MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsmstopn Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem setsmstopn 21571
Description: The topology of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setsms.x  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  M ) )
setsms.d  |-  ( ph  ->  D  =  ( (
dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) ) )
setsms.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
setsms.m  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
Assertion
Ref Expression
setsmstopn  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  =  ( TopOpen `  K
) )

Proof of Theorem setsmstopn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setsms.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  M ) )
2 setsms.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( (
dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) ) )
3 setsms.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
4 setsms.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
51, 2, 3, 4setsmstset 21570 . 2  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  =  (TopSet `  K )
)
6 df-mopn 19043 . . . . . . . 8  |-  MetOpen  =  ( x  e.  U. ran  *Met  |->  ( topGen `  ran  ( ball `  x )
) )
76dmmptss 5338 . . . . . . 7  |-  dom  MetOpen  C_  U. ran  *Met
87sseli 3414 . . . . . 6  |-  ( D  e.  dom  MetOpen  ->  D  e.  U. ran  *Met )
9 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  D  e.  U.
ran  *Met )  ->  D  e.  U. ran  *Met )
10 xmetunirn 21430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  U. ran  *Met 
<->  D  e.  ( *Met `  dom  dom  D ) )
119, 10sylib 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  D  e.  U.
ran  *Met )  ->  D  e.  ( *Met `  dom  dom  D
) )
12 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
1312mopnuni 21534 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( *Met ` 
dom  dom  D )  ->  dom  dom  D  =  U. ( MetOpen `  D )
)
1411, 13syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  D  e.  U.
ran  *Met )  ->  dom  dom  D  =  U. ( MetOpen `  D )
)
152dmeqd 5042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  D  =  dom  ( ( dist `  M
)  |`  ( X  X.  X ) ) )
16 dmres 5131 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  (
( dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) )  =  ( ( X  X.  X
)  i^i  dom  ( dist `  M ) )
1715, 16syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  D  =  ( ( X  X.  X
)  i^i  dom  ( dist `  M ) ) )
18 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  X.  X )  i^i  dom  ( dist `  M ) )  C_  ( X  X.  X
)
1917, 18syl6eqss 3468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  D  C_  ( X  X.  X ) )
20 dmss 5039 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom 
D  C_  ( X  X.  X )  ->  dom  dom 
D  C_  dom  ( X  X.  X ) )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  dom  D  C_  dom  ( X  X.  X
) )
22 dmxpid 5060 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  ( X  X.  X )  =  X
2321, 22syl6sseq 3464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  dom  D  C_  X
)
2423adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  D  e.  U.
ran  *Met )  ->  dom  dom  D  C_  X
)
2514, 24eqsstr3d 3453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  D  e.  U.
ran  *Met )  ->  U. ( MetOpen `  D )  C_  X )
26 sspwuni 4360 . . . . . . . 8  |-  ( (
MetOpen `  D )  C_  ~P X  <->  U. ( MetOpen `  D
)  C_  X )
2725, 26sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  D  e.  U.
ran  *Met )  -> 
( MetOpen `  D )  C_ 
~P X )
2827ex 441 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( D  e.  U. ran  *Met  ->  ( MetOpen
`  D )  C_  ~P X ) )
298, 28syl5 32 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  e.  dom  MetOpen  ->  ( MetOpen `  D )  C_ 
~P X ) )
30 ndmfv 5903 . . . . . 6  |-  ( -.  D  e.  dom  MetOpen  ->  ( MetOpen
`  D )  =  (/) )
31 0ss 3766 . . . . . 6  |-  (/)  C_  ~P X
3230, 31syl6eqss 3468 . . . . 5  |-  ( -.  D  e.  dom  MetOpen  ->  ( MetOpen
`  D )  C_  ~P X )
3329, 32pm2.61d1 164 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  C_ 
~P X )
341, 2, 3setsmsbas 21568 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  K ) )
3534pweqd 3947 . . . 4  |-  ( ph  ->  ~P X  =  ~P ( Base `  K )
)
3633, 5, 353sstr3d 3460 . . 3  |-  ( ph  ->  (TopSet `  K )  C_ 
~P ( Base `  K
) )
37 eqid 2471 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
38 eqid 2471 . . . 4  |-  (TopSet `  K )  =  (TopSet `  K )
3937, 38topnid 15412 . . 3  |-  ( (TopSet `  K )  C_  ~P ( Base `  K )  ->  (TopSet `  K )  =  ( TopOpen `  K
) )
4036, 39syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  (TopSet `  K )  =  ( TopOpen `  K
) )
415, 40eqtrd 2505 1  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  =  ( TopOpen `  K
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   <.cop 3965   U.cuni 4190    X. cxp 4837   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ndxcnx 15196   sSet csts 15197   Basecbs 15199  TopSetcts 15274   distcds 15277   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414   *Metcxmt 19032   ballcbl 19034   MetOpencmopn 19037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-tset 15287  df-rest 15399  df-topn 15400  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000
This theorem is referenced by:  setsxms  21572  tmslem  21575
  Copyright terms: Public domain W3C validator