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Theorem setscom 14200
Description: Component-setting is commutative when the x-values are different. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setscom.1  |-  A  e. 
_V
setscom.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
setscom  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( S sSet  <. A ,  C >. ) sSet  <. B ,  D >. )  =  ( ( S sSet  <. B ,  D >. ) sSet  <. A ,  C >. ) )

Proof of Theorem setscom
StepHypRef Expression
1 rescom 5132 . . . . . 6  |-  ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  |`  ( _V  \  { B } ) )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { B } ) )  |`  ( _V  \  { A } ) )
21uneq1i 3503 . . . . 5  |-  ( ( ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )  |`  ( _V  \  { B }
) )  u.  { <. A ,  C >. } )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  { B }
) )  |`  ( _V  \  { A }
) )  u.  { <. A ,  C >. } )
32uneq1i 3503 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  |`  ( _V  \  { B } ) )  u. 
{ <. A ,  C >. } )  u.  { <. B ,  D >. } )  =  ( ( ( ( S  |`  ( _V  \  { B } ) )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u. 
{ <. A ,  C >. } )  u.  { <. B ,  D >. } )
4 un23 3512 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  |`  ( _V  \  { B } ) )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u. 
{ <. A ,  C >. } )  u.  { <. B ,  D >. } )  =  ( ( ( ( S  |`  ( _V  \  { B } ) )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u. 
{ <. B ,  D >. } )  u.  { <. A ,  C >. } )
53, 4eqtri 2461 . . 3  |-  ( ( ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  |`  ( _V  \  { B } ) )  u. 
{ <. A ,  C >. } )  u.  { <. B ,  D >. } )  =  ( ( ( ( S  |`  ( _V  \  { B } ) )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u. 
{ <. B ,  D >. } )  u.  { <. A ,  C >. } )
6 setsval 14194 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( S sSet  <. A ,  C >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )  u.  { <. A ,  C >. } ) )
76ad2ant2r 741 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( S sSet  <. A ,  C >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )  u.  { <. A ,  C >. } ) )
87reseq1d 5105 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( S sSet  <. A ,  C >. )  |`  ( _V  \  { B } ) )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  u. 
{ <. A ,  C >. } )  |`  ( _V  \  { B }
) ) )
9 resundir 5122 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )  u.  { <. A ,  C >. } )  |`  ( _V  \  { B } ) )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )  |`  ( _V  \  { B }
) )  u.  ( { <. A ,  C >. }  |`  ( _V  \  { B } ) ) )
10 setscom.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  e. 
_V
11 elex 2979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  W  ->  C  e.  _V )
1211ad2antrl 722 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  ->  C  e.  _V )
13 opelxpi 4867 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  _V  /\  C  e.  _V )  -> 
<. A ,  C >.  e.  ( _V  X.  _V ) )
1410, 12, 13sylancr 658 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  ->  <. A ,  C >.  e.  ( _V  X.  _V ) )
15 opex 4553 . . . . . . . . . 10  |-  <. A ,  C >.  e.  _V
1615relsn 4939 . . . . . . . . 9  |-  ( Rel 
{ <. A ,  C >. }  <->  <. A ,  C >.  e.  ( _V  X.  _V ) )
1714, 16sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  ->  Rel  { <. A ,  C >. } )
18 dmsnopss 5308 . . . . . . . . 9  |-  dom  { <. A ,  C >. } 
C_  { A }
19 disjsn2 3934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { A }  i^i  { B } )  =  (/) )
2019ad2antlr 721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( { A }  i^i  { B } )  =  (/) )
21 disj2 3723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { A }  i^i  { B } )  =  (/) 
<->  { A }  C_  ( _V  \  { B } ) )
2220, 21sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  ->  { A }  C_  ( _V  \  { B }
) )
2318, 22syl5ss 3364 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  ->  dom  { <. A ,  C >. }  C_  ( _V  \  { B } ) )
24 relssres 5144 . . . . . . . 8  |-  ( ( Rel  { <. A ,  C >. }  /\  dom  {
<. A ,  C >. } 
C_  ( _V  \  { B } ) )  ->  ( { <. A ,  C >. }  |`  ( _V  \  { B }
) )  =  { <. A ,  C >. } )
2517, 23, 24syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( { <. A ,  C >. }  |`  ( _V  \  { B }
) )  =  { <. A ,  C >. } )
2625uneq2d 3507 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  |`  ( _V  \  { B } ) )  u.  ( { <. A ,  C >. }  |`  ( _V  \  { B }
) ) )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  |`  ( _V  \  { B } ) )  u. 
