MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setcbas Structured version   Unicode version

Theorem setcbas 15280
Description: Set of objects of the category of sets (in a universe). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
setcbas.c  |-  C  =  ( SetCat `  U )
setcbas.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
Assertion
Ref Expression
setcbas  |-  ( ph  ->  U  =  ( Base `  C ) )

Proof of Theorem setcbas
Dummy variables  f 
g  v  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setcbas.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
2 catstr 15201 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  U >. ,  <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x
) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( U  X.  U ) ,  z  e.  U  |->  ( g  e.  ( z  ^m  ( 2nd `  v
) ) ,  f  e.  ( ( 2nd `  v )  ^m  ( 1st `  v ) ) 
|->  ( g  o.  f
) ) ) >. } Struct  <. 1 , ; 1 5 >.
3 baseid 14553 . . . 4  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
4 snsstp1 4184 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  U >. }  C_  { <. (
Base `  ndx ) ,  U >. ,  <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x
) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( U  X.  U ) ,  z  e.  U  |->  ( g  e.  ( z  ^m  ( 2nd `  v
) ) ,  f  e.  ( ( 2nd `  v )  ^m  ( 1st `  v ) ) 
|->  ( g  o.  f
) ) ) >. }
52, 3, 4strfv 14541 . . 3  |-  ( U  e.  V  ->  U  =  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  U >. , 
<. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x ) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( U  X.  U
) ,  z  e.  U  |->  ( g  e.  ( z  ^m  ( 2nd `  v ) ) ,  f  e.  ( ( 2nd `  v
)  ^m  ( 1st `  v ) )  |->  ( g  o.  f ) ) ) >. } ) )
61, 5syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  U  =  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  U >. , 
<. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x ) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( U  X.  U
) ,  z  e.  U  |->  ( g  e.  ( z  ^m  ( 2nd `  v ) ) ,  f  e.  ( ( 2nd `  v
)  ^m  ( 1st `  v ) )  |->  ( g  o.  f ) ) ) >. } ) )
7 setcbas.c . . . 4  |-  C  =  ( SetCat `  U )
8 eqidd 2468 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x
) )  =  ( x  e.  U , 
y  e.  U  |->  ( y  ^m  x ) ) )
9 eqidd 2468 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( U  X.  U ) ,  z  e.  U  |->  ( g  e.  ( z  ^m  ( 2nd `  v ) ) ,  f  e.  ( ( 2nd `  v )  ^m  ( 1st `  v
) )  |->  ( g  o.  f ) ) )  =  ( v  e.  ( U  X.  U ) ,  z  e.  U  |->  ( g  e.  ( z  ^m  ( 2nd `  v ) ) ,  f  e.  ( ( 2nd `  v
)  ^m  ( 1st `  v ) )  |->  ( g  o.  f ) ) ) )
107, 1, 8, 9setcval 15279 . . 3  |-  ( ph  ->  C  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  U >. ,  <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x
) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( U  X.  U ) ,  z  e.  U  |->  ( g  e.  ( z  ^m  ( 2nd `  v
) ) ,  f  e.  ( ( 2nd `  v )  ^m  ( 1st `  v ) ) 
|->  ( g  o.  f
) ) ) >. } )
1110fveq2d 5876 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  C
)  =  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  U >. , 
<. ( Hom  `  ndx ) ,  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( y  ^m  x ) ) >. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( v  e.  ( U  X.  U
) ,  z  e.  U  |->  ( g  e.  ( z  ^m  ( 2nd `  v ) ) ,  f  e.  ( ( 2nd `  v
)  ^m  ( 1st `  v ) )  |->  ( g  o.  f ) ) ) >. } ) )
126, 11eqtr4d 2511 1  |-  ( ph  ->  U  =  ( Base `  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   {ctp 4037   <.cop 4039    X. cxp 5003    o. ccom 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   1stc1st 6793   2ndc2nd 6794    ^m cmap 7432   1c1 9505   5c5 10600  ;cdc 10988   ndxcnx 14504   Basecbs 14507   Hom chom 14583  compcco 14584   SetCatcsetc 15277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-hom 14596  df-cco 14597  df-setc 15278
This theorem is referenced by:  setccatid  15286  setcmon  15289  setcepi  15290  setcsect  15291  setcinv  15292  setciso  15293  resssetc  15294  funcsetcres2  15295  hofcl  15403  yonedalem3a  15418  yonedalem4c  15421  yonedalem3b  15423  yonedalem3  15424  yonedainv  15425  yonffthlem  15426  funcringcsetclem3  32378
  Copyright terms: Public domain W3C validator