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Theorem sge0cl 38337
Description: The arbitrary sum of nonnegative extended reals is a nonnegative extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0cl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
sge0cl.f  |-  ( ph  ->  F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
Assertion
Ref Expression
sge0cl  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  e.  ( 0 [,] +oo )
)

Proof of Theorem sge0cl
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5879 . . . . 5  |-  ( F  =  (/)  ->  (Σ^ `  F )  =  (Σ^ `  (/) ) )
2 sge00 38332 . . . . . 6  |-  (Σ^ `  (/) )  =  0
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( F  =  (/)  ->  (Σ^ `  (/) )  =  0
)
41, 3eqtrd 2505 . . . 4  |-  ( F  =  (/)  ->  (Σ^ `  F )  =  0 )
5 0e0iccpnf 11769 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
65a1i 11 . . . 4  |-  ( F  =  (/)  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
74, 6eqeltrd 2549 . . 3  |-  ( F  =  (/)  ->  (Σ^ `  F )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
87adantl 473 . 2  |-  ( (
ph  /\  F  =  (/) )  ->  (Σ^ `  F )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
9 sge0cl.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
109adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  F )  ->  X  e.  V )
11 sge0cl.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
1211adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  F )  ->  F : X
--> ( 0 [,] +oo ) )
13 simpr 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  F )  -> +oo  e.  ran  F )
1410, 12, 13sge0pnfval 38329 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  F )  ->  (Σ^ `  F )  = +oo )
15 pnfel0pnf 37725 . . . . . 6  |- +oo  e.  ( 0 [,] +oo )
1615a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  F )  -> +oo  e.  ( 0 [,] +oo )
)
1714, 16eqeltrd 2549 . . . 4  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  F )  ->  (Σ^ `  F )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
1817adantlr 729 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  F  =  (/) )  /\ +oo  e.  ran  F )  ->  (Σ^ `  F )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
19 simpll 768 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  F  =  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F
)  ->  ph )
20 neqne 2651 . . . . 5  |-  ( -.  F  =  (/)  ->  F  =/=  (/) )
2120ad2antlr 741 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  F  =  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F
)  ->  F  =/=  (/) )
22 simpr 468 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  F  =  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F
)  ->  -. +oo  e.  ran  F )
23 0xr 9705 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
2423a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  =/=  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  0  e.  RR* )
25 pnfxr 11435 . . . . . 6  |- +oo  e.  RR*
2625a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  =/=  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F )  -> +oo  e.  RR* )
279adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  X  e.  V )
2811adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
29 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  -. +oo  e.  ran  F )
3028, 29fge0iccico 38326 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  F : X --> ( 0 [,) +oo ) )
3127, 30sge0reval 38328 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  (Σ^ `  F
)  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR* ,  <  ) )
32 elinel2 3611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
3332adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
3411ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
35 elinel1 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P X )
36 elpwi 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ~P X  ->  x  C_  X )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  x  C_  X )
3837adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  x  C_  X )
3938adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  x  C_  X )
40 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  x )
4139, 40sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  X )
4234, 41ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( F `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4342adantllr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F
)  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( F `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
44 nne 2647 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  ( F `  y
)  =/= +oo  <->  ( F `  y )  = +oo )
4544biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( F `  y
)  =/= +oo  ->  ( F `  y )  = +oo )
4645eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( F `  y
)  =/= +oo  -> +oo  =  ( F `  y ) )
4746adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  F )  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  /\  -.  ( F `  y )  =/= +oo )  -> +oo  =  ( F `  y ) )
48 ffun 5742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : X --> ( 0 [,] +oo )  ->  Fun  F )
4911, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  Fun  F )
50493ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  Fun  F )
51413impa 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  X )
52 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F : X --> ( 0 [,] +oo )  ->  dom  F  =  X )
5311, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  dom  F  =  X )
5453eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  X  =  dom  F
)
55543ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  X  =  dom  F )
5651, 55eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  dom  F )
57 fvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( F `  y
)  e.  ran  F
)
5850, 56, 57syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( F `  y )  e.  ran  F )
5958ad5ant134 1279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  F )  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  /\  -.  ( F `  y )  =/= +oo )  -> 
( F `  y
)  e.  ran  F
)
6047, 59eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  F )  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  /\  -.  ( F `  y )  =/= +oo )  -> +oo  e.  ran  F )
6129ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  F )  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  /\  -.  ( F `  y )  =/= +oo )  ->  -. +oo  e.  ran  F
)
6260, 61condan 811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F
)  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( F `  y )  =/= +oo )
