Theorem setsmstopn 20744

Description: The topology of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsms.x	|- ( ph -> X = ( Base ` M ) )
setsms.d	|- ( ph -> D = ( ( dist ` M ) |` ( X X. X ) ) )
setsms.k	|- ( ph -> K = ( M sSet <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` D ) >. ) )
setsms.m	|- ( ph -> M e. V )

Assertion

Ref	Expression
setsmstopn	|- ( ph -> ( MetOpen ` D ) = ( TopOpen ` K ) )

Proof of Theorem setsmstopn

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsms.x	. . 3 |- ( ph -> X = ( Base ` M ) )
2		setsms.d	. . 3 |- ( ph -> D = ( ( dist ` M ) |` ( X X. X ) ) )
3		setsms.k	. . 3 |- ( ph -> K = ( M sSet <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` D ) >. ) )
4		setsms.m	. . 3 |- ( ph -> M e. V )
5	1, 2, 3, 4	setsmstset 20743	. 2 |- ( ph -> ( MetOpen ` D ) = (TopSet ` K ) )
6		df-mopn 18214	. . . . . . . 8 |- MetOpen = ( x e. U. ran *Met |-> ( topGen ` ran ( ball ` x ) ) )
7	6	dmmptss 5503	. . . . . . 7 |- dom MetOpen C_ U. ran *Met
8	7	sseli 3500	. . . . . 6 |- ( D e. dom MetOpen -> D e. U. ran *Met )
9		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ D e. U. ran *Met ) -> D e. U. ran *Met )
10		xmetunirn 20603	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. U. ran *Met <-> D e. ( *Met ` dom dom D ) )
11	9, 10	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ D e. U. ran *Met ) -> D e. ( *Met ` dom dom D ) )
12		eqid 2467	. . . . . . . . . . 11 |- ( MetOpen ` D ) = ( MetOpen ` D )
13	12	mopnuni 20707	. . . . . . . . . 10 |- ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> dom dom D = U. ( MetOpen ` D ) )
14	11, 13	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ D e. U. ran *Met ) -> dom dom D = U. ( MetOpen ` D ) )
15	2	dmeqd 5205	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom D = dom ( ( dist ` M ) |` ( X X. X ) ) )
16		dmres 5294	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( ( dist ` M ) |` ( X X. X ) ) = ( ( X X. X ) i^i dom ( dist ` M ) )
17	15, 16	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> dom D = ( ( X X. X ) i^i dom ( dist ` M ) ) )
18		inss1 3718	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X X. X ) i^i dom ( dist ` M ) ) C_ ( X X. X )
19	17, 18	syl6eqss 3554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom D C_ ( X X. X ) )
20		dmss 5202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( dom D C_ ( X X. X ) -> dom dom D C_ dom ( X X. X ) )
21	19, 20	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom dom D C_ dom ( X X. X ) )
22		dmxpid 5222	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( X X. X ) = X
23	21, 22	syl6sseq 3550	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom dom D C_ X )
24	23	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ D e. U. ran *Met ) -> dom dom D C_ X )
25	14, 24	eqsstr3d 3539	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ D e. U. ran *Met ) -> U. ( MetOpen ` D ) C_ X )
26		sspwuni 4411	. . . . . . . 8 |- ( ( MetOpen ` D ) C_ ~P X <-> U. ( MetOpen ` D ) C_ X )
27	25, 26	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ D e. U. ran *Met ) -> ( MetOpen ` D ) C_ ~P X )
28	27	ex 434	. . . . . 6 |- ( ph -> ( D e. U. ran *Met -> ( MetOpen ` D ) C_ ~P X ) )
29	8, 28	syl5 32	. . . . 5 |- ( ph -> ( D e. dom MetOpen -> ( MetOpen ` D ) C_ ~P X ) )
30		ndmfv 5890	. . . . . 6 |- ( -. D e. dom MetOpen -> ( MetOpen ` D ) = (/) )
31		0ss 3814	. . . . . 6 |- (/) C_ ~P X
32	30, 31	syl6eqss 3554	. . . . 5 |- ( -. D e. dom MetOpen -> ( MetOpen ` D ) C_ ~P X )
33	29, 32	pm2.61d1 159	. . . 4 |- ( ph -> ( MetOpen ` D ) C_ ~P X )
34	1, 2, 3	setsmsbas 20741	. . . . 5 |- ( ph -> X = ( Base ` K ) )
35	34	pweqd 4015	. . . 4 |- ( ph -> ~P X = ~P ( Base ` K ) )
36	33, 5, 35	3sstr3d 3546	. . 3 |- ( ph -> (TopSet ` K ) C_ ~P ( Base ` K ) )
37		eqid 2467	. . . 4 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
38		eqid 2467	. . . 4 |- (TopSet ` K ) = (TopSet ` K )
39	37, 38	topnid 14691	. . 3 |- ( (TopSet ` K ) C_ ~P ( Base ` K ) -> (TopSet ` K ) = ( TopOpen ` K ) )
40	36, 39	syl 16	. 2 |- ( ph -> (TopSet ` K ) = ( TopOpen ` K ) )
41	5, 40	eqtrd 2508	1 |- ( ph -> ( MetOpen ` D ) = ( TopOpen ` K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   <.cop 4033   U.cuni 4245   X. cxp 4997   dom cdm 4999   ran crn 5000   |` cres 5001   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   ndxcnx 14487   sSet csts 14488   Basecbs 14490  TopSetcts 14561   distcds 14564   TopOpenctopn 14677   topGenctg 14693   *Metcxmt 18202   ballcbl 18204   MetOpencmopn 18207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-tset 14574  df-rest 14678  df-topn 14679  df-topgen 14699  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197

This theorem is referenced by:  setsxms  20745  tmslem  20748