MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsms Structured version   Unicode version

Theorem setsms 20168
Description: The constructed metric space is a metric space iff the provided distance function is a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setsms.x  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  M ) )
setsms.d  |-  ( ph  ->  D  =  ( (
dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) ) )
setsms.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
setsms.m  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
Assertion
Ref Expression
setsms  |-  ( ph  ->  ( K  e.  MetSp  <->  D  e.  ( Met `  X
) ) )

Proof of Theorem setsms
StepHypRef Expression
1 setsms.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  M ) )
2 setsms.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  =  ( (
dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) ) )
3 setsms.k . . . 4  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
4 setsms.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
51, 2, 3, 4setsxms 20167 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  *MetSp  <-> 
D  e.  ( *Met `  X ) ) )
61, 2, 3setsmsds 20164 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( dist `  M
)  =  ( dist `  K ) )
71, 2, 3setsmsbas 20163 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  K ) )
87, 7xpeq12d 4960 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  X.  X
)  =  ( (
Base `  K )  X.  ( Base `  K
) ) )
96, 8reseq12d 5206 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( dist `  M
)  |`  ( X  X.  X ) )  =  ( ( dist `  K
)  |`  ( ( Base `  K )  X.  ( Base `  K ) ) ) )
102, 9eqtr2d 2492 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( dist `  K
)  |`  ( ( Base `  K )  X.  ( Base `  K ) ) )  =  D )
117fveq2d 5790 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Met `  X
)  =  ( Met `  ( Base `  K
) ) )
1211eqcomd 2458 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Met `  ( Base `  K ) )  =  ( Met `  X
) )
1310, 12eleq12d 2531 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( dist `  K )  |`  (
( Base `  K )  X.  ( Base `  K
) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  K ) )  <-> 
D  e.  ( Met `  X ) ) )
145, 13anbi12d 710 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
*MetSp  /\  ( ( dist `  K )  |`  ( ( Base `  K
)  X.  ( Base `  K ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  K ) ) )  <->  ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( Met `  X
) ) ) )
15 eqid 2451 . . 3  |-  ( TopOpen `  K )  =  (
TopOpen `  K )
16 eqid 2451 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
17 eqid 2451 . . 3  |-  ( (
dist `  K )  |`  ( ( Base `  K
)  X.  ( Base `  K ) ) )  =  ( ( dist `  K )  |`  (
( Base `  K )  X.  ( Base `  K
) ) )
1815, 16, 17isms 20137 . 2  |-  ( K  e.  MetSp 
<->  ( K  e.  *MetSp  /\  ( ( dist `  K )  |`  (
( Base `  K )  X.  ( Base `  K
) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  K ) ) ) )
19 metxmet 20022 . . 3  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
2019pm4.71ri 633 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  <->  ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( Met `  X
) ) )
2114, 18, 203bitr4g 288 1  |-  ( ph  ->  ( K  e.  MetSp  <->  D  e.  ( Met `  X
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   <.cop 3978    X. cxp 4933    |` cres 4937   ` cfv 5513  (class class class)co 6187   ndxcnx 14270   sSet csts 14271   Basecbs 14273  TopSetcts 14343   distcds 14346   TopOpenctopn 14459   *Metcxmt 17907   Metcme 17908   MetOpencmopn 17912   *MetSpcxme 20005   MetSpcmt 20006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457  ax-pre-sup 9458
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-er 7198  df-map 7313  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-sup 7789  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-div 10092  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-4 10480  df-5 10481  df-6 10482  df-7 10483  df-8 10484  df-9 10485  df-10 10486  df-n0 10678  df-z 10745  df-dec 10854  df-uz 10960  df-q 11052  df-rp 11090  df-xneg 11187  df-xadd 11188  df-xmul 11189  df-ndx 14276  df-slot 14277  df-base 14278  df-sets 14279  df-tset 14356  df-ds 14359  df-rest 14460  df-topn 14461  df-topgen 14481  df-psmet 17915  df-xmet 17916  df-met 17917  df-bl 17918  df-mopn 17919  df-top 18616  df-bases 18618  df-topon 18619  df-topsp 18620  df-xms 20008  df-ms 20009
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator