Theorem setsmstopn 21486

Description: The topology of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsms.x	|- ( ph -> X = ( Base ` M ) )
setsms.d	|- ( ph -> D = ( ( dist ` M ) |` ( X X. X ) ) )
setsms.k	|- ( ph -> K = ( M sSet <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` D ) >. ) )
setsms.m	|- ( ph -> M e. V )

Assertion

Ref	Expression
setsmstopn	|- ( ph -> ( MetOpen ` D ) = ( TopOpen ` K ) )

Proof of Theorem setsmstopn

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsms.x	. . 3 |- ( ph -> X = ( Base ` M ) )
2		setsms.d	. . 3 |- ( ph -> D = ( ( dist ` M ) |` ( X X. X ) ) )
3		setsms.k	. . 3 |- ( ph -> K = ( M sSet <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` D ) >. ) )
4		setsms.m	. . 3 |- ( ph -> M e. V )
5	1, 2, 3, 4	setsmstset 21485	. 2 |- ( ph -> ( MetOpen ` D ) = (TopSet ` K ) )
6		df-mopn 18959	. . . . . . . 8 |- MetOpen = ( x e. U. ran *Met |-> ( topGen ` ran ( ball ` x ) ) )
7	6	dmmptss 5330	. . . . . . 7 |- dom MetOpen C_ U. ran *Met
8	7	sseli 3427	. . . . . 6 |- ( D e. dom MetOpen -> D e. U. ran *Met )
9		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ D e. U. ran *Met ) -> D e. U. ran *Met )
10		xmetunirn 21345	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. U. ran *Met <-> D e. ( *Met ` dom dom D ) )
11	9, 10	sylib 200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ D e. U. ran *Met ) -> D e. ( *Met ` dom dom D ) )
12		eqid 2450	. . . . . . . . . . 11 |- ( MetOpen ` D ) = ( MetOpen ` D )
13	12	mopnuni 21449	. . . . . . . . . 10 |- ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> dom dom D = U. ( MetOpen ` D ) )
14	11, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ D e. U. ran *Met ) -> dom dom D = U. ( MetOpen ` D ) )
15	2	dmeqd 5036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom D = dom ( ( dist ` M ) |` ( X X. X ) ) )
16		dmres 5124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( ( dist ` M ) |` ( X X. X ) ) = ( ( X X. X ) i^i dom ( dist ` M ) )
17	15, 16	syl6eq 2500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> dom D = ( ( X X. X ) i^i dom ( dist ` M ) ) )
18		inss1 3651	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X X. X ) i^i dom ( dist ` M ) ) C_ ( X X. X )
19	17, 18	syl6eqss 3481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom D C_ ( X X. X ) )
20		dmss 5033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( dom D C_ ( X X. X ) -> dom dom D C_ dom ( X X. X ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom dom D C_ dom ( X X. X ) )
22		dmxpid 5053	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( X X. X ) = X
23	21, 22	syl6sseq 3477	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom dom D C_ X )
24	23	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ D e. U. ran *Met ) -> dom dom D C_ X )
25	14, 24	eqsstr3d 3466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ D e. U. ran *Met ) -> U. ( MetOpen ` D ) C_ X )
26		sspwuni 4366	. . . . . . . 8 |- ( ( MetOpen ` D ) C_ ~P X <-> U. ( MetOpen ` D ) C_ X )
27	25, 26	sylibr 216	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ D e. U. ran *Met ) -> ( MetOpen ` D ) C_ ~P X )
28	27	ex 436	. . . . . 6 |- ( ph -> ( D e. U. ran *Met -> ( MetOpen ` D ) C_ ~P X ) )
29	8, 28	syl5 33	. . . . 5 |- ( ph -> ( D e. dom MetOpen -> ( MetOpen ` D ) C_ ~P X ) )
30		ndmfv 5887	. . . . . 6 |- ( -. D e. dom MetOpen -> ( MetOpen ` D ) = (/) )
31		0ss 3762	. . . . . 6 |- (/) C_ ~P X
32	30, 31	syl6eqss 3481	. . . . 5 |- ( -. D e. dom MetOpen -> ( MetOpen ` D ) C_ ~P X )
33	29, 32	pm2.61d1 163	. . . 4 |- ( ph -> ( MetOpen ` D ) C_ ~P X )
34	1, 2, 3	setsmsbas 21483	. . . . 5 |- ( ph -> X = ( Base ` K ) )
35	34	pweqd 3955	. . . 4 |- ( ph -> ~P X = ~P ( Base ` K ) )
36	33, 5, 35	3sstr3d 3473	. . 3 |- ( ph -> (TopSet ` K ) C_ ~P ( Base ` K ) )
37		eqid 2450	. . . 4 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
38		eqid 2450	. . . 4 |- (TopSet ` K ) = (TopSet ` K )
39	37, 38	topnid 15327	. . 3 |- ( (TopSet ` K ) C_ ~P ( Base ` K ) -> (TopSet ` K ) = ( TopOpen ` K ) )
40	36, 39	syl 17	. 2 |- ( ph -> (TopSet ` K ) = ( TopOpen ` K ) )
41	5, 40	eqtrd 2484	1 |- ( ph -> ( MetOpen ` D ) = ( TopOpen ` K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   i^i cin 3402   C_ wss 3403   (/)c0 3730   ~Pcpw 3950   <.cop 3973   U.cuni 4197   X. cxp 4831   dom cdm 4833   ran crn 4834   |` cres 4835   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   ndxcnx 15111   sSet csts 15112   Basecbs 15114  TopSetcts 15189   distcds 15192   TopOpenctopn 15313   topGenctg 15329   *Metcxmt 18948   ballcbl 18950   MetOpencmopn 18953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-sup 7953  df-inf 7954  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-tset 15202  df-rest 15314  df-topn 15315  df-topgen 15335  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916

This theorem is referenced by:  setsxms  21487  tmslem  21490