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Theorem setcmon 15272
Description: A monomorphism of sets is an injection. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
setcmon.c  |-  C  =  ( SetCat `  U )
setcmon.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
setcmon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
setcmon.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
setcmon.h  |-  M  =  (Mono `  C )
Assertion
Ref Expression
setcmon  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X M Y )  <-> 
F : X -1-1-> Y
) )

Proof of Theorem setcmon
Dummy variables  x  g  h  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
2 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
3 eqid 2467 . . . . . 6  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
4 setcmon.h . . . . . 6  |-  M  =  (Mono `  C )
5 setcmon.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
6 setcmon.c . . . . . . . 8  |-  C  =  ( SetCat `  U )
76setccat 15270 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  V  ->  C  e.  Cat )
85, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
9 setcmon.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
106, 5setcbas 15263 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  =  ( Base `  C ) )
119, 10eleqtrd 2557 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  C ) )
12 setcmon.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
1312, 10eleqtrd 2557 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Base `  C ) )
141, 2, 3, 4, 8, 11, 13monhom 14991 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X M Y )  C_  ( X
( Hom  `  C ) Y ) )
1514sselda 3504 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  ->  F  e.  ( X ( Hom  `  C
) Y ) )
166, 5, 2, 9, 12elsetchom 15266 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X ( Hom  `  C
) Y )  <->  F : X
--> Y ) )
1716biimpa 484 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X ( Hom  `  C
) Y ) )  ->  F : X --> Y )
1815, 17syldan 470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  ->  F : X
--> Y )
19 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
2019sneqd 4039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  { ( F `  x ) }  =  { ( F `  y ) } )
2120xpeq2d 5023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( X  X.  { ( F `
 x ) } )  =  ( X  X.  { ( F `
 y ) } ) )
2218adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  F : X --> Y )
23 ffn 5731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X --> Y  ->  F  Fn  X )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  F  Fn  X )
25 simprll 761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  x  e.  X )
26 fcoconst 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Fn  X  /\  x  e.  X )  ->  ( F  o.  ( X  X.  { x }
) )  =  ( X  X.  { ( F `  x ) } ) )
2724, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( F  o.  ( X  X.  { x } ) )  =  ( X  X.  { ( F `
 x ) } ) )
28 simprlr 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  y  e.  X )
29 fcoconst 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Fn  X  /\  y  e.  X )  ->  ( F  o.  ( X  X.  { y } ) )  =  ( X  X.  { ( F `  y ) } ) )
3024, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( F  o.  ( X  X.  { y } ) )  =  ( X  X.  { ( F `
 y ) } ) )
3121, 27, 303eqtr4d 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( F  o.  ( X  X.  { x } ) )  =  ( F  o.  ( X  X.  { y } ) ) )
325ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  U  e.  V )
339ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  X  e.  U )
3412ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  Y  e.  U )
35 fconst6g 5774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  X  ->  ( X  X.  { x }
) : X --> X )
3625, 35syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( X  X.  { x }
) : X --> X )
376, 32, 3, 33, 33, 34, 36, 22setcco 15268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( F ( <. X ,  X >. (comp `  C
) Y ) ( X  X.  { x } ) )  =  ( F  o.  ( X  X.  { x }
) ) )
38 fconst6g 5774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  X  ->  ( X  X.  { y } ) : X --> X )
3928, 38syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( X  X.  { y } ) : X --> X )
406, 32, 3, 33, 33, 34, 39, 22setcco 15268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( F ( <. X ,  X >. (comp `  C
) Y ) ( X  X.  { y } ) )  =  ( F  o.  ( X  X.  { y } ) ) )
4131, 37, 403eqtr4d 2518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( F ( <. X ,  X >. (comp `  C
) Y ) ( X  X.  { x } ) )  =  ( F ( <. X ,  X >. (comp `  C ) Y ) ( X  X.  {
y } ) ) )
428ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  C  e.  Cat )
4311ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  X  e.  ( Base `  C
) )
4413ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  Y  e.  ( Base `  C
) )
45 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  F  e.  ( X M Y ) )
466, 32, 2, 33, 33elsetchom 15266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
( X  X.  {
x } )  e.  ( X ( Hom  `  C ) X )  <-> 
( X  X.  {
x } ) : X --> X ) )
4736, 46mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( X  X.  { x }
)  e.  ( X ( Hom  `  C
) X ) )
486, 32, 2, 33, 33elsetchom 15266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
( X  X.  {
y } )  e.  ( X ( Hom  `  C ) X )  <-> 
( X  X.  {
y } ) : X --> X ) )
4939, 48mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( X  X.  { y } )  e.  ( X ( Hom  `  C
) X ) )
501, 2, 3, 4, 42, 43, 44, 43, 45, 47, 49moni 14992 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
( F ( <. X ,  X >. (comp `  C ) Y ) ( X  X.  {
x } ) )  =  ( F (
<. X ,  X >. (comp `  C ) Y ) ( X  X.  {
y } ) )  <-> 
( X  X.  {
x } )  =  ( X  X.  {
y } ) ) )
5141, 50mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( X  X.  { x }
)  =  ( X  X.  { y } ) )
5251fveq1d 5868 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
( X  X.  {
x } ) `  x )  =  ( ( X  X.  {
y } ) `  x ) )
53 vex 3116 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
5453fvconst2 6116 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  ->  (
( X  X.  {
x } ) `  x )  =  x )
5525, 54syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
( X  X.  {
x } ) `  x )  =  x )
56 vex 3116 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
5756fvconst2 6116 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  ->  (
( X  X.  {
y } ) `  x )  =  y )
