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Theorem sge0cl 38011
Description: The arbitrary sum of nonnegative extended reals is a nonnegative extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0cl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
sge0cl.f  |-  ( ph  ->  F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
Assertion
Ref Expression
sge0cl  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  e.  ( 0 [,] +oo )
)

Proof of Theorem sge0cl
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5878 . . . . 5  |-  ( F  =  (/)  ->  (Σ^ `  F )  =  (Σ^ `  (/) ) )
2 sge00 38006 . . . . . 6  |-  (Σ^ `  (/) )  =  0
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( F  =  (/)  ->  (Σ^ `  (/) )  =  0
)
41, 3eqtrd 2463 . . . 4  |-  ( F  =  (/)  ->  (Σ^ `  F )  =  0 )
5 0e0iccpnf 11744 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
65a1i 11 . . . 4  |-  ( F  =  (/)  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
74, 6eqeltrd 2510 . . 3  |-  ( F  =  (/)  ->  (Σ^ `  F )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
87adantl 467 . 2  |-  ( (
ph  /\  F  =  (/) )  ->  (Σ^ `  F )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
9 sge0cl.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
109adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  F )  ->  X  e.  V )
11 sge0cl.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
1211adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  F )  ->  F : X
--> ( 0 [,] +oo ) )
13 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  F )  -> +oo  e.  ran  F )
1410, 12, 13sge0pnfval 38003 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  F )  ->  (Σ^ `  F )  = +oo )
15 pnfel0pnf 37460 . . . . . 6  |- +oo  e.  ( 0 [,] +oo )
1615a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  F )  -> +oo  e.  ( 0 [,] +oo )
)
1714, 16eqeltrd 2510 . . . 4  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  F )  ->  (Σ^ `  F )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
1817adantlr 719 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  F  =  (/) )  /\ +oo  e.  ran  F )  ->  (Σ^ `  F )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
19 simpll 758 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  F  =  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F
)  ->  ph )
20 neqne 37235 . . . . 5  |-  ( -.  F  =  (/)  ->  F  =/=  (/) )
2120ad2antlr 731 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  F  =  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F
)  ->  F  =/=  (/) )
22 simpr 462 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  F  =  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F
)  ->  -. +oo  e.  ran  F )
23 0xr 9688 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
2423a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  =/=  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  0  e.  RR* )
25 pnfxr 11413 . . . . . 6  |- +oo  e.  RR*
2625a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  =/=  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F )  -> +oo  e.  RR* )
279adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  X  e.  V )
2811adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
29 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  -. +oo  e.  ran  F )
3028, 29fge0iccico 38000 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  F : X --> ( 0 [,) +oo ) )
3127, 30sge0reval 38002 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  (Σ^ `  F
)  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR* ,  <  ) )
32 elinel2 3652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
3332adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
3411ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
35 elinel1 3651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P X )
36 elpwi 3988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ~P X  ->  x  C_  X )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  x  C_  X )
3837adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  x  C_  X )
3938adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  x  C_  X )
40 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  x )
4139, 40sseldd 3465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  X )
4234, 41ffvelrnd 6035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( F `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4342adantllr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F
)  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( F `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
44 nne 2624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  ( F `  y
)  =/= +oo  <->  ( F `  y )  = +oo )
4544biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( F `  y
)  =/= +oo  ->  ( F `  y )  = +oo )
4645eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( F `  y
)  =/= +oo  -> +oo  =  ( F `  y ) )
4746adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  F )  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  /\  -.  ( F `  y )  =/= +oo )  -> +oo  =  ( F `  y ) )
48 ffun 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : X --> ( 0 [,] +oo )  ->  Fun  F )
4911, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  Fun  F )
50493ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  Fun  F )
51413impa 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  X )
52 fdm 5747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F : X --> ( 0 [,] +oo )  ->  dom  F  =  X )
5311, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  dom  F  =  X )
5453eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  X  =  dom  F
)
55543ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  X  =  dom  F )
5651, 55eleqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  dom  F )
57 fvelrn 6027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( F `  y
)  e.  ran  F
)
5850, 56, 57syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( F `  y )  e.  ran  F )
5958ad5ant134 1251 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  F )  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  /\  -.  ( F `  y )  =/= +oo )  -> 
( F `  y
)  e.  ran  F
)
6047, 59eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  F )  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  /\  -.  ( F `  y )  =/= +oo )  -> +oo  e.  ran  F )
6129ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  F )  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  /\  -.  ( F `  y )  =/= +oo )  ->  -. +oo  e.  ran  F
)
6260, 61condan 801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F
)  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( F `  y )  =/= +oo )
