MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsval Structured version   Unicode version

Theorem setsval 14531
Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
setsval  |-  ( ( S  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )

Proof of Theorem setsval
StepHypRef Expression
1 opex 4717 . . 3  |-  <. A ,  B >.  e.  _V
2 setsvalg 14530 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  <. A ,  B >.  e. 
_V )  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )
31, 2mpan2 671 . 2  |-  ( S  e.  V  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )
4 dmsnopg 5485 . . . . 5  |-  ( B  e.  W  ->  dom  {
<. A ,  B >. }  =  { A }
)
54difeq2d 3627 . . . 4  |-  ( B  e.  W  ->  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } )  =  ( _V  \  { A } ) )
65reseq2d 5279 . . 3  |-  ( B  e.  W  ->  ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A }
) ) )
76uneq1d 3662 . 2  |-  ( B  e.  W  ->  (
( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  u. 
{ <. A ,  B >. } ) )
83, 7sylan9eq 2528 1  |-  ( ( S  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    \ cdif 3478    u. cun 3479   {csn 4033   <.cop 4039   dom cdm 5005    |` cres 5007  (class class class)co 6295   sSet csts 14505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-res 5017  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-sets 14513
This theorem is referenced by:  fvsetsid  14532  fsets  14533  setsabs  14536  setscom  14537  setsid  14548
  Copyright terms: Public domain W3C validator