MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsms Structured version   Unicode version

Theorem setsms 21149
Description: The constructed metric space is a metric space iff the provided distance function is a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setsms.x  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  M ) )
setsms.d  |-  ( ph  ->  D  =  ( (
dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) ) )
setsms.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
setsms.m  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
Assertion
Ref Expression
setsms  |-  ( ph  ->  ( K  e.  MetSp  <->  D  e.  ( Met `  X
) ) )

Proof of Theorem setsms
StepHypRef Expression
1 setsms.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  M ) )
2 setsms.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  =  ( (
dist `  M )  |`  ( X  X.  X
) ) )
3 setsms.k . . . 4  |-  ( ph  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  D ) >. ) )
4 setsms.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
51, 2, 3, 4setsxms 21148 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  *MetSp  <-> 
D  e.  ( *Met `  X ) ) )
61, 2, 3setsmsds 21145 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( dist `  M
)  =  ( dist `  K ) )
71, 2, 3setsmsbas 21144 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  =  ( Base `  K ) )
87sqxpeqd 5014 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  X.  X
)  =  ( (
Base `  K )  X.  ( Base `  K
) ) )
96, 8reseq12d 5263 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( dist `  M
)  |`  ( X  X.  X ) )  =  ( ( dist `  K
)  |`  ( ( Base `  K )  X.  ( Base `  K ) ) ) )
102, 9eqtr2d 2496 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( dist `  K
)  |`  ( ( Base `  K )  X.  ( Base `  K ) ) )  =  D )
117fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Met `  X
)  =  ( Met `  ( Base `  K
) ) )
1211eqcomd 2462 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Met `  ( Base `  K ) )  =  ( Met `  X
) )
1310, 12eleq12d 2536 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( dist `  K )  |`  (
( Base `  K )  X.  ( Base `  K
) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  K ) )  <-> 
D  e.  ( Met `  X ) ) )
145, 13anbi12d 708 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
*MetSp  /\  ( ( dist `  K )  |`  ( ( Base `  K
)  X.  ( Base `  K ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  K ) ) )  <->  ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( Met `  X
) ) ) )
15 eqid 2454 . . 3  |-  ( TopOpen `  K )  =  (
TopOpen `  K )
16 eqid 2454 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
17 eqid 2454 . . 3  |-  ( (
dist `  K )  |`  ( ( Base `  K
)  X.  ( Base `  K ) ) )  =  ( ( dist `  K )  |`  (
( Base `  K )  X.  ( Base `  K
) ) )
1815, 16, 17isms 21118 . 2  |-  ( K  e.  MetSp 
<->  ( K  e.  *MetSp  /\  ( ( dist `  K )  |`  (
( Base `  K )  X.  ( Base `  K
) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  K ) ) ) )
19 metxmet 21003 . . 3  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
2019pm4.71ri 631 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  <->  ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( Met `  X
) ) )
2114, 18, 203bitr4g 288 1  |-  ( ph  ->  ( K  e.  MetSp  <->  D  e.  ( Met `  X
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   <.cop 4022    X. cxp 4986    |` cres 4990   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   ndxcnx 14713   sSet csts 14714   Basecbs 14716  TopSetcts 14790   distcds 14793   TopOpenctopn 14911   *Metcxmt 18598   Metcme 18599   MetOpencmopn 18603   *MetSpcxme 20986   MetSpcmt 20987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-tset 14803  df-ds 14806  df-rest 14912  df-topn 14913  df-topgen 14933  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-xms 20989  df-ms 20990
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator