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Theorem setcmon 14955
Description: A monomorphism of sets is an injection. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
setcmon.c  |-  C  =  ( SetCat `  U )
setcmon.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
setcmon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
setcmon.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
setcmon.h  |-  M  =  (Mono `  C )
Assertion
Ref Expression
setcmon  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X M Y )  <-> 
F : X -1-1-> Y
) )

Proof of Theorem setcmon
Dummy variables  x  g  h  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
2 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
3 eqid 2443 . . . . . 6  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
4 setcmon.h . . . . . 6  |-  M  =  (Mono `  C )
5 setcmon.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
6 setcmon.c . . . . . . . 8  |-  C  =  ( SetCat `  U )
76setccat 14953 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  V  ->  C  e.  Cat )
85, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
9 setcmon.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
106, 5setcbas 14946 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  =  ( Base `  C ) )
119, 10eleqtrd 2519 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  C ) )
12 setcmon.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
1312, 10eleqtrd 2519 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Base `  C ) )
141, 2, 3, 4, 8, 11, 13monhom 14674 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X M Y )  C_  ( X
( Hom  `  C ) Y ) )
1514sselda 3356 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  ->  F  e.  ( X ( Hom  `  C
) Y ) )
166, 5, 2, 9, 12elsetchom 14949 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X ( Hom  `  C
) Y )  <->  F : X
--> Y ) )
1716biimpa 484 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X ( Hom  `  C
) Y ) )  ->  F : X --> Y )
1815, 17syldan 470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  ->  F : X
--> Y )
19 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
2019sneqd 3889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  { ( F `  x ) }  =  { ( F `  y ) } )
2120xpeq2d 4864 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( X  X.  { ( F `
 x ) } )  =  ( X  X.  { ( F `
 y ) } ) )
2218adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  F : X --> Y )
23 ffn 5559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X --> Y  ->  F  Fn  X )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  F  Fn  X )
25 simprll 761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  x  e.  X )
26 fcoconst 5880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Fn  X  /\  x  e.  X )  ->  ( F  o.  ( X  X.  { x }
) )  =  ( X  X.  { ( F `  x ) } ) )
2724, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( F  o.  ( X  X.  { x } ) )  =  ( X  X.  { ( F `
 x ) } ) )
28 simprlr 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  y  e.  X )
29 fcoconst 5880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Fn  X  /\  y  e.  X )  ->  ( F  o.  ( X  X.  { y } ) )  =  ( X  X.  { ( F `  y ) } ) )
3024, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( F  o.  ( X  X.  { y } ) )  =  ( X  X.  { ( F `
 y ) } ) )
3121, 27, 303eqtr4d 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( F  o.  ( X  X.  { x } ) )  =  ( F  o.  ( X  X.  { y } ) ) )
325ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  U  e.  V )
339ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  X  e.  U )
3412ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  Y  e.  U )
35 fconst6g 5599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  X  ->  ( X  X.  { x }
) : X --> X )
3625, 35syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( X  X.  { x }
) : X --> X )
376, 32, 3, 33, 33, 34, 36, 22setcco 14951 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( F ( <. X ,  X >. (comp `  C
) Y ) ( X  X.  { x } ) )  =  ( F  o.  ( X  X.  { x }
) ) )
38 fconst6g 5599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  X  ->  ( X  X.  { y } ) : X --> X )
3928, 38syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( X  X.  { y } ) : X --> X )
406, 32, 3, 33, 33, 34, 39, 22setcco 14951 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( F ( <. X ,  X >. (comp `  C
) Y ) ( X  X.  { y } ) )  =  ( F  o.  ( X  X.  { y } ) ) )
4131, 37, 403eqtr4d 2485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( F ( <. X ,  X >. (comp `  C
) Y ) ( X  X.  { x } ) )  =  ( F ( <. X ,  X >. (comp `  C ) Y ) ( X  X.  {
y } ) ) )
428ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  C  e.  Cat )
4311ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  X  e.  ( Base `  C
) )
4413ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  Y  e.  ( Base `  C
) )
45 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  F  e.  ( X M Y ) )
466, 32, 2, 33, 33elsetchom 14949 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
( X  X.  {
x } )  e.  ( X ( Hom  `  C ) X )  <-> 
( X  X.  {
x } ) : X --> X ) )
4736, 46mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( X  X.  { x }
)  e.  ( X ( Hom  `  C
) X ) )
486, 32, 2, 33, 33elsetchom 14949 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
( X  X.  {
y } )  e.  ( X ( Hom  `  C ) X )  <-> 
( X  X.  {
y } ) : X --> X ) )
4939, 48mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( X  X.  { y } )  e.  ( X ( Hom  `  C
) X ) )
501, 2, 3, 4, 42, 43, 44, 43, 45, 47, 49moni 14675 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
( F ( <. X ,  X >. (comp `  C ) Y ) ( X  X.  {
x } ) )  =  ( F (
<. X ,  X >. (comp `  C ) Y ) ( X  X.  {
y } ) )  <-> 
( X  X.  {
x } )  =  ( X  X.  {
y } ) ) )
5141, 50mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( X  X.  { x }
)  =  ( X  X.  { y } ) )
5251fveq1d 5693 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
( X  X.  {
x } ) `  x )  =  ( ( X  X.  {
y } ) `  x ) )
53 vex 2975 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
5453fvconst2 5933 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  ->  (
( X  X.  {
x } ) `  x )  =  x )
5525, 54syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
( X  X.  {
x } ) `  x )  =  x )
56 vex 2975 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
5756fvconst2 5933 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  ->  (
( X  X.  {
y } ) `  x )  =  y )
5825, 57syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
