MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsms Structured version   Unicode version

Theorem setsms 20711
Description: The constructed metric space is a metric space iff the provided distance function is a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setsms.x  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  M ) )
setsms.d  |-  ( ph  ->  D  =  ( (
dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) ) )
setsms.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
setsms.m  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
Assertion
Ref Expression
setsms  |-  ( ph  ->  ( K  e.  MetSp  <->  D  e.  ( Met `  X
) ) )

Proof of Theorem setsms
StepHypRef Expression
1 setsms.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  M ) )
2 setsms.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  =  ( (
dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) ) )
3 setsms.k . . . 4  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
4 setsms.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
51, 2, 3, 4setsxms 20710 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  *MetSp  <-> 
D  e.  ( *Met `  X ) ) )
61, 2, 3setsmsds 20707 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( dist `  M
)  =  ( dist `  K ) )
71, 2, 3setsmsbas 20706 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  K ) )
87, 7xpeq12d 5017 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  X.  X
)  =  ( (
Base `  K )  X.  ( Base `  K
) ) )
96, 8reseq12d 5265 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( dist `  M
)  |`  ( X  X.  X ) )  =  ( ( dist `  K
)  |`  ( ( Base `  K )  X.  ( Base `  K ) ) ) )
102, 9eqtr2d 2502 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( dist `  K
)  |`  ( ( Base `  K )  X.  ( Base `  K ) ) )  =  D )
117fveq2d 5861 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Met `  X
)  =  ( Met `  ( Base `  K
) ) )
1211eqcomd 2468 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Met `  ( Base `  K ) )  =  ( Met `  X
) )
1310, 12eleq12d 2542 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( dist `  K )  |`  (
( Base `  K )  X.  ( Base `  K
) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  K ) )  <-> 
D  e.  ( Met `  X ) ) )
145, 13anbi12d 710 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
*MetSp  /\  ( ( dist `  K )  |`  ( ( Base `  K
)  X.  ( Base `  K ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  K ) ) )  <->  ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( Met `  X
) ) ) )
15 eqid 2460 . . 3  |-  ( TopOpen `  K )  =  (
TopOpen `  K )
16 eqid 2460 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
17 eqid 2460 . . 3  |-  ( (
dist `  K )  |`  ( ( Base `  K
)  X.  ( Base `  K ) ) )  =  ( ( dist `  K )  |`  (
( Base `  K )  X.  ( Base `  K
) ) )
1815, 16, 17isms 20680 . 2  |-  ( K  e.  MetSp 
<->  ( K  e.  *MetSp  /\  ( ( dist `  K )  |`  (
( Base `  K )  X.  ( Base `  K
) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  K ) ) ) )
19 metxmet 20565 . . 3  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
2019pm4.71ri 633 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  <->  ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( Met `  X
) ) )
2114, 18, 203bitr4g 288 1  |-  ( ph  ->  ( K  e.  MetSp  <->  D  e.  ( Met `  X
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   <.cop 4026    X. cxp 4990    |` cres 4994   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   ndxcnx 14476   sSet csts 14477   Basecbs 14479  TopSetcts 14550   distcds 14553   TopOpenctopn 14666   *Metcxmt 18167   Metcme 18168   MetOpencmopn 18172   *MetSpcxme 20548   MetSpcmt 20549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-tset 14563  df-ds 14566  df-rest 14667  df-topn 14668  df-topgen 14688  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-xms 20551  df-ms 20552
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator