Theorem ser1ser0i 8308

Description: A 1-based infinite series in terms of a 0-based infinite series.

Hypotheses

Ref	Expression
ser1ser0.1	|- F e. _V
ser1ser0.2	|- (k e. NN0 -> (F` k) e. CC)

Assertion

Ref	Expression
ser1ser0i	|- (N e. NN -> (( + seq1 F)` N) = ((( + seq0 F)` N) - (F` 0)))

Distinct variable groups:   k,F   k,N

Proof of Theorem ser1ser0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 7362	. . . . 5 |- (N e. NN -> N e. ZZ)
2		elnnuz 7609	. . . . . 6 |- (N e. NN <-> N e. (ZZ>=` 1))
3		eluzfz2 7659	. . . . . 6 |- (N e. (ZZ>=` 1) -> N e. (1...N))
4	2, 3	sylbi 216	. . . . 5 |- (N e. NN -> N e. (1...N))
5		elfznn0 7668	. . . . . . . 8 |- (k e. (0...N) -> k e. NN0)
6		ser1ser0.2	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> (F` k) e. CC)
7	5, 6	syl 12	. . . . . . 7 |- (k e. (0...N) -> (F` k) e. CC)
8	7	rgen 2159	. . . . . 6 |- A.k e. (0...N)(F` k) e. CC
9	8	a1i 8	. . . . 5 |- (N e. NN -> A.k e. (0...N)(F` k) e. CC)
10		fsum0split 8281	. . . . 5 |- ((N e. ZZ /\ N e. (1...N) /\ A.k e. (0...N)(F` k) e. CC) -> sum_k e. (0...N)(F` k) = (sum_k e. (0...(N - N))(F` k) + sum_k e. (((N - N) + 1)...N)(F` k)))
11	1, 4, 9, 10	syl111anc 1100	. . . 4 |- (N e. NN -> sum_k e. (0...N)(F` k) = (sum_k e. (0...(N - N))(F` k) + sum_k e. (((N - N) + 1)...N)(F` k)))
12		nnnn0 7315	. . . . 5 |- (N e. NN -> N e. NN0)
13		ser1ser0.1	. . . . . 6 |- F e. _V
14		ax-17 1317	. . . . . 6 |- (x e. F -> A.k x e. F)
15	13, 14	fsumser0fi 8261	. . . . 5 |- (N e. NN0 -> sum_k e. (0...N)(F` k) = (( + seq0 F)` N))
16	12, 15	syl 12	. . . 4 |- (N e. NN -> sum_k e. (0...N)(F` k) = (( + seq0 F)` N))
17		nncn 7113	. . . . . . . . . 10 |- (N e. NN -> N e. CC)
18		subid 6555	. . . . . . . . . 10 |- (N e. CC -> (N - N) = 0)
19	17, 18	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN -> (N - N) = 0)
20	19	opreq2d 4898	. . . . . . . 8 |- (N e. NN -> (0...(N - N)) = (0...0))
21	20	sumeq1d 8250	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> sum_k e. (0...(N - N))(F` k) = sum_k e. (0...0)(F` k))
22		0nn0 7322	. . . . . . . 8 |- 0 e. NN0
23	13, 14	fsumser0fi 8261	. . . . . . . 8 |- (0 e. NN0 -> sum_k e. (0...0)(F` k) = (( + seq0 F)` 0))
24	22, 23	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- sum_k e. (0...0)(F` k) = (( + seq0 F)` 0)
25	21, 24	syl6eq 1944	. . . . . 6 |- (N e. NN -> sum_k e. (0...(N - N))(F` k) = (( + seq0 F)` 0))
26		addex 6470	. . . . . . 7 |- + e. _V
27	26, 13	seq00 7793	. . . . . 6 |- (( + seq0 F)` 0) = (F` 0)
28	25, 27	syl6eq 1944	. . . . 5 |- (N e. NN -> sum_k e. (0...(N - N))(F` k) = (F` 0))
