MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsmsds Structured version   Unicode version

Theorem setsmsds 20193
Description: The distance function of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setsms.x  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  M ) )
setsms.d  |-  ( ph  ->  D  =  ( (
dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) ) )
setsms.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
Assertion
Ref Expression
setsmsds  |-  ( ph  ->  ( dist `  M
)  =  ( dist `  K ) )

Proof of Theorem setsmsds
StepHypRef Expression
1 setsms.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
21fveq2d 5806 . 2  |-  ( ph  ->  ( dist `  K
)  =  ( dist `  ( M sSet  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (
MetOpen `  D ) >.
) ) )
3 dsid 14465 . . 3  |-  dist  = Slot  ( dist `  ndx )
4 9re 10523 . . . . 5  |-  9  e.  RR
5 1nn 10448 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
6 2nn0 10711 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
7 9nn0 10718 . . . . . 6  |-  9  e.  NN0
8 9lt10 10639 . . . . . 6  |-  9  <  10
95, 6, 7, 8declti 10895 . . . . 5  |-  9  < ; 1
2
104, 9gtneii 9601 . . . 4  |- ; 1 2  =/=  9
11 dsndx 14464 . . . . 5  |-  ( dist `  ndx )  = ; 1 2
12 tsetndx 14448 . . . . 5  |-  (TopSet `  ndx )  =  9
1311, 12neeq12i 2741 . . . 4  |-  ( (
dist `  ndx )  =/=  (TopSet `  ndx )  <-> ; 1 2  =/=  9
)
1410, 13mpbir 209 . . 3  |-  ( dist `  ndx )  =/=  (TopSet ` 
ndx )
153, 14setsnid 14338 . 2  |-  ( dist `  M )  =  (
dist `  ( M sSet  <.
(TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
162, 15syl6reqr 2514 1  |-  ( ph  ->  ( dist `  M
)  =  ( dist `  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    =/= wne 2648   <.cop 3994    X. cxp 4949    |` cres 4953   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   1c1 9398   2c2 10486   9c9 10493  ;cdc 10870   ndxcnx 14293   sSet csts 14294   Basecbs 14296  TopSetcts 14367   distcds 14370   MetOpencmopn 17941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-sets 14302  df-tset 14380  df-ds 14383
This theorem is referenced by:  setsxms  20196  setsms  20197  tmslem  20199
  Copyright terms: Public domain W3C validator