63 ge0xrre 37464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  ( F `  y )  =/= +oo )  -> 
( F `  y
)  e.  RR )
6443, 62, 63syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F
)  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
6533, 64fsumrecl 13788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  e.  RR )
6665ralrimiva 2839 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  A. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) sum_ y  e.  x  ( F `  y )  e.  RR )
67 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  =  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
6867rnmptss 6064 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) sum_ y  e.  x  ( F `  y )  e.  RR  ->  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  C_  RR )
6966, 68syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  C_  RR )
70 ressxr 9685 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  RR*
7170a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  RR  C_ 
RR* )
7269, 71sstrd 3474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  C_  RR* )
73 supxrcl 11601 . . . . . . . 8  |-  ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  C_  RR*  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
7472, 73syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
7531, 74eqeltrd 2510 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  (Σ^ `  F
)  e.  RR* )
7675adantlr 719 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  =/=  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR* )
7754adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  (/) )  ->  X  =  dom  F )
78 neneq 2626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  =/=  (/)  ->  -.  F  =  (/) )
7978adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  (/) )  ->  -.  F  =  (/) )
80 frel 5746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X --> ( 0 [,] +oo )  ->  Rel  F )
8111, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Rel  F )
8281adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  (/) )  ->  Rel  F )
83 reldm0 5068 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Rel 
F  ->  ( F  =  (/)  <->  dom  F  =  (/) ) )
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  (/) )  ->  ( F  =  (/)  <->  dom  F  =  (/) ) )
8579, 84mtbid 301 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  (/) )  ->  -.  dom  F  =  (/) )
8685neqned 2627 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  (/) )  ->  dom  F  =/=  (/) )
8777, 86eqnetrd 2717 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  (/) )  ->  X  =/=  (/) )
88 n0 3771 . . . . . . . 8  |-  ( X  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  X )
8987, 88sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  (/) )  ->  E. z 
z  e.  X )
9089adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  =/=  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  E. z  z  e.  X )
9123a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  0  e.  RR* )
9211ffvelrnda 6034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9392adantlr 719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ( F `  z )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
94 nne 2624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( F `  z
)  =/= +oo  <->  ( F `  z )  = +oo )
9594biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( F `  z
)  =/= +oo  ->  ( F `  z )  = +oo )
9695eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( F `  z
)  =/= +oo  -> +oo  =  ( F `  z ) )
9796adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F
)  /\  z  e.  X )  /\  -.  ( F `  z )  =/= +oo )  -> +oo  =  ( F `  z ) )
9811adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
9998, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  Fun  F )
100 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  X )
10154adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  X  =  dom  F )
102100, 101eleqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  dom  F )
103 fvelrn 6027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  dom  F )  -> 
( F `  z
)  e.  ran  F
)
10499, 102, 103syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z )  e.  ran  F )
105104adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ( F `  z )  e.  ran  F )
106105adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F
)  /\  z  e.  X )  /\  -.  ( F `  z )  =/= +oo )  -> 
( F `  z
)  e.  ran  F
)
10797, 106eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F
)  /\  z  e.  X )  /\  -.  ( F `  z )  =/= +oo )  -> +oo  e.  ran  F )
10829ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F
)  /\  z  e.  X )  /\  -.  ( F `  z )  =/= +oo )  ->  -. +oo  e.  ran  F
)
109107, 108condan 801 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ( F `  z )  =/= +oo )
110 ge0xrre 37464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  ( F `  z )  =/= +oo )  -> 
( F `  z
)  e.  RR )
11193, 109, 110syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ( F `  z )  e.  RR )
112111rexrd 9691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ( F `  z )  e.  RR* )
11375adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR* )
11423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  0  e.  RR* )
11525a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  -> +oo  e.  RR* )
116 iccgelb 11692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  ( F `
 z )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  0  <_  ( F `  z
) )
117114, 115, 92, 116syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  0  <_  ( F `  z
) )
118117adantlr 719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  0  <_  ( F `  z ) )
11972adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  C_  RR* )
120 snelpwi 4663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  X  ->  { z }  e.  ~P X
)
121 snfi 7654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { z }  e.  Fin
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  X  ->  { z }  e.  Fin )
123120, 122elind 3650 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  X  ->  { z }  e.  ( ~P X  i^i  Fin )
)
124123adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  { z }  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )
125 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  z  e.  X )
126111recnd 9670 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ( F `  z )  e.  CC )
127 fveq2 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
128127sumsn 13795 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  CC )  ->  sum_ y  e.  { z }  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
129125, 126, 128syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  sum_ y  e. 
