MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setcepi Structured version   Unicode version

Theorem setcepi 14948
Description: An epimorphism of sets is a surjection. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
setcmon.c  |-  C  =  ( SetCat `  U )
setcmon.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
setcmon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
setcmon.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
setcepi.h  |-  E  =  (Epi `  C )
setcepi.2  |-  ( ph  ->  2o  e.  U )
Assertion
Ref Expression
setcepi  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <-> 
F : X -onto-> Y
) )

Proof of Theorem setcepi
Dummy variables  x  g  a  h  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
2 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
3 eqid 2437 . . . . . 6  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
4 setcepi.h . . . . . 6  |-  E  =  (Epi `  C )
5 setcmon.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
6 setcmon.c . . . . . . . 8  |-  C  =  ( SetCat `  U )
76setccat 14945 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  V  ->  C  e.  Cat )
85, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
9 setcmon.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
106, 5setcbas 14938 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  =  ( Base `  C ) )
119, 10eleqtrd 2513 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  C ) )
12 setcmon.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
1312, 10eleqtrd 2513 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Base `  C ) )
141, 2, 3, 4, 8, 11, 13epihom 14673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X E Y )  C_  ( X
( Hom  `  C ) Y ) )
1514sselda 3349 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  F  e.  ( X ( Hom  `  C
) Y ) )
166, 5, 2, 9, 12elsetchom 14941 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X ( Hom  `  C
) Y )  <->  F : X
--> Y ) )
1716biimpa 484 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X ( Hom  `  C
) Y ) )  ->  F : X --> Y )
1815, 17syldan 470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  F : X
--> Y )
19 frn 5558 . . . . 5  |-  ( F : X --> Y  ->  ran  F  C_  Y )
2018, 19syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ran  F  C_  Y )
21 ffn 5552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : X --> Y  ->  F  Fn  X )
2218, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  F  Fn  X )
23 fnfvelrn 5833 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  X  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x
)  e.  ran  F
)
2422, 23sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  ran  F )
25 iftrue 3790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  e.  ran  F  ->  if ( ( F `  x )  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  /\  x  e.  X )  ->  if ( ( F `  x )  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o )
2726mpteq2dva 4371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( x  e.  X  |->  if ( ( F `  x
)  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  =  ( x  e.  X  |->  1o ) )
2818ffvelrnda 5836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  Y )
2918feqmptd 5737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  F  =  ( x  e.  X  |->  ( F `  x
) ) )
30 eqidd 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  =  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) ) )
31 eleq1 2497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
a  e.  ran  F  <->  ( F `  x )  e.  ran  F ) )
3231ifbid 3804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  if (
( F `  x
)  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )
3328, 29, 30, 32fmptco 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( (
a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  o.  F
)  =  ( x  e.  X  |->  if ( ( F `  x
)  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) ) )
34 fconstmpt 4874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  X.  { 1o }
)  =  ( a  e.  Y  |->  1o )
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( Y  X.  { 1o } )  =  ( a  e.  Y  |->  1o ) )
36 eqidd 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  1o  =  1o )
3728, 29, 35, 36fmptco 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( ( Y  X.  { 1o }
)  o.  F )  =  ( x  e.  X  |->  1o ) )
3827, 33, 373eqtr4d 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( (
a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  o.  F
)  =  ( ( Y  X.  { 1o } )  o.  F
) )
395adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  U  e.  V )
409adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  X  e.  U )
4112adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  Y  e.  U )
42 setcepi.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2o  e.  U )
4342adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  2o  e.  U )
44 eqid 2437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  =  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )
45 1onn 7070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1o  e.  om
4645elexi 2976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1o  e.  _V
4746prid2 3977 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1o  e.  {
(/) ,  1o }
48 df2o3 6925 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
4947, 48eleqtrri 2510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1o  e.  2o
50 0ex 4415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (/)  e.  _V
5150prid1 3976 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
5251, 48eleqtrri 2510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (/)  e.  2o
5349, 52keepel 3850 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  e.  2o
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  Y  ->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
5544, 54fmpti 5859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) ) : Y --> 2o
5655a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) ) : Y --> 2o )
576, 39, 3, 40, 41, 43, 18, 56setcco 14943 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( (
a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) ) ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) 2o ) F )  =  ( ( a  e.  Y  |->  if ( a  e. 