63 ge0xrre 37729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  ( F `  y )  =/= +oo )  -> 
( F `  y
)  e.  RR )
6443, 62, 63syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F
)  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
6533, 64fsumrecl 13877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  e.  RR )
6665ralrimiva 2809 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  A. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) sum_ y  e.  x  ( F `  y )  e.  RR )
67 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  =  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
6867rnmptss 6068 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) sum_ y  e.  x  ( F `  y )  e.  RR  ->  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  C_  RR )
6966, 68syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  C_  RR )
70 ressxr 9702 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  RR*
7170a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  RR  C_ 
RR* )
7269, 71sstrd 3428 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  C_  RR* )
73 supxrcl 11625 . . . . . . . 8  |-  ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  C_  RR*  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
7472, 73syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
7531, 74eqeltrd 2549 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  (Σ^ `  F
)  e.  RR* )
7675adantlr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  =/=  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR* )
7754adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  (/) )  ->  X  =  dom  F )
78 neneq 2649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  =/=  (/)  ->  -.  F  =  (/) )
7978adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  (/) )  ->  -.  F  =  (/) )
80 frel 5744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X --> ( 0 [,] +oo )  ->  Rel  F )
8111, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Rel  F )
8281adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  (/) )  ->  Rel  F )
83 reldm0 5058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Rel 
F  ->  ( F  =  (/)  <->  dom  F  =  (/) ) )
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  (/) )  ->  ( F  =  (/)  <->  dom  F  =  (/) ) )
8579, 84mtbid 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  (/) )  ->  -.  dom  F  =  (/) )
8685neqned 2650 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  (/) )  ->  dom  F  =/=  (/) )
8777, 86eqnetrd 2710 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  (/) )  ->  X  =/=  (/) )
88 n0 3732 . . . . . . . 8  |-  ( X  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  X )
8987, 88sylib 201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  (/) )  ->  E. z 
z  e.  X )
9089adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  =/=  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  E. z  z  e.  X )
9123a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  0  e.  RR* )
9211ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9392adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ( F `  z )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
94 nne 2647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( F `  z
)  =/= +oo  <->  ( F `  z )  = +oo )
9594biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( F `  z
)  =/= +oo  ->  ( F `  z )  = +oo )
9695eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( F `  z
)  =/= +oo  -> +oo  =  ( F `  z ) )
9796adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F
)  /\  z  e.  X )  /\  -.  ( F `  z )  =/= +oo )  -> +oo  =  ( F `  z ) )
9811adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
9998, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  Fun  F )
100 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  X )
10154adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  X  =  dom  F )
102100, 101eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  dom  F )
103 fvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  dom  F )  -> 
( F `  z
)  e.  ran  F
)
10499, 102, 103syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z )  e.  ran  F )
105104adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ( F `  z )  e.  ran  F )
106105adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F
)  /\  z  e.  X )  /\  -.  ( F `  z )  =/= +oo )  -> 
( F `  z
)  e.  ran  F
)
10797, 106eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F
)  /\  z  e.  X )  /\  -.  ( F `  z )  =/= +oo )  -> +oo  e.  ran  F )
10829ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F
)  /\  z  e.  X )  /\  -.  ( F `  z )  =/= +oo )  ->  -. +oo  e.  ran  F
)
109107, 108condan 811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ( F `  z )  =/= +oo )
110 ge0xrre 37729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  ( F `  z )  =/= +oo )  -> 
( F `  z
)  e.  RR )
11193, 109, 110syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ( F `  z )  e.  RR )
112111rexrd 9708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ( F `  z )  e.  RR* )
11375adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR* )
11423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  0  e.  RR* )
11525a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  -> +oo  e.  RR* )
116 iccgelb 11716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  ( F `
 z )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  0  <_  ( F `  z
) )
117114, 115, 92, 116syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  0  <_  ( F `  z
) )
118117adantlr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  0  <_  ( F `  z ) )
11972adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  C_  RR* )
120 snelpwi 4645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  X  ->  { z }  e.  ~P X
)
121 snfi 7668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { z }  e.  Fin
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  X  ->  { z }  e.  Fin )
123120, 122elind 3609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  X  ->  { z }  e.  ( ~P X  i^i  Fin )
)
124123adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  { z }  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )
125 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  z  e.  X )
126111recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ( F `  z )  e.  CC )
127 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
128127sumsn 13884 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  CC )  ->  sum_ y  e.  { z }  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
129125, 126, 128syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  sum_ y  e. 
