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Theorem setccatid 14194
Description: Lemma for setccat 14195. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
setccat.c  |-  C  =  ( SetCat `  U )
Assertion
Ref Expression
setccatid  |-  ( U  e.  V  ->  ( C  e.  Cat  /\  ( Id `  C )  =  ( x  e.  U  |->  (  _I  |`  x
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, C    x, U    x, V

Proof of Theorem setccatid
Dummy variables  f 
g  h  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setccat.c . . 3  |-  C  =  ( SetCat `  U )
2 id 20 . . 3  |-  ( U  e.  V  ->  U  e.  V )
31, 2setcbas 14188 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  U  =  ( Base `  C
) )
4 eqidd 2405 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C
) )
5 eqidd 2405 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  (comp `  C )  =  (comp `  C ) )
6 fvex 5701 . . . 4  |-  ( SetCat `  U )  e.  _V
71, 6eqeltri 2474 . . 3  |-  C  e. 
_V
87a1i 11 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  C  e.  _V )
9 biid 228 . 2  |-  ( ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U
)  /\  ( y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  (
f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) )  <->  ( (
w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  ( y  e.  U  /\  z  e.  U
)  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C ) x )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  h  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )
10 f1oi 5672 . . . 4  |-  (  _I  |`  x ) : x -1-1-onto-> x
11 f1of 5633 . . . 4  |-  ( (  _I  |`  x ) : x -1-1-onto-> x  ->  (  _I  |`  x ) : x --> x )
1210, 11mp1i 12 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  U )  ->  (  _I  |`  x
) : x --> x )
13 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  U )  ->  U  e.  V )
14 eqid 2404 . . . 4  |-  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C )
15 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  U )  ->  x  e.  U )
161, 13, 14, 15, 15elsetchom 14191 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  U )  ->  ( (  _I  |`  x
)  e.  ( x (  Hom  `  C
) x )  <->  (  _I  |`  x ) : x --> x ) )
1712, 16mpbird 224 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  U )  ->  (  _I  |`  x
)  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )
18 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  U  e.  V )
19 eqid 2404 . . . 4  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
20 simpr1l 1014 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  w  e.  U )
21 simpr1r 1015 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  x  e.  U )
22 simpr31 1047 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x ) )
231, 18, 14, 20, 21elsetchom 14191 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  <->  f :
w --> x ) )
2422, 23mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
f : w --> x )
2510, 11mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
(  _I  |`  x
) : x --> x )
261, 18, 19, 20, 21, 21, 24, 25setcco 14193 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( (  _I  |`  x
) ( <. w ,  x >. (comp `  C
) x ) f )  =  ( (  _I  |`  x )  o.  f ) )
27 fcoi2 5577 . . . 4  |-  ( f : w --> x  -> 
( (  _I  |`  x
)  o.  f )  =  f )
2824, 27syl 16 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( (  _I  |`  x
)  o.  f )  =  f )
2926, 28eqtrd 2436 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( (  _I  |`  x
) ( <. w ,  x >. (comp `  C
) x ) f )  =  f )
30 simpr2l 1016 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
y  e.  U )
31 simpr32 1048 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
g  e.  ( x (  Hom  `  C
) y ) )
321, 18, 14, 21, 30elsetchom 14191 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  <->  g :
x --> y ) )
3331, 32mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
g : x --> y )
341, 18, 19, 21, 21, 30, 25, 33setcco 14193 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) (  _I  |`  x
) )  =  ( g  o.  (  _I  |`  x ) ) )
35 fcoi1 5576 . . . 4  |-  ( g : x --> y  -> 
( g  o.  (  _I  |`  x ) )  =  g )
3633, 35syl 16 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g  o.  (  _I  |`  x ) )  =  g )
3734, 36eqtrd 2436 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) (  _I  |`  x
) )  =  g )
381, 18, 19, 20, 21, 30, 24, 33setcco 14193 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g ( <.
w ,  x >. (comp `  C ) y ) f )  =  ( g  o.  f ) )
39 fco 5559 . . . . 5  |-  ( ( g : x --> y  /\  f : w --> x )  ->  ( g  o.  f ) : w --> y )
4033, 24, 39syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g  o.  f
) : w --> y )
411, 18, 14, 20, 30elsetchom 14191 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( g  o.  f )  e.  ( w (  Hom  `  C
) y )  <->  ( g  o.  f ) : w --> y ) )
4240, 41mpbird 224 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g  o.  f
)  e.  ( w (  Hom  `  C
) y ) )
4338, 42eqeltrd 2478 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g ( <.
w ,  x >. (comp `  C ) y ) f )  e.  ( w (  Hom  `  C
) y ) )
44 coass 5347 . . . 4  |-  ( ( h  o.  g )  o.  f )  =  ( h  o.  (
g  o.  f ) )
45 simpr2r 1017 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
z  e.  U )
46 simpr33 1049 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  h  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) )
471, 18, 14, 30, 45elsetchom 14191 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( h  e.  ( y (  Hom  `  C
) z )  <->  h :
y --> z ) )
4846, 47mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  h : y --> z )
49 fco 5559 . . . . . 6  |-  ( ( h : y --> z  /\  g : x --> y )  ->  (
h  o.  g ) : x --> z )
5048, 33, 49syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( h  o.  g
) : x --> z )
511, 18, 19, 20, 21, 45, 24, 50setcco 14193 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( h  o.  g ) ( <.
w ,  x >. (comp `  C ) z ) f )  =  ( ( h  o.  g
)  o.  f ) )
521, 18, 19, 20, 30, 45, 40, 48setcco 14193 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( h ( <.
w ,  y >.
(comp `  C )
z ) ( g  o.  f ) )  =  ( h  o.  ( g  o.  f
) ) )
5344, 51, 523eqtr4a 2462 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( h  o.  g ) ( <.
w ,  x >. (comp `  C ) z ) f )  =  ( h ( <. w ,  y >. (comp `  C ) z ) ( g  o.  f
) ) )
541, 18, 19, 21, 30, 45, 33, 48setcco 14193 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( h ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) g )  =  ( h  o.  g ) )
5554oveq1d 6055 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( h (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) g ) ( <. w ,  x >. (comp `  C )
z ) f )  =  ( ( h  o.  g ) (
<. w ,  x >. (comp `  C ) z ) f ) )
5638oveq2d 6056 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( h ( <.
w ,  y >.
(comp `  C )
z ) ( g ( <. w ,  x >. (comp `  C )
y ) f ) )  =  ( h ( <. w ,  y
>. (comp `  C )
z ) ( g  o.  f ) ) )
5753, 55, 563eqtr4d 2446 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  U  /\  x  e.  U )  /\  (
y  e.  U  /\  z  e.  U )  /\  ( f  e.  ( w (  Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( h (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) g ) ( <. w ,  x >. (comp `  C )
z ) f )  =  ( h (
<. w ,  y >.
(comp `  C )
z ) ( g ( <. w ,  x >. (comp `  C )
y ) f ) ) )
583, 4, 5, 8, 9, 17, 29, 37, 43, 57iscatd2 13861 1  |-  ( U  e.  V  ->  ( C  e.  Cat  /\  ( Id `  C )  =  ( x  e.  U  |->  (  _I  |`  x
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   <.cop 3777    e. cmpt 4226    _I cid 4453    |` cres 4839    o. ccom 4841   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    Hom chom 13495  compcco 13496   Catccat 13844   Idccid 13845   SetCatcsetc 14185
This theorem is referenced by:  setccat  14195  setcid  14196
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-hom 13508  df-cco 13509  df-cat 13848  df-cid 13849  df-setc 14186
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