Theorem setsmstopn 21424

Description: The topology of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsms.x	|- ( ph -> X = ( Base ` M ) )
setsms.d	|- ( ph -> D = ( ( dist ` M ) |` ( X X. X ) ) )
setsms.k	|- ( ph -> K = ( M sSet <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` D ) >. ) )
setsms.m	|- ( ph -> M e. V )

Assertion

Ref	Expression
setsmstopn	|- ( ph -> ( MetOpen ` D ) = ( TopOpen ` K ) )

Proof of Theorem setsmstopn

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsms.x	. . 3 |- ( ph -> X = ( Base ` M ) )
2		setsms.d	. . 3 |- ( ph -> D = ( ( dist ` M ) |` ( X X. X ) ) )
3		setsms.k	. . 3 |- ( ph -> K = ( M sSet <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` D ) >. ) )
4		setsms.m	. . 3 |- ( ph -> M e. V )
5	1, 2, 3, 4	setsmstset 21423	. 2 |- ( ph -> ( MetOpen ` D ) = (TopSet ` K ) )
6		df-mopn 18901	. . . . . . . 8 |- MetOpen = ( x e. U. ran *Met |-> ( topGen ` ran ( ball ` x ) ) )
7	6	dmmptss 5351	. . . . . . 7 |- dom MetOpen C_ U. ran *Met
8	7	sseli 3466	. . . . . 6 |- ( D e. dom MetOpen -> D e. U. ran *Met )
9		simpr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ D e. U. ran *Met ) -> D e. U. ran *Met )
10		xmetunirn 21283	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. U. ran *Met <-> D e. ( *Met ` dom dom D ) )
11	9, 10	sylib 199	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ D e. U. ran *Met ) -> D e. ( *Met ` dom dom D ) )
12		eqid 2429	. . . . . . . . . . 11 |- ( MetOpen ` D ) = ( MetOpen ` D )
13	12	mopnuni 21387	. . . . . . . . . 10 |- ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> dom dom D = U. ( MetOpen ` D ) )
14	11, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ D e. U. ran *Met ) -> dom dom D = U. ( MetOpen ` D ) )
15	2	dmeqd 5057	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom D = dom ( ( dist ` M ) |` ( X X. X ) ) )
16		dmres 5145	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( ( dist ` M ) |` ( X X. X ) ) = ( ( X X. X ) i^i dom ( dist ` M ) )
17	15, 16	syl6eq 2486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> dom D = ( ( X X. X ) i^i dom ( dist ` M ) ) )
18		inss1 3688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X X. X ) i^i dom ( dist ` M ) ) C_ ( X X. X )
19	17, 18	syl6eqss 3520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom D C_ ( X X. X ) )
20		dmss 5054	. . . . . . . . . . . 12 |- ( dom D C_ ( X X. X ) -> dom dom D C_ dom ( X X. X ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom dom D C_ dom ( X X. X ) )
22		dmxpid 5074	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( X X. X ) = X
23	21, 22	syl6sseq 3516	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom dom D C_ X )
24	23	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ D e. U. ran *Met ) -> dom dom D C_ X )
25	14, 24	eqsstr3d 3505	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ D e. U. ran *Met ) -> U. ( MetOpen ` D ) C_ X )
26		sspwuni 4391	. . . . . . . 8 |- ( ( MetOpen ` D ) C_ ~P X <-> U. ( MetOpen ` D ) C_ X )
27	25, 26	sylibr 215	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ D e. U. ran *Met ) -> ( MetOpen ` D ) C_ ~P X )
28	27	ex 435	. . . . . 6 |- ( ph -> ( D e. U. ran *Met -> ( MetOpen ` D ) C_ ~P X ) )
29	8, 28	syl5 33	. . . . 5 |- ( ph -> ( D e. dom MetOpen -> ( MetOpen ` D ) C_ ~P X ) )
30		ndmfv 5905	. . . . . 6 |- ( -. D e. dom MetOpen -> ( MetOpen ` D ) = (/) )
31		0ss 3797	. . . . . 6 |- (/) C_ ~P X
32	30, 31	syl6eqss 3520	. . . . 5 |- ( -. D e. dom MetOpen -> ( MetOpen ` D ) C_ ~P X )
33	29, 32	pm2.61d1 162	. . . 4 |- ( ph -> ( MetOpen ` D ) C_ ~P X )
34	1, 2, 3	setsmsbas 21421	. . . . 5 |- ( ph -> X = ( Base ` K ) )
35	34	pweqd 3990	. . . 4 |- ( ph -> ~P X = ~P ( Base ` K ) )
36	33, 5, 35	3sstr3d 3512	. . 3 |- ( ph -> (TopSet ` K ) C_ ~P ( Base ` K ) )
37		eqid 2429	. . . 4 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
38		eqid 2429	. . . 4 |- (TopSet ` K ) = (TopSet ` K )
39	37, 38	topnid 15293	. . 3 |- ( (TopSet ` K ) C_ ~P ( Base ` K ) -> (TopSet ` K ) = ( TopOpen ` K ) )
40	36, 39	syl 17	. 2 |- ( ph -> (TopSet ` K ) = ( TopOpen ` K ) )
41	5, 40	eqtrd 2470	1 |- ( ph -> ( MetOpen ` D ) = ( TopOpen ` K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1870   i^i cin 3441   C_ wss 3442   (/)c0 3767   ~Pcpw 3985   <.cop 4008   U.cuni 4222   X. cxp 4852   dom cdm 4854   ran crn 4855   |` cres 4856   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   ndxcnx 15081   sSet csts 15082   Basecbs 15084  TopSetcts 15158   distcds 15161   TopOpenctopn 15279   topGenctg 15295   *Metcxmt 18890   ballcbl 18892   MetOpencmopn 18895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-tset 15171  df-rest 15280  df-topn 15281  df-topgen 15301  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854

This theorem is referenced by:  setsxms  21425  tmslem  21428