Theorem setsabs 14750

Description: Replacing the same components twice yields the same as the second setting only. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
setsabs	|- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( S sSet <. A , C >. ) )

Proof of Theorem setsabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsres 14749	. . . 4 |- ( S e. V -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
2	1	adantr 463	. . 3 |- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
3	2	uneq1d 3643	. 2 |- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
4		ovex 6298	. . . 4 |- ( S sSet <. A , B >. ) e. _V
5	4	a1i 11	. . 3 |- ( S e. V -> ( S sSet <. A , B >. ) e. _V )
6		setsval 14744	. . 3 |- ( ( ( S sSet <. A , B >. ) e. _V /\ C e. W ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
7	5, 6	sylan 469	. 2 |- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
8		setsval 14744	. 2 |- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( S sSet <. A , C >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
9	3, 7, 8	3eqtr4d 2505	1 |- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( S sSet <. A , C >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   _Vcvv 3106   \ cdif 3458   u. cun 3459   {csn 4016   <.cop 4022   |` cres 4990  (class class class)co 6270   sSet csts 14717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-res 5000  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-sets 14725

This theorem is referenced by:  ressress  14784  rescabs  15324