Theorem sfcls 15604

Description: Given a topology, produce a function giving cluster points for that topology.

Hypothesis

Ref	Expression
sfcls.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
sfcls	|- (J e. Top -> (fClus` J) = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))})

Distinct variable groups:   a,b,t,J   X,a,b

Proof of Theorem sfcls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 878	. . . . . . . 8 |- ((a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t)) -> b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))
2	1	ssopab2i 3574	. . . . . . 7 |- {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))} C_ {<.a, b>. | b = |^|_t e. a ((cls` J)` t)}
3		funopabeq 4456	. . . . . . 7 |- Fun {<.a, b>. | b = |^|_t e. a ((cls` J)` t)}
4		funss 4439	. . . . . . 7 |- ({<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))} C_ {<.a, b>. | b = |^|_t e. a ((cls` J)` t)} -> (Fun {<.a, b>. | b = |^|_t e. a ((cls` J)` t)} -> Fun {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))}))
5	2, 3, 4	mp2 54	. . . . . 6 |- Fun {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))}
6	5	a1i 8	. . . . 5 |- (J e. Top -> Fun {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))})
7		eqimss 2665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (U.z = X -> U.z C_ X)
8		sspwb 3503	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (U.z C_ X <-> ~PU.z C_ ~PX)
9	8	biimpi 168	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (U.z C_ X -> ~PU.z C_ ~PX)
10		pwuni 3505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- z C_ ~PU.z
11		sstr2 2623	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z C_ ~PU.z -> (~PU.z C_ ~PX -> z C_ ~PX))
12	10, 11	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (~PU.z C_ ~PX -> z C_ ~PX)
13	7, 9, 12	3syl 24	. . . . . . . . . . . . 13 |- (U.z = X -> z C_ ~PX)
14		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
15	14	elpw 3037	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. ~P~PX <-> z C_ ~PX)
16	13, 15	sylibr 217	. . . . . . . . . . . 12 |- (U.z = X -> z e. ~P~PX)
17	16	3ad2ant2 898	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. Fil /\ U.z = X /\ w = |^|_t e. z ((cls` J)` t)) -> z e. ~P~PX)
18	17	a1i 8	. . . . . . . . . 10 |- (J e. Top -> ((z e. Fil /\ U.z = X /\ w = |^|_t e. z ((cls` J)` t)) -> z e. ~P~PX))
19		visset 2295	. . . . . . . . . . 11 |- w e. _V
20		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . 12 |- (a = z -> (a e. Fil <-> z e. Fil))
21		unieq 3185	. . . . . . . . . . . . 13 |- (a = z -> U.a = U.z)
22	21	eqeq1d 1892	. . . . . . . . . . . 12 |- (a = z -> (U.a = X <-> U.z = X))
23		iineq1 3270	. . . . . . . . . . . . 13 |- (a = z -> |^|_t e. a ((cls` J)` t) = |^|_t e. z ((cls` J)` t))
24	23	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . 12 |- (a = z -> (b = |^|_t e. a ((cls` J)` t) <-> b = |^|_t e. z ((cls` J)` t)))
25	20, 22, 24	3anbi123d 1168	. . . . . . . . . . 11 |- (a = z -> ((a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t)) <-> (z e. Fil /\ U.z = X /\ b = |^|_t e. z ((cls` J)` t))))
26		eqeq1 1890	. . . . . . . . . . . 12 |- (b = w -> (b = |^|_t e. z ((cls` J)` t) <-> w = |^|_t e. z ((cls` J)` t)))
27	26	3anbi3d 1174	. . . . . . . . . . 11 |- (b = w -> ((z e. Fil /\ U.z = X /\ b = |^|_t e. z ((cls` J)` t)) <-> (z e. Fil /\ U.z = X /\ w = |^|_t e. z ((cls` J)` t))))
28	14, 19, 25, 27	opelopab 3570	. . . . . . . . . 10 |- (<.z, w>. e. {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))} <-> (z e. Fil /\ U.z = X /\ w = |^|_t e. z ((cls` J)` t)))
29	18, 28	syl5ib 223	. . . . . . . . 9 |- (J e. Top -> (<.z, w>. e. {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))} -> z e. ~P~PX))
30	29	19.23adv 1584	. . . . . . . 8 |- (J e. Top -> (E.w<.z, w>. e. {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))} -> z e. ~P~PX))
31	14	eldm2 4154	. . . . . . . 8 |- (z e. dom {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))} <-> E.w<.z, w>. e. {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))})
32	30, 31	syl5ib 223	. . . . . . 7 |- (J e. Top -> (z e. dom {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))} -> z e. ~P~PX))
