Theorem setinds 30495

Description: Principle of _E induction (set induction). If a property passes from all elements of x to x itself, then it holds for all x. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
setinds.1	|- ( A. y e. x [. y / x ]. ph -> ph )

Assertion

Ref	Expression
setinds	|- ph

Distinct variable groups:   ph, y   x, y

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem setinds

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3034	. 2 |- x e. _V
2		setind 8236	. . . . 5 |- ( A. z ( z C_ { x | ph } -> z e. { x | ph } ) -> { x | ph } = _V )
3		dfss3 3408	. . . . . . 7 |- ( z C_ { x | ph } <-> A. y e. z y e. { x | ph } )
4		df-sbc 3256	. . . . . . . . 9 |- ( [. y / x ]. ph <-> y e. { x | ph } )
5	4	ralbii 2823	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. z [. y / x ]. ph <-> A. y e. z y e. { x | ph } )
6		nfcv 2612	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x z
7		nfsbc1v 3275	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x [. y / x ]. ph
8	6, 7	nfral 2789	. . . . . . . . . 10 |- F/ x A. y e. z [. y / x ]. ph
9		nfsbc1v 3275	. . . . . . . . . 10 |- F/ x [. z / x ]. ph
10	8, 9	nfim 2023	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( A. y e. z [. y / x ]. ph -> [. z / x ]. ph )
11		raleq 2973	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( A. y e. x [. y / x ]. ph <-> A. y e. z [. y / x ]. ph ) )
12		sbceq1a 3266	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ph <-> [. z / x ]. ph ) )
13	11, 12	imbi12d 327	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( A. y e. x [. y / x ]. ph -> ph ) <-> ( A. y e. z [. y / x ]. ph -> [. z / x ]. ph ) ) )
14		setinds.1	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. x [. y / x ]. ph -> ph )
15	10, 13, 14	chvar 2119	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. z [. y / x ]. ph -> [. z / x ]. ph )
16	5, 15	sylbir 218	. . . . . . 7 |- ( A. y e. z y e. { x | ph } -> [. z / x ]. ph )
17	3, 16	sylbi 200	. . . . . 6 |- ( z C_ { x | ph } -> [. z / x ]. ph )
18		df-sbc 3256	. . . . . 6 |- ( [. z / x ]. ph <-> z e. { x | ph } )
19	17, 18	sylib 201	. . . . 5 |- ( z C_ { x | ph } -> z e. { x | ph } )
20	2, 19	mpg 1679	. . . 4 |- { x | ph } = _V
21	20	eqcomi 2480	. . 3 |- _V = { x | ph }
22	21	abeq2i 2583	. 2 |- ( x e. _V <-> ph )
23	1, 22	mpbi 213	1 |- ph

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1452   e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   _Vcvv 3031   [.wsbc 3255   C_ wss 3390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-reg 8125  ax-inf2 8164

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146

This theorem is referenced by:  setinds2f  30496