MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setind Structured version   Unicode version

Theorem setind 8220
Description: Set (epsilon) induction. Theorem 5.22 of [TakeutiZaring] p. 21. (Contributed by NM, 17-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
setind  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)  ->  A  =  _V )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem setind
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssindif0 3846 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  A  <->  ( y  i^i  ( _V  \  A
) )  =  (/) )
2 sseq1 3485 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  A  <->  y  C_  A ) )
3 eleq1 2494 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
42, 3imbi12d 321 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  C_  A  ->  x  e.  A )  <-> 
( y  C_  A  ->  y  e.  A ) ) )
54spv 2065 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)  ->  ( y  C_  A  ->  y  e.  A ) )
61, 5syl5bir 221 . . . . . 6  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)  ->  ( (
y  i^i  ( _V  \  A ) )  =  (/)  ->  y  e.  A
) )
7 eldifn 3588 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( _V  \  A )  ->  -.  y  e.  A )
86, 7nsyli 146 . . . . 5  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( _V  \  A
)  ->  -.  (
y  i^i  ( _V  \  A ) )  =  (/) ) )
98imp 430 . . . 4  |-  ( ( A. x ( x 
C_  A  ->  x  e.  A )  /\  y  e.  ( _V  \  A
) )  ->  -.  ( y  i^i  ( _V  \  A ) )  =  (/) )
109nrexdv 2881 . . 3  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)  ->  -.  E. y  e.  ( _V  \  A
) ( y  i^i  ( _V  \  A
) )  =  (/) )
11 zfregs 8218 . . . 4  |-  ( ( _V  \  A )  =/=  (/)  ->  E. y  e.  ( _V  \  A
) ( y  i^i  ( _V  \  A
) )  =  (/) )
1211necon1bi 2657 . . 3  |-  ( -. 
E. y  e.  ( _V  \  A ) ( y  i^i  ( _V  \  A ) )  =  (/)  ->  ( _V 
\  A )  =  (/) )
1310, 12syl 17 . 2  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)  ->  ( _V  \  A )  =  (/) )
14 vdif0 3853 . 2  |-  ( A  =  _V  <->  ( _V  \  A )  =  (/) )
1513, 14sylibr 215 1  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)  ->  A  =  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1868   E.wrex 2776   _Vcvv 3081    \ cdif 3433    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-reg 8110  ax-inf2 8149
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-om 6704  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133
This theorem is referenced by:  setind2  8221  tz9.13  8264  unir1  8286  setinds  30419
  Copyright terms: Public domain W3C validator