MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsmsbas Structured version   Unicode version

Theorem setsmsbas 21432
Description: The base set of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setsms.x  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  M ) )
setsms.d  |-  ( ph  ->  D  =  ( (
dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) ) )
setsms.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
Assertion
Ref Expression
setsmsbas  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  K ) )

Proof of Theorem setsmsbas
StepHypRef Expression
1 baseid 15112 . . 3  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
2 1re 9593 . . . . 5  |-  1  e.  RR
3 1lt9 10762 . . . . 5  |-  1  <  9
42, 3ltneii 9698 . . . 4  |-  1  =/=  9
5 basendx 15116 . . . . 5  |-  ( Base `  ndx )  =  1
6 tsetndx 15227 . . . . 5  |-  (TopSet `  ndx )  =  9
75, 6neeq12i 2667 . . . 4  |-  ( (
Base `  ndx )  =/=  (TopSet `  ndx )  <->  1  =/=  9 )
84, 7mpbir 212 . . 3  |-  ( Base `  ndx )  =/=  (TopSet ` 
ndx )
91, 8setsnid 15108 . 2  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  ( M sSet  <.
(TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
10 setsms.x . 2  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  M ) )
11 setsms.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
1211fveq2d 5829 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  K
)  =  ( Base `  ( M sSet  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (
MetOpen `  D ) >.
) ) )
139, 10, 123eqtr4a 2488 1  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    =/= wne 2599   <.cop 3947    X. cxp 4794    |` cres 4798   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   1c1 9491   9c9 10617   ndxcnx 15061   sSet csts 15062   Basecbs 15064  TopSetcts 15139   distcds 15142   MetOpencmopn 18903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-tset 15152
This theorem is referenced by:  setsmstopn  21435  setsxms  21436  setsms  21437  tmslem  21439
  Copyright terms: Public domain W3C validator