Theorem setsabs 14320

Description: Replacing the same components twice yields the same as the second setting only. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
setsabs	|- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( S sSet <. A , C >. ) )

Proof of Theorem setsabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsres 14319	. . . 4 |- ( S e. V -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
2	1	adantr 465	. . 3 |- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
3	2	uneq1d 3616	. 2 |- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
4		ovex 6224	. . . 4 |- ( S sSet <. A , B >. ) e. _V
5	4	a1i 11	. . 3 |- ( S e. V -> ( S sSet <. A , B >. ) e. _V )
6		setsval 14315	. . 3 |- ( ( ( S sSet <. A , B >. ) e. _V /\ C e. W ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
7	5, 6	sylan 471	. 2 |- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
8		setsval 14315	. 2 |- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( S sSet <. A , C >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
9	3, 7, 8	3eqtr4d 2505	1 |- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( S sSet <. A , C >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   _Vcvv 3076   \ cdif 3432   u. cun 3433   {csn 3984   <.cop 3990   |` cres 4949  (class class class)co 6199   sSet csts 14289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pr 4638  ax-un 6481

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-br 4400  df-opab 4458  df-id 4743  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-res 4959  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fv 5533  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-sets 14297

This theorem is referenced by:  ressress  14353  rescabs  14864