Theorem setsmstopn 20053

Description: The topology of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsms.x	|- ( ph -> X = ( Base ` M ) )
setsms.d	|- ( ph -> D = ( ( dist ` M ) |` ( X X. X ) ) )
setsms.k	|- ( ph -> K = ( M sSet <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` D ) >. ) )
setsms.m	|- ( ph -> M e. V )

Assertion

Ref	Expression
setsmstopn	|- ( ph -> ( MetOpen ` D ) = ( TopOpen ` K ) )

Proof of Theorem setsmstopn

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsms.x	. . 3 |- ( ph -> X = ( Base ` M ) )
2		setsms.d	. . 3 |- ( ph -> D = ( ( dist ` M ) |` ( X X. X ) ) )
3		setsms.k	. . 3 |- ( ph -> K = ( M sSet <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` D ) >. ) )
4		setsms.m	. . 3 |- ( ph -> M e. V )
5	1, 2, 3, 4	setsmstset 20052	. 2 |- ( ph -> ( MetOpen ` D ) = (TopSet ` K ) )
6		df-mopn 17813	. . . . . . . 8 |- MetOpen = ( x e. U. ran *Met |-> ( topGen ` ran ( ball ` x ) ) )
7	6	dmmptss 5334	. . . . . . 7 |- dom MetOpen C_ U. ran *Met
8	7	sseli 3352	. . . . . 6 |- ( D e. dom MetOpen -> D e. U. ran *Met )
9		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ D e. U. ran *Met ) -> D e. U. ran *Met )
10		xmetunirn 19912	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. U. ran *Met <-> D e. ( *Met ` dom dom D ) )
11	9, 10	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ D e. U. ran *Met ) -> D e. ( *Met ` dom dom D ) )
12		eqid 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( MetOpen ` D ) = ( MetOpen ` D )
13	12	mopnuni 20016	. . . . . . . . . 10 |- ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> dom dom D = U. ( MetOpen ` D ) )
14	11, 13	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ D e. U. ran *Met ) -> dom dom D = U. ( MetOpen ` D ) )
15	2	dmeqd 5042	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom D = dom ( ( dist ` M ) |` ( X X. X ) ) )
16		dmres 5131	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( ( dist ` M ) |` ( X X. X ) ) = ( ( X X. X ) i^i dom ( dist ` M ) )
17	15, 16	syl6eq 2491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> dom D = ( ( X X. X ) i^i dom ( dist ` M ) ) )
18		inss1 3570	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X X. X ) i^i dom ( dist ` M ) ) C_ ( X X. X )
19	17, 18	syl6eqss 3406	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom D C_ ( X X. X ) )
20		dmss 5039	. . . . . . . . . . . 12 |- ( dom D C_ ( X X. X ) -> dom dom D C_ dom ( X X. X ) )
21	19, 20	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom dom D C_ dom ( X X. X ) )
22		dmxpid 5059	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( X X. X ) = X
23	21, 22	syl6sseq 3402	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom dom D C_ X )
24	23	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ D e. U. ran *Met ) -> dom dom D C_ X )
25	14, 24	eqsstr3d 3391	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ D e. U. ran *Met ) -> U. ( MetOpen ` D ) C_ X )
26		sspwuni 4256	. . . . . . . 8 |- ( ( MetOpen ` D ) C_ ~P X <-> U. ( MetOpen ` D ) C_ X )
27	25, 26	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ D e. U. ran *Met ) -> ( MetOpen ` D ) C_ ~P X )
28	27	ex 434	. . . . . 6 |- ( ph -> ( D e. U. ran *Met -> ( MetOpen ` D ) C_ ~P X ) )
29	8, 28	syl5 32	. . . . 5 |- ( ph -> ( D e. dom MetOpen -> ( MetOpen ` D ) C_ ~P X ) )
30		ndmfv 5714	. . . . . 6 |- ( -. D e. dom MetOpen -> ( MetOpen ` D ) = (/) )
31		0ss 3666	. . . . . 6 |- (/) C_ ~P X
32	30, 31	syl6eqss 3406	. . . . 5 |- ( -. D e. dom MetOpen -> ( MetOpen ` D ) C_ ~P X )
33	29, 32	pm2.61d1 159	. . . 4 |- ( ph -> ( MetOpen ` D ) C_ ~P X )
34	1, 2, 3	setsmsbas 20050	. . . . 5 |- ( ph -> X = ( Base ` K ) )
35	34	pweqd 3865	. . . 4 |- ( ph -> ~P X = ~P ( Base ` K ) )
36	33, 5, 35	3sstr3d 3398	. . 3 |- ( ph -> (TopSet ` K ) C_ ~P ( Base ` K ) )
37		eqid 2443	. . . 4 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
38		eqid 2443	. . . 4 |- (TopSet ` K ) = (TopSet ` K )
39	37, 38	topnid 14374	. . 3 |- ( (TopSet ` K ) C_ ~P ( Base ` K ) -> (TopSet ` K ) = ( TopOpen ` K ) )
40	36, 39	syl 16	. 2 |- ( ph -> (TopSet ` K ) = ( TopOpen ` K ) )
41	5, 40	eqtrd 2475	1 |- ( ph -> ( MetOpen ` D ) = ( TopOpen ` K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   i^i cin 3327   C_ wss 3328   (/)c0 3637   ~Pcpw 3860   <.cop 3883   U.cuni 4091   X. cxp 4838   dom cdm 4840   ran crn 4841   |` cres 4842   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   ndxcnx 14171   sSet csts 14172   Basecbs 14174  TopSetcts 14244   distcds 14247   TopOpenctopn 14360   topGenctg 14376   *Metcxmt 17801   ballcbl 17803   MetOpencmopn 17806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-tset 14257  df-rest 14361  df-topn 14362  df-topgen 14382  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506

This theorem is referenced by:  setsxms  20054  tmslem  20057