ran  F ,  1o ,  (/) ) )  o.  F ) )
58 fconst6g 5592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1o  e.  2o  ->  ( Y  X.  { 1o }
) : Y --> 2o )
5949, 58mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( Y  X.  { 1o } ) : Y --> 2o )
606, 39, 3, 40, 41, 43, 18, 59setcco 14943 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( ( Y  X.  { 1o }
) ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) 2o ) F )  =  ( ( Y  X.  { 1o } )  o.  F
) )
6138, 57, 603eqtr4d 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( (
a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) ) ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) 2o ) F )  =  ( ( Y  X.  { 1o } ) ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) 2o ) F ) )
628adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  C  e.  Cat )
6311adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  X  e.  ( Base `  C )
)
6413adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  Y  e.  ( Base `  C )
)
6542, 10eleqtrd 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2o  e.  ( Base `  C ) )
6665adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  2o  e.  ( Base `  C )
)
67 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  F  e.  ( X E Y ) )
686, 39, 2, 41, 43elsetchom 14941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( (
a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  e.  ( Y ( Hom  `  C
) 2o )  <->  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) ) : Y --> 2o ) )
6956, 68mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  e.  ( Y ( Hom  `  C ) 2o ) )
706, 39, 2, 41, 43elsetchom 14941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( ( Y  X.  { 1o }
)  e.  ( Y ( Hom  `  C
) 2o )  <->  ( Y  X.  { 1o } ) : Y --> 2o ) )
7159, 70mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( Y  X.  { 1o } )  e.  ( Y ( Hom  `  C ) 2o ) )
721, 2, 3, 4, 62, 63, 64, 66, 67, 69, 71epii 14674 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( (
( a  e.  Y  |->  if ( a  e. 
ran  F ,  1o ,  (/) ) ) (
<. X ,  Y >. (comp `  C ) 2o ) F )  =  ( ( Y  X.  { 1o } ) ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) 2o ) F )  <->  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  =  ( Y  X.  { 1o } ) ) )
7361, 72mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  =  ( Y  X.  { 1o } ) )
7473, 34syl6eq 2485 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  =  ( a  e.  Y  |->  1o ) )
7553rgenw 2777 . . . . . . . 8  |-  A. a  e.  Y  if (
a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  e.  2o
76 mpteqb 5781 . . . . . . . 8  |-  ( A. a  e.  Y  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  e.  2o  ->  ( ( a  e.  Y  |->  if ( a  e. 
ran  F ,  1o ,  (/) ) )  =  ( a  e.  Y  |->  1o )  <->  A. a  e.  Y  if (
a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o ) )
7775, 76ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  =  ( a  e.  Y  |->  1o )  <->  A. a  e.  Y  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o )
7874, 77sylib 196 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  A. a  e.  Y  if (
a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o )
79 1n0 6927 . . . . . . . . . 10  |-  1o  =/=  (/)
8079nesymi 2642 . . . . . . . . 9  |-  -.  (/)  =  1o
81 iffalse 3792 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  a  e.  ran  F  ->  if ( a  e. 
ran  F ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
8281eqeq1d 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  a  e.  ran  F  ->  ( if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o  <->  (/)  =  1o ) )
8380, 82mtbiri 303 . . . . . . . 8  |-  ( -.  a  e.  ran  F  ->  -.  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o )
8483con4i 130 . . . . . . 7  |-  ( if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o  ->  a  e.  ran  F )
8584ralimi 2785 . . . . . 6  |-  ( A. a  e.  Y  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o  ->  A. a  e.  Y  a  e.  ran  F )
8678, 85syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  A. a  e.  Y  a  e.  ran  F )
87 dfss3 3339 . . . . 5  |-  ( Y 
C_  ran  F  <->  A. a  e.  Y  a  e.  ran  F )
8886, 87sylibr 212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  Y  C_  ran  F )
8920, 88eqssd 3366 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ran  F  =  Y )
90 dffo2 5617 . . 3  |-  ( F : X -onto-> Y  <->  ( F : X --> Y  /\  ran  F  =  Y ) )
9118, 89, 90sylanbrc 664 . 2  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  F : X -onto-> Y )
92 fof 5613 . . . . 5  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
9392adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  F : X --> Y )
9416biimpar 485 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  F  e.  ( X ( Hom  `  C ) Y ) )
9593, 94syldan 470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  F  e.  ( X ( Hom  `  C ) Y ) )
9610adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  U  =  ( Base `  C
) )
9796eleq2d 2504 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
z  e.  U  <->  z  e.  ( Base `  C )
) )
985ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  U  e.  V )
999ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  X  e.  U )
10012ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  Y  e.  U )
101 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  z  e.  U )