5825, 57syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
( X  X.  {
y } ) `  x )  =  y )
5952, 55, 583eqtr3d 2516 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  x  =  y )
6059expr 615 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
6160ralrimivva 2885 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
62 dff13 6154 . . 3  |-  ( F : X -1-1-> Y  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
6318, 61, 62sylanbrc 664 . 2  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  ->  F : X -1-1-> Y )
64 f1f 5781 . . . 4  |-  ( F : X -1-1-> Y  ->  F : X --> Y )
6516biimpar 485 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  F  e.  ( X ( Hom  `  C ) Y ) )
6664, 65sylan2 474 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F : X -1-1-> Y )  ->  F  e.  ( X
( Hom  `  C ) Y ) )
6710adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F : X -1-1-> Y )  ->  U  =  ( Base `  C ) )
6867eleq2d 2537 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F : X -1-1-> Y )  -> 
( z  e.  U  <->  z  e.  ( Base `  C
) ) )
695ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  U  e.  V )
70 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  z  e.  U )
719ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  X  e.  U )
7212ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  Y  e.  U )
73 simprrl 763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  g  e.  ( z ( Hom  `  C ) X ) )
746, 69, 2, 70, 71elsetchom 15266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C ) X )  <-> 
g : z --> X ) )
7573, 74mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  g :
z --> X )
7664ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  F : X
--> Y )
776, 69, 3, 70, 71, 72, 75, 76setcco 15268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  ( F
( <. z ,  X >. (comp `  C ) Y ) g )  =  ( F  o.  g ) )
78 simprrr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  h  e.  ( z ( Hom  `  C ) X ) )
796, 69, 2, 70, 71elsetchom 15266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  ( h  e.  ( z ( Hom  `  C ) X )  <-> 
h : z --> X ) )
8078, 79mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  h :
z --> X )
816, 69, 3, 70, 71, 72, 80, 76setcco 15268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  ( F
( <. z ,  X >. (comp `  C ) Y ) h )  =  ( F  o.  h ) )
8277, 81eqeq12d 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  ( ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C
) Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C ) Y ) h )  <-> 
( F  o.  g
)  =  ( F  o.  h ) ) )
83 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  F : X -1-1-> Y )
84 cocan1 6182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  g : z --> X  /\  h : z --> X )  ->  (
( F  o.  g
)  =  ( F  o.  h )  <->  g  =  h ) )
8583, 75, 80, 84syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  ( ( F  o.  g )  =  ( F  o.  h )  <->  g  =  h ) )
8685biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  ( ( F  o.  g )  =  ( F  o.  h )  ->  g  =  h ) )
8782, 86sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  ( ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C
) Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C ) Y ) h )  ->  g  =  h ) )
8887anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  z  e.  U
)  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C ) X )  /\  h  e.  ( z ( Hom  `  C
) X ) ) )  ->  ( ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C
) Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C ) Y ) h )  ->  g  =  h ) )
8988ralrimivva 2885 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  z  e.  U )  ->  A. g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X ) A. h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ( ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C
) Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C ) Y ) h )  ->  g  =  h ) )
9089ex 434 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F : X -1-1-> Y )  -> 
( z  e.  U  ->  A. g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X ) A. h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ( ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C
) Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C ) Y ) h )  ->  g  =  h ) ) )
9168, 90sylbird 235 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F : X -1-1-> Y )  -> 
( z  e.  (
Base `  C )  ->  A. g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X ) A. h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ( ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C
) Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C ) Y ) h )  ->  g  =  h ) ) )
9291ralrimiv 2876 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F : X -1-1-> Y )  ->  A. z  e.  ( Base `  C ) A. g  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) A. h  e.  ( z ( Hom  `  C ) X ) ( ( F (
<. z ,  X >. (comp `  C ) Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C
) Y ) h )  ->  g  =  h ) )
931, 2, 3, 4, 8, 11, 13ismon2 14990 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X M Y )  <-> 
( F  e.  ( X ( Hom  `  C
) Y )  /\  A. z  e.  ( Base `  C ) A. g  e.  ( z ( Hom  `  C ) X ) A. h  e.  ( z ( Hom  `  C
) X ) ( ( F ( <.
z ,  X >. (comp `  C ) Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C
) Y ) h )  ->  g  =  h ) ) ) )
9493adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F : X -1-1-> Y )  -> 
( F  e.  ( X M Y )  <-> 
( F  e.  ( X ( Hom  `  C
) Y )  /\  A. z  e.  ( Base `  C ) A. g  e.  ( z ( Hom  `  C ) X ) A. h  e.  ( z ( Hom  `  C
) X ) ( ( F ( <.
z ,  X >. (comp `  C ) Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C
) Y ) h )  ->  g  =  h ) ) ) )
9566, 92, 94mpbir2and 920 . 2  |-  ( (
ph  /\  F : X -1-1-> Y )  ->  F  e.  ( X M Y ) )
9663, 95impbida 830 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X M Y )  <-> 
F : X -1-1-> Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {csn 4027   <.cop 4033    X. cxp 4997    o. ccom 5003    Fn wfn 5583   -->wf 5584   -1-1->wf1 5585   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Basecbs 14490   Hom chom 14566  compcco 14567   Catccat 14919  Monocmon 14984   SetCatcsetc 15260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11673  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-hom 14579  df-cco 14580  df-cat 14923  df-cid 14924  df-mon 14986  df-setc 15261
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