33	32	ssrdv 2622	. . . . . 6 |- (J e. Top -> dom {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))} C_ ~P~PX)
34		uniexg 3795	. . . . . . . 8 |- (J e. Top -> U.J e. _V)
35		sfcls.1	. . . . . . . 8 |- X = U.J
36	34, 35	syl5eqel 1975	. . . . . . 7 |- (J e. Top -> X e. _V)
37		pwexg 3489	. . . . . . 7 |- (X e. _V -> ~PX e. _V)
38		pwexg 3489	. . . . . . 7 |- (~PX e. _V -> ~P~PX e. _V)
39	36, 37, 38	3syl 24	. . . . . 6 |- (J e. Top -> ~P~PX e. _V)
40		ssexg 3457	. . . . . 6 |- ((dom {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))} C_ ~P~PX /\ ~P~PX e. _V) -> dom {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))} e. _V)
41	33, 39, 40	syl11anc 524	. . . . 5 |- (J e. Top -> dom {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))} e. _V)
42		funex 4537	. . . . 5 |- ((Fun {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))} /\ dom {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))} e. _V) -> {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))} e. _V)
43	6, 41, 42	syl11anc 524	. . . 4 |- (J e. Top -> {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))} e. _V)
44		simpr 350	. . . . . 6 |- ((x e. Top /\ y = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = U.x /\ b = |^|_t e. a ((cls` x)` t))}) -> y = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = U.x /\ b = |^|_t e. a ((cls` x)` t))})
45	44	ssopab2i 3574	. . . . 5 |- {<.x, y>. | (x e. Top /\ y = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = U.x /\ b = |^|_t e. a ((cls` x)` t))})} C_ {<.x, y>. | y = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = U.x /\ b = |^|_t e. a ((cls` x)` t))}}
46		funopabeq 4456	. . . . 5 |- Fun {<.x, y>. | y = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = U.x /\ b = |^|_t e. a ((cls` x)` t))}}
47		funss 4439	. . . . 5 |- ({<.x, y>. | (x e. Top /\ y = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = U.x /\ b = |^|_t e. a ((cls` x)` t))})} C_ {<.x, y>. | y = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = U.x /\ b = |^|_t e. a ((cls` x)` t))}} -> (Fun {<.x, y>. | y = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = U.x /\ b = |^|_t e. a ((cls` x)` t))}} -> Fun {<.x, y>. | (x e. Top /\ y = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = U.x /\ b = |^|_t e. a ((cls` x)` t))})}))
48	45, 46, 47	mp2 54	. . . 4 |- Fun {<.x, y>. | (x e. Top /\ y = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = U.x /\ b = |^|_t e. a ((cls` x)` t))})}
49	43, 48	jctir 317	. . 3 |- (J e. Top -> ({<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))} e. _V /\ Fun {<.x, y>. | (x e. Top /\ y = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = U.x /\ b = |^|_t e. a ((cls` x)` t))})}))
50		eqid 1884	. . . . 5 |- {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))} = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))}
51	50	jctr 315	. . . 4 |- (J e. Top -> (J e. Top /\ {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))} = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))}))
52		eleq1 1957	. . . . . . 7 |- (x = J -> (x e. Top <-> J e. Top))
53		unieq 3185	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = J -> U.x = U.J)
54	53, 35	syl6eqr 1946	. . . . . . . . . . 11 |- (x = J -> U.x = X)
55	54	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . 10 |- (x = J -> (U.a = U.x <-> U.a = X))
56		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = J -> (cls` x) = (cls` J))
57	56	fveq1d 4683	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = J -> ((cls` x)` t) = ((cls` J)` t))
58	57	a1d 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = J -> (t e. a -> ((cls` x)` t) = ((cls` J)` t)))
59	58	r19.21aiv 2175	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = J -> A.t e. a ((cls` x)` t) = ((cls` J)` t))
60		iineq2 3274	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.t e. a ((cls` x)` t) = ((cls` J)` t) -> |^|_t e. a ((cls` x)` t) = |^|_t e. a ((cls` J)` t))
61	59, 60	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (x = J -> |^|_t e. a ((cls` x)` t) = |^|_t e. a ((cls` J)` t))
62	61	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . 10 |- (x = J -> (b = |^|_t e. a ((cls` x)` t) <-> b = |^|_t e. a ((cls` J)` t)))
