MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsidvald Structured version   Unicode version

Theorem setsidvald 14683
Description: Value of the structure replacement function, deduction version. (Contributed by AV, 14-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
setsidvald.e  |-  E  = Slot 
N
setsidvald.n  |-  N  e.  NN
setsidvald.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
setsidvald.f  |-  ( ph  ->  Fun  S )
setsidvald.d  |-  ( ph  ->  ( E `  ndx )  e.  dom  S )
Assertion
Ref Expression
setsidvald  |-  ( ph  ->  S  =  ( S sSet  <. ( E `  ndx ) ,  ( E `  S ) >. )
)

Proof of Theorem setsidvald
StepHypRef Expression
1 setsidvald.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
2 fvex 5801 . . 3  |-  ( E `
 S )  e. 
_V
3 setsval 14682 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  ( E `  S )  e.  _V )  -> 
( S sSet  <. ( E `
 ndx ) ,  ( E `  S
) >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { ( E `
 ndx ) } ) )  u.  { <. ( E `  ndx ) ,  ( E `  S ) >. } ) )
41, 2, 3sylancl 660 . 2  |-  ( ph  ->  ( S sSet  <. ( E `  ndx ) ,  ( E `  S
) >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { ( E `
 ndx ) } ) )  u.  { <. ( E `  ndx ) ,  ( E `  S ) >. } ) )
5 setsidvald.e . . . . . . 7  |-  E  = Slot 
N
6 setsidvald.n . . . . . . 7  |-  N  e.  NN
75, 6ndxid 14678 . . . . . 6  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
87, 1strfvnd 14672 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E `  S
)  =  ( S `
 ( E `  ndx ) ) )
98opeq2d 4155 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. ( E `  ndx ) ,  ( E `  S ) >.  =  <. ( E `  ndx ) ,  ( S `  ( E `  ndx )
) >. )
109sneqd 3973 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. ( E `  ndx ) ,  ( E `
 S ) >. }  =  { <. ( E `  ndx ) ,  ( S `  ( E `  ndx ) )
>. } )
1110uneq2d 3589 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  |`  ( _V  \  { ( E `  ndx ) } ) )  u. 
{ <. ( E `  ndx ) ,  ( E `
 S ) >. } )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { ( E `
 ndx ) } ) )  u.  { <. ( E `  ndx ) ,  ( S `  ( E `  ndx ) ) >. } ) )
12 setsidvald.f . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  S )
13 setsidvald.d . . 3  |-  ( ph  ->  ( E `  ndx )  e.  dom  S )
14 funresdfunsn 6033 . . 3  |-  ( ( Fun  S  /\  ( E `  ndx )  e. 
dom  S )  -> 
( ( S  |`  ( _V  \  { ( E `  ndx ) } ) )  u. 
{ <. ( E `  ndx ) ,  ( S `
 ( E `  ndx ) ) >. } )  =  S )
1512, 13, 14syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  |`  ( _V  \  { ( E `  ndx ) } ) )  u. 
{ <. ( E `  ndx ) ,  ( S `
 ( E `  ndx ) ) >. } )  =  S )
164, 11, 153eqtrrd 2442 1  |-  ( ph  ->  S  =  ( S sSet  <. ( E `  ndx ) ,  ( E `  S ) >. )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1399    e. wcel 1836   _Vcvv 3051    \ cdif 3403    u. cun 3404   {csn 3961   <.cop 3967   dom cdm 4930    |` cres 4932   Fun wfun 5507   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   NNcn 10474   ndxcnx 14654   sSet csts 14655  Slot cslot 14656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-nn 10475  df-ndx 14660  df-slot 14661  df-sets 14663
This theorem is referenced by:  ressval3d  14721
  Copyright terms: Public domain W3C validator