	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> 0 e. RR* )
92	11	ffvelrnda 6034	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. ( 0 [,] +oo ) )
93	92	adantlr 719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. ( 0 [,] +oo ) )
94		nne 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. ( F ` z ) =/= +oo <-> ( F ` z ) = +oo )
95	94	biimpi 197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( F ` z ) =/= +oo -> ( F ` z ) = +oo )
96	95	eqcomd 2430	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( F ` z ) =/= +oo -> +oo = ( F ` z ) )
97	96	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) /\ -. ( F ` z ) =/= +oo ) -> +oo = ( F ` z ) )
98	11	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
99	98, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> Fun F )
100		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> z e. X )
101	54	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> X = dom F )
102	100, 101	eleqtrd 2512	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> z e. dom F )
103		fvelrn 6027	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Fun F /\ z e. dom F ) -> ( F ` z ) e. ran F )
104	99, 102, 103	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. ran F )
105	104	adantlr 719	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. ran F )
106	105	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) /\ -. ( F ` z ) =/= +oo ) -> ( F ` z ) e. ran F )
107	97, 106	eqeltrd 2510	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) /\ -. ( F ` z ) =/= +oo ) -> +oo e. ran F )
108	29	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) /\ -. ( F ` z ) =/= +oo ) -> -. +oo e. ran F )
109	107, 108	condan 801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) =/= +oo )
110		ge0xrre 37464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` z ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ ( F ` z ) =/= +oo ) -> ( F ` z ) e. RR )
111	93, 109, 110	syl2anc 665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. RR )
112	111	rexrd 9691	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. RR* )
113	75	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> (Σ^ ` F ) e. RR* )
114	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> 0 e. RR* )
115	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> +oo e. RR* )
116		iccgelb 11692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ ( F ` z ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ ( F ` z ) )
117	114, 115, 92, 116	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> 0 <_ ( F ` z ) )
118	117	adantlr 719	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> 0 <_ ( F ` z ) )
119	72	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) C_ RR* )
120		snelpwi 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. X -> { z } e. ~P X )
121		snfi 7654	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { z } e. Fin
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. X -> { z } e. Fin )
123	120, 122	elind 3650	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. X -> { z } e. ( ~P X i^i Fin ) )
124	123	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> { z } e. ( ~P X i^i Fin ) )
125		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> z e. X )
126	111	recnd 9670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. CC )
127		fveq2 5878	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = z -> ( F ` y ) = ( F ` z ) )
128	127	sumsn 13795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. X /\ ( F ` z ) e. CC ) -> sum_ y e. { z } ( F ` y ) = ( F ` z ) )
129	125, 126, 128	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> sum_ y e. { z } ( F ` y ) = ( F ` z ) )
130	129	eqcomd 2430	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) = sum_ y e. { z } ( F ` y ) )
131		sumeq1 13743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = { z } -> sum_ y e. x ( F ` y ) = sum_ y e. { z } ( F ` y ) )
132	131	eqeq2d 2436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = { z } -> ( ( F ` z ) = sum_ y e. x ( F ` y ) <-> ( F ` z ) = sum_ y e. { z } ( F ` y ) ) )
133	132	rspcev 3182	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { z } e. ( ~P X i^i Fin ) /\ ( F ` z ) = sum_ y e. { z } ( F ` y ) ) -> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( F ` z ) = sum_ y e. x ( F ` y ) )
134	124, 130, 133	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( F ` z ) = sum_ y e. x ( F ` y ) )
135	67	elrnmpt 5097	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` z ) e. ( 0 [,] +oo ) -> ( ( F ` z ) e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) <-> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( F ` z ) = sum_ y e. x ( F ` y ) ) )
136	93, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( ( F ` z ) e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) <-> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( F ` z ) = sum_ y e. x ( F ` y ) ) )
137	134, 136	mpbird 235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) )
138		supxrub 11611	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) C_ RR* /\ ( F ` z ) e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) ) -> ( F ` z ) <_ sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR* , < ) )
139	119, 137, 138	syl2anc 665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) <_ sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR* , < ) )
140	31	eqcomd 2430	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR* , < ) = (Σ^ ` F ) )
141	140	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR* , < ) = (Σ^ ` F ) )
142	139, 141	breqtrd 4445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) <_ (Σ^ ` F ) )
143	91, 112, 113, 118, 142	xrletrd 11460	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> 0 <_ (Σ^ ` F ) )
144	143	ex 435	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> ( z e. X -> 0 <_ (Σ^ ` F ) ) )
145	144	adantlr 719	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> ( z e. X -> 0 <_ (Σ^ ` F ) ) )
146	145	exlimdv 1768	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> ( E. z z e. X -> 0 <_ (Σ^ ` F ) ) )
147	90, 146	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> 0 <_ (Σ^ ` F ) )
148		pnfge 11433	. . . . . . 7 |- ( (Σ^ ` F ) e. RR* -> (Σ^ ` F ) <_ +oo )
149	75, 148	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) <_ +oo )
150	149	adantlr 719	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) <_ +oo )
151	24, 26, 76, 147, 150	eliccxrd 37459	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )
152	19, 21, 22, 151	syl21anc 1263	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. F = (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )
153	18, 152	pm2.61dan 798	. 2 |- ( ( ph /\ -. F = (/) ) -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )
154	8, 153	pm2.61dan 798	1 |- ( ph -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   E.wex 1659   e. wcel 1868   =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   i^i cin 3435   C_ wss 3436   (/)c0 3761   ~Pcpw 3979   {csn 3996   class class class wbr 4420   |-> cmpt 4479   dom cdm 4850   ran crn 4851   Rel wrel 4855   Fun wfun 5592   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   Fincfn 7574   supcsup 7957   CCcc 9538   RRcr 9539   0cc0 9540   +oocpnf 9673   RR*cxr 9675   < clt 9676   <_ cle 9677   [,]cicc 11639   sum_csu 13740  Σ^{^}csumge0 37992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7959  df-oi 8028  df-card 8375  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-rp 11304  df-ico 11642  df-icc 11643  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-clim 13540  df-sum 13741  df-sumge0 37993

This theorem is referenced by:  sge0ge0  38014  sge0xrcl  38015  sge0split  38039  sge0iunmptlemre  38045  sge0iunmpt  38048  sge0nemnf  38050  sge0clmpt  38055  sge0isum  38057  psmeasure  38088  ovnsupge0  38154  ovnsubaddlem1  38167