Theorem sge0cl 38223

Description: The arbitrary sum of nonnegative extended reals is a nonnegative extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0cl.x	|- ( ph -> X e. V )
sge0cl.f	|- ( ph -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) )

Assertion

Ref	Expression
sge0cl	|- ( ph -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )

Proof of Theorem sge0cl

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5865	. . . . 5 |- ( F = (/) -> (Σ^ ` F ) = (Σ^ ` (/) ) )
2		sge00 38218	. . . . . 6 |- (Σ^ ` (/) ) = 0
3	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( F = (/) -> (Σ^ ` (/) ) = 0 )
4	1, 3	eqtrd 2485	. . . 4 |- ( F = (/) -> (Σ^ ` F ) = 0 )
5		0e0iccpnf 11743	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
6	5	a1i 11	. . . 4 |- ( F = (/) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
7	4, 6	eqeltrd 2529	. . 3 |- ( F = (/) -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )
8	7	adantl 468	. 2 |- ( ( ph /\ F = (/) ) -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )
9		sge0cl.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. V )
10	9	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ +oo e. ran F ) -> X e. V )
11		sge0cl.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
12	11	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ +oo e. ran F ) -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
13		simpr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ +oo e. ran F ) -> +oo e. ran F )
14	10, 12, 13	sge0pnfval 38215	. . . . 5 |- ( ( ph /\ +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) = +oo )
15		pnfel0pnf 37629	. . . . . 6 |- +oo e. ( 0 [,] +oo )
16	15	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ +oo e. ran F ) -> +oo e. ( 0 [,] +oo ) )
17	14, 16	eqeltrd 2529	. . . 4 |- ( ( ph /\ +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )
18	17	adantlr 721	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. F = (/) ) /\ +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )
19		simpll 760	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. F = (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> ph )
20		neqne 37374	. . . . 5 |- ( -. F = (/) -> F =/= (/) )
21	20	ad2antlr 733	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. F = (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> F =/= (/) )
22		simpr 463	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. F = (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> -. +oo e. ran F )
23		0xr 9687	. . . . . 6 |- 0 e. RR*
24	23	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> 0 e. RR* )
25		pnfxr 11412	. . . . . 6 |- +oo e. RR*
26	25	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> +oo e. RR* )
27	9	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> X e. V )
28	11	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
29		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> -. +oo e. ran F )
30	28, 29	fge0iccico 38212	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> F : X --> ( 0 [,) +oo ) )
31	27, 30	sge0reval 38214	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) = sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR* , < ) )
32		elinel2 3620	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ~P X i^i Fin ) -> x e. Fin )
33	32	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> x e. Fin )
34	11	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
35		elinel1 3619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( ~P X i^i Fin ) -> x e. ~P X )
36		elpwi 3960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ~P X -> x C_ X )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( ~P X i^i Fin ) -> x C_ X )
38	37	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> x C_ X )
39	38	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> x C_ X )
40		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> y e. x )
41	39, 40	sseldd 3433	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> y e. X )
42	34, 41	ffvelrnd 6023	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> ( F ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
43	42	adantllr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> ( F ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
44		nne 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. ( F ` y ) =/= +oo <-> ( F ` y ) = +oo )
45	44	biimpi 198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. ( F ` y ) =/= +oo -> ( F ` y ) = +oo )
46	45	eqcomd 2457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( F ` y ) =/= +oo -> +oo = ( F ` y ) )
47	46	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) /\ -. ( F ` y ) =/= +oo ) -> +oo = ( F ` y ) )
48		ffun 5731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F : X --> ( 0 [,] +oo ) -> Fun F )
49	11, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> Fun F )
50	49	3ad2ant1 1029	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) /\ y e. x ) -> Fun F )
51	41	3impa 1203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) /\ y e. x ) -> y e. X )
52		fdm 5733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( F : X --> ( 0 [,] +oo ) -> dom F = X )
53	11, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> dom F = X )
54	53	eqcomd 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> X = dom F )
55	54	3ad2ant1 1029	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) /\ y e. x ) -> X = dom F )
56	51, 55	eleqtrd 2531	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) /\ y e. x ) -> y e. dom F )