10293adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  F : X
--> Y )
103 simprrl 763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z ) )
1046, 98, 2, 100, 101elsetchom 14941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C ) z )  <-> 
g : Y --> z ) )
105103, 104mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  g : Y
--> z )
1066, 98, 3, 99, 100, 101, 102, 105setcco 14943 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  ( g
( <. X ,  Y >. (comp `  C )
z ) F )  =  ( g  o.  F ) )
107 simprrr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  h  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z ) )
1086, 98, 2, 100, 101elsetchom 14941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  ( h  e.  ( Y ( Hom  `  C ) z )  <-> 
h : Y --> z ) )
109107, 108mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  h : Y
--> z )
1106, 98, 3, 99, 100, 101, 102, 109setcco 14943 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  ( h
( <. X ,  Y >. (comp `  C )
z ) F )  =  ( h  o.  F ) )
111106, 110eqeq12d 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  ( (
g ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C )
z ) F )  <-> 
( g  o.  F
)  =  ( h  o.  F ) ) )
112 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  F : X -onto-> Y )
113 ffn 5552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : Y --> z  -> 
g  Fn  Y )
114105, 113syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  g  Fn  Y )
115 ffn 5552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h : Y --> z  ->  h  Fn  Y )
116109, 115syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  h  Fn  Y )
117 cocan2 5989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : X -onto-> Y  /\  g  Fn  Y  /\  h  Fn  Y
)  ->  ( (
g  o.  F )  =  ( h  o.  F )  <->  g  =  h ) )
118112, 114, 116, 117syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  ( (
g  o.  F )  =  ( h  o.  F )  <->  g  =  h ) )
119118biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  ( (
g  o.  F )  =  ( h  o.  F )  ->  g  =  h ) )
120111, 119sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  ( (
g ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C )
z ) F )  ->  g  =  h ) )
121120anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  z  e.  U
)  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C ) z )  /\  h  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z ) ) )  ->  ( (
g ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C )
z ) F )  ->  g  =  h ) )
122121ralrimivva 2802 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  z  e.  U )  ->  A. g  e.  ( Y ( Hom  `  C ) z ) A. h  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z ) ( ( g ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  ->  g  =  h ) )
123122ex 434 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
z  e.  U  ->  A. g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z ) A. h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ( ( g ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C )
z ) F )  ->  g  =  h ) ) )
12497, 123sylbird 235 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
z  e.  ( Base `  C )  ->  A. g  e.  ( Y ( Hom  `  C ) z ) A. h  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z ) ( ( g ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  ->  g  =  h ) ) )
125124ralrimiv 2792 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  A. z  e.  ( Base `  C
) A. g  e.  ( Y ( Hom  `  C ) z ) A. h  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z ) ( ( g ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  ->  g  =  h ) )
1261, 2, 3, 4, 8, 11, 13isepi2 14672 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <-> 
( F  e.  ( X ( Hom  `  C
) Y )  /\  A. z  e.  ( Base `  C ) A. g  e.  ( Y ( Hom  `  C ) z ) A. h  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z ) ( ( g ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  ->  g  =  h ) ) ) )
127126adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <->  ( F  e.  ( X ( Hom  `  C ) Y )  /\  A. z  e.  ( Base `  C
) A. g  e.  ( Y ( Hom  `  C ) z ) A. h  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z ) ( ( g ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  ->  g  =  h ) ) ) )
12895, 125, 127mpbir2and 913 . 2  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  F  e.  ( X E Y ) )
12991, 128impbida 828 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <-> 
F : X -onto-> Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2709    C_ wss 3321   (/)c0 3630   ifcif 3784   {csn 3870   {cpr 3872   <.cop 3876    e. cmpt 4343    X. cxp 4830   ran crn 4833    o. ccom 4836    Fn wfn 5406   -->wf 5407   -onto->wfo 5409   ` cfv 5411  (class class class)co 6086   omcom 6471   1oc1o 6905   2oc2o 6906   Basecbs 14166   Hom chom 14241  compcco 14242   Catccat 14594  Epicepi 14660   SetCatcsetc 14935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-rep 4396  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-int 4122  df-iun 4166  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-tpos 6740  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-hom 14254  df-cco 14255  df-cat 14598  df-cid 14599  df-oppc 14643  df-mon 14661  df-epi 14662  df-setc 14936
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator