Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sermono Unicode version

Theorem sermono 11310
 Description: The partial sums in an infinite series of positive terms form a monotonic sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sermono.1
sermono.2
sermono.3
sermono.4
Assertion
Ref Expression
sermono
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem sermono
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sermono.2 . 2
2 elfzuz 11011 . . . 4
3 sermono.1 . . . 4
4 uztrn 10458 . . . 4
52, 3, 4syl2anr 465 . . 3
6 elfzuz3 11012 . . . . . . 7
76adantl 453 . . . . . 6
8 fzss2 11048 . . . . . 6
97, 8syl 16 . . . . 5
109sselda 3308 . . . 4
11 sermono.3 . . . . 5
1211adantlr 696 . . . 4
1310, 12syldan 457 . . 3
14 readdcl 9029 . . . 4
165, 13, 15seqcl 11298 . 2
17 simpr 448 . . . . . . 7
183adantr 452 . . . . . . . . 9
19 eluzelz 10452 . . . . . . . . 9
2018, 19syl 16 . . . . . . . 8
211adantr 452 . . . . . . . . . 10
22 eluzelz 10452 . . . . . . . . . 10
2321, 22syl 16 . . . . . . . . 9
24 peano2zm 10276 . . . . . . . . 9
2523, 24syl 16 . . . . . . . 8
26 elfzelz 11015 . . . . . . . . 9
2726adantl 453 . . . . . . . 8
28 1z 10267 . . . . . . . . 9
2928a1i 11 . . . . . . . 8
30 fzaddel 11043 . . . . . . . 8
3120, 25, 27, 29, 30syl22anc 1185 . . . . . . 7
3217, 31mpbid 202 . . . . . 6
33 zcn 10243 . . . . . . . . 9
34 ax-1cn 9004 . . . . . . . . 9
35 npcan 9270 . . . . . . . . 9
3633, 34, 35sylancl 644 . . . . . . . 8
3723, 36syl 16 . . . . . . 7
3837oveq2d 6056 . . . . . 6
3932, 38eleqtrd 2480 . . . . 5
40 sermono.4 . . . . . . 7
4140ralrimiva 2749 . . . . . 6
4241adantr 452 . . . . 5
43 fveq2 5687 . . . . . . 7
4443breq2d 4184 . . . . . 6
4544rspcv 3008 . . . . 5
4639, 42, 45sylc 58 . . . 4
47 fzelp1 11055 . . . . . . . 8
4847adantl 453 . . . . . . 7
4937oveq2d 6056 . . . . . . 7
5048, 49eleqtrd 2480 . . . . . 6
5150, 16syldan 457 . . . . 5
52 fzss1 11047 . . . . . . . 8
5318, 52syl 16 . . . . . . 7
54 fzp1elp1 11056 . . . . . . . . 9
5554adantl 453 . . . . . . . 8
5655, 49eleqtrd 2480 . . . . . . 7
5753, 56sseldd 3309 . . . . . 6
5811ralrimiva 2749 . . . . . . 7
5958adantr 452 . . . . . 6
6043eleq1d 2470 . . . . . . 7
6160rspcv 3008 . . . . . 6
6257, 59, 61sylc 58 . . . . 5
6351, 62addge01d 9570 . . . 4
6446, 63mpbid 202 . . 3
6550, 5syldan 457 . . . 4
66 seqp1 11293 . . . 4
6765, 66syl 16 . . 3
6864, 67breqtrrd 4198 . 2
691, 16, 68monoord 11308 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1649   wcel 1721  wral 2666   wss 3280   class class class wbr 4172  cfv 5413  (class class class)co 6040  cc 8944  cr 8945  cc0 8946  c1 8947   caddc 8949   cle 9077   cmin 9247  cz 10238  cuz 10444  cfz 10999   cseq 11278 This theorem is referenced by:  cvgcmp  12550  isumsup2  12581  climcnds  12586  ovolunlem1a  19345  mblfinlem  26143 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-seq 11279
 Copyright terms: Public domain W3C validator