{ z }  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
130129eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ( F `  z )  =  sum_ y  e.  { z }  ( F `  y ) )
131 sumeq1 13832 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  { z }  ->  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  =  sum_ y  e.  {
z }  ( F `
 y ) )
132131eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  { z }  ->  ( ( F `
 z )  = 
sum_ y  e.  x  ( F `  y )  <-> 
( F `  z
)  =  sum_ y  e.  { z }  ( F `  y )
) )
133132rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { z }  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  ( F `  z )  =  sum_ y  e.  { z }  ( F `  y ) )  ->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )
( F `  z
)  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
134124, 130, 133syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) ( F `  z )  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)
13567elrnmpt 5087 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  z )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( ( F `  z )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  <->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) ( F `  z )  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
) )
13693, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  <->  E. x  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) ( F `  z )  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
) )
137134, 136mpbird 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ( F `  z )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )
138 supxrub 11635 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  C_  RR*  /\  ( F `  z )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )  ->  ( F `  z )  <_  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR* ,  <  ) )
139119, 137, 138syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ( F `  z )  <_  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR* ,  <  ) )
14031eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR* ,  <  )  =  (Σ^ `  F ) )
141140adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR* ,  <  )  =  (Σ^ `  F ) )
142139, 141breqtrd 4420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  ( F `  z )  <_  (Σ^ `  F
) )
14391, 112, 113, 118, 142xrletrd 11482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  /\  z  e.  X
)  ->  0  <_  (Σ^ `  F
) )
144143ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  (
z  e.  X  -> 
0  <_  (Σ^ `  F ) ) )
145144adantlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  F  =/=  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  ( z  e.  X  ->  0  <_  (Σ^ `  F
) ) )
146145exlimdv 1787 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  =/=  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  ( E. z 
z  e.  X  -> 
0  <_  (Σ^ `  F ) ) )
14790, 146mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  =/=  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  0  <_  (Σ^ `  F
) )
148 pnfge 11455 . . . . . . 7  |-  ( (Σ^ `  F
)  e.  RR*  ->  (Σ^ `  F
)  <_ +oo )
14975, 148syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  (Σ^ `  F
)  <_ +oo )
150149adantlr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  =/=  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  (Σ^ `  F )  <_ +oo )
15124, 26, 76, 147, 150eliccxrd 37724 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  F  =/=  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F )  ->  (Σ^ `  F )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
15219, 21, 22, 151syl21anc 1291 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  F  =  (/) )  /\  -. +oo  e.  ran  F
)  ->  (Σ^ `  F )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
15318, 152pm2.61dan 808 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  F  =  (/) )  ->  (Σ^ `  F
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1548, 153pm2.61dan 808 1  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840   Rel wrel 4844   Fun wfun 5583   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   supcsup 7972   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   [,]cicc 11663   sum_csu 13829  Σ^csumge0 38318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319
This theorem is referenced by:  sge0ge0  38340  sge0xrcl  38341  sge0split  38365  sge0iunmptlemre  38371  sge0iunmpt  38374  sge0nemnf  38376  sge0clmpt  38381  sge0isum  38383  psmeasure  38425  ovnsupge0  38497  ovnsubaddlem1  38510  sge0hsphoire  38529  hoidmvlelem1  38535  hspmbllem2  38567
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