( X  X.  {
y } ) `  x )  =  y )
5952, 55, 583eqtr3d 2483 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  x  =  y )
6059expr 615 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
6160ralrimivva 2808 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
62 dff13 5971 . . 3  |-  ( F : X -1-1-> Y  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
6318, 61, 62sylanbrc 664 . 2  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X M Y ) )  ->  F : X -1-1-> Y )
64 f1f 5606 . . . 4  |-  ( F : X -1-1-> Y  ->  F : X --> Y )
6516biimpar 485 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  F  e.  ( X ( Hom  `  C ) Y ) )
6664, 65sylan2 474 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F : X -1-1-> Y )  ->  F  e.  ( X
( Hom  `  C ) Y ) )
6710adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F : X -1-1-> Y )  ->  U  =  ( Base `  C ) )
6867eleq2d 2510 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F : X -1-1-> Y )  -> 
( z  e.  U  <->  z  e.  ( Base `  C
) ) )
695ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  U  e.  V )
70 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  z  e.  U )
719ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  X  e.  U )
7212ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  Y  e.  U )
73 simprrl 763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  g  e.  ( z ( Hom  `  C ) X ) )
746, 69, 2, 70, 71elsetchom 14949 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C ) X )  <-> 
g : z --> X ) )
7573, 74mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  g :
z --> X )
7664ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  F : X
--> Y )
776, 69, 3, 70, 71, 72, 75, 76setcco 14951 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  ( F
( <. z ,  X >. (comp `  C ) Y ) g )  =  ( F  o.  g ) )
78 simprrr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  h  e.  ( z ( Hom  `  C ) X ) )
796, 69, 2, 70, 71elsetchom 14949 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  ( h  e.  ( z ( Hom  `  C ) X )  <-> 
h : z --> X ) )
8078, 79mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  h :
z --> X )
816, 69, 3, 70, 71, 72, 80, 76setcco 14951 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  ( F
( <. z ,  X >. (comp `  C ) Y ) h )  =  ( F  o.  h ) )
8277, 81eqeq12d 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  ( ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C
) Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C ) Y ) h )  <-> 
( F  o.  g
)  =  ( F  o.  h ) ) )
83 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  F : X -1-1-> Y )
84 cocan1 5995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  g : z --> X  /\  h : z --> X )  ->  (
( F  o.  g
)  =  ( F  o.  h )  <->  g  =  h ) )
8583, 75, 80, 84syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  ( ( F  o.  g )  =  ( F  o.  h )  <->  g  =  h ) )
8685biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  ( ( F  o.  g )  =  ( F  o.  h )  ->  g  =  h ) )
8782, 86sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  ( z  e.  U  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X )  /\  h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ) ) )  ->  ( ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C
) Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C ) Y ) h )  ->  g  =  h ) )
8887anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  z  e.  U
)  /\  ( g  e.  ( z ( Hom  `  C ) X )  /\  h  e.  ( z ( Hom  `  C
) X ) ) )  ->  ( ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C
) Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C ) Y ) h )  ->  g  =  h ) )
8988ralrimivva 2808 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  z  e.  U )  ->  A. g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X ) A. h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ( ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C
) Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C ) Y ) h )  ->  g  =  h ) )
9089ex 434 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F : X -1-1-> Y )  -> 
( z  e.  U  ->  A. g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X ) A. h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ( ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C
) Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C ) Y ) h )  ->  g  =  h ) ) )
9168, 90sylbird 235 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F : X -1-1-> Y )  -> 
( z  e.  (
Base `  C )  ->  A. g  e.  ( z ( Hom  `  C
) X ) A. h  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) ( ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C
) Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C ) Y ) h )  ->  g  =  h ) ) )
9291ralrimiv 2798 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F : X -1-1-> Y )  ->  A. z  e.  ( Base `  C ) A. g  e.  ( z
( Hom  `  C ) X ) A. h  e.  ( z ( Hom  `  C ) X ) ( ( F (
<. z ,  X >. (comp `  C ) Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C
) Y ) h )  ->  g  =  h ) )
931, 2, 3, 4, 8, 11, 13ismon2 14673 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X M Y )  <-> 
( F  e.  ( X ( Hom  `  C
) Y )  /\  A. z  e.  ( Base `  C ) A. g  e.  ( z ( Hom  `  C ) X ) A. h  e.  ( z ( Hom  `  C
) X ) ( ( F ( <.
z ,  X >. (comp `  C ) Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C
) Y ) h )  ->  g  =  h ) ) ) )
9493adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F : X -1-1-> Y )  -> 
( F  e.  ( X M Y )  <-> 
( F  e.  ( X ( Hom  `  C
) Y )  /\  A. z  e.  ( Base `  C ) A. g  e.  ( z ( Hom  `  C ) X ) A. h  e.  ( z ( Hom  `  C
) X ) ( ( F ( <.
z ,  X >. (comp `  C ) Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >. (comp `  C
) Y ) h )  ->  g  =  h ) ) ) )
9566, 92, 94mpbir2and 913 . 2  |-  ( (
ph  /\  F : X -1-1-> Y )  ->  F  e.  ( X M Y ) )
9663, 95impbida 828 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X M Y )  <-> 
F : X -1-1-> Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   {csn 3877   <.cop 3883    X. cxp 4838    o. ccom 4844    Fn wfn 5413   -->wf 5414   -1-1->wf1 5415   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   Hom chom 14249  compcco 14250   Catccat 14602  Monocmon 14667   SetCatcsetc 14943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-fz 11438  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-hom 14262  df-cco 14263  df-cat 14606  df-cid 14607  df-mon 14669  df-setc 14944
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