MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setchomfval Structured version   Unicode version

Theorem setchomfval 15281
Description: Set of arrows of the category of sets (in a universe). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
setcbas.c  |-  C  =  ( SetCat `  U )
setcbas.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
setchomfval.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
Assertion
Ref Expression
setchomfval  |-  ( ph  ->  H  =  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, ph    x, U, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)    H( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem setchomfval
Dummy variables  f 
g  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setcbas.c . . 3  |-  C  =  ( SetCat `  U )
2 setcbas.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
3 eqidd 2468 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x
) )  =  ( x  e.  U , 
y  e.  U  |->  ( y  ^m  x ) ) )
4 eqidd 2468 . . 3  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( U  X.  U ) ,  z  e.  U  |->  ( g  e.  ( z  ^m  ( 2nd `  v ) ) ,  f  e.  ( ( 2nd `  v )  ^m  ( 1st `  v
) )  |->  ( g  o.  f ) ) )  =  ( v  e.  ( U  X.  U ) ,  z  e.  U  |->  ( g  e.  ( z  ^m  ( 2nd `  v ) ) ,  f  e.  ( ( 2nd `  v
)  ^m  ( 1st `  v ) )  |->  ( g  o.  f ) ) ) )
51, 2, 3, 4setcval 15279 . 2  |-  ( ph  ->  C  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  U >. ,  <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x
) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( U  X.  U ) ,  z  e.  U  |->  ( g  e.  ( z  ^m  ( 2nd `  v
) ) ,  f  e.  ( ( 2nd `  v )  ^m  ( 1st `  v ) ) 
|->  ( g  o.  f
) ) ) >. } )
6 catstr 15201 . 2  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  U >. ,  <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x
) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( U  X.  U ) ,  z  e.  U  |->  ( g  e.  ( z  ^m  ( 2nd `  v
) ) ,  f  e.  ( ( 2nd `  v )  ^m  ( 1st `  v ) ) 
|->  ( g  o.  f
) ) ) >. } Struct  <. 1 , ; 1 5 >.
7 homid 14688 . 2  |-  Hom  = Slot  ( Hom  `  ndx )
8 snsstp2 4185 . 2  |-  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x
) ) >. }  C_  {
<. ( Base `  ndx ) ,  U >. , 
<. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x ) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( U  X.  U
) ,  z  e.  U  |->  ( g  e.  ( z  ^m  ( 2nd `  v ) ) ,  f  e.  ( ( 2nd `  v
)  ^m  ( 1st `  v ) )  |->  ( g  o.  f ) ) ) >. }
9 mpt2exga 6871 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  U  e.  V )  ->  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x
) )  e.  _V )
102, 2, 9syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x
) )  e.  _V )
11 setchomfval.h . 2  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
125, 6, 7, 8, 10, 11strfv3 14542 1  |-  ( ph  ->  H  =  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118   {ctp 4037   <.cop 4039    X. cxp 5003    o. ccom 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   1stc1st 6793   2ndc2nd 6794    ^m cmap 7432   1c1 9505   5c5 10600  ;cdc 10988   ndxcnx 14504   Basecbs 14507   Hom chom 14583  compcco 14584   SetCatcsetc 15277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-hom 14596  df-cco 14597  df-setc 15278
This theorem is referenced by:  setchom  15282  setccofval  15284
  Copyright terms: Public domain W3C validator