MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsabs Structured version   Unicode version

Theorem setsabs 14186
Description: Replacing the same components twice yields the same as the second setting only. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
setsabs  |-  ( ( S  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( S sSet  <. A ,  B >. ) sSet  <. A ,  C >. )  =  ( S sSet  <. A ,  C >. )
)

Proof of Theorem setsabs
StepHypRef Expression
1 setsres 14185 . . . 4  |-  ( S  e.  V  ->  (
( S sSet  <. A ,  B >. )  |`  ( _V  \  { A }
) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A } ) ) )
21adantr 462 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( S sSet  <. A ,  B >. )  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A }
) ) )
32uneq1d 3497 . 2  |-  ( ( S  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( ( S sSet  <. A ,  B >. )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u. 
{ <. A ,  C >. } )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )  u.  { <. A ,  C >. } ) )
4 ovex 6105 . . . 4  |-  ( S sSet  <. A ,  B >. )  e.  _V
54a1i 11 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  e.  _V )
6 setsval 14181 . . 3  |-  ( ( ( S sSet  <. A ,  B >. )  e.  _V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( S sSet  <. A ,  B >. ) sSet  <. A ,  C >. )  =  ( ( ( S sSet  <. A ,  B >. )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u.  { <. A ,  C >. } ) )
75, 6sylan 468 . 2  |-  ( ( S  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( S sSet  <. A ,  B >. ) sSet  <. A ,  C >. )  =  ( ( ( S sSet  <. A ,  B >. )  |`  ( _V  \  { A } ) )  u.  { <. A ,  C >. } ) )
8 setsval 14181 . 2  |-  ( ( S  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( S sSet  <. A ,  C >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )  u.  { <. A ,  C >. } ) )
93, 7, 83eqtr4d 2475 1  |-  ( ( S  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( S sSet  <. A ,  B >. ) sSet  <. A ,  C >. )  =  ( S sSet  <. A ,  C >. )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   _Vcvv 2962    \ cdif 3313    u. cun 3314   {csn 3865   <.cop 3871    |` cres 4829  (class class class)co 6080   sSet csts 14155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-res 4839  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-sets 14163
This theorem is referenced by:  ressress  14218  rescabs  14729
  Copyright terms: Public domain W3C validator