MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsres Structured version   Unicode version

Theorem setsres 15151
Description: The structure replacement function does not affect the value of  S away from  A. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
setsres  |-  ( S  e.  V  ->  (
( S sSet  <. A ,  B >. )  |`  ( _V  \  { A }
) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A } ) ) )

Proof of Theorem setsres
StepHypRef Expression
1 opex 4685 . . . 4  |-  <. A ,  B >.  e.  _V
2 setsvalg 15145 . . . 4  |-  ( ( S  e.  V  /\  <. A ,  B >.  e. 
_V )  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )
31, 2mpan2 675 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )
43reseq1d 5123 . 2  |-  ( S  e.  V  ->  (
( S sSet  <. A ,  B >. )  |`  ( _V  \  { A }
) )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } )  |`  ( _V  \  { A } ) ) )
5 resundir 5138 . . 3  |-  ( ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } )  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  dom  {
<. A ,  B >. } ) )  |`  ( _V  \  { A }
) )  u.  ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) ) )
6 dmsnopss 5327 . . . . . . 7  |-  dom  { <. A ,  B >. } 
C_  { A }
7 sscon 3599 . . . . . . 7  |-  ( dom 
{ <. A ,  B >. }  C_  { A }  ->  ( _V  \  { A } )  C_  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( _V 
\  { A }
)  C_  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } )
9 resabs1 5152 . . . . . 6  |-  ( ( _V  \  { A } )  C_  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } )  ->  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  {
<. A ,  B >. } ) )  |`  ( _V  \  { A }
) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A } ) ) )
108, 9ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )
11 dmres 5144 . . . . . . 7  |-  dom  ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  ( ( _V  \  { A } )  i^i  dom  {
<. A ,  B >. } )
12 disj2 3842 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _V  \  { A } )  i^i  dom  {
<. A ,  B >. } )  =  (/)  <->  ( _V  \  { A } ) 
C_  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )
138, 12mpbir 212 . . . . . . 7  |-  ( ( _V  \  { A } )  i^i  dom  {
<. A ,  B >. } )  =  (/)
1411, 13eqtri 2451 . . . . . 6  |-  dom  ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  (/)
15 relres 5151 . . . . . . 7  |-  Rel  ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) )
16 reldm0 5071 . . . . . . 7  |-  ( Rel  ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A }
) )  ->  (
( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A }
) )  =  (/)  <->  dom  ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  (/) ) )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  (/)  <->  dom  ( {
<. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  (/) )
1814, 17mpbir 212 . . . . 5  |-  ( {
<. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  (/)
1910, 18uneq12i 3618 . . . 4  |-  ( ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u.  ( {
<. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) ) )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  u.  (/) )
20 un0 3789 . . . 4  |-  ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  u.  (/) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )
2119, 20eqtri 2451 . . 3  |-  ( ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u.  ( {
<. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) ) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )
225, 21eqtri 2451 . 2  |-  ( ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } )  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )
234, 22syl6eq 2479 1  |-  ( S  e.  V  ->  (
( S sSet  <. A ,  B >. )  |`  ( _V  \  { A }
) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    = wceq 1437    e. wcel 1872   _Vcvv 3080    \ cdif 3433    u. cun 3434    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   {csn 3998   <.cop 4004   dom cdm 4853    |` cres 4855   Rel wrel 4858  (class class class)co 6306   sSet csts 15119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pr 4660  ax-un 6598
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-res 4865  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fv 5609  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-sets 15127
This theorem is referenced by:  setsabs  15152  setsnid  15165  mdetunilem9  19644
  Copyright terms: Public domain W3C validator