Theorem setinds 30436

Description: Principle of _E induction (set induction). If a property passes from all elements of x to x itself, then it holds for all x. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
setinds.1	|- ( A. y e. x [. y / x ]. ph -> ph )

Assertion

Ref	Expression
setinds	|- ph

Distinct variable groups:   ph, y   x, y

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem setinds

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3050	. 2 |- x e. _V
2		setind 8223	. . . . 5 |- ( A. z ( z C_ { x | ph } -> z e. { x | ph } ) -> { x | ph } = _V )
3		dfss3 3424	. . . . . . 7 |- ( z C_ { x | ph } <-> A. y e. z y e. { x | ph } )
4		df-sbc 3270	. . . . . . . . 9 |- ( [. y / x ]. ph <-> y e. { x | ph } )
5	4	ralbii 2821	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. z [. y / x ]. ph <-> A. y e. z y e. { x | ph } )
6		nfcv 2594	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x z
7		nfsbc1v 3289	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x [. y / x ]. ph
8	6, 7	nfral 2776	. . . . . . . . . 10 |- F/ x A. y e. z [. y / x ]. ph
9		nfsbc1v 3289	. . . . . . . . . 10 |- F/ x [. z / x ]. ph
10	8, 9	nfim 2005	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( A. y e. z [. y / x ]. ph -> [. z / x ]. ph )
11		raleq 2989	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( A. y e. x [. y / x ]. ph <-> A. y e. z [. y / x ]. ph ) )
12		sbceq1a 3280	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ph <-> [. z / x ]. ph ) )
13	11, 12	imbi12d 322	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( A. y e. x [. y / x ]. ph -> ph ) <-> ( A. y e. z [. y / x ]. ph -> [. z / x ]. ph ) ) )
14		setinds.1	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. x [. y / x ]. ph -> ph )
15	10, 13, 14	chvar 2108	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. z [. y / x ]. ph -> [. z / x ]. ph )
16	5, 15	sylbir 217	. . . . . . 7 |- ( A. y e. z y e. { x | ph } -> [. z / x ]. ph )
17	3, 16	sylbi 199	. . . . . 6 |- ( z C_ { x | ph } -> [. z / x ]. ph )
18		df-sbc 3270	. . . . . 6 |- ( [. z / x ]. ph <-> z e. { x | ph } )
19	17, 18	sylib 200	. . . . 5 |- ( z C_ { x | ph } -> z e. { x | ph } )
20	2, 19	mpg 1673	. . . 4 |- { x | ph } = _V
21	20	eqcomi 2462	. . 3 |- _V = { x | ph }
22	21	abeq2i 2565	. 2 |- ( x e. _V <-> ph )
23	1, 22	mpbi 212	1 |- ph

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1446   e. wcel 1889   {cab 2439   A.wral 2739   _Vcvv 3047   [.wsbc 3269   C_ wss 3406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-reg 8112  ax-inf2 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-om 6698  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133

This theorem is referenced by:  setinds2f  30437