Theorem sess2 4819

Description: Subset theorem for the set-like predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sess2	|- ( A C_ B -> ( R Se B -> R Se A ) )

Proof of Theorem sess2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssralv 3525	. . 3 |- ( A C_ B -> ( A. x e. B { y e. B | y R x } e. _V -> A. x e. A { y e. B | y R x } e. _V ) )
2		rabss2 3544	. . . . 5 |- ( A C_ B -> { y e. A | y R x } C_ { y e. B | y R x } )
3		ssexg 4567	. . . . . 6 |- ( ( { y e. A | y R x } C_ { y e. B | y R x } /\ { y e. B | y R x } e. _V ) -> { y e. A | y R x } e. _V )
4	3	ex 435	. . . . 5 |- ( { y e. A | y R x } C_ { y e. B | y R x } -> ( { y e. B | y R x } e. _V -> { y e. A | y R x } e. _V ) )
5	2, 4	syl 17	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( { y e. B | y R x } e. _V -> { y e. A | y R x } e. _V ) )
6	5	ralimdv 2835	. . 3 |- ( A C_ B -> ( A. x e. A { y e. B | y R x } e. _V -> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V ) )
7	1, 6	syld 45	. 2 |- ( A C_ B -> ( A. x e. B { y e. B | y R x } e. _V -> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V ) )
8		df-se 4810	. 2 |- ( R Se B <-> A. x e. B { y e. B | y R x } e. _V )
9		df-se 4810	. 2 |- ( R Se A <-> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
10	7, 8, 9	3imtr4g 273	1 |- ( A C_ B -> ( R Se B -> R Se A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1868   A.wral 2775   {crab 2779   _Vcvv 3081   C_ wss 3436   class class class wbr 4420   Se wse 4807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ral 2780  df-rab 2784  df-v 3083  df-in 3443  df-ss 3450  df-se 4810

This theorem is referenced by:  seeq2  4823  wereu2  4847  wfrlem5  7045  frmin  30475  frrlem5  30513