29	19	opreq1d 4897	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN -> ((N - N) + 1) = (0 + 1))
30		ax1cn 6422	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
31	30	addid2i 6484	. . . . . . . . 9 |- (0 + 1) = 1
32	29, 31	syl6eq 1944	. . . . . . . 8 |- (N e. NN -> ((N - N) + 1) = 1)
33	32	opreq1d 4897	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> (((N - N) + 1)...N) = (1...N))
34	33	sumeq1d 8250	. . . . . 6 |- (N e. NN -> sum_k e. (((N - N) + 1)...N)(F` k) = sum_k e. (1...N)(F` k))
35	13, 14	fsumser1fi 8262	. . . . . 6 |- (N e. NN -> sum_k e. (1...N)(F` k) = (( + seq1 F)` N))
36	34, 35	eqtrd 1925	. . . . 5 |- (N e. NN -> sum_k e. (((N - N) + 1)...N)(F` k) = (( + seq1 F)` N))
37	28, 36	opreq12d 4900	. . . 4 |- (N e. NN -> (sum_k e. (0...(N - N))(F` k) + sum_k e. (((N - N) + 1)...N)(F` k)) = ((F` 0) + (( + seq1 F)` N)))
38	11, 16, 37	3eqtr3rd 1936	. . 3 |- (N e. NN -> ((F` 0) + (( + seq1 F)` N)) = (( + seq0 F)` N))
39	13	ser0cl 8306	. . . . 5 |- ((N e. NN0 /\ A.k e. (0...N)(F` k) e. CC) -> (( + seq0 F)` N) e. CC)
40	39, 12, 8	sylancl 525	. . . 4 |- (N e. NN -> (( + seq0 F)` N) e. CC)
41		fveq2 4681	. . . . . . . 8 |- (k = 0 -> (F` k) = (F` 0))
42	41	eleq1d 1963	. . . . . . 7 |- (k = 0 -> ((F` k) e. CC <-> (F` 0) e. CC))
43	42, 6	vtoclga 2352	. . . . . 6 |- (0 e. NN0 -> (F` 0) e. CC)
44	22, 43	ax-mp 7	. . . . 5 |- (F` 0) e. CC
45	44	a1i 8	. . . 4 |- (N e. NN -> (F` 0) e. CC)
46		elfznn 7666	. . . . . . 7 |- (k e. (1...N) -> k e. NN)
47		nnnn0 7315	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> k e. NN0)
48	46, 47, 6	3syl 24	. . . . . 6 |- (k e. (1...N) -> (F` k) e. CC)
49	48	rgen 2159	. . . . 5 |- A.k e. (1...N)(F` k) e. CC
50	13	ser1cl 8307	. . . . 5 |- ((N e. NN /\ A.k e. (1...N)(F` k) e. CC) -> (( + seq1 F)` N) e. CC)
51	49, 50	mpan2 760	. . . 4 |- (N e. NN -> (( + seq1 F)` N) e. CC)
52		subadd 6532	. . . 4 |- (((( + seq0 F)` N) e. CC /\ (F` 0) e. CC /\ (( + seq1 F)` N) e. CC) -> (((( + seq0 F)` N) - (F` 0)) = (( + seq1 F)` N) <-> ((F` 0) + (( + seq1 F)` N)) = (( + seq0 F)` N)))
53	40, 45, 51, 52	syl111anc 1100	. . 3 |- (N e. NN -> (((( + seq0 F)` N) - (F` 0)) = (( + seq1 F)` N) <-> ((F` 0) + (( + seq1 F)` N)) = (( + seq0 F)` N)))
54	38, 53	mpbird 213	. 2 |- (N e. NN -> ((( + seq0 F)` N) - (F` 0)) = (( + seq1 F)` N))
55	54	eqcomd 1889	1 |- (N e. NN -> (( + seq1 F)` N) = ((( + seq0 F)` N) - (F` 0)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   - cmin 6445  NNcn 6449  NN0cn0 6450  ZZcz 6451  ZZ>=cuz 7586  ...cfz 7637   seq1 cseq1 7720   seq0 cseq0 7775  sum_csu 8239

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-seq0 7777  df-sum 8240

Copyright terms: Public domain