MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsmstopn Structured version   Unicode version

Theorem setsmstopn 21424
Description: The topology of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setsms.x  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  M ) )
setsms.d  |-  ( ph  ->  D  =  ( (
dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) ) )
setsms.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
setsms.m  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
Assertion
Ref Expression
setsmstopn  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  =  ( TopOpen `  K
) )

Proof of Theorem setsmstopn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setsms.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  M ) )
2 setsms.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( (
dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) ) )
3 setsms.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
4 setsms.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
51, 2, 3, 4setsmstset 21423 . 2  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  =  (TopSet `  K )
)
6 df-mopn 18901 . . . . . . . 8  |-  MetOpen  =  ( x  e.  U. ran  *Met  |->  ( topGen `  ran  ( ball `  x )
) )
76dmmptss 5351 . . . . . . 7  |-  dom  MetOpen  C_  U. ran  *Met
87sseli 3466 . . . . . 6  |-  ( D  e.  dom  MetOpen  ->  D  e.  U. ran  *Met )
9 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  D  e.  U.
ran  *Met )  ->  D  e.  U. ran  *Met )
10 xmetunirn 21283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  U. ran  *Met 
<->  D  e.  ( *Met `  dom  dom  D ) )
119, 10sylib 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  D  e.  U.
ran  *Met )  ->  D  e.  ( *Met `  dom  dom  D
) )
12 eqid 2429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
1312mopnuni 21387 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( *Met ` 
dom  dom  D )  ->  dom  dom  D  =  U. ( MetOpen `  D )
)
1411, 13syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  D  e.  U.
ran  *Met )  ->  dom  dom  D  =  U. ( MetOpen `  D )
)
152dmeqd 5057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  D  =  dom  ( ( dist `  M
)  |`  ( X  X.  X ) ) )
16 dmres 5145 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  (
( dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) )  =  ( ( X  X.  X
)  i^i  dom  ( dist `  M ) )
1715, 16syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  D  =  ( ( X  X.  X
)  i^i  dom  ( dist `  M ) ) )
18 inss1 3688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  X.  X )  i^i  dom  ( dist `  M ) )  C_  ( X  X.  X
)
1917, 18syl6eqss 3520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  D  C_  ( X  X.  X ) )
20 dmss 5054 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom 
D  C_  ( X  X.  X )  ->  dom  dom 
D  C_  dom  ( X  X.  X ) )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  dom  D  C_  dom  ( X  X.  X
) )
22 dmxpid 5074 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  ( X  X.  X )  =  X
2321, 22syl6sseq 3516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  dom  D  C_  X
)
2423adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  D  e.  U.
ran  *Met )  ->  dom  dom  D  C_  X
)
2514, 24eqsstr3d 3505 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  D  e.  U.
ran  *Met )  ->  U. ( MetOpen `  D )  C_  X )
26 sspwuni 4391 . . . . . . . 8  |-  ( (
MetOpen `  D )  C_  ~P X  <->  U. ( MetOpen `  D
)  C_  X )
2725, 26sylibr 215 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  D  e.  U.
ran  *Met )  -> 
( MetOpen `  D )  C_ 
~P X )
2827ex 435 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( D  e.  U. ran  *Met  ->  ( MetOpen
`  D )  C_  ~P X ) )
298, 28syl5 33 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  e.  dom  MetOpen  ->  ( MetOpen `  D )  C_ 
~P X ) )
30 ndmfv 5905 . . . . . 6  |-  ( -.  D  e.  dom  MetOpen  ->  ( MetOpen
`  D )  =  (/) )
31 0ss 3797 . . . . . 6  |-  (/)  C_  ~P X
3230, 31syl6eqss 3520 . . . . 5  |-  ( -.  D  e.  dom  MetOpen  ->  ( MetOpen
`  D )  C_  ~P X )
3329, 32pm2.61d1 162 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  C_ 
~P X )
341, 2, 3setsmsbas 21421 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  K ) )
3534pweqd 3990 . . . 4  |-  ( ph  ->  ~P X  =  ~P ( Base `  K )
)
3633, 5, 353sstr3d 3512 . . 3  |-  ( ph  ->  (TopSet `  K )  C_ 
~P ( Base `  K
) )
37 eqid 2429 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
38 eqid 2429 . . . 4  |-  (TopSet `  K )  =  (TopSet `  K )
3937, 38topnid 15293 . . 3  |-  ( (TopSet `  K )  C_  ~P ( Base `  K )  ->  (TopSet `  K )  =  ( TopOpen `  K
) )
4036, 39syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  (TopSet `  K )  =  ( TopOpen `  K
) )
415, 40eqtrd 2470 1  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  =  ( TopOpen `  K
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    i^i cin 3441    C_ wss 3442   (/)c0 3767   ~Pcpw 3985   <.cop 4008   U.cuni 4222    X. cxp 4852   dom cdm 4854   ran crn 4855    |` cres 4856   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   ndxcnx 15081   sSet csts 15082   Basecbs 15084  TopSetcts 15158   distcds 15161   TopOpenctopn 15279   topGenctg 15295   *Metcxmt 18890   ballcbl 18892   MetOpencmopn 18895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-tset 15171  df-rest 15280  df-topn 15281  df-topgen 15301  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854
This theorem is referenced by:  setsxms  21425  tmslem  21428
  Copyright terms: Public domain W3C validator