MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsmsds Structured version   Unicode version

Theorem setsmsds 21163
Description: The distance function of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setsms.x  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  M ) )
setsms.d  |-  ( ph  ->  D  =  ( (
dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) ) )
setsms.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
Assertion
Ref Expression
setsmsds  |-  ( ph  ->  ( dist `  M
)  =  ( dist `  K ) )

Proof of Theorem setsmsds
StepHypRef Expression
1 setsms.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
21fveq2d 5809 . 2  |-  ( ph  ->  ( dist `  K
)  =  ( dist `  ( M sSet  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (
MetOpen `  D ) >.
) ) )
3 dsid 14909 . . 3  |-  dist  = Slot  ( dist `  ndx )
4 9re 10583 . . . . 5  |-  9  e.  RR
5 1nn 10507 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
6 2nn0 10773 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
7 9nn0 10780 . . . . . 6  |-  9  e.  NN0
8 9lt10 10699 . . . . . 6  |-  9  <  10
95, 6, 7, 8declti 10964 . . . . 5  |-  9  < ; 1
2
104, 9gtneii 9648 . . . 4  |- ; 1 2  =/=  9
11 dsndx 14908 . . . . 5  |-  ( dist `  ndx )  = ; 1 2
12 tsetndx 14892 . . . . 5  |-  (TopSet `  ndx )  =  9
1311, 12neeq12i 2692 . . . 4  |-  ( (
dist `  ndx )  =/=  (TopSet `  ndx )  <-> ; 1 2  =/=  9
)
1410, 13mpbir 209 . . 3  |-  ( dist `  ndx )  =/=  (TopSet ` 
ndx )
153, 14setsnid 14777 . 2  |-  ( dist `  M )  =  (
dist `  ( M sSet  <.
(TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
162, 15syl6reqr 2462 1  |-  ( ph  ->  ( dist `  M
)  =  ( dist `  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    =/= wne 2598   <.cop 3977    X. cxp 4940    |` cres 4944   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   1c1 9443   2c2 10546   9c9 10553  ;cdc 10939   ndxcnx 14730   sSet csts 14731   Basecbs 14733  TopSetcts 14807   distcds 14810   MetOpencmopn 18620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-sets 14739  df-tset 14820  df-ds 14823
This theorem is referenced by:  setsxms  21166  setsms  21167  tmslem  21169
  Copyright terms: Public domain W3C validator