{ <. A ,  C >. } ) )
279, 26syl5eq 2485 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  u. 
{ <. A ,  C >. } )  |`  ( _V  \  { B }
) )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  |`  ( _V  \  { B } ) )  u. 
{ <. A ,  C >. } ) )
288, 27eqtrd 2473 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( S sSet  <. A ,  C >. )  |`  ( _V  \  { B } ) )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  |`  ( _V  \  { B } ) )  u. 
{ <. A ,  C >. } ) )
2928uneq1d 3506 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( ( S sSet  <. A ,  C >. )  |`  ( _V  \  { B } ) )  u. 
{ <. B ,  D >. } )  =  ( ( ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  |`  ( _V  \  { B } ) )  u. 
{ <. A ,  C >. } )  u.  { <. B ,  D >. } ) )
30 setsval 14194 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  V  /\  D  e.  X )  ->  ( S sSet  <. B ,  D >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { B }
) )  u.  { <. B ,  D >. } ) )
3130reseq1d 5105 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  V  /\  D  e.  X )  ->  ( ( S sSet  <. B ,  D >. )  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  { B } ) )  u. 
{ <. B ,  D >. } )  |`  ( _V  \  { A }
) ) )
3231ad2ant2rl 743 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( S sSet  <. B ,  D >. )  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  { B } ) )  u. 
{ <. B ,  D >. } )  |`  ( _V  \  { A }
) ) )
33 resundir 5122 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  |`  ( _V  \  { B }
) )  u.  { <. B ,  D >. } )  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  { B }
) )  |`  ( _V  \  { A }
) )  u.  ( { <. B ,  D >. }  |`  ( _V  \  { A } ) ) )
34 setscom.2 . . . . . . . . . 10  |-  B  e. 
_V
35 elex 2979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  X  ->  D  e.  _V )
3635ad2antll 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  ->  D  e.  _V )
37 opelxpi 4867 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  _V  /\  D  e.  _V )  -> 
<. B ,  D >.  e.  ( _V  X.  _V ) )
3834, 36, 37sylancr 658 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  ->  <. B ,  D >.  e.  ( _V  X.  _V ) )
39 opex 4553 . . . . . . . . . 10  |-  <. B ,  D >.  e.  _V
4039relsn 4939 . . . . . . . . 9  |-  ( Rel 
{ <. B ,  D >. }  <->  <. B ,  D >.  e.  ( _V  X.  _V ) )
4138, 40sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  ->  Rel  { <. B ,  D >. } )
42 dmsnopss 5308 . . . . . . . . 9  |-  dom  { <. B ,  D >. } 
C_  { B }
43 ssv 3373 . . . . . . . . . . 11  |-  { A }  C_  _V
44 ssv 3373 . . . . . . . . . . 11  |-  { B }  C_  _V
45 ssconb 3486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { A }  C_  _V  /\  { B }  C_ 
_V )  ->  ( { A }  C_  ( _V  \  { B }
)  <->  { B }  C_  ( _V  \  { A } ) ) )
4643, 44, 45mp2an 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( { A }  C_  ( _V  \  { B }
)  <->  { B }  C_  ( _V  \  { A } ) )
4722, 46sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  ->  { B }  C_  ( _V  \  { A }
) )
4842, 47syl5ss 3364 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  ->  dom  { <. B ,  D >. }  C_  ( _V  \  { A } ) )
49 relssres 5144 . . . . . . . 8  |-  ( ( Rel  { <. B ,  D >. }  /\  dom  {
<. B ,  D >. } 
C_  ( _V  \  { A } ) )  ->  ( { <. B ,  D >. }  |`  ( _V  \  { A }
) )  =  { <. B ,  D >. } )
5041, 48, 49syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( { <. B ,  D >. }  |`  ( _V  \  { A }
) )  =  { <. B ,  D >. } )
5150uneq2d 3507 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( ( S  |`  ( _V  \  { B } ) )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u.  ( { <. B ,  D >. }  |`  ( _V  \  { A }
) ) )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  { B } ) )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u. 
