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Theorem setcepi 15276
Description: An epimorphism of sets is a surjection. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
setcmon.c  |-  C  =  ( SetCat `  U )
setcmon.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
setcmon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
setcmon.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
setcepi.h  |-  E  =  (Epi `  C )
setcepi.2  |-  ( ph  ->  2o  e.  U )
Assertion
Ref Expression
setcepi  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <-> 
F : X -onto-> Y
) )

Proof of Theorem setcepi
Dummy variables  x  g  a  h  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
2 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
3 eqid 2467 . . . . . 6  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
4 setcepi.h . . . . . 6  |-  E  =  (Epi `  C )
5 setcmon.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
6 setcmon.c . . . . . . . 8  |-  C  =  ( SetCat `  U )
76setccat 15273 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  V  ->  C  e.  Cat )
85, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
9 setcmon.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
106, 5setcbas 15266 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  =  ( Base `  C ) )
119, 10eleqtrd 2557 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  C ) )
12 setcmon.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
1312, 10eleqtrd 2557 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Base `  C ) )
141, 2, 3, 4, 8, 11, 13epihom 15001 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X E Y )  C_  ( X
( Hom  `  C ) Y ) )
1514sselda 3504 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  F  e.  ( X ( Hom  `  C
) Y ) )
166, 5, 2, 9, 12elsetchom 15269 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X ( Hom  `  C
) Y )  <->  F : X
--> Y ) )
1716biimpa 484 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X ( Hom  `  C
) Y ) )  ->  F : X --> Y )
1815, 17syldan 470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  F : X
--> Y )
19 frn 5737 . . . . 5  |-  ( F : X --> Y  ->  ran  F  C_  Y )
2018, 19syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ran  F  C_  Y )
21 ffn 5731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : X --> Y  ->  F  Fn  X )
2218, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  F  Fn  X )
23 fnfvelrn 6019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  X  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x
)  e.  ran  F
)
2422, 23sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  ran  F )
25 iftrue 3945 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  e.  ran  F  ->  if ( ( F `  x )  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  /\  x  e.  X )  ->  if ( ( F `  x )  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o )
2726mpteq2dva 4533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( x  e.  X  |->  if ( ( F `  x
)  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  =  ( x  e.  X  |->  1o ) )
2818ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  Y )
2918feqmptd 5921 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  F  =  ( x  e.  X  |->  ( F `  x
) ) )
30 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  =  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) ) )
31 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
a  e.  ran  F  <->  ( F `  x )  e.  ran  F ) )
3231ifbid 3961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  if (
( F `  x
)  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )
3328, 29, 30, 32fmptco 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( (
a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  o.  F
)  =  ( x  e.  X  |->  if ( ( F `  x
)  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) ) )
34 fconstmpt 5043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  X.  { 1o }
)  =  ( a  e.  Y  |->  1o )
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( Y  X.  { 1o } )  =  ( a  e.  Y  |->  1o ) )
36 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  1o  =  1o )
3728, 29, 35, 36fmptco 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( ( Y  X.  { 1o }
)  o.  F )  =  ( x  e.  X  |->  1o ) )
3827, 33, 373eqtr4d 2518 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( (
a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  o.  F
)  =  ( ( Y  X.  { 1o } )  o.  F
) )
395adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  U  e.  V )
409adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  X  e.  U )
4112adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  Y  e.  U )
42 setcepi.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2o  e.  U )
4342adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  2o  e.  U )
44 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  =  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )
45 1onn 7289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1o  e.  om
4645elexi 3123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1o  e.  _V
4746prid2 4136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1o  e.  {
(/) ,  1o }
48 df2o3 7144 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
4947, 48eleqtrri 2554 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1o  e.  2o
50 0ex 4577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (/)  e.  _V
5150prid1 4135 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
5251, 48eleqtrri 2554 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (/)  e.  2o
5349, 52keepel 4007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  e.  2o
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  Y  ->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
5544, 54fmpti 6045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) ) : Y --> 2o
5655a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) ) : Y --> 2o )
576, 39, 3, 40, 41, 43, 18, 56setcco 15271 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( (
a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) ) ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) 2o ) F )  =  ( ( a  e.  Y  |->  if ( a  e. 
