Theorem setinds 28775

Description: Principle of _E induction (set induction). If a property passes from all elements of x to x itself, then it holds for all x. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
setinds.1	|- ( A. y e. x [. y / x ]. ph -> ph )

Assertion

Ref	Expression
setinds	|- ph

Distinct variable groups:   ph, y   x, y

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem setinds

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3111	. 2 |- x e. _V
2		setind 8156	. . . . 5 |- ( A. z ( z C_ { x | ph } -> z e. { x | ph } ) -> { x | ph } = _V )
3		dfss3 3489	. . . . . . 7 |- ( z C_ { x | ph } <-> A. y e. z y e. { x | ph } )
4		df-sbc 3327	. . . . . . . . 9 |- ( [. y / x ]. ph <-> y e. { x | ph } )
5	4	ralbii 2890	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. z [. y / x ]. ph <-> A. y e. z y e. { x | ph } )
6		nfcv 2624	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x z
7		nfsbc1v 3346	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x [. y / x ]. ph
8	6, 7	nfral 2845	. . . . . . . . . 10 |- F/ x A. y e. z [. y / x ]. ph
9		nfsbc1v 3346	. . . . . . . . . 10 |- F/ x [. z / x ]. ph
10	8, 9	nfim 1862	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( A. y e. z [. y / x ]. ph -> [. z / x ]. ph )
11		raleq 3053	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( A. y e. x [. y / x ]. ph <-> A. y e. z [. y / x ]. ph ) )
12		sbceq1a 3337	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ph <-> [. z / x ]. ph ) )
13	11, 12	imbi12d 320	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( A. y e. x [. y / x ]. ph -> ph ) <-> ( A. y e. z [. y / x ]. ph -> [. z / x ]. ph ) ) )
14		setinds.1	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. x [. y / x ]. ph -> ph )
15	10, 13, 14	chvar 1977	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. z [. y / x ]. ph -> [. z / x ]. ph )
16	5, 15	sylbir 213	. . . . . . 7 |- ( A. y e. z y e. { x | ph } -> [. z / x ]. ph )
17	3, 16	sylbi 195	. . . . . 6 |- ( z C_ { x | ph } -> [. z / x ]. ph )
18		df-sbc 3327	. . . . . 6 |- ( [. z / x ]. ph <-> z e. { x | ph } )
19	17, 18	sylib 196	. . . . 5 |- ( z C_ { x | ph } -> z e. { x | ph } )
20	2, 19	mpg 1598	. . . 4 |- { x | ph } = _V
21	20	eqcomi 2475	. . 3 |- _V = { x | ph }
22	21	abeq2i 2589	. 2 |- ( x e. _V <-> ph )
23	1, 22	mpbi 208	1 |- ph

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1374   e. wcel 1762   {cab 2447   A.wral 2809   _Vcvv 3108   [.wsbc 3326   C_ wss 3471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-reg 8009  ax-inf2 8049

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068

This theorem is referenced by:  setinds2f  28776