Theorem setsabs 14195

Description: Replacing the same components twice yields the same as the second setting only. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
setsabs	|- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( S sSet <. A , C >. ) )

Proof of Theorem setsabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsres 14194	. . . 4 |- ( S e. V -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
2	1	adantr 465	. . 3 |- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
3	2	uneq1d 3504	. 2 |- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
4		ovex 6111	. . . 4 |- ( S sSet <. A , B >. ) e. _V
5	4	a1i 11	. . 3 |- ( S e. V -> ( S sSet <. A , B >. ) e. _V )
6		setsval 14190	. . 3 |- ( ( ( S sSet <. A , B >. ) e. _V /\ C e. W ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
7	5, 6	sylan 471	. 2 |- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
8		setsval 14190	. 2 |- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( S sSet <. A , C >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
9	3, 7, 8	3eqtr4d 2480	1 |- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( S sSet <. A , C >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   _Vcvv 2967   \ cdif 3320   u. cun 3321   {csn 3872   <.cop 3878   |` cres 4837  (class class class)co 6086   sSet csts 14164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pr 4526  ax-un 6367

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-res 4847  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-sets 14172

This theorem is referenced by:  ressress  14227  rescabs  14738