ran  F ,  1o ,  (/) ) )  o.  F ) )
58 fconst6g 5774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1o  e.  2o  ->  ( Y  X.  { 1o }
) : Y --> 2o )
5949, 58mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( Y  X.  { 1o } ) : Y --> 2o )
606, 39, 3, 40, 41, 43, 18, 59setcco 15271 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( ( Y  X.  { 1o }
) ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) 2o ) F )  =  ( ( Y  X.  { 1o } )  o.  F
) )
6138, 57, 603eqtr4d 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( (
a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) ) ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) 2o ) F )  =  ( ( Y  X.  { 1o } ) ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) 2o ) F ) )
628adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  C  e.  Cat )
6311adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  X  e.  ( Base `  C )
)
6413adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  Y  e.  ( Base `  C )
)
6542, 10eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2o  e.  ( Base `  C ) )
6665adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  2o  e.  ( Base `  C )
)
67 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  F  e.  ( X E Y ) )
686, 39, 2, 41, 43elsetchom 15269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( (
a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  e.  ( Y ( Hom  `  C
) 2o )  <->  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) ) : Y --> 2o ) )
6956, 68mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  e.  ( Y ( Hom  `  C ) 2o ) )
706, 39, 2, 41, 43elsetchom 15269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( ( Y  X.  { 1o }
)  e.  ( Y ( Hom  `  C
) 2o )  <->  ( Y  X.  { 1o } ) : Y --> 2o ) )
7159, 70mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( Y  X.  { 1o } )  e.  ( Y ( Hom  `  C ) 2o ) )
721, 2, 3, 4, 62, 63, 64, 66, 67, 69, 71epii 15002 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( (
( a  e.  Y  |->  if ( a  e. 
ran  F ,  1o ,  (/) ) ) (
<. X ,  Y >. (comp `  C ) 2o ) F )  =  ( ( Y  X.  { 1o } ) ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) 2o ) F )  <->  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  =  ( Y  X.  { 1o } ) ) )
7361, 72mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  =  ( Y  X.  { 1o } ) )
7473, 34syl6eq 2524 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  =  ( a  e.  Y  |->  1o ) )
7553rgenw 2825 . . . . . . . 8  |-  A. a  e.  Y  if (
a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  e.  2o
76 mpteqb 5965 . . . . . . . 8  |-  ( A. a  e.  Y  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  e.  2o  ->  ( ( a  e.  Y  |->  if ( a  e. 
ran  F ,  1o ,  (/) ) )  =  ( a  e.  Y  |->  1o )  <->  A. a  e.  Y  if (
a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o ) )
7775, 76ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  =  ( a  e.  Y  |->  1o )  <->  A. a  e.  Y  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o )
7874, 77sylib 196 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  A. a  e.  Y  if (
a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o )
79 1n0 7146 . . . . . . . . . 10  |-  1o  =/=  (/)
8079nesymi 2740 . . . . . . . . 9  |-  -.  (/)  =  1o
81 iffalse 3948 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  a  e.  ran  F  ->  if ( a  e. 
ran  F ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
8281eqeq1d 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  a  e.  ran  F  ->  ( if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o  <->  (/)  =  1o ) )
8380, 82mtbiri 303 . . . . . . . 8  |-  ( -.  a  e.  ran  F  ->  -.  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o )
8483con4i 130 . . . . . . 7  |-  ( if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o  ->  a  e.  ran  F )
8584ralimi 2857 . . . . . 6  |-  ( A. a  e.  Y  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o  ->  A. a  e.  Y  a  e.  ran  F )
8678, 85syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  A. a  e.  Y  a  e.  ran  F )
87 dfss3 3494 . . . . 5  |-  ( Y 
C_  ran  F  <->  A. a  e.  Y  a  e.  ran  F )
8886, 87sylibr 212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  Y  C_  ran  F )
8920, 88eqssd 3521 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ran  F  =  Y )
90 dffo2 5799 . . 3  |-  ( F : X -onto-> Y  <->  ( F : X --> Y  /\  ran  F  =  Y ) )
9118, 89, 90sylanbrc 664 . 2  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  F : X -onto-> Y )
92 fof 5795 . . . . 5  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
9392adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  F : X --> Y )
9416biimpar 485 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  F  e.  ( X ( Hom  `  C ) Y ) )
9593, 94syldan 470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  F  e.  ( X ( Hom  `  C ) Y ) )
9610adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  U  =  ( Base `  C
) )
9796eleq2d 2537 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
z  e.  U  <->  z  e.  ( Base `  C )
) )
985ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  U  e.  V )
999ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  X  e.  U )
10012ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  Y  e.  U )
