Theorem ser1cmpi 8434

Description: Comparison of partial sums of two infinite series of reals.

Hypotheses

Ref	Expression
ser1cmp.1	|- F:NN-->RR
ser1cmp.2	|- G:NN-->RR
ser1cmp.3	|- (x e. NN -> (G` x) <_ (F` x))

Assertion

Ref	Expression
ser1cmpi	|- (A e. NN -> (( + seq1 G)` A) <_ (( + seq1 F)` A))

Distinct variable groups:   x,F   x,G

Proof of Theorem ser1cmpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 4681	. . 3 |- (y = 1 -> (( + seq1 G)` y) = (( + seq1 G)` 1))
2		fveq2 4681	. . 3 |- (y = 1 -> (( + seq1 F)` y) = (( + seq1 F)` 1))
3	1, 2	breq12d 3351	. 2 |- (y = 1 -> ((( + seq1 G)` y) <_ (( + seq1 F)` y) <-> (( + seq1 G)` 1) <_ (( + seq1 F)` 1)))
4		fveq2 4681	. . 3 |- (y = z -> (( + seq1 G)` y) = (( + seq1 G)` z))
5		fveq2 4681	. . 3 |- (y = z -> (( + seq1 F)` y) = (( + seq1 F)` z))
6	4, 5	breq12d 3351	. 2 |- (y = z -> ((( + seq1 G)` y) <_ (( + seq1 F)` y) <-> (( + seq1 G)` z) <_ (( + seq1 F)` z)))
7		fveq2 4681	. . 3 |- (y = (z + 1) -> (( + seq1 G)` y) = (( + seq1 G)` (z + 1)))
8		fveq2 4681	. . 3 |- (y = (z + 1) -> (( + seq1 F)` y) = (( + seq1 F)` (z + 1)))
9	7, 8	breq12d 3351	. 2 |- (y = (z + 1) -> ((( + seq1 G)` y) <_ (( + seq1 F)` y) <-> (( + seq1 G)` (z + 1)) <_ (( + seq1 F)` (z + 1))))
10		fveq2 4681	. . 3 |- (y = A -> (( + seq1 G)` y) = (( + seq1 G)` A))
11		fveq2 4681	. . 3 |- (y = A -> (( + seq1 F)` y) = (( + seq1 F)` A))
12	10, 11	breq12d 3351	. 2 |- (y = A -> ((( + seq1 G)` y) <_ (( + seq1 F)` y) <-> (( + seq1 G)` A) <_ (( + seq1 F)` A)))
13		1nn 7117	. . . 4 |- 1 e. NN
14		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (x = 1 -> (G` x) = (G` 1))
15		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (x = 1 -> (F` x) = (F` 1))
16	14, 15	breq12d 3351	. . . . 5 |- (x = 1 -> ((G` x) <_ (F` x) <-> (G` 1) <_ (F` 1)))
17		ser1cmp.3	. . . . 5 |- (x e. NN -> (G` x) <_ (F` x))
18	16, 17	vtoclga 2352	. . . 4 |- (1 e. NN -> (G` 1) <_ (F` 1))
19	13, 18	ax-mp 7	. . 3 |- (G` 1) <_ (F` 1)
20		addex 6470	. . . 4 |- + e. _V
21		ser1cmp.2	. . . . 5 |- G:NN-->RR
22		nnex 7116	. . . . 5 |- NN e. _V
23		fex 4595	. . . . 5 |- ((G:NN-->RR /\ NN e. _V) -> G e. _V)
24	21, 22, 23	mp2an 761	. . . 4 |- G e. _V
25	20, 24	seq11 7730	. . 3 |- (( + seq1 G)` 1) = (G` 1)
26		ser1cmp.1	. . . . 5 |- F:NN-->RR
27		fex 4595	. . . . 5 |- ((F:NN-->RR /\ NN e. _V) -> F e. _V)
28	26, 22, 27	mp2an 761	. . . 4 |- F e. _V
