MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsres Structured version   Unicode version

Theorem setsres 14673
Description: The structure replacement function does not affect the value of  S away from  A. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
setsres  |-  ( S  e.  V  ->  (
( S sSet  <. A ,  B >. )  |`  ( _V  \  { A }
) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A } ) ) )

Proof of Theorem setsres
StepHypRef Expression
1 opex 4720 . . . 4  |-  <. A ,  B >.  e.  _V
2 setsvalg 14667 . . . 4  |-  ( ( S  e.  V  /\  <. A ,  B >.  e. 
_V )  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )
31, 2mpan2 671 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )
43reseq1d 5282 . 2  |-  ( S  e.  V  ->  (
( S sSet  <. A ,  B >. )  |`  ( _V  \  { A }
) )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } )  |`  ( _V  \  { A } ) ) )
5 resundir 5298 . . 3  |-  ( ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } )  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  dom  {
<. A ,  B >. } ) )  |`  ( _V  \  { A }
) )  u.  ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) ) )
6 dmsnopss 5486 . . . . . . 7  |-  dom  { <. A ,  B >. } 
C_  { A }
7 sscon 3634 . . . . . . 7  |-  ( dom 
{ <. A ,  B >. }  C_  { A }  ->  ( _V  \  { A } )  C_  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( _V 
\  { A }
)  C_  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } )
9 resabs1 5312 . . . . . 6  |-  ( ( _V  \  { A } )  C_  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } )  ->  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  {
<. A ,  B >. } ) )  |`  ( _V  \  { A }
) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A } ) ) )
108, 9ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )
11 dmres 5304 . . . . . . 7  |-  dom  ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  ( ( _V  \  { A } )  i^i  dom  {
<. A ,  B >. } )
12 disj2 3877 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _V  \  { A } )  i^i  dom  {
<. A ,  B >. } )  =  (/)  <->  ( _V  \  { A } ) 
C_  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )
138, 12mpbir 209 . . . . . . 7  |-  ( ( _V  \  { A } )  i^i  dom  {
<. A ,  B >. } )  =  (/)
1411, 13eqtri 2486 . . . . . 6  |-  dom  ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  (/)
15 relres 5311 . . . . . . 7  |-  Rel  ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) )
16 reldm0 5230 . . . . . . 7  |-  ( Rel  ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A }
) )  ->  (
( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A }
) )  =  (/)  <->  dom  ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  (/) ) )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  (/)  <->  dom  ( {
<. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  (/) )
1814, 17mpbir 209 . . . . 5  |-  ( {
<. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  (/)
1910, 18uneq12i 3652 . . . 4  |-  ( ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u.  ( {
<. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) ) )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  u.  (/) )
20 un0 3819 . . . 4  |-  ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  u.  (/) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )
2119, 20eqtri 2486 . . 3  |-  ( ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u.  ( {
<. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) ) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )
225, 21eqtri 2486 . 2  |-  ( ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } )  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )
234, 22syl6eq 2514 1  |-  ( S  e.  V  ->  (
( S sSet  <. A ,  B >. )  |`  ( _V  \  { A }
) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032   <.cop 4038   dom cdm 5008    |` cres 5010   Rel wrel 5013  (class class class)co 6296   sSet csts 14641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-res 5020  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-sets 14649
This theorem is referenced by:  setsabs  14674  setsnid  14687  mdetunilem9  19248
  Copyright terms: Public domain W3C validator