Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  setinds Structured version   Unicode version

Theorem setinds 28775
Description: Principle of  _E induction (set induction). If a property passes from all elements of  x to  x itself, then it holds for all  x. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
setinds.1  |-  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph  ->  ph )
Assertion
Ref Expression
setinds  |-  ph
Distinct variable groups:    ph, y    x, y
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem setinds
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3111 . 2  |-  x  e. 
_V
2 setind 8156 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  C_  { x  |  ph }  ->  z  e.  { x  |  ph } )  ->  { x  |  ph }  =  _V )
3 dfss3 3489 . . . . . . 7  |-  ( z 
C_  { x  | 
ph }  <->  A. y  e.  z  y  e.  { x  |  ph }
)
4 df-sbc 3327 . . . . . . . . 9  |-  ( [. y  /  x ]. ph  <->  y  e.  { x  |  ph }
)
54ralbii 2890 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph  <->  A. y  e.  z  y  e.  { x  |  ph }
)
6 nfcv 2624 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
z
7 nfsbc1v 3346 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x [. y  /  x ]. ph
86, 7nfral 2845 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph
9 nfsbc1v 3346 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x [. z  /  x ]. ph
108, 9nfim 1862 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph  ->  [. z  /  x ]. ph )
11 raleq 3053 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph  <->  A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph )
)
12 sbceq1a 3337 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( ph 
<-> 
[. z  /  x ]. ph ) )
1311, 12imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph  ->  ph )  <->  ( A. y  e.  z 
[. y  /  x ]. ph  ->  [. z  /  x ]. ph ) ) )
14 setinds.1 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph  ->  ph )
1510, 13, 14chvar 1977 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph  ->  [. z  /  x ]. ph )
165, 15sylbir 213 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  z  y  e.  { x  |  ph }  ->  [. z  /  x ]. ph )
173, 16sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( z 
C_  { x  | 
ph }  ->  [. z  /  x ]. ph )
18 df-sbc 3327 . . . . . 6  |-  ( [. z  /  x ]. ph  <->  z  e.  { x  |  ph }
)
1917, 18sylib 196 . . . . 5  |-  ( z 
C_  { x  | 
ph }  ->  z  e.  { x  |  ph } )
202, 19mpg 1598 . . . 4  |-  { x  |  ph }  =  _V
2120eqcomi 2475 . . 3  |-  _V  =  { x  |  ph }
2221abeq2i 2589 . 2  |-  ( x  e.  _V  <->  ph )
231, 22mpbi 208 1  |-  ph
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762   {cab 2447   A.wral 2809   _Vcvv 3108   [.wsbc 3326    C_ wss 3471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-reg 8009  ax-inf2 8049
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068
This theorem is referenced by:  setinds2f  28776
  Copyright terms: Public domain W3C validator