Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0cl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem sge0cl 38223
Description: The arbitrary sum of nonnegative extended reals is a nonnegative extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0cl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
sge0cl.f  |-  ( ph  ->  F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
Assertion
Ref Expression
sge0cl  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  e.  ( 0 [,] +oo )
)

Proof of Theorem sge0cl
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5865 . . . . 5  |-  ( F  =  (/)  ->  (Σ^ `  F )  =  (Σ^ `  (/) ) )
2 sge00 38218 . . . . . 6  |-  (Σ^ `  (/) )  =  0
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( F  =  (/)  ->  (Σ^ `  (/) )  =  0
)
41, 3eqtrd 2485 . . . 4  |-  ( F  =  (/)  ->  (Σ^ `  F )  =  0 )
5 0e0iccpnf 11743 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
65a1i 11 . . . 4  |-  ( F  =  (/)  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
74, 6eqeltrd 2529 . . 3  |-  ( F  =  (/)  ->  (Σ^ `  F )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
87adantl 468 . 2  |-  ( (
ph  /\  F  =  (/) )  ->  (Σ^ `  F )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
9 sge0cl.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
109adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  F )  ->  X  e.  V )
11 sge0cl.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
1211adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  F )  ->  F : X
--> ( 0 [,] +oo ) )
13 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  F )  -> +oo  e.  ran  F )
1410, 12, 13sge0pnfval 38215 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  F )  ->  (Σ^ `  F )  = +oo )
15 pnfel0pnf 37629 . . . . . 6  |- +oo  e.  ( 0 [,] +oo )
1615a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  F )  -> +oo  e.  ( 0 [,] +oo )
)
1714, 16eqeltrd 2529 . . . 4  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  F )  ->  (Σ^ `  F )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
1817adantlr 721 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  F  =  (/) )  /\ +oo  e.  ran  F )  ->  (Σ^ `  F )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
19 simpll 760 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  F  =  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F
)  ->  ph )
20 neqne 37374 . . . . 5  |-  ( -.  F  =  (/)  ->  F  =/=  (/) )
2120ad2antlr 733 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  F  =  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F
)  ->  F  =/=  (/) )
22 simpr 463 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  F  =  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F
)  ->  -. +oo  e.  ran  F )
23 0xr 9687 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
2423a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  =/=  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  0  e.  RR* )
25 pnfxr 11412 . . . . . 6  |- +oo  e.  RR*
2625a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  =/=  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F )  -> +oo  e.  RR* )
279adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  X  e.  V )
2811adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
29 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  -. +oo  e.  ran  F )
3028, 29fge0iccico 38212 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  F : X --> ( 0 [,) +oo ) )
3127, 30sge0reval 38214 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  (Σ^ `  F
)  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR* ,  <  ) )
32 elinel2 3620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
3332adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
3411ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
35 elinel1 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P X )
36 elpwi 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ~P X  ->  x  C_  X )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  x  C_  X )
3837adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  x  C_  X )
3938adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  x  C_  X )
40 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  x )
4139, 40sseldd 3433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  X )
4234, 41ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( F `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4342adantllr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F
)  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( F `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
44 nne 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  ( F `  y
)  =/= +oo  <->  ( F `  y )  = +oo )
4544biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( F `  y
)  =/= +oo  ->  ( F `  y )  = +oo )
4645eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( F `  y
)  =/= +oo  -> +oo  =  ( F `  y ) )
4746adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  F )  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  /\  -.  ( F `  y )  =/= +oo )  -> +oo  =  ( F `  y ) )
48 ffun 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : X --> ( 0 [,] +oo )  ->  Fun  F )
4911, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  Fun  F )
50493ad2ant1 1029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  Fun  F )
51413impa 1203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  X )
52 fdm 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F : X --> ( 0 [,] +oo )  ->  dom  F  =  X )
5311, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  dom  F  =  X )
5453eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  X  =  dom  F
)
55543ad2ant1 1029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  X  =  dom  F )
5651, 55eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  dom  F )
57 fvelrn 6015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( F `  y
)  e.  ran  F
)
5850, 56, 57syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( F `  y )  e.  ran  F )
5958ad5ant134 1255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  F )  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  /\  -.  ( F `  y )  =/= +oo )  -> 
( F `  y
)  e.  ran  F
)
6047, 59eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  F )  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  /\  -.  ( F `  y )  =/= +oo )  -> +oo  e.  ran  F )
6129ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  F )  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  /\  -.  ( F `  y )  =/= +oo )  ->  -. +oo  e.  ran  F
)
6260, 61condan 803 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F
)  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( F `  y )  =/= +oo )