63	55, 62	3anbi23d 1171	. . . . . . . . 9 |- (x = J -> ((a e. Fil /\ U.a = U.x /\ b = |^|_t e. a ((cls` x)` t)) <-> (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))))
64	63	opabbidv 3401	. . . . . . . 8 |- (x = J -> {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = U.x /\ b = |^|_t e. a ((cls` x)` t))} = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))})
65	64	eqeq2d 1895	. . . . . . 7 |- (x = J -> (y = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = U.x /\ b = |^|_t e. a ((cls` x)` t))} <-> y = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))}))
66	52, 65	anbi12d 690	. . . . . 6 |- (x = J -> ((x e. Top /\ y = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = U.x /\ b = |^|_t e. a ((cls` x)` t))}) <-> (J e. Top /\ y = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))})))
67		eqeq1 1890	. . . . . . 7 |- (y = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))} -> (y = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))} <-> {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))} = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))}))
68	67	anbi2d 678	. . . . . 6 |- (y = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))} -> ((J e. Top /\ y = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))}) <-> (J e. Top /\ {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))} = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))})))
69	66, 68	opelopabg 3567	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))} e. _V) -> (<.J, {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))}>. e. {<.x, y>. | (x e. Top /\ y = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = U.x /\ b = |^|_t e. a ((cls` x)` t))})} <-> (J e. Top /\ {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))} = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))})))
70	43, 69	mpdan 768	. . . 4 |- (J e. Top -> (<.J, {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))}>. e. {<.x, y>. | (x e. Top /\ y = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = U.x /\ b = |^|_t e. a ((cls` x)` t))})} <-> (J e. Top /\ {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))} = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))})))
71	51, 70	mpbird 213	. . 3 |- (J e. Top -> <.J, {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))}>. e. {<.x, y>. | (x e. Top /\ y = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = U.x /\ b = |^|_t e. a ((cls` x)` t))})})
72		funopfvg 4711	. . 3 |- (({<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))} e. _V /\ Fun {<.x, y>. | (x e. Top /\ y = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = U.x /\ b = |^|_t e. a ((cls` x)` t))})}) -> (<.J, {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))}>. e. {<.x, y>. | (x e. Top /\ y = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = U.x /\ b = |^|_t e. a ((cls` x)` t))})} -> ({<.x, y>. | (x e. Top /\ y = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = U.x /\ b = |^|_t e. a ((cls` x)` t))})}` J) = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))}))
73	49, 71, 72	sylc 83	. 2 |- (J e. Top -> ({<.x, y>. | (x e. Top /\ y = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = U.x /\ b = |^|_t e. a ((cls` x)` t))})}` J) = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))})
74		df-fclus 15584	. . 3 |- fClus = {<.x, y>. | (x e. Top /\ y = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = U.x /\ b = |^|_t e. a ((cls` x)` t))})}
75	74	fveq1i 4682	. 2 |- (fClus` J) = ({<.x, y>. | (x e. Top /\ y = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = U.x /\ b = |^|_t e. a ((cls` x)` t))})}` J)
76	73, 75	syl5eq 1940	1 |- (J e. Top -> (fClus` J) = {<.a, b>. | (a e. Fil /\ U.a = X /\ b = |^|_t e. a ((cls` J)` t))})

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  A.wral 2105  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032  <.cop 3046  U.cuni 3177  |^|_ciin 3256  {copab 3395  dom cdm 3986  Fun wfun 3992  ` cfv 3998  Topctop 8857  clsccl 8938  Filcfil 10264  fCluscfclus 15582

This theorem is referenced by:  filclus 15605

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-fclus 15584

Copyright terms: Public domain