29	20, 28	seq11 7730	. . 3 |- (( + seq1 F)` 1) = (F` 1)
30	19, 25, 29	3brtr4i 3365	. 2 |- (( + seq1 G)` 1) <_ (( + seq1 F)` 1)
31	21	ser1recli 7744	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> (( + seq1 G)` z) e. RR)
32		peano2nn 7118	. . . . . . . 8 |- (z e. NN -> (z + 1) e. NN)
33	21	ffvelrni 4788	. . . . . . . 8 |- ((z + 1) e. NN -> (G` (z + 1)) e. RR)
34	32, 33	syl 12	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> (G` (z + 1)) e. RR)
35		readdcl 6455	. . . . . . 7 |- (((( + seq1 G)` z) e. RR /\ (G` (z + 1)) e. RR) -> ((( + seq1 G)` z) + (G` (z + 1))) e. RR)
36	31, 34, 35	syl11anc 524	. . . . . 6 |- (z e. NN -> ((( + seq1 G)` z) + (G` (z + 1))) e. RR)
37	36	adantr 425	. . . . 5 |- ((z e. NN /\ (( + seq1 G)` z) <_ (( + seq1 F)` z)) -> ((( + seq1 G)` z) + (G` (z + 1))) e. RR)
38	26	ser1recli 7744	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> (( + seq1 F)` z) e. RR)
39		readdcl 6455	. . . . . . 7 |- (((( + seq1 F)` z) e. RR /\ (G` (z + 1)) e. RR) -> ((( + seq1 F)` z) + (G` (z + 1))) e. RR)
40	38, 34, 39	syl11anc 524	. . . . . 6 |- (z e. NN -> ((( + seq1 F)` z) + (G` (z + 1))) e. RR)
41	40	adantr 425	. . . . 5 |- ((z e. NN /\ (( + seq1 G)` z) <_ (( + seq1 F)` z)) -> ((( + seq1 F)` z) + (G` (z + 1))) e. RR)
42	26	ffvelrni 4788	. . . . . . . 8 |- ((z + 1) e. NN -> (F` (z + 1)) e. RR)
43	32, 42	syl 12	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> (F` (z + 1)) e. RR)
44		readdcl 6455	. . . . . . 7 |- (((( + seq1 F)` z) e. RR /\ (F` (z + 1)) e. RR) -> ((( + seq1 F)` z) + (F` (z + 1))) e. RR)
45	38, 43, 44	syl11anc 524	. . . . . 6 |- (z e. NN -> ((( + seq1 F)` z) + (F` (z + 1))) e. RR)
46	45	adantr 425	. . . . 5 |- ((z e. NN /\ (( + seq1 G)` z) <_ (( + seq1 F)` z)) -> ((( + seq1 F)` z) + (F` (z + 1))) e. RR)
47		leadd1 6808	. . . . . . 7 |- (((( + seq1 G)` z) e. RR /\ (( + seq1 F)` z) e. RR /\ (G` (z + 1)) e. RR) -> ((( + seq1 G)` z) <_ (( + seq1 F)` z) <-> ((( + seq1 G)` z) + (G` (z + 1))) <_ ((( + seq1 F)` z) + (G` (z + 1)))))
48	31, 38, 34, 47	syl111anc 1100	. . . . . 6 |- (z e. NN -> ((( + seq1 G)` z) <_ (( + seq1 F)` z) <-> ((( + seq1 G)` z) + (G` (z + 1))) <_ ((( + seq1 F)` z) + (G` (z + 1)))))
49	48	biimpa 460	. . . . 5 |- ((z e. NN /\ (( + seq1 G)` z) <_ (( + seq1 F)` z)) -> ((( + seq1 G)` z) + (G` (z + 1))) <_ ((( + seq1 F)` z) + (G` (z + 1))))
50		fveq2 4681	. . . . . . . . . 10 |- (x = (z + 1) -> (G` x) = (G` (z + 1)))