63 ge0xrre 37633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  ( F `  y )  =/= +oo )  -> 
( F `  y
)  e.  RR )
6443, 62, 63syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F
)  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
6533, 64fsumrecl 13800 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  e.  RR )
6665ralrimiva 2802 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  A. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) sum_ y  e.  x  ( F `  y )  e.  RR )
67 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  =  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
6867rnmptss 6052 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) sum_ y  e.  x  ( F `  y )  e.  RR  ->  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  C_  RR )
6966, 68syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  C_  RR )
70 ressxr 9684 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  RR*
7170a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  RR  C_ 
RR* )
7269, 71sstrd 3442 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  C_  RR* )
73 supxrcl 11600 . . . . . . . 8  |-  ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  C_  RR*  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
7472, 73syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
7531, 74eqeltrd 2529 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  (Σ^ `  F
)  e.  RR* )
7675adantlr 721 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  =/=  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR* )
7754adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  (/) )  ->  X  =  dom  F )
78 neneq 2630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  =/=  (/)  ->  -.  F  =  (/) )
7978adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  (/) )  ->  -.  F  =  (/) )
80 frel 5732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X --> ( 0 [,] +oo )  ->  Rel  F )
8111, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Rel  F )
8281adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  (/) )  ->  Rel  F )
83 reldm0 5052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Rel 
F  ->  ( F  =  (/)  <->  dom  F  =  (/) ) )
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  (/) )  ->  ( F  =  (/)  <->  dom  F  =  (/) ) )
8579, 84mtbid 302 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  (/) )  ->  -.  dom  F  =  (/) )
8685neqned 2631 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  (/) )  ->  dom  F  =/=  (/) )
8777, 86eqnetrd 2691 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  (/) )  ->  X  =/=  (/) )
88 n0 3741 . . . . . . . 8  |-  ( X  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  X )
8987, 88sylib 200 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  (/) )  ->  E. z 
z  e.  X )
9089adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  =/=  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  E. z  z  e.  X )
9123a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  0  e.  RR* )
9211ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9392adantlr 721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ( F `  z )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
94 nne 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( F `  z
)  =/= +oo  <->  ( F `  z )  = +oo )
9594biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( F `  z
)  =/= +oo  ->  ( F `  z )  = +oo )
9695eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( F `  z
)  =/= +oo  -> +oo  =  ( F `  z ) )
9796adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F
)  /\  z  e.  X )  /\  -.  ( F `  z )  =/= +oo )  -> +oo  =  ( F `  z ) )
9811adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
9998, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  Fun  F )
100 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  X )
10154adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  X  =  dom  F )
102100, 101eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  dom  F )
103 fvelrn 6015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  dom  F )  -> 
( F `  z
)  e.  ran  F
)
10499, 102, 103syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z )  e.  ran  F )
105104adantlr 721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ( F `  z )  e.  ran  F )
106105adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F
)  /\  z  e.  X )  /\  -.  ( F `  z )  =/= +oo )  -> 
( F `  z
)  e.  ran  F
)
10797, 106eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F
)  /\  z  e.  X )  /\  -.  ( F `  z )  =/= +oo )  -> +oo  e.  ran  F )
10829ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F
)  /\  z  e.  X )  /\  -.  ( F `  z )  =/= +oo )  ->  -. +oo  e.  ran  F
)
109107, 108condan 803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ( F `  z )  =/= +oo )
110 ge0xrre 37633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  ( F `  z )  =/= +oo )  -> 
( F `  z
)  e.  RR )
11193, 109, 110syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ( F `  z )  e.  RR )
112111rexrd 9690 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ( F `  z )  e.  RR* )
11375adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR* )
11423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  0  e.  RR* )
11525a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  -> +oo  e.  RR* )
116 iccgelb 11691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  ( F `
 z )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  0  <_  ( F `  z
) )
117114, 115, 92, 116syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  0  <_  ( F `  z
) )
118117adantlr 721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  0  <_  ( F `  z ) )
11972adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  C_  RR* )
120 snelpwi 4645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  X  ->  { z }  e.  ~P X
)
121 snfi 7650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { z }  e.  Fin
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  X  ->  { z }  e.  Fin )
123120, 122elind 3618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  X  ->  { z }  e.  ( ~P X  i^i  Fin )
)
124123adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  { z }  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )
125 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  z  e.  X )
126111recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ( F `  z )  e.  CC )
127 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
128127sumsn 13807 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  CC )  ->  sum_ y  e.  { z }  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
129125, 126, 128syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  sum_ y  e. 
