Theorem sge0cl 38337

Description: The arbitrary sum of nonnegative extended reals is a nonnegative extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0cl.x	|- ( ph -> X e. V )
sge0cl.f	|- ( ph -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) )

Assertion

Ref	Expression
sge0cl	|- ( ph -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )

Proof of Theorem sge0cl

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5879	. . . . 5 |- ( F = (/) -> (Σ^ ` F ) = (Σ^ ` (/) ) )
2		sge00 38332	. . . . . 6 |- (Σ^ ` (/) ) = 0
3	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( F = (/) -> (Σ^ ` (/) ) = 0 )
4	1, 3	eqtrd 2505	. . . 4 |- ( F = (/) -> (Σ^ ` F ) = 0 )
5		0e0iccpnf 11769	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
6	5	a1i 11	. . . 4 |- ( F = (/) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
7	4, 6	eqeltrd 2549	. . 3 |- ( F = (/) -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )
8	7	adantl 473	. 2 |- ( ( ph /\ F = (/) ) -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )
9		sge0cl.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. V )
10	9	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ +oo e. ran F ) -> X e. V )
11		sge0cl.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
12	11	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ +oo e. ran F ) -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
13		simpr 468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ +oo e. ran F ) -> +oo e. ran F )
14	10, 12, 13	sge0pnfval 38329	. . . . 5 |- ( ( ph /\ +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) = +oo )
15		pnfel0pnf 37725	. . . . . 6 |- +oo e. ( 0 [,] +oo )
16	15	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ +oo e. ran F ) -> +oo e. ( 0 [,] +oo ) )
17	14, 16	eqeltrd 2549	. . . 4 |- ( ( ph /\ +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )
18	17	adantlr 729	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. F = (/) ) /\ +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )
19		simpll 768	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. F = (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> ph )
20		neqne 2651	. . . . 5 |- ( -. F = (/) -> F =/= (/) )
21	20	ad2antlr 741	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. F = (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> F =/= (/) )
22		simpr 468	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. F = (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> -. +oo e. ran F )
23		0xr 9705	. . . . . 6 |- 0 e. RR*
24	23	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> 0 e. RR* )
25		pnfxr 11435	. . . . . 6 |- +oo e. RR*
26	25	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> +oo e. RR* )
27	9	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> X e. V )
28	11	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
29		simpr 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> -. +oo e. ran F )
30	28, 29	fge0iccico 38326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> F : X --> ( 0 [,) +oo ) )
31	27, 30	sge0reval 38328	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) = sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR* , < ) )
32		elinel2 3611	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ~P X i^i Fin ) -> x e. Fin )
33	32	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> x e. Fin )
34	11	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
35		elinel1 3610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( ~P X i^i Fin ) -> x e. ~P X )
36		elpwi 3951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ~P X -> x C_ X )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( ~P X i^i Fin ) -> x C_ X )
38	37	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> x C_ X )
39	38	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> x C_ X )
40		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> y e. x )
41	39, 40	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> y e. X )
42	34, 41	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> ( F ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
43	42	adantllr 733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> ( F ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
44		nne 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. ( F ` y ) =/= +oo <-> ( F ` y ) = +oo )
45	44	biimpi 199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. ( F ` y ) =/= +oo -> ( F ` y ) = +oo )
46	45	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( F ` y ) =/= +oo -> +oo = ( F ` y ) )
47	46	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) /\ -. ( F ` y ) =/= +oo ) -> +oo = ( F ` y ) )
48		ffun 5742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F : X --> ( 0 [,] +oo ) -> Fun F )
49	11, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> Fun F )
50	49	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) /\ y e. x ) -> Fun F )
51	41	3impa 1226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) /\ y e. x ) -> y e. X )
52		fdm 5745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( F : X --> ( 0 [,] +oo ) -> dom F = X )
53	11, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> dom F = X )
54	53	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> X = dom F )
55	54	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) /\ y e. x ) -> X = dom F )
