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Theorem setccatid 15490
Description: Lemma for setccat 15491. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
setccat.c  |-  C  =  ( SetCat `  U )
Assertion
Ref Expression
setccatid  |-  ( U  e.  V  ->  ( C  e.  Cat  /\  ( Id `  C )  =  ( x  e.  U  |->  (  _I  |`  x
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, C    x, U    x, V

Proof of Theorem setccatid
Dummy variables  f 
g  h  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setccat.c . . 3  |-  C  =  ( SetCat `  U )
2 id 22 . . 3  |-  ( U  e.  V  ->  U  e.  V )
31, 2setcbas 15484 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  U  =  ( Base `  C
) )
4 eqidd 2458 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C
) )
5 eqidd 2458 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  (comp `  C )  =  (comp `  C ) )
6 fvex 5882 . . . 4  |-  ( SetCat `  U )  e.  _V
71, 6eqeltri 2541 . . 3  |-  C  e. 
_V
87a1i 11 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  C  e.  _V )
9 biid 236 . 2  |-  ( ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U
)  /\  ( y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  (
f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) )  <->  ( (
w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  ( y  e.  U  /\  z  e.  U
)  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C ) x )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  h  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )
10 f1oi 5857 . . . 4  |-  (  _I  |`  x ) : x -1-1-onto-> x
11 f1of 5822 . . . 4  |-  ( (  _I  |`  x ) : x -1-1-onto-> x  ->  (  _I  |`  x ) : x --> x )
1210, 11mp1i 12 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  U )  ->  (  _I  |`  x
) : x --> x )
13 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  U )  ->  U  e.  V )
14 eqid 2457 . . . 4  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
15 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  U )  ->  x  e.  U )
161, 13, 14, 15, 15elsetchom 15487 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  U )  ->  ( (  _I  |`  x
)  e.  ( x ( Hom  `  C
) x )  <->  (  _I  |`  x ) : x --> x ) )
1712, 16mpbird 232 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  U )  ->  (  _I  |`  x
)  e.  ( x ( Hom  `  C
) x ) )
18 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  U  e.  V )
19 eqid 2457 . . . 4  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
20 simpr1l 1053 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  w  e.  U )
21 simpr1r 1054 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  x  e.  U )
22 simpr31 1086 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x ) )
231, 18, 14, 20, 21elsetchom 15487 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  <->  f :
w --> x ) )
2422, 23mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
f : w --> x )
2510, 11mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
(  _I  |`  x
) : x --> x )
261, 18, 19, 20, 21, 21, 24, 25setcco 15489 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( (  _I  |`  x
) ( <. w ,  x >. (comp `  C
) x ) f )  =  ( (  _I  |`  x )  o.  f ) )
27 fcoi2 5766 . . . 4  |-  ( f : w --> x  -> 
( (  _I  |`  x
)  o.  f )  =  f )
2824, 27syl 16 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( (  _I  |`  x
)  o.  f )  =  f )
2926, 28eqtrd 2498 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( (  _I  |`  x
) ( <. w ,  x >. (comp `  C
) x ) f )  =  f )
30 simpr2l 1055 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
y  e.  U )
31 simpr32 1087 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
g  e.  ( x ( Hom  `  C
) y ) )
321, 18, 14, 21, 30elsetchom 15487 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  <->  g :
x --> y ) )
3331, 32mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
g : x --> y )
341, 18, 19, 21, 21, 30, 25, 33setcco 15489 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) (  _I  |`  x
) )  =  ( g  o.  (  _I  |`  x ) ) )
35 fcoi1 5765 . . . 4  |-  ( g : x --> y  -> 
( g  o.  (  _I  |`  x ) )  =  g )
3633, 35syl 16 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g  o.  (  _I  |`  x ) )  =  g )
3734, 36eqtrd 2498 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) (  _I  |`  x
) )  =  g )
381, 18, 19, 20, 21, 30, 24, 33setcco 15489 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g ( <.
w ,  x >. (comp `  C ) y ) f )  =  ( g  o.  f ) )
39 fco 5747 . . . . 5  |-  ( ( g : x --> y  /\  f : w --> x )  ->  ( g  o.  f ) : w --> y )
4033, 24, 39syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g  o.  f
) : w --> y )
411, 18, 14, 20, 30elsetchom 15487 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( g  o.  f )  e.  ( w ( Hom  `  C
) y )  <->  ( g  o.  f ) : w --> y ) )
4240, 41mpbird 232 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g  o.  f
)  e.  ( w ( Hom  `  C
) y ) )
4338, 42eqeltrd 2545 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g ( <.
w ,  x >. (comp `  C ) y ) f )  e.  ( w ( Hom  `  C
) y ) )
44 coass 5532 . . . 4  |-  ( ( h  o.  g )  o.  f )  =  ( h  o.  (
g  o.  f ) )
45 simpr2r 1056 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
z  e.  U )
46 simpr33 1088 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  h  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) )
471, 18, 14, 30, 45elsetchom 15487 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( h  e.  ( y ( Hom  `  C
) z )  <->  h :
y --> z ) )
4846, 47mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  h : y --> z )
49 fco 5747 . . . . . 6  |-  ( ( h : y --> z  /\  g : x --> y )  ->  (
h  o.  g ) : x --> z )
5048, 33, 49syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( h  o.  g
) : x --> z )
511, 18, 19, 20, 21, 45, 24, 50setcco 15489 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( h  o.  g ) ( <.
w ,  x >. (comp `  C ) z ) f )  =  ( ( h  o.  g
)  o.  f ) )
521, 18, 19, 20, 30, 45, 40, 48setcco 15489 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( h ( <.
w ,  y >.
(comp `  C )
z ) ( g  o.  f ) )  =  ( h  o.  ( g  o.  f
) ) )
5344, 51, 523eqtr4a 2524 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( h  o.  g ) ( <.
w ,  x >. (comp `  C ) z ) f )  =  ( h ( <. w ,  y >. (comp `  C ) z ) ( g  o.  f
) ) )
541, 18, 19, 21, 30, 45, 33, 48setcco 15489 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( h ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) g )  =  ( h  o.  g ) )
5554oveq1d 6311 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( h (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) g ) ( <. w ,  x >. (comp `  C )
z ) f )  =  ( ( h  o.  g ) (
<. w ,  x >. (comp `  C ) z ) f ) )
5638oveq2d 6312 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( h ( <.
w ,  y >.
(comp `  C )
z ) ( g ( <. w ,  x >. (comp `  C )
y ) f ) )  =  ( h ( <. w ,  y
>. (comp `  C )
z ) ( g  o.  f ) ) )
5753, 55, 563eqtr4d 2508 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( h (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) g ) ( <. w ,  x >. (comp `  C )
z ) f )  =  ( h (
<. w ,  y >.
(comp `  C )
z ) ( g ( <. w ,  x >. (comp `  C )
y ) f ) ) )
583, 4, 5, 8, 9, 17, 29, 37, 43, 57iscatd2 15098 1  |-  ( U  e.  V  ->  ( C  e.  Cat  /\  ( Id `  C )  =  ( x  e.  U  |->  (  _I  |`  x
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109   <.cop 4038    |-> cmpt 4515    _I cid 4799    |` cres 5010    o. ccom 5012   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Hom chom 14723  compcco 14724   Catccat 15081   Idccid 15082   SetCatcsetc 15481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-hom 14736  df-cco 14737  df-cat 15085  df-cid 15086  df-setc 15482
This theorem is referenced by:  setccat  15491  setcid  15492
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