Theorem setsabs 14186

Description: Replacing the same components twice yields the same as the second setting only. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
setsabs	|- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( S sSet <. A , C >. ) )

Proof of Theorem setsabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsres 14185	. . . 4 |- ( S e. V -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
2	1	adantr 462	. . 3 |- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
3	2	uneq1d 3497	. 2 |- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
4		ovex 6105	. . . 4 |- ( S sSet <. A , B >. ) e. _V
5	4	a1i 11	. . 3 |- ( S e. V -> ( S sSet <. A , B >. ) e. _V )
6		setsval 14181	. . 3 |- ( ( ( S sSet <. A , B >. ) e. _V /\ C e. W ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
7	5, 6	sylan 468	. 2 |- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
8		setsval 14181	. 2 |- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( S sSet <. A , C >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
9	3, 7, 8	3eqtr4d 2475	1 |- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( S sSet <. A , C >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1362   e. wcel 1755   _Vcvv 2962   \ cdif 3313   u. cun 3314   {csn 3865   <.cop 3871   |` cres 4829  (class class class)co 6080   sSet csts 14155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pr 4519  ax-un 6361

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-res 4839  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-sets 14163

This theorem is referenced by:  ressress  14218  rescabs  14729