51		fveq2 4681	. . . . . . . . . 10 |- (x = (z + 1) -> (F` x) = (F` (z + 1)))
52	50, 51	breq12d 3351	. . . . . . . . 9 |- (x = (z + 1) -> ((G` x) <_ (F` x) <-> (G` (z + 1)) <_ (F` (z + 1))))
53	52, 17	vtoclga 2352	. . . . . . . 8 |- ((z + 1) e. NN -> (G` (z + 1)) <_ (F` (z + 1)))
54	32, 53	syl 12	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> (G` (z + 1)) <_ (F` (z + 1)))
55		leadd2 6809	. . . . . . . 8 |- (((G` (z + 1)) e. RR /\ (F` (z + 1)) e. RR /\ (( + seq1 F)` z) e. RR) -> ((G` (z + 1)) <_ (F` (z + 1)) <-> ((( + seq1 F)` z) + (G` (z + 1))) <_ ((( + seq1 F)` z) + (F` (z + 1)))))
56	34, 43, 38, 55	syl111anc 1100	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> ((G` (z + 1)) <_ (F` (z + 1)) <-> ((( + seq1 F)` z) + (G` (z + 1))) <_ ((( + seq1 F)` z) + (F` (z + 1)))))
57	54, 56	mpbid 212	. . . . . 6 |- (z e. NN -> ((( + seq1 F)` z) + (G` (z + 1))) <_ ((( + seq1 F)` z) + (F` (z + 1))))
58	57	adantr 425	. . . . 5 |- ((z e. NN /\ (( + seq1 G)` z) <_ (( + seq1 F)` z)) -> ((( + seq1 F)` z) + (G` (z + 1))) <_ ((( + seq1 F)` z) + (F` (z + 1))))
59	37, 41, 46, 49, 58	letrd 6696	. . . 4 |- ((z e. NN /\ (( + seq1 G)` z) <_ (( + seq1 F)` z)) -> ((( + seq1 G)` z) + (G` (z + 1))) <_ ((( + seq1 F)` z) + (F` (z + 1))))
60	20, 24	seq1p1 7731	. . . . 5 |- (z e. NN -> (( + seq1 G)` (z + 1)) = ((( + seq1 G)` z) + (G` (z + 1))))
61	60	adantr 425	. . . 4 |- ((z e. NN /\ (( + seq1 G)` z) <_ (( + seq1 F)` z)) -> (( + seq1 G)` (z + 1)) = ((( + seq1 G)` z) + (G` (z + 1))))
62	20, 28	seq1p1 7731	. . . . 5 |- (z e. NN -> (( + seq1 F)` (z + 1)) = ((( + seq1 F)` z) + (F` (z + 1))))
63	62	adantr 425	. . . 4 |- ((z e. NN /\ (( + seq1 G)` z) <_ (( + seq1 F)` z)) -> (( + seq1 F)` (z + 1)) = ((( + seq1 F)` z) + (F` (z + 1))))
64	59, 61, 63	3brtr4d 3367	. . 3 |- ((z e. NN /\ (( + seq1 G)` z) <_ (( + seq1 F)` z)) -> (( + seq1 G)` (z + 1)) <_ (( + seq1 F)` (z + 1)))
65	64	ex 402	. 2 |- (z e. NN -> ((( + seq1 G)` z) <_ (( + seq1 F)` z) -> (( + seq1 G)` (z + 1)) <_ (( + seq1 F)` (z + 1))))
66	3, 6, 9, 12, 30, 65	nnind 7120	1 |- (A e. NN -> (( + seq1 G)` A) <_ (( + seq1 F)` A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  1c1 6387   + caddc 6389   <_ cle 6448  NNcn 6449   seq1 cseq1 7720

This theorem is referenced by:  ser1cmp0i 8435  cvgcmpubi 8446

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721

Copyright terms: Public domain