MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsres Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem setsres 15229
Description: The structure replacement function does not affect the value of  S away from  A. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
setsres  |-  ( S  e.  V  ->  (
( S sSet  <. A ,  B >. )  |`  ( _V  \  { A }
) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A } ) ) )

Proof of Theorem setsres
StepHypRef Expression
1 opex 4664 . . . 4  |-  <. A ,  B >.  e.  _V
2 setsvalg 15223 . . . 4  |-  ( ( S  e.  V  /\  <. A ,  B >.  e. 
_V )  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )
31, 2mpan2 685 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )
43reseq1d 5110 . 2  |-  ( S  e.  V  ->  (
( S sSet  <. A ,  B >. )  |`  ( _V  \  { A }
) )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } )  |`  ( _V  \  { A } ) ) )
5 resundir 5125 . . 3  |-  ( ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } )  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  dom  {
<. A ,  B >. } ) )  |`  ( _V  \  { A }
) )  u.  ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) ) )
6 dmsnopss 5315 . . . . . . 7  |-  dom  { <. A ,  B >. } 
C_  { A }
7 sscon 3556 . . . . . . 7  |-  ( dom 
{ <. A ,  B >. }  C_  { A }  ->  ( _V  \  { A } )  C_  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( _V 
\  { A }
)  C_  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } )
9 resabs1 5139 . . . . . 6  |-  ( ( _V  \  { A } )  C_  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } )  ->  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  {
<. A ,  B >. } ) )  |`  ( _V  \  { A }
) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A } ) ) )
108, 9ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )
11 dmres 5131 . . . . . . 7  |-  dom  ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  ( ( _V  \  { A } )  i^i  dom  {
<. A ,  B >. } )
12 disj2 3816 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _V  \  { A } )  i^i  dom  {
<. A ,  B >. } )  =  (/)  <->  ( _V  \  { A } ) 
C_  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )
138, 12mpbir 214 . . . . . . 7  |-  ( ( _V  \  { A } )  i^i  dom  {
<. A ,  B >. } )  =  (/)
1411, 13eqtri 2493 . . . . . 6  |-  dom  ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  (/)
15 relres 5138 . . . . . . 7  |-  Rel  ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) )
16 reldm0 5058 . . . . . . 7  |-  ( Rel  ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A }
) )  ->  (
( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A }
) )  =  (/)  <->  dom  ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  (/) ) )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  (/)  <->  dom  ( {
<. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  (/) )
1814, 17mpbir 214 . . . . 5  |-  ( {
<. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  (/)
1910, 18uneq12i 3577 . . . 4  |-  ( ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u.  ( {
<. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) ) )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  u.  (/) )
20 un0 3762 . . . 4  |-  ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  u.  (/) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )
2119, 20eqtri 2493 . . 3  |-  ( ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u.  ( {
<. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) ) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )
225, 21eqtri 2493 . 2  |-  ( ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } )  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )
234, 22syl6eq 2521 1  |-  ( S  e.  V  ->  (
( S sSet  <. A ,  B >. )  |`  ( _V  \  { A }
) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   <.cop 3965   dom cdm 4839    |` cres 4841   Rel wrel 4844  (class class class)co 6308   sSet csts 15197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-res 4851  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-sets 15205
This theorem is referenced by:  setsabs  15230  setsnid  15243  mdetunilem9  19722
  Copyright terms: Public domain W3C validator