Theorem setsabs 13451

Description: Replacing the same components twice yields the same as the second setting only. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
setsabs	|- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( S sSet <. A , C >. ) )

Proof of Theorem setsabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsres 13450	. . . 4 |- ( S e. V -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
2	1	adantr 452	. . 3 |- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
3	2	uneq1d 3460	. 2 |- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
4		ovex 6065	. . . 4 |- ( S sSet <. A , B >. ) e. _V
5	4	a1i 11	. . 3 |- ( S e. V -> ( S sSet <. A , B >. ) e. _V )
6		setsval 13448	. . 3 |- ( ( ( S sSet <. A , B >. ) e. _V /\ C e. W ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
7	5, 6	sylan 458	. 2 |- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
8		setsval 13448	. 2 |- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( S sSet <. A , C >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
9	3, 7, 8	3eqtr4d 2446	1 |- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( S sSet <. A , C >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   u. cun 3278   {csn 3774   <.cop 3777   |` cres 4839  (class class class)co 6040   sSet csts 13422

This theorem is referenced by:  ressress  13481  rescabs  13988

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-res 4849  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-sets 13430