56	51, 55	eleqtrd 2551	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) /\ y e. x ) -> y e. dom F )
57		fvelrn 6030	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Fun F /\ y e. dom F ) -> ( F ` y ) e. ran F )
58	50, 56, 57	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) /\ y e. x ) -> ( F ` y ) e. ran F )
59	58	ad5ant134 1279	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) /\ -. ( F ` y ) =/= +oo ) -> ( F ` y ) e. ran F )
60	47, 59	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) /\ -. ( F ` y ) =/= +oo ) -> +oo e. ran F )
61	29	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) /\ -. ( F ` y ) =/= +oo ) -> -. +oo e. ran F )
62	60, 61	condan 811	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> ( F ` y ) =/= +oo )
63		ge0xrre 37729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ ( F ` y ) =/= +oo ) -> ( F ` y ) e. RR )
64	43, 62, 63	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> ( F ` y ) e. RR )
65	33, 64	fsumrecl 13877	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> sum_ y e. x ( F ` y ) e. RR )
66	65	ralrimiva 2809	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> A. x e. ( ~P X i^i Fin ) sum_ y e. x ( F ` y ) e. RR )
67		eqid 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) = ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) )
68	67	rnmptss 6068	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. ( ~P X i^i Fin ) sum_ y e. x ( F ` y ) e. RR -> ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) C_ RR )
69	66, 68	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) C_ RR )
70		ressxr 9702	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ RR*
71	70	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> RR C_ RR* )
72	69, 71	sstrd 3428	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) C_ RR* )
73		supxrcl 11625	. . . . . . . 8 |- ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) C_ RR* -> sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR* , < ) e. RR* )
74	72, 73	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR* , < ) e. RR* )
75	31, 74	eqeltrd 2549	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) e. RR* )
76	75	adantlr 729	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) e. RR* )
77	54	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> X = dom F )
78		neneq 2649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F =/= (/) -> -. F = (/) )
79	78	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> -. F = (/) )
80		frel 5744	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X --> ( 0 [,] +oo ) -> Rel F )
81	11, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Rel F )
82	81	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> Rel F )
83		reldm0 5058	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Rel F -> ( F = (/) <-> dom F = (/) ) )
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> ( F = (/) <-> dom F = (/) ) )
85	79, 84	mtbid 307	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> -. dom F = (/) )
86	85	neqned 2650	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> dom F =/= (/) )
87	77, 86	eqnetrd 2710	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> X =/= (/) )
88		n0 3732	. . . . . . . 8 |- ( X =/= (/) <-> E. z z e. X )
89	87, 88	sylib 201	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> E. z z e. X )
90	89	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> E. z z e. X )
91	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> 0 e. RR* )
92	11	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. ( 0 [,] +oo ) )
93	92	adantlr 729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. ( 0 [,] +oo ) )
94		nne 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. ( F ` z ) =/= +oo <-> ( F ` z ) = +oo )
95	94	biimpi 199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( F ` z ) =/= +oo -> ( F ` z ) = +oo )
96	95	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( F ` z ) =/= +oo -> +oo = ( F ` z ) )
97	96	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) /\ -. ( F ` z ) =/= +oo ) -> +oo = ( F ` z ) )
98	11	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
99	98, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> Fun F )
100		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> z e. X )
101	54	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> X = dom F )
102	100, 101	eleqtrd 2551	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> z e. dom F )
103		fvelrn 6030	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Fun F /\ z e. dom F ) -> ( F ` z ) e. ran F )
104	99, 102, 103	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. ran F )
105	104	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. ran F )
106	105	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) /\ -. ( F ` z ) =/= +oo ) -> ( F ` z ) e. ran F )
107	97, 106	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) /\ -. ( F ` z ) =/= +oo ) -> +oo e. ran F )
108	29	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) /\ -. ( F ` z ) =/= +oo ) -> -. +oo e. ran F )
109	107, 108	condan 811	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) =/= +oo )
110		ge0xrre 37729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` z ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ ( F ` z ) =/= +oo ) -> ( F ` z ) e. RR )
111	93, 109, 110	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. RR )