57		fvelrn 6015	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Fun F /\ y e. dom F ) -> ( F ` y ) e. ran F )
58	50, 56, 57	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) /\ y e. x ) -> ( F ` y ) e. ran F )
59	58	ad5ant134 1255	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) /\ -. ( F ` y ) =/= +oo ) -> ( F ` y ) e. ran F )
60	47, 59	eqeltrd 2529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) /\ -. ( F ` y ) =/= +oo ) -> +oo e. ran F )
61	29	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) /\ -. ( F ` y ) =/= +oo ) -> -. +oo e. ran F )
62	60, 61	condan 803	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> ( F ` y ) =/= +oo )
63		ge0xrre 37633	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ ( F ` y ) =/= +oo ) -> ( F ` y ) e. RR )
64	43, 62, 63	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> ( F ` y ) e. RR )
65	33, 64	fsumrecl 13800	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> sum_ y e. x ( F ` y ) e. RR )
66	65	ralrimiva 2802	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> A. x e. ( ~P X i^i Fin ) sum_ y e. x ( F ` y ) e. RR )
67		eqid 2451	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) = ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) )
68	67	rnmptss 6052	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. ( ~P X i^i Fin ) sum_ y e. x ( F ` y ) e. RR -> ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) C_ RR )
69	66, 68	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) C_ RR )
70		ressxr 9684	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ RR*
71	70	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> RR C_ RR* )
72	69, 71	sstrd 3442	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) C_ RR* )
73		supxrcl 11600	. . . . . . . 8 |- ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) C_ RR* -> sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR* , < ) e. RR* )
74	72, 73	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR* , < ) e. RR* )
75	31, 74	eqeltrd 2529	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) e. RR* )
76	75	adantlr 721	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) e. RR* )
77	54	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> X = dom F )
78		neneq 2630	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F =/= (/) -> -. F = (/) )
79	78	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> -. F = (/) )
80		frel 5732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X --> ( 0 [,] +oo ) -> Rel F )
81	11, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Rel F )
82	81	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> Rel F )
83		reldm0 5052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Rel F -> ( F = (/) <-> dom F = (/) ) )
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> ( F = (/) <-> dom F = (/) ) )
85	79, 84	mtbid 302	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> -. dom F = (/) )
86	85	neqned 2631	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> dom F =/= (/) )
87	77, 86	eqnetrd 2691	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> X =/= (/) )
88		n0 3741	. . . . . . . 8 |- ( X =/= (/) <-> E. z z e. X )
89	87, 88	sylib 200	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> E. z z e. X )
90	89	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> E. z z e. X )
91	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> 0 e. RR* )
92	11	ffvelrnda 6022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. ( 0 [,] +oo ) )
93	92	adantlr 721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. ( 0 [,] +oo ) )
94		nne 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. ( F ` z ) =/= +oo <-> ( F ` z ) = +oo )
95	94	biimpi 198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( F ` z ) =/= +oo -> ( F ` z ) = +oo )
96	95	eqcomd 2457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( F ` z ) =/= +oo -> +oo = ( F ` z ) )
97	96	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) /\ -. ( F ` z ) =/= +oo ) -> +oo = ( F ` z ) )
98	11	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
99	98, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> Fun F )
100		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> z e. X )
101	54	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> X = dom F )
102	100, 101	eleqtrd 2531	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> z e. dom F )
103		fvelrn 6015	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Fun F /\ z e. dom F ) -> ( F ` z ) e. ran F )
104	99, 102, 103	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. ran F )
105	104	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. ran F )
106	105	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) /\ -. ( F ` z ) =/= +oo ) -> ( F ` z ) e. ran F )
107	97, 106	eqeltrd 2529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) /\ -. ( F ` z ) =/= +oo ) -> +oo e. ran F )
108	29	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) /\ -. ( F ` z ) =/= +oo ) -> -. +oo e. ran F )
109	107, 108	condan 803	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) =/= +oo )
110		ge0xrre 37633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` z ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ ( F ` z ) =/= +oo ) -> ( F ` z ) e. RR )
111	93, 109, 110	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. RR )
112	111	rexrd 9690	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. RR* )
