Theorem setind 5759

Description: Set (epsilon) induction. Theorem 5.22 of [TakeutiZaring] p. 21.

Assertion

Ref	Expression
setind	|- (A.x(x C_ A -> x e. A) -> A = _V)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem setind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 2637	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> (x C_ A <-> y C_ A))
2		eleq1 1957	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> (x e. A <-> y e. A))
3	1, 2	imbi12d 688	. . . . . . . 8 |- (x = y -> ((x C_ A -> x e. A) <-> (y C_ A -> y e. A)))
4	3	a4v 1649	. . . . . . 7 |- (A.x(x C_ A -> x e. A) -> (y C_ A -> y e. A))
5		ssindif0 2927	. . . . . . 7 |- (y C_ A <-> (y i^i (_V \ A)) = (/))
6	4, 5	syl5ibr 224	. . . . . 6 |- (A.x(x C_ A -> x e. A) -> ((y i^i (_V \ A)) = (/) -> y e. A))
7		eldifn 2731	. . . . . 6 |- (y e. (_V \ A) -> -. y e. A)
8	6, 7	nsyli 136	. . . . 5 |- (A.x(x C_ A -> x e. A) -> (y e. (_V \ A) -> -. (y i^i (_V \ A)) = (/)))
9	8	imp 377	. . . 4 |- ((A.x(x C_ A -> x e. A) /\ y e. (_V \ A)) -> -. (y i^i (_V \ A)) = (/))
10	9	nrexdv 2193	. . 3 |- (A.x(x C_ A -> x e. A) -> -. E.y e. (_V \ A)(y i^i (_V \ A)) = (/))
11		zfregs 5754	. . . 4 |- ((_V \ A) =/= (/) -> E.y e. (_V \ A)(y i^i (_V \ A)) = (/))
12	11	necon1bi 2048	. . 3 |- (-. E.y e. (_V \ A)(y i^i (_V \ A)) = (/) -> (_V \ A) = (/))
13	10, 12	syl 12	. 2 |- (A.x(x C_ A -> x e. A) -> (_V \ A) = (/))
14		vdif0 2935	. 2 |- (A = _V <-> (_V \ A) = (/))
15	13, 14	sylibr 217	1 |- (A.x(x C_ A -> x e. A) -> A = _V)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   \ cdif 2590   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875

This theorem is referenced by:  setind2 5760  tz9.13 5774  setinds 13844

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-rdg 5140

Copyright terms: Public domain