{ z }  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
130129eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ( F `  z )  =  sum_ y  e.  { z }  ( F `  y ) )
131 sumeq1 13755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  { z }  ->  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  =  sum_ y  e.  {
z }  ( F `
 y ) )
132131eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  { z }  ->  ( ( F `
 z )  = 
sum_ y  e.  x  ( F `  y )  <-> 
( F `  z
)  =  sum_ y  e.  { z }  ( F `  y )
) )
133132rspcev 3150 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { z }  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  ( F `  z )  =  sum_ y  e.  { z }  ( F `  y ) )  ->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )
( F `  z
)  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
134124, 130, 133syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) ( F `  z )  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)
13567elrnmpt 5081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  z )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( ( F `  z )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  <->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) ( F `  z )  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
) )
13693, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  <->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) ( F `  z )  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
) )
137134, 136mpbird 236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ( F `  z )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )
138 supxrub 11610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  C_  RR*  /\  ( F `  z )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )  ->  ( F `  z )  <_  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR* ,  <  ) )
139119, 137, 138syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ( F `  z )  <_  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR* ,  <  ) )
14031eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR* ,  <  )  =  (Σ^ `  F ) )
141140adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR* ,  <  )  =  (Σ^ `  F ) )
142139, 141breqtrd 4427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ( F `  z )  <_  (Σ^ `  F
) )
14391, 112, 113, 118, 142xrletrd 11459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  0  <_  (Σ^ `  F
) )
144143ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  (
z  e.  X  -> 
0  <_  (Σ^ `  F ) ) )
145144adantlr 721 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  F  =/=  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  ( z  e.  X  ->  0  <_  (Σ^ `  F
) ) )
146145exlimdv 1779 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  =/=  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  ( E. z 
z  e.  X  -> 
0  <_  (Σ^ `  F ) ) )
14790, 146mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  =/=  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  0  <_  (Σ^ `  F
) )
148 pnfge 11432 . . . . . . 7  |-  ( (Σ^ `  F
)  e.  RR*  ->  (Σ^ `  F
)  <_ +oo )
14975, 148syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  (Σ^ `  F
)  <_ +oo )
150149adantlr 721 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  =/=  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  (Σ^ `  F )  <_ +oo )
15124, 26, 76, 147, 150eliccxrd 37628 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  F  =/=  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  (Σ^ `  F )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
15219, 21, 22, 151syl21anc 1267 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  F  =  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F
)  ->  (Σ^ `  F )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
15318, 152pm2.61dan 800 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  F  =  (/) )  ->  (Σ^ `  F
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1548, 153pm2.61dan 800 1  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   {csn 3968   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   ran crn 4835   Rel wrel 4839   Fun wfun 5576   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   supcsup 7954   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676   [,]cicc 11638   sum_csu 13752  Σ^csumge0 38204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-sumge0 38205
This theorem is referenced by:  sge0ge0  38226  sge0xrcl  38227  sge0split  38251  sge0iunmptlemre  38257  sge0iunmpt  38260  sge0nemnf  38262  sge0clmpt  38267  sge0isum  38269  psmeasure  38309  ovnsupge0  38379  ovnsubaddlem1  38392  sge0hsphoire  38411  hoidmvlelem1  38417  hspmbllem2  38449
  Copyright terms: Public domain W3C validator