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Theorem sge00 38332
Description: The sum of nonnegative extended reals is zero when applied to the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
sge00  |-  (Σ^ `  (/) )  =  0

Proof of Theorem sge00
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4528 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
21a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  (/)  e.  _V )
3 f0 5777 . . . . . 6  |-  (/) : (/) --> ( 0 [,] +oo )
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  (/) : (/) --> ( 0 [,] +oo ) )
5 noel 3726 . . . . . . 7  |-  -. +oo  e.  (/)
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  -. +oo  e.  (/) )
7 rn0 5092 . . . . . . . 8  |-  ran  (/)  =  (/)
87eqcomi 2480 . . . . . . 7  |-  (/)  =  ran  (/)
98a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  (/)  =  ran  (/) )
106, 9neleqtrd 2570 . . . . 5  |-  ( T. 
->  -. +oo  e.  ran  (/) )
114, 10fge0iccico 38326 . . . 4  |-  ( T. 
->  (/) : (/) --> ( 0 [,) +oo ) )
122, 11sge0reval 38328 . . 3  |-  ( T. 
->  (Σ^ `  (/) )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) ) ,  RR* ,  <  ) )
1312trud 1461 . 2  |-  (Σ^ `  (/) )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) ) ,  RR* ,  <  )
14 vex 3034 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
15 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )  =  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )
1615elrnmpt 5087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  _V  ->  (
z  e.  ran  (
x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  (
(/) `  y )
)  <->  E. x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )
z  =  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y
) ) )
1714, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )  <->  E. x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )
z  =  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y
) )
1817biimpi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )  ->  E. x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin ) z  =  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )
19 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
z
20 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )
2120nfrn 5083 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )
2219, 21nfel 2624 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )
23 nfv 1769 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  z  =  0
24 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  /\  z  =  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y
) )  ->  z  =  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )
25 elinel1 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P (/) )
26 pw0 4110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ~P (/)  =  { (/)
}
2726eleq2i 2541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ~P (/)  <->  x  e.  {
(/) } )
2827biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ~P (/)  ->  x  e.  { (/) } )
2925, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  ->  x  e.  { (/)
} )
30 elsni 3985 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  { (/) }  ->  x  =  (/) )
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  ->  x  =  (/) )
3231sumeq1d 13844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  ->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y )  =  sum_ y  e.  (/)  ( (/) `  y ) )
3332adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  /\  z  =  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y
) )  ->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y
)  =  sum_ y  e.  (/)  ( (/) `  y
) )
34 sum0 13864 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sum_ y  e.  (/)  ( (/) `  y
)  =  0
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  /\  z  =  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y
) )  ->  sum_ y  e.  (/)  ( (/) `  y
)  =  0 )
3624, 33, 353eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  /\  z  =  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y
) )  ->  z  =  0 )
3736ex 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  ->  ( z  = 
sum_ y  e.  x  ( (/) `  y )  ->  z  =  0 ) )
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )  ->  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  ->  ( z  = 
sum_ y  e.  x  ( (/) `  y )  ->  z  =  0 ) ) )
3922, 23, 38rexlimd 2866 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )  ->  ( E. x  e.  ( ~P (/) 
i^i  Fin ) z  = 
sum_ y  e.  x  ( (/) `  y )  ->  z  =  0 ) )
4018, 39mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )  ->  z  = 
0 )
41 elsn 3973 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { 0 }  <-> 
z  =  0 )
4241bicomi 207 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  0  <->  z  e.  { 0 } )
4342biimpi 199 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  0  ->  z  e.  { 0 } )
4440, 43syl 17 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )  ->  z  e.  { 0 } )
4541biimpi 199 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { 0 }  ->  z  =  0 )
46 0elpw 4570 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  ~P (/)
47 0fin 7817 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  Fin
4846, 47pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  ~P (/)  /\  (/)  e.  Fin )
49 elin 3608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin ) 
<->  ( (/)  e.  ~P (/) 
/\  (/)  e.  Fin )
)
5048, 49mpbir 214 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )
5134eqcomi 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  0  =  sum_ y  e.  (/)  ( (/) `  y )
52 sumeq1 13832 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y
)  =  sum_ y  e.  (/)  ( (/) `  y
) )
5352eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( 0  =  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y )  <->  0  =  sum_ y  e.  (/)  ( (/) `  y
) ) )
5453rspcev 3136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
(/)  e.  ( ~P (/) 
i^i  Fin )  /\  0  =  sum_ y  e.  (/)  ( (/) `  y ) )  ->  E. x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin ) 0  =  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )
5550, 51, 54mp2an 686 . . . . . . . . . 10  |-  E. x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin ) 0  =  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y )
56 0re 9661 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
5715elrnmpt 5087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
0  e.  ran  (
x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  (
(/) `  y )
)  <->  E. x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )
0  =  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y
) ) )
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )  <->  E. x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )
0  =  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y
) )
5955, 58mpbir 214 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )
6059a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { 0 }  ->  0  e.  ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) ) )
6145, 60eqeltrd 2549 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { 0 }  ->  z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) ) )
6244, 61impbii 192 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )  <->  z  e.  {
0 } )
6362ax-gen 1677 . . . . 5  |-  A. z
( z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )  <->  z  e.  {
0 } )
64 dfcleq 2465 . . . . 5  |-  ( ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )  =  { 0 }  <->  A. z ( z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )  <->  z  e.  {
0 } ) )
6563, 64mpbir 214 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  (
(/) `  y )
)  =  { 0 }
6665supeq1i 7979 . . 3  |-  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )
67 xrltso 11463 . . . 4  |-  <  Or  RR*
68 0xr 9705 . . . 4  |-  0  e.  RR*
69 supsn 8006 . . . 4  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
7067, 68, 69mp2an 686 . . 3  |-  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0
7166, 70eqtri 2493 . 2  |-  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) ) ,  RR* ,  <  )  =  0
7213, 71eqtri 2493 1  |-  (Σ^ `  (/) )  =  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376   A.wal 1450    = wceq 1452   T. wtru 1453    e. wcel 1904   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    i^i cin 3389   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959    |-> cmpt 4454    Or wor 4759   ran crn 4840   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   supcsup 7972   RRcr 9556   0cc0 9557   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693   [,]cicc 11663   sum_csu 13829  Σ^csumge0 38318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319
This theorem is referenced by:  sge0cl  38337  sge0isum  38383  ismeannd  38421  psmeasure  38425  isomennd  38471
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