{ z }  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
130129eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ( F `  z )  =  sum_ y  e.  { z }  ( F `  y ) )
131 sumeq1 13743 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  { z }  ->  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  =  sum_ y  e.  {
z }  ( F `
 y ) )
132131eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  { z }  ->  ( ( F `
 z )  = 
sum_ y  e.  x  ( F `  y )  <-> 
( F `  z
)  =  sum_ y  e.  { z }  ( F `  y )
) )
133132rspcev 3182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { z }  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  ( F `  z )  =  sum_ y  e.  { z }  ( F `  y ) )  ->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )
( F `  z
)  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
134124, 130, 133syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) ( F `  z )  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)
13567elrnmpt 5097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  z )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( ( F `  z )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  <->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) ( F `  z )  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
) )
13693, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  <->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) ( F `  z )  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
) )
137134, 136mpbird 235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ( F `  z )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )
138 supxrub 11611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  C_  RR*  /\  ( F `  z )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )  ->  ( F `  z )  <_  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR* ,  <  ) )
139119, 137, 138syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ( F `  z )  <_  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR* ,  <  ) )
14031eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR* ,  <  )  =  (Σ^ `  F ) )
141140adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR* ,  <  )  =  (Σ^ `  F ) )
142139, 141breqtrd 4445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ( F `  z )  <_  (Σ^ `  F
) )
14391, 112, 113, 118, 142xrletrd 11460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  0  <_  (Σ^ `  F
) )
144143ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  (
z  e.  X  -> 
0  <_  (Σ^ `  F ) ) )
145144adantlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  F  =/=  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  ( z  e.  X  ->  0  <_  (Σ^ `  F
) ) )
146145exlimdv 1768 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  =/=  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  ( E. z 
z  e.  X  -> 
0  <_  (Σ^ `  F ) ) )
14790, 146mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  =/=  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  0  <_  (Σ^ `  F
) )
148 pnfge 11433 . . . . . . 7  |-  ( (Σ^ `  F
)  e.  RR*  ->  (Σ^ `  F
)  <_ +oo )
14975, 148syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  (Σ^ `  F
)  <_ +oo )
150149adantlr 719 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  =/=  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  (Σ^ `  F )  <_ +oo )
15124, 26, 76, 147, 150eliccxrd 37459 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  F  =/=  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  (Σ^ `  F )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
15219, 21, 22, 151syl21anc 1263 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  F  =  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F
)  ->  (Σ^ `  F )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
15318, 152pm2.61dan 798 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  F  =  (/) )  ->  (Σ^ `  F
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1548, 153pm2.61dan 798 1  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   ~Pcpw 3979   {csn 3996   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479   dom cdm 4850   ran crn 4851   Rel wrel 4855   Fun wfun 5592   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   Fincfn 7574   supcsup 7957   CCcc 9538   RRcr 9539   0cc0 9540   +oocpnf 9673   RR*cxr 9675    < clt 9676    <_ cle 9677   [,]cicc 11639   sum_csu 13740  Σ^csumge0 37992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7959  df-oi 8028  df-card 8375  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-rp 11304  df-ico 11642  df-icc 11643  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-clim 13540  df-sum 13741  df-sumge0 37993
This theorem is referenced by:  sge0ge0  38014  sge0xrcl  38015  sge0split  38039  sge0iunmptlemre  38045  sge0iunmpt  38048  sge0nemnf  38050  sge0clmpt  38055  sge0isum  38057  psmeasure  38088  ovnsupge0  38154  ovnsubaddlem1  38167
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