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Theorem serf0 13452
Description: If an infinite series converges, its underlying sequence converges to zero. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgb.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
serf0.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
serf0.3  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
serf0.4  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
serf0.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
serf0  |-  ( ph  ->  F  ~~>  0 )
Distinct variable groups:    k, F    k, M    k, Z    ph, k    k, V

Proof of Theorem serf0
Dummy variables  j  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 serf0.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
2 serf0.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 caucvgb.1 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
43caucvgb 13451 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq M
(  +  ,  F
) `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
52, 1, 4syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq M
(  +  ,  F
) `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
61, 5mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq M (  +  ,  F ) `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  < 
x ) )
73cau3 13137 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq M
(  +  ,  F
) `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq M
(  +  ,  F
) `  m )  e.  CC  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x ) )
86, 7sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq M (  +  ,  F ) `  m )  e.  CC  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x ) )
93peano2uzs 11124 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Z  ->  (
j  +  1 )  e.  Z )
109adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
j  +  1 )  e.  Z )
11 eluzelz 11080 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  m  e.  ZZ )
12 uzid 11085 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  ( ZZ>= `  m )
)
13 peano2uz 11123 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  m
)  ->  ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  m )
)
14 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
)  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) )
1514oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `
 m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( m  +  1
) ) ) )
1615fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  m
)  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  =  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) ) )
1716breq1d 4450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x  <->  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  < 
x ) )
1817rspcv 3203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  m
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `
 k ) ) )  <  x  -> 
( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  < 
x ) )
1911, 12, 13, 184syl 21 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `
 k ) ) )  <  x  -> 
( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  < 
x ) )
2019adantld 467 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( (
(  seq M (  +  ,  F ) `  m )  e.  CC  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x )  ->  ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  m
)  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  < 
x ) )
2120ralimia 2848 . . . . . . 7  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq M (  +  ,  F ) `  m )  e.  CC  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  < 
x )
22 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  Z )
2322, 3syl6eleq 2558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
24 eluzelz 11080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ZZ )
26 eluzp1m1 11094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  -> 
( k  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  j ) )
2725, 26sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( k  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  j )
)
28 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  m
)  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
k  -  1 ) ) )
29 oveq1 6282 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
m  +  1 )  =  ( ( k  -  1 )  +  1 ) )
3029fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) )  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) )
3128, 30oveq12d 6293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( k  - 
1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( ( k  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
3231fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  m
)  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  =  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) ) )
3332breq1d 4450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  < 
x  <->  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  < 
x ) )
3433rspcv 3203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( m  + 
1 ) ) ) )  <  x  -> 
( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  < 
x ) )
3527, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( m  + 
1 ) ) ) )  <  x  -> 
( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  < 
x ) )
36 serf0.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
373, 2, 36serf 12091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F ) : Z --> CC )
3837ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  seq M (  +  ,  F ) : Z --> CC )
393uztrn2 11088 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  Z  /\  ( k  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( k  -  1 )  e.  Z )
4022, 39sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  j
) )  ->  (
k  -  1 )  e.  Z )
4127, 40syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( k  -  1 )  e.  Z )
4238, 41ffvelrnd 6013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
k  -  1 ) )  e.  CC )
433uztrn2 11088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  -> 
k  e.  Z )
4410, 43sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  Z )
4538, 44ffvelrnd 6013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
)  e.  CC )
4642, 45abssubd 13233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq M
(  +  ,  F
) `  k )
) )  =  ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  k )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
k  -  1 ) ) ) ) )
47 eluzelz 11080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
j  +  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
4847adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
4948zcnd 10956 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
50 ax-1cn 9539 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
51 npcan 9818 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  - 
1 )  +  1 )  =  k )
5249, 50, 51sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( (
k  -  1 )  +  1 )  =  k )
5352fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( k  -  1 )  +  1 ) )  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) )
5453oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  (
k  -  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( k  - 
1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  k ) ) )
5554fveq2d 5861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( (
k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) ) )
562ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
57 eluzp1p1 11096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
5823, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
59 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) )
6059uztrn2 11088 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
6158, 60sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
62 seqm1 12080 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
(  seq M (  +  ,  F ) `  k )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( k  - 
1 ) )  +  ( F `  k
) ) )
6356, 61, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
)  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) )  +  ( F `  k ) ) )
6463oveq1d 6290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  k
)  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
k  -  1 ) ) )  =  ( ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( k  -  1 ) )  +  ( F `  k ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) ) ) )
6536adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
6644, 65syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
6742, 66pncan2d 9921 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) )  +  ( F `  k ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
k  -  1 ) ) )  =  ( F `  k ) )
6864, 67eqtr2d 2502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `
 k )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) ) ) )
6968fveq2d 5861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  =  ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  k )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
k  -  1 ) ) ) ) )
7046, 55, 693eqtr4d 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( (
k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( abs `  ( F `
 k ) ) )
7170breq1d 4450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  (
k  -  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  < 
x  <->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
7235, 71sylibd 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( m  + 
1 ) ) ) )  <  x  -> 
( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
7372ralrimdva 2875 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  < 
x  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) ( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
7421, 73syl5 32 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( (  seq M (  +  ,  F ) `
 m )  e.  CC  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) ( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
75 fveq2 5857 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( ZZ>=
`  n )  =  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )
7675raleqdv 3057 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  x  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) ( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
7776rspcev 3207 . . . . . 6  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  x
)  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
7810, 74, 77syl6an 545 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( (  seq M (  +  ,  F ) `
 m )  e.  CC  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x )  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
7978rexlimdva 2948 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq M
(  +  ,  F
) `  m )  e.  CC  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x )  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
8079ralimdv 2867 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( (  seq M (  +  ,  F ) `
 m )  e.  CC  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x )  ->  A. x  e.  RR+  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
818, 80mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  x
)
82 serf0.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
83 eqidd 2461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
843, 2, 82, 83, 36clim0c 13279 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  0  <->  A. x  e.  RR+  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
8581, 84mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   class class class wbr 4440   dom cdm 4992   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    < clt 9617    - cmin 9794   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071   RR+crp 11209    seqcseq 12063   abscabs 13017    ~~> cli 13256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-ico 11524  df-fz 11662  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-limsup 13243  df-clim 13260  df-rlim 13261
This theorem is referenced by:  mertenslem2  13646  radcnvlem1  22535
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