MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsxms Structured version   Unicode version

Theorem setsxms 20809
Description: The constructed metric space is a metric space iff the provided distance function is a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setsms.x  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  M ) )
setsms.d  |-  ( ph  ->  D  =  ( (
dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) ) )
setsms.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
setsms.m  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
Assertion
Ref Expression
setsxms  |-  ( ph  ->  ( K  e.  *MetSp  <-> 
D  e.  ( *Met `  X ) ) )

Proof of Theorem setsxms
StepHypRef Expression
1 setsms.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  M ) )
2 setsms.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  =  ( (
dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) ) )
3 setsms.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
4 setsms.m . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
51, 2, 3, 4setsmstopn 20808 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  =  ( TopOpen `  K
) )
61, 2, 3setsmsds 20806 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( dist `  M
)  =  ( dist `  K ) )
71, 2, 3setsmsbas 20805 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  K ) )
87, 7xpeq12d 5024 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  X.  X
)  =  ( (
Base `  K )  X.  ( Base `  K
) ) )
96, 8reseq12d 5274 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( dist `  M
)  |`  ( X  X.  X ) )  =  ( ( dist `  K
)  |`  ( ( Base `  K )  X.  ( Base `  K ) ) ) )
102, 9eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  =  ( (
dist `  K )  |`  ( ( Base `  K
)  X.  ( Base `  K ) ) ) )
1110fveq2d 5870 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  =  ( MetOpen `  (
( dist `  K )  |`  ( ( Base `  K
)  X.  ( Base `  K ) ) ) ) )
125, 11eqtr3d 2510 . . 3  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  K )  =  ( MetOpen `  (
( dist `  K )  |`  ( ( Base `  K
)  X.  ( Base `  K ) ) ) ) )
13 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  K )  =  (
TopOpen `  K )
14 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
15 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( (
dist `  K )  |`  ( ( Base `  K
)  X.  ( Base `  K ) ) )  =  ( ( dist `  K )  |`  (
( Base `  K )  X.  ( Base `  K
) ) )
1613, 14, 15isxms2 20778 . . . 4  |-  ( K  e.  *MetSp  <->  ( (
( dist `  K )  |`  ( ( Base `  K
)  X.  ( Base `  K ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  K
) )  /\  ( TopOpen
`  K )  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  K )  |`  ( ( Base `  K
)  X.  ( Base `  K ) ) ) ) ) )
1716rbaib 904 . . 3  |-  ( (
TopOpen `  K )  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  K )  |`  ( ( Base `  K
)  X.  ( Base `  K ) ) ) )  ->  ( K  e.  *MetSp  <->  ( ( dist `  K )  |`  (
( Base `  K )  X.  ( Base `  K
) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  K )
) ) )
1812, 17syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  *MetSp  <-> 
( ( dist `  K
)  |`  ( ( Base `  K )  X.  ( Base `  K ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  K ) ) ) )
197fveq2d 5870 . . 3  |-  ( ph  ->  ( *Met `  X )  =  ( *Met `  ( Base `  K ) ) )
2010, 19eleq12d 2549 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( *Met `  X
)  <->  ( ( dist `  K )  |`  (
( Base `  K )  X.  ( Base `  K
) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  K )
) ) )
2118, 20bitr4d 256 1  |-  ( ph  ->  ( K  e.  *MetSp  <-> 
D  e.  ( *Met `  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767   <.cop 4033    X. cxp 4997    |` cres 5001   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   ndxcnx 14490   sSet csts 14491   Basecbs 14493  TopSetcts 14564   distcds 14567   TopOpenctopn 14680   *Metcxmt 18214   MetOpencmopn 18219   *MetSpcxme 20647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-tset 14577  df-ds 14580  df-rest 14681  df-topn 14682  df-topgen 14702  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-topsp 19210  df-xms 20650
This theorem is referenced by:  setsms  20810
  Copyright terms: Public domain W3C validator