MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsmsbas Structured version   Unicode version

Theorem setsmsbas 20805
Description: The base set of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setsms.x  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  M ) )
setsms.d  |-  ( ph  ->  D  =  ( (
dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) ) )
setsms.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
Assertion
Ref Expression
setsmsbas  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  K ) )

Proof of Theorem setsmsbas
StepHypRef Expression
1 baseid 14539 . . 3  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
2 1re 9596 . . . . 5  |-  1  e.  RR
3 1lt9 10738 . . . . 5  |-  1  <  9
42, 3ltneii 9698 . . . 4  |-  1  =/=  9
5 basendx 14543 . . . . 5  |-  ( Base `  ndx )  =  1
6 tsetndx 14645 . . . . 5  |-  (TopSet `  ndx )  =  9
75, 6neeq12i 2756 . . . 4  |-  ( (
Base `  ndx )  =/=  (TopSet `  ndx )  <->  1  =/=  9 )
84, 7mpbir 209 . . 3  |-  ( Base `  ndx )  =/=  (TopSet ` 
ndx )
91, 8setsnid 14535 . 2  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  ( M sSet  <.
(TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
10 setsms.x . 2  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  M ) )
11 setsms.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
1211fveq2d 5870 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  K
)  =  ( Base `  ( M sSet  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (
MetOpen `  D ) >.
) ) )
139, 10, 123eqtr4a 2534 1  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    =/= wne 2662   <.cop 4033    X. cxp 4997    |` cres 5001   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   1c1 9494   9c9 10593   ndxcnx 14490   sSet csts 14491   Basecbs 14493  TopSetcts 14564   distcds 14567   MetOpencmopn 18219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-tset 14577
This theorem is referenced by:  setsmstopn  20808  setsxms  20809  setsms  20810  tmslem  20812
  Copyright terms: Public domain W3C validator