MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setind Structured version   Unicode version

Theorem setind 7959
Description: Set (epsilon) induction. Theorem 5.22 of [TakeutiZaring] p. 21. (Contributed by NM, 17-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
setind  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)  ->  A  =  _V )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem setind
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssindif0 3737 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  A  <->  ( y  i^i  ( _V  \  A
) )  =  (/) )
2 sseq1 3382 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  A  <->  y  C_  A ) )
3 eleq1 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
42, 3imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  C_  A  ->  x  e.  A )  <-> 
( y  C_  A  ->  y  e.  A ) ) )
54spv 1955 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)  ->  ( y  C_  A  ->  y  e.  A ) )
61, 5syl5bir 218 . . . . . 6  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)  ->  ( (
y  i^i  ( _V  \  A ) )  =  (/)  ->  y  e.  A
) )
7 eldifn 3484 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( _V  \  A )  ->  -.  y  e.  A )
86, 7nsyli 141 . . . . 5  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( _V  \  A
)  ->  -.  (
y  i^i  ( _V  \  A ) )  =  (/) ) )
98imp 429 . . . 4  |-  ( ( A. x ( x 
C_  A  ->  x  e.  A )  /\  y  e.  ( _V  \  A
) )  ->  -.  ( y  i^i  ( _V  \  A ) )  =  (/) )
109nrexdv 2824 . . 3  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)  ->  -.  E. y  e.  ( _V  \  A
) ( y  i^i  ( _V  \  A
) )  =  (/) )
11 zfregs 7957 . . . 4  |-  ( ( _V  \  A )  =/=  (/)  ->  E. y  e.  ( _V  \  A
) ( y  i^i  ( _V  \  A
) )  =  (/) )
1211necon1bi 2659 . . 3  |-  ( -. 
E. y  e.  ( _V  \  A ) ( y  i^i  ( _V  \  A ) )  =  (/)  ->  ( _V 
\  A )  =  (/) )
1310, 12syl 16 . 2  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)  ->  ( _V  \  A )  =  (/) )
14 vdif0 3743 . 2  |-  ( A  =  _V  <->  ( _V  \  A )  =  (/) )
1513, 14sylibr 212 1  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)  ->  A  =  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2721   _Vcvv 2977    \ cdif 3330    i^i cin 3332    C_ wss 3333   (/)c0 3642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-reg 7812  ax-inf2 7852
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871
This theorem is referenced by:  setind2  7960  tz9.13  8003  unir1  8025  setinds  27596
  Copyright terms: Public domain W3C validator