113	75	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> (Σ^ ` F ) e. RR* )
114	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> 0 e. RR* )
115	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> +oo e. RR* )
116		iccgelb 11691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ ( F ` z ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ ( F ` z ) )
117	114, 115, 92, 116	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> 0 <_ ( F ` z ) )
118	117	adantlr 721	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> 0 <_ ( F ` z ) )
119	72	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) C_ RR* )
120		snelpwi 4645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. X -> { z } e. ~P X )
121		snfi 7650	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { z } e. Fin
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. X -> { z } e. Fin )
123	120, 122	elind 3618	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. X -> { z } e. ( ~P X i^i Fin ) )
124	123	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> { z } e. ( ~P X i^i Fin ) )
125		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> z e. X )
126	111	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. CC )
127		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = z -> ( F ` y ) = ( F ` z ) )
128	127	sumsn 13807	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. X /\ ( F ` z ) e. CC ) -> sum_ y e. { z } ( F ` y ) = ( F ` z ) )
129	125, 126, 128	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> sum_ y e. { z } ( F ` y ) = ( F ` z ) )
130	129	eqcomd 2457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) = sum_ y e. { z } ( F ` y ) )
131		sumeq1 13755	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = { z } -> sum_ y e. x ( F ` y ) = sum_ y e. { z } ( F ` y ) )
132	131	eqeq2d 2461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = { z } -> ( ( F ` z ) = sum_ y e. x ( F ` y ) <-> ( F ` z ) = sum_ y e. { z } ( F ` y ) ) )
133	132	rspcev 3150	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { z } e. ( ~P X i^i Fin ) /\ ( F ` z ) = sum_ y e. { z } ( F ` y ) ) -> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( F ` z ) = sum_ y e. x ( F ` y ) )
134	124, 130, 133	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( F ` z ) = sum_ y e. x ( F ` y ) )
135	67	elrnmpt 5081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` z ) e. ( 0 [,] +oo ) -> ( ( F ` z ) e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) <-> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( F ` z ) = sum_ y e. x ( F ` y ) ) )
136	93, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( ( F ` z ) e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) <-> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( F ` z ) = sum_ y e. x ( F ` y ) ) )
137	134, 136	mpbird 236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) )
138		supxrub 11610	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) C_ RR* /\ ( F ` z ) e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) ) -> ( F ` z ) <_ sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR* , < ) )
139	119, 137, 138	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) <_ sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR* , < ) )
140	31	eqcomd 2457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR* , < ) = (Σ^ ` F ) )
141	140	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR* , < ) = (Σ^ ` F ) )
142	139, 141	breqtrd 4427	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) <_ (Σ^ ` F ) )
143	91, 112, 113, 118, 142	xrletrd 11459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> 0 <_ (Σ^ ` F ) )
144	143	ex 436	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> ( z e. X -> 0 <_ (Σ^ ` F ) ) )
145	144	adantlr 721	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> ( z e. X -> 0 <_ (Σ^ ` F ) ) )
146	145	exlimdv 1779	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> ( E. z z e. X -> 0 <_ (Σ^ ` F ) ) )
147	90, 146	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> 0 <_ (Σ^ ` F ) )
148		pnfge 11432	. . . . . . 7 |- ( (Σ^ ` F ) e. RR* -> (Σ^ ` F ) <_ +oo )
149	75, 148	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) <_ +oo )
150	149	adantlr 721	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) <_ +oo )
151	24, 26, 76, 147, 150	eliccxrd 37628	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )
152	19, 21, 22, 151	syl21anc 1267	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. F = (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )
153	18, 152	pm2.61dan 800	. 2 |- ( ( ph /\ -. F = (/) ) -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )
154	8, 153	pm2.61dan 800	1 |- ( ph -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   E.wex 1663   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   {csn 3968   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   ran crn 4835   Rel wrel 4839   Fun wfun 5576   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   supcsup 7954   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674   < clt 9675   <_ cle 9676   [,]cicc 11638   sum_csu 13752  Σ^{^}csumge0 38204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-sumge0 38205

This theorem is referenced by:  sge0ge0  38226  sge0xrcl  38227  sge0split  38251  sge0iunmptlemre  38257  sge0iunmpt  38260  sge0nemnf  38262  sge0clmpt  38267  sge0isum  38269  psmeasure  38309  ovnsupge0  38379  ovnsubaddlem1  38392  sge0hsphoire  38411  hoidmvlelem1  38417  hspmbllem2  38449