Theorem setsmstopn 20012

Description: The topology of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsms.x	|- ( ph -> X = ( Base ` M ) )
setsms.d	|- ( ph -> D = ( ( dist ` M ) |` ( X X. X ) ) )
setsms.k	|- ( ph -> K = ( M sSet <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` D ) >. ) )
setsms.m	|- ( ph -> M e. V )

Assertion

Ref	Expression
setsmstopn	|- ( ph -> ( MetOpen ` D ) = ( TopOpen ` K ) )

Proof of Theorem setsmstopn

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsms.x	. . 3 |- ( ph -> X = ( Base ` M ) )
2		setsms.d	. . 3 |- ( ph -> D = ( ( dist ` M ) |` ( X X. X ) ) )
3		setsms.k	. . 3 |- ( ph -> K = ( M sSet <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` D ) >. ) )
4		setsms.m	. . 3 |- ( ph -> M e. V )
5	1, 2, 3, 4	setsmstset 20011	. 2 |- ( ph -> ( MetOpen ` D ) = (TopSet ` K ) )
6		df-mopn 17772	. . . . . . . 8 |- MetOpen = ( x e. U. ran *Met |-> ( topGen ` ran ( ball ` x ) ) )
7	6	dmmptss 5331	. . . . . . 7 |- dom MetOpen C_ U. ran *Met
8	7	sseli 3349	. . . . . 6 |- ( D e. dom MetOpen -> D e. U. ran *Met )
9		simpr 458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ D e. U. ran *Met ) -> D e. U. ran *Met )
10		xmetunirn 19871	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. U. ran *Met <-> D e. ( *Met ` dom dom D ) )
11	9, 10	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ D e. U. ran *Met ) -> D e. ( *Met ` dom dom D ) )
12		eqid 2441	. . . . . . . . . . 11 |- ( MetOpen ` D ) = ( MetOpen ` D )
13	12	mopnuni 19975	. . . . . . . . . 10 |- ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> dom dom D = U. ( MetOpen ` D ) )
14	11, 13	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ D e. U. ran *Met ) -> dom dom D = U. ( MetOpen ` D ) )
15	2	dmeqd 5038	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom D = dom ( ( dist ` M ) |` ( X X. X ) ) )
16		dmres 5128	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( ( dist ` M ) |` ( X X. X ) ) = ( ( X X. X ) i^i dom ( dist ` M ) )
17	15, 16	syl6eq 2489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> dom D = ( ( X X. X ) i^i dom ( dist ` M ) ) )
18		inss1 3567	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X X. X ) i^i dom ( dist ` M ) ) C_ ( X X. X )
19	17, 18	syl6eqss 3403	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom D C_ ( X X. X ) )
20		dmss 5035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( dom D C_ ( X X. X ) -> dom dom D C_ dom ( X X. X ) )
21	19, 20	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom dom D C_ dom ( X X. X ) )
22		dmxpid 5055	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( X X. X ) = X
23	21, 22	syl6sseq 3399	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom dom D C_ X )
24	23	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ D e. U. ran *Met ) -> dom dom D C_ X )
25	14, 24	eqsstr3d 3388	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ D e. U. ran *Met ) -> U. ( MetOpen ` D ) C_ X )
26		sspwuni 4253	. . . . . . . 8 |- ( ( MetOpen ` D ) C_ ~P X <-> U. ( MetOpen ` D ) C_ X )
27	25, 26	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ D e. U. ran *Met ) -> ( MetOpen ` D ) C_ ~P X )
28	27	ex 434	. . . . . 6 |- ( ph -> ( D e. U. ran *Met -> ( MetOpen ` D ) C_ ~P X ) )
29	8, 28	syl5 32	. . . . 5 |- ( ph -> ( D e. dom MetOpen -> ( MetOpen ` D ) C_ ~P X ) )
30		ndmfv 5711	. . . . . 6 |- ( -. D e. dom MetOpen -> ( MetOpen ` D ) = (/) )
31		0ss 3663	. . . . . 6 |- (/) C_ ~P X
32	30, 31	syl6eqss 3403	. . . . 5 |- ( -. D e. dom MetOpen -> ( MetOpen ` D ) C_ ~P X )
33	29, 32	pm2.61d1 159	. . . 4 |- ( ph -> ( MetOpen ` D ) C_ ~P X )
34	1, 2, 3	setsmsbas 20009	. . . . 5 |- ( ph -> X = ( Base ` K ) )
35	34	pweqd 3862	. . . 4 |- ( ph -> ~P X = ~P ( Base ` K ) )
36	33, 5, 35	3sstr3d 3395	. . 3 |- ( ph -> (TopSet ` K ) C_ ~P ( Base ` K ) )
37		eqid 2441	. . . 4 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
38		eqid 2441	. . . 4 |- (TopSet ` K ) = (TopSet ` K )
39	37, 38	topnid 14370	. . 3 |- ( (TopSet ` K ) C_ ~P ( Base ` K ) -> (TopSet ` K ) = ( TopOpen ` K ) )
40	36, 39	syl 16	. 2 |- ( ph -> (TopSet ` K ) = ( TopOpen ` K ) )
41	5, 40	eqtrd 2473	1 |- ( ph -> ( MetOpen ` D ) = ( TopOpen ` K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   i^i cin 3324   C_ wss 3325   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   <.cop 3880   U.cuni 4088   X. cxp 4834   dom cdm 4836   ran crn 4837   |` cres 4838   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   ndxcnx 14167   sSet csts 14168   Basecbs 14170  TopSetcts 14240   distcds 14243   TopOpenctopn 14356   topGenctg 14372   *Metcxmt 17760   ballcbl 17762   MetOpencmopn 17765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-tset 14253  df-rest 14357  df-topn 14358  df-topgen 14378  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465

This theorem is referenced by:  setsxms  20013  tmslem  20016