101 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  z  e.  U )
10293adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  F : X
--> Y )
103 simprrl 763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z ) )
1046, 98, 2, 100, 101elsetchom 15269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C ) z )  <-> 
g : Y --> z ) )
105103, 104mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  g : Y
--> z )
1066, 98, 3, 99, 100, 101, 102, 105setcco 15271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  ( g
( <. X ,  Y >. (comp `  C )
z ) F )  =  ( g  o.  F ) )
107 simprrr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  h  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z ) )
1086, 98, 2, 100, 101elsetchom 15269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  ( h  e.  ( Y ( Hom  `  C ) z )  <-> 
h : Y --> z ) )
109107, 108mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  h : Y
--> z )
1106, 98, 3, 99, 100, 101, 102, 109setcco 15271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  ( h
( <. X ,  Y >. (comp `  C )
z ) F )  =  ( h  o.  F ) )
111106, 110eqeq12d 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  ( (
g ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C )
z ) F )  <-> 
( g  o.  F
)  =  ( h  o.  F ) ) )
112 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  F : X -onto-> Y )
113 ffn 5731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : Y --> z  -> 
g  Fn  Y )
114105, 113syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  g  Fn  Y )
115 ffn 5731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h : Y --> z  ->  h  Fn  Y )
116109, 115syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  h  Fn  Y )
117 cocan2 6184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : X -onto-> Y  /\  g  Fn  Y  /\  h  Fn  Y
)  ->  ( (
g  o.  F )  =  ( h  o.  F )  <->  g  =  h ) )
118112, 114, 116, 117syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  ( (
g  o.  F )  =  ( h  o.  F )  <->  g  =  h ) )
119118biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  ( (
g  o.  F )  =  ( h  o.  F )  ->  g  =  h ) )
120111, 119sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  ( (
g ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C )
z ) F )  ->  g  =  h ) )
121120anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  z  e.  U
)  /\  ( g  e.  ( Y ( Hom  `  C ) z )  /\  h  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z ) ) )  ->  ( (
g ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C )
z ) F )  ->  g  =  h ) )
122121ralrimivva 2885 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  z  e.  U )  ->  A. g  e.  ( Y ( Hom  `  C ) z ) A. h  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z ) ( ( g ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  ->  g  =  h ) )
123122ex 434 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
z  e.  U  ->  A. g  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z ) A. h  e.  ( Y
( Hom  `  C ) z ) ( ( g ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C )
z ) F )  ->  g  =  h ) ) )
12497, 123sylbird 235 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
z  e.  ( Base `  C )  ->  A. g  e.  ( Y ( Hom  `  C ) z ) A. h  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z ) ( ( g ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  ->  g  =  h ) ) )
125124ralrimiv 2876 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  A. z  e.  ( Base `  C
) A. g  e.  ( Y ( Hom  `  C ) z ) A. h  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z ) ( ( g ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  ->  g  =  h ) )
1261, 2, 3, 4, 8, 11, 13isepi2 15000 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <-> 
( F  e.  ( X ( Hom  `  C
) Y )  /\  A. z  e.  ( Base `  C ) A. g  e.  ( Y ( Hom  `  C ) z ) A. h  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z ) ( ( g ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  ->  g  =  h ) ) ) )
127126adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <->  ( F  e.  ( X ( Hom  `  C ) Y )  /\  A. z  e.  ( Base `  C
) A. g  e.  ( Y ( Hom  `  C ) z ) A. h  e.  ( Y ( Hom  `  C
) z ) ( ( g ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  ->  g  =  h ) ) ) )
12895, 125, 127mpbir2and 920 . 2  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  F  e.  ( X E Y ) )
12991, 128impbida 830 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <-> 
F : X -onto-> Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ifcif 3939   {csn 4027   {cpr 4029   <.cop 4033    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   ran crn 5000    o. ccom 5003    Fn wfn 5583   -->wf 5584   -onto->wfo 5586   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   omcom 6685   1oc1o 7124   2oc2o 7125   Basecbs 14493   Hom chom 14569  compcco 14570   Catccat 14922  Epicepi 14988   SetCatcsetc 15263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6956  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-fz 11674  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-hom 14582  df-cco 14583  df-cat 14926  df-cid 14927  df-oppc 14971  df-mon 14989  df-epi 14990  df-setc 15264
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