112	111	rexrd 9708	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. RR* )
113	75	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> (Σ^ ` F ) e. RR* )
114	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> 0 e. RR* )
115	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> +oo e. RR* )
116		iccgelb 11716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ ( F ` z ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ ( F ` z ) )
117	114, 115, 92, 116	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> 0 <_ ( F ` z ) )
118	117	adantlr 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> 0 <_ ( F ` z ) )
119	72	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) C_ RR* )
120		snelpwi 4645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. X -> { z } e. ~P X )
121		snfi 7668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { z } e. Fin
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. X -> { z } e. Fin )
123	120, 122	elind 3609	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. X -> { z } e. ( ~P X i^i Fin ) )
124	123	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> { z } e. ( ~P X i^i Fin ) )
125		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> z e. X )
126	111	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. CC )
127		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = z -> ( F ` y ) = ( F ` z ) )
128	127	sumsn 13884	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. X /\ ( F ` z ) e. CC ) -> sum_ y e. { z } ( F ` y ) = ( F ` z ) )
129	125, 126, 128	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> sum_ y e. { z } ( F ` y ) = ( F ` z ) )
130	129	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) = sum_ y e. { z } ( F ` y ) )
131		sumeq1 13832	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = { z } -> sum_ y e. x ( F ` y ) = sum_ y e. { z } ( F ` y ) )
132	131	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = { z } -> ( ( F ` z ) = sum_ y e. x ( F ` y ) <-> ( F ` z ) = sum_ y e. { z } ( F ` y ) ) )
133	132	rspcev 3136	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { z } e. ( ~P X i^i Fin ) /\ ( F ` z ) = sum_ y e. { z } ( F ` y ) ) -> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( F ` z ) = sum_ y e. x ( F ` y ) )
134	124, 130, 133	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( F ` z ) = sum_ y e. x ( F ` y ) )
135	67	elrnmpt 5087	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` z ) e. ( 0 [,] +oo ) -> ( ( F ` z ) e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) <-> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( F ` z ) = sum_ y e. x ( F ` y ) ) )
136	93, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( ( F ` z ) e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) <-> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( F ` z ) = sum_ y e. x ( F ` y ) ) )
137	134, 136	mpbird 240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) )
138		supxrub 11635	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) C_ RR* /\ ( F ` z ) e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) ) -> ( F ` z ) <_ sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR* , < ) )
139	119, 137, 138	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) <_ sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR* , < ) )
140	31	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR* , < ) = (Σ^ ` F ) )
141	140	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR* , < ) = (Σ^ ` F ) )
142	139, 141	breqtrd 4420	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) <_ (Σ^ ` F ) )
143	91, 112, 113, 118, 142	xrletrd 11482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> 0 <_ (Σ^ ` F ) )
144	143	ex 441	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> ( z e. X -> 0 <_ (Σ^ ` F ) ) )
145	144	adantlr 729	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> ( z e. X -> 0 <_ (Σ^ ` F ) ) )
146	145	exlimdv 1787	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> ( E. z z e. X -> 0 <_ (Σ^ ` F ) ) )
147	90, 146	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> 0 <_ (Σ^ ` F ) )
148		pnfge 11455	. . . . . . 7 |- ( (Σ^ ` F ) e. RR* -> (Σ^ ` F ) <_ +oo )
149	75, 148	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) <_ +oo )
150	149	adantlr 729	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) <_ +oo )
151	24, 26, 76, 147, 150	eliccxrd 37724	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )
152	19, 21, 22, 151	syl21anc 1291	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. F = (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )
153	18, 152	pm2.61dan 808	. 2 |- ( ( ph /\ -. F = (/) ) -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )
154	8, 153	pm2.61dan 808	1 |- ( ph -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840   Rel wrel 4844   Fun wfun 5583   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   supcsup 7972   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   [,]cicc 11663   sum_csu 13829  Σ^{^}csumge0 38318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319

This theorem is referenced by:  sge0ge0  38340  sge0xrcl  38341  sge0split  38365  sge0iunmptlemre  38371  sge0iunmpt  38374  sge0nemnf  38376  sge0clmpt  38381  sge0isum  38383  psmeasure  38425  ovnsupge0  38497  ovnsubaddlem1  38510  sge0hsphoire  38529  hoidmvlelem1  38535  hspmbllem2  38567