Theorem setinds 29427

Description: Principle of _E induction (set induction). If a property passes from all elements of x to x itself, then it holds for all x. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
setinds.1	|- ( A. y e. x [. y / x ]. ph -> ph )

Assertion

Ref	Expression
setinds	|- ph

Distinct variable groups:   ph, y   x, y

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem setinds

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3112	. 2 |- x e. _V
2		setind 8182	. . . . 5 |- ( A. z ( z C_ { x | ph } -> z e. { x | ph } ) -> { x | ph } = _V )
3		dfss3 3489	. . . . . . 7 |- ( z C_ { x | ph } <-> A. y e. z y e. { x | ph } )
4		df-sbc 3328	. . . . . . . . 9 |- ( [. y / x ]. ph <-> y e. { x | ph } )
5	4	ralbii 2888	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. z [. y / x ]. ph <-> A. y e. z y e. { x | ph } )
6		nfcv 2619	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x z
7		nfsbc1v 3347	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x [. y / x ]. ph
8	6, 7	nfral 2843	. . . . . . . . . 10 |- F/ x A. y e. z [. y / x ]. ph
9		nfsbc1v 3347	. . . . . . . . . 10 |- F/ x [. z / x ]. ph
10	8, 9	nfim 1921	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( A. y e. z [. y / x ]. ph -> [. z / x ]. ph )
11		raleq 3054	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( A. y e. x [. y / x ]. ph <-> A. y e. z [. y / x ]. ph ) )
12		sbceq1a 3338	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ph <-> [. z / x ]. ph ) )
13	11, 12	imbi12d 320	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( A. y e. x [. y / x ]. ph -> ph ) <-> ( A. y e. z [. y / x ]. ph -> [. z / x ]. ph ) ) )
14		setinds.1	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. x [. y / x ]. ph -> ph )
15	10, 13, 14	chvar 2014	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. z [. y / x ]. ph -> [. z / x ]. ph )
16	5, 15	sylbir 213	. . . . . . 7 |- ( A. y e. z y e. { x | ph } -> [. z / x ]. ph )
17	3, 16	sylbi 195	. . . . . 6 |- ( z C_ { x | ph } -> [. z / x ]. ph )
18		df-sbc 3328	. . . . . 6 |- ( [. z / x ]. ph <-> z e. { x | ph } )
19	17, 18	sylib 196	. . . . 5 |- ( z C_ { x | ph } -> z e. { x | ph } )
20	2, 19	mpg 1621	. . . 4 |- { x | ph } = _V
21	20	eqcomi 2470	. . 3 |- _V = { x | ph }
22	21	abeq2i 2584	. 2 |- ( x e. _V <-> ph )
23	1, 22	mpbi 208	1 |- ph

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 1819   {cab 2442   A.wral 2807   _Vcvv 3109   [.wsbc 3327   C_ wss 3471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-reg 8036  ax-inf2 8075

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094

This theorem is referenced by:  setinds2f  29428