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Theorem serf0 13161
Description: If an infinite series converges, its underlying sequence converges to zero. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgb.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
serf0.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
serf0.3  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
serf0.4  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
serf0.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
serf0  |-  ( ph  ->  F  ~~>  0 )
Distinct variable groups:    k, F    k, M    k, Z    ph, k    k, V

Proof of Theorem serf0
Dummy variables  j  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 serf0.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
2 serf0.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 caucvgb.1 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
43caucvgb 13160 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq M
(  +  ,  F
) `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
52, 1, 4syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq M
(  +  ,  F
) `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
61, 5mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq M (  +  ,  F ) `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  < 
x ) )
73cau3 12846 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq M
(  +  ,  F
) `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq M
(  +  ,  F
) `  m )  e.  CC  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x ) )
86, 7sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq M (  +  ,  F ) `  m )  e.  CC  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x ) )
93peano2uzs 10912 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Z  ->  (
j  +  1 )  e.  Z )
109adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
j  +  1 )  e.  Z )
11 eluzelz 10873 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  m  e.  ZZ )
12 uzid 10878 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  ( ZZ>= `  m )
)
13 peano2uz 10911 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  m
)  ->  ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  m )
)
14 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
)  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) )
1514oveq2d 6110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `
 m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( m  +  1
) ) ) )
1615fveq2d 5698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  m
)  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  =  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) ) )
1716breq1d 4305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x  <->  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  < 
x ) )
1817rspcv 3072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  m
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `
 k ) ) )  <  x  -> 
( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  < 
x ) )
1911, 12, 13, 184syl 21 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `
 k ) ) )  <  x  -> 
( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  < 
x ) )
2019adantld 467 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( (
(  seq M (  +  ,  F ) `  m )  e.  CC  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x )  ->  ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  m
)  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  < 
x ) )
2120ralimia 2792 . . . . . . 7  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq M (  +  ,  F ) `  m )  e.  CC  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  < 
x )
22 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  Z )
2322, 3syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
24 eluzelz 10873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ZZ )
26 eluzp1m1 10887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  -> 
( k  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  j ) )
2725, 26sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( k  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  j )
)
28 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  m
)  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
k  -  1 ) ) )
29 oveq1 6101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
m  +  1 )  =  ( ( k  -  1 )  +  1 ) )
3029fveq2d 5698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) )  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) )
3128, 30oveq12d 6112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( k  - 
1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( ( k  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
3231fveq2d 5698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  m
)  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  =  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) ) )
3332breq1d 4305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  < 
x  <->  ( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  < 
x ) )
3433rspcv 3072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( m  + 
1 ) ) ) )  <  x  -> 
( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  < 
x ) )
3527, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( m  + 
1 ) ) ) )  <  x  -> 
( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  < 
x ) )
36 serf0.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
373, 2, 36serf 11837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F ) : Z --> CC )
3837ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  seq M (  +  ,  F ) : Z --> CC )
393uztrn2 10881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  Z  /\  ( k  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( k  -  1 )  e.  Z )
4022, 39sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  (
k  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  j
) )  ->  (
k  -  1 )  e.  Z )
4127, 40syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( k  -  1 )  e.  Z )
4238, 41ffvelrnd 5847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
k  -  1 ) )  e.  CC )
433uztrn2 10881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  -> 
k  e.  Z )
4410, 43sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  Z )
4538, 44ffvelrnd 5847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
)  e.  CC )
4642, 45abssubd 12942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq M
(  +  ,  F
) `  k )
) )  =  ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  k )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
k  -  1 ) ) ) ) )
47 eluzelz 10873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
j  +  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
4847adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
4948zcnd 10751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
50 ax-1cn 9343 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
51 npcan 9622 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  - 
1 )  +  1 )  =  k )
5249, 50, 51sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( (
k  -  1 )  +  1 )  =  k )
5352fveq2d 5698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( k  -  1 )  +  1 ) )  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) )
5453oveq2d 6110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  (
k  -  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( k  - 
1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  k ) ) )
5554fveq2d 5698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( (
k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) ) )
562ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
57 eluzp1p1 10889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
5823, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
59 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) )
6059uztrn2 10881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
6158, 60sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
62 seqm1 11826 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
(  seq M (  +  ,  F ) `  k )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( k  - 
1 ) )  +  ( F `  k
) ) )
6356, 61, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
)  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) )  +  ( F `  k ) ) )
6463oveq1d 6109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  k
)  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
k  -  1 ) ) )  =  ( ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( k  -  1 ) )  +  ( F `  k ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) ) ) )
6536adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
6644, 65syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
6742, 66pncan2d 9724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) )  +  ( F `  k ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
k  -  1 ) ) )  =  ( F `  k ) )
6864, 67eqtr2d 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `
 k )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( k  -  1 ) ) ) )
6968fveq2d 5698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  =  ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  k )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
k  -  1 ) ) ) ) )
7046, 55, 693eqtr4d 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( k  -  1 ) )  -  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( (
k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( abs `  ( F `
 k ) ) )
7170breq1d 4305 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  (
k  -  1 ) )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  < 
x  <->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
7235, 71sylibd 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( m  + 
1 ) ) ) )  <  x  -> 
( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
7372ralrimdva 2809 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) ) )  < 
x  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) ( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
7421, 73syl5 32 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( (  seq M (  +  ,  F ) `
 m )  e.  CC  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) ( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
75 fveq2 5694 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( ZZ>=
`  n )  =  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )
7675raleqdv 2926 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  x  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) ( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
7776rspcev 3076 . . . . . 6  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  x
)  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
7810, 74, 77syl6an 545 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( (  seq M (  +  ,  F ) `
 m )  e.  CC  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x )  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
7978rexlimdva 2844 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq M
(  +  ,  F
) `  m )  e.  CC  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x )  ->  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
8079ralimdv 2798 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( (  seq M (  +  ,  F ) `
 m )  e.  CC  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( abs `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  m )  -  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) )  < 
x )  ->  A. x  e.  RR+  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
818, 80mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  x
)
82 serf0.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
83 eqidd 2444 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
843, 2, 82, 83, 36clim0c 12988 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  0  <->  A. x  e.  RR+  E. n  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  k )
)  <  x )
)
8581, 84mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2718   E.wrex 2719   class class class wbr 4295   dom cdm 4843   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   CCcc 9283   0cc0 9285   1c1 9286    + caddc 9288    < clt 9421    - cmin 9598   ZZcz 10649   ZZ>=cuz 10864   RR+crp 10994    seqcseq 11809   abscabs 12726    ~~> cli 12965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363  ax-addf 9364  ax-mulf 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-er 7104  df-pm 7220  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-sup 7694  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-rp 10995  df-ico 11309  df-fz 11441  df-fl 11645  df-seq 11810  df-exp 11869  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-limsup 12952  df-clim 12969  df-rlim 12970
This theorem is referenced by:  mertenslem2  13348  radcnvlem1  21881
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