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Theorem sge00 38050
Description: The sum of nonnegative extended reals is zero when applied to the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
sge00  |-  (Σ^ `  (/) )  =  0

Proof of Theorem sge00
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4554 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
21a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  (/)  e.  _V )
3 f0 5779 . . . . . 6  |-  (/) : (/) --> ( 0 [,] +oo )
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  (/) : (/) --> ( 0 [,] +oo ) )
5 noel 3766 . . . . . . 7  |-  -. +oo  e.  (/)
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  -. +oo  e.  (/) )
7 rn0 5103 . . . . . . . 8  |-  ran  (/)  =  (/)
87eqcomi 2436 . . . . . . 7  |-  (/)  =  ran  (/)
98a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  (/)  =  ran  (/) )
106, 9neleqtrd 2535 . . . . 5  |-  ( T. 
->  -. +oo  e.  ran  (/) )
114, 10fge0iccico 38044 . . . 4  |-  ( T. 
->  (/) : (/) --> ( 0 [,) +oo ) )
122, 11sge0reval 38046 . . 3  |-  ( T. 
->  (Σ^ `  (/) )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) ) ,  RR* ,  <  ) )
1312trud 1447 . 2  |-  (Σ^ `  (/) )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) ) ,  RR* ,  <  )
14 vex 3085 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
15 eqid 2423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )  =  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )
1615elrnmpt 5098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  _V  ->  (
z  e.  ran  (
x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  (
(/) `  y )
)  <->  E. x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )
z  =  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y
) ) )
1714, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )  <->  E. x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )
z  =  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y
) )
1817biimpi 198 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )  ->  E. x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin ) z  =  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )
19 nfcv 2585 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
z
20 nfmpt1 4511 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )
2120nfrn 5094 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )
2219, 21nfel 2598 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )
23 nfv 1752 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  z  =  0
24 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  /\  z  =  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y
) )  ->  z  =  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )
25 elinel1 3652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P (/) )
26 pw0 4145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ~P (/)  =  { (/)
}
2726eleq2i 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ~P (/)  <->  x  e.  {
(/) } )
2827biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ~P (/)  ->  x  e.  { (/) } )
2925, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  ->  x  e.  { (/)
} )
30 elsni 4022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  { (/) }  ->  x  =  (/) )
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  ->  x  =  (/) )
3231sumeq1d 13760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  ->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y )  =  sum_ y  e.  (/)  ( (/) `  y ) )
3332adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  /\  z  =  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y
) )  ->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y
)  =  sum_ y  e.  (/)  ( (/) `  y
) )
34 sum0 13780 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sum_ y  e.  (/)  ( (/) `  y
)  =  0
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  /\  z  =  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y
) )  ->  sum_ y  e.  (/)  ( (/) `  y
)  =  0 )
3624, 33, 353eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  /\  z  =  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y
) )  ->  z  =  0 )
3736ex 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  ->  ( z  = 
sum_ y  e.  x  ( (/) `  y )  ->  z  =  0 ) )
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )  ->  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  ->  ( z  = 
sum_ y  e.  x  ( (/) `  y )  ->  z  =  0 ) ) )
3922, 23, 38rexlimd 2910 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )  ->  ( E. x  e.  ( ~P (/) 
i^i  Fin ) z  = 
sum_ y  e.  x  ( (/) `  y )  ->  z  =  0 ) )
4018, 39mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )  ->  z  = 
0 )
41 elsn 4011 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { 0 }  <-> 
z  =  0 )
4241bicomi 206 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  0  <->  z  e.  { 0 } )
4342biimpi 198 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  0  ->  z  e.  { 0 } )
4440, 43syl 17 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )  ->  z  e.  { 0 } )
4541biimpi 198 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { 0 }  ->  z  =  0 )
46 0elpw 4591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  ~P (/)
47 0fin 7803 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  Fin
4846, 47pm3.2i 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  ~P (/)  /\  (/)  e.  Fin )
49 elin 3650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin ) 
<->  ( (/)  e.  ~P (/) 
/\  (/)  e.  Fin )
)
5048, 49mpbir 213 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )
5134eqcomi 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  0  =  sum_ y  e.  (/)  ( (/) `  y )
52 sumeq1 13748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y
)  =  sum_ y  e.  (/)  ( (/) `  y
) )
5352eqeq2d 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( 0  =  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y )  <->  0  =  sum_ y  e.  (/)  ( (/) `  y
) ) )
5453rspcev 3183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
(/)  e.  ( ~P (/) 
i^i  Fin )  /\  0  =  sum_ y  e.  (/)  ( (/) `  y ) )  ->  E. x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin ) 0  =  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )
5550, 51, 54mp2an 677 . . . . . . . . . 10  |-  E. x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin ) 0  =  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y )
56 0re 9645 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
5715elrnmpt 5098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
0  e.  ran  (
x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  (
(/) `  y )
)  <->  E. x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )
0  =  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y
) ) )
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )  <->  E. x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )
0  =  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y
) )
5955, 58mpbir 213 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )
6059a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { 0 }  ->  0  e.  ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) ) )
6145, 60eqeltrd 2511 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { 0 }  ->  z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) ) )
6244, 61impbii 191 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )  <->  z  e.  {
0 } )
6362ax-gen 1666 . . . . 5  |-  A. z
( z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )  <->  z  e.  {
0 } )
64 dfcleq 2416 . . . . 5  |-  ( ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )  =  { 0 }  <->  A. z ( z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) )  <->  z  e.  {
0 } ) )
6563, 64mpbir 213 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  (
(/) `  y )
)  =  { 0 }
6665supeq1i 7965 . . 3  |-  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )
67 xrltso 11442 . . . 4  |-  <  Or  RR*
68 0xr 9689 . . . 4  |-  0  e.  RR*
69 supsn 7992 . . . 4  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
7067, 68, 69mp2an 677 . . 3  |-  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0
7166, 70eqtri 2452 . 2  |-  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( (/) `  y ) ) ,  RR* ,  <  )  =  0
7213, 71eqtri 2452 1  |-  (Σ^ `  (/) )  =  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371   A.wal 1436    = wceq 1438   T. wtru 1439    e. wcel 1869   E.wrex 2777   _Vcvv 3082    i^i cin 3436   (/)c0 3762   ~Pcpw 3980   {csn 3997    |-> cmpt 4480    Or wor 4771   ran crn 4852   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   Fincfn 7575   supcsup 7958   RRcr 9540   0cc0 9541   +oocpnf 9674   RR*cxr 9676    < clt 9677   [,]cicc 11640   sum_csu 13745  Σ^csumge0 38036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-sup 7960  df-oi 8029  df-card 8376  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-ico 11643  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-seq 12215  df-exp 12274  df-hash 12517  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-clim 13545  df-sum 13746  df-sumge0 38037
This theorem is referenced by:  sge0cl  38055  sge0isum  38101  ismeannd  38128  psmeasure  38132  isomennd  38175
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