{ <. B ,  D >. } ) )
5233, 51syl5eq 2485 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( ( S  |`  ( _V  \  { B } ) )  u. 
{ <. B ,  D >. } )  |`  ( _V  \  { A }
) )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  { B } ) )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u. 
{ <. B ,  D >. } ) )
5332, 52eqtrd 2473 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( S sSet  <. B ,  D >. )  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  { B } ) )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u. 
{ <. B ,  D >. } ) )
5453uneq1d 3506 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( ( S sSet  <. B ,  D >. )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u. 
{ <. A ,  C >. } )  =  ( ( ( ( S  |`  ( _V  \  { B } ) )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u. 
{ <. B ,  D >. } )  u.  { <. A ,  C >. } ) )
555, 29, 543eqtr4a 2499 . 2  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( ( S sSet  <. A ,  C >. )  |`  ( _V  \  { B } ) )  u. 
{ <. B ,  D >. } )  =  ( ( ( S sSet  <. B ,  D >. )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u. 
{ <. A ,  C >. } ) )
56 ovex 6115 . . 3  |-  ( S sSet  <. A ,  C >. )  e.  _V
57 simprr 751 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  ->  D  e.  X )
58 setsval 14194 . . 3  |-  ( ( ( S sSet  <. A ,  C >. )  e.  _V  /\  D  e.  X )  ->  ( ( S sSet  <. A ,  C >. ) sSet  <. B ,  D >. )  =  ( ( ( S sSet  <. A ,  C >. )  |`  ( _V  \  { B } ) )  u.  { <. B ,  D >. } ) )
5956, 57, 58sylancr 658 . 2  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( S sSet  <. A ,  C >. ) sSet  <. B ,  D >. )  =  ( ( ( S sSet  <. A ,  C >. )  |`  ( _V  \  { B } ) )  u.  { <. B ,  D >. } ) )
60 ovex 6115 . . 3  |-  ( S sSet  <. B ,  D >. )  e.  _V
61 simprl 750 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  ->  C  e.  W )
62 setsval 14194 . . 3  |-  ( ( ( S sSet  <. B ,  D >. )  e.  _V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( S sSet  <. B ,  D >. ) sSet  <. A ,  C >. )  =  ( ( ( S sSet  <. B ,  D >. )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u.  { <. A ,  C >. } ) )
6360, 61, 62sylancr 658 . 2  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( S sSet  <. B ,  D >. ) sSet  <. A ,  C >. )  =  ( ( ( S sSet  <. B ,  D >. )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u.  { <. A ,  C >. } ) )
6455, 59, 633eqtr4d 2483 1  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  W  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( S sSet  <. A ,  C >. ) sSet  <. B ,  D >. )  =  ( ( S sSet  <. B ,  D >. ) sSet  <. A ,  C >. ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    u. cun 3323    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   {csn 3874   <.cop 3880    X. cxp 4834   dom cdm 4836    |` cres 4838   Rel wrel 4841  (class class class)co 6090   sSet csts 14168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-res 4848  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-sets 14176
This theorem is referenced by:  rescabs  14742  mgpress  16592
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