Theorem ser1cmp2i 8437

Description: Comparison of partial sums of two infinite series of reals that excludes an initial segment.

Hypotheses

Ref	Expression
ser1cmp2.1	|- F:NN-->RR
ser1cmp2.2	|- G:NN-->RR
ser1cmp2.3	|- (x e. NN -> 0 <_ (F` x))
ser1cmp2.4	|- ((x e. NN /\ B < x) -> (G` x) <_ (F` x))
ser1cmp2.5	|- S = sup(ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B}), RR, < )

Assertion

Ref	Expression
ser1cmp2i	|- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (( + seq1 G)` A) <_ (S + (( + seq1 F)` A)))

Distinct variable groups:   x,y,B   x,F   x,G

Proof of Theorem ser1cmp2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 4681	. . . . 5 |- (z = 1 -> (( + seq1 G)` z) = (( + seq1 G)` 1))
2		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (z = 1 -> (( + seq1 F)` z) = (( + seq1 F)` 1))
3	2	opreq2d 4898	. . . . 5 |- (z = 1 -> (S + (( + seq1 F)` z)) = (S + (( + seq1 F)` 1)))
4	1, 3	breq12d 3351	. . . 4 |- (z = 1 -> ((( + seq1 G)` z) <_ (S + (( + seq1 F)` z)) <-> (( + seq1 G)` 1) <_ (S + (( + seq1 F)` 1))))
5	4	imbi2d 674	. . 3 |- (z = 1 -> ((B e. NN -> (( + seq1 G)` z) <_ (S + (( + seq1 F)` z))) <-> (B e. NN -> (( + seq1 G)` 1) <_ (S + (( + seq1 F)` 1)))))
6		fveq2 4681	. . . . 5 |- (z = w -> (( + seq1 G)` z) = (( + seq1 G)` w))
7		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (z = w -> (( + seq1 F)` z) = (( + seq1 F)` w))
8	7	opreq2d 4898	. . . . 5 |- (z = w -> (S + (( + seq1 F)` z)) = (S + (( + seq1 F)` w)))
9	6, 8	breq12d 3351	. . . 4 |- (z = w -> ((( + seq1 G)` z) <_ (S + (( + seq1 F)` z)) <-> (( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w))))
10	9	imbi2d 674	. . 3 |- (z = w -> ((B e. NN -> (( + seq1 G)` z) <_ (S + (( + seq1 F)` z))) <-> (B e. NN -> (( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w)))))
11		fveq2 4681	. . . . 5 |- (z = (w + 1) -> (( + seq1 G)` z) = (( + seq1 G)` (w + 1)))
12		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (z = (w + 1) -> (( + seq1 F)` z) = (( + seq1 F)` (w + 1)))
13	12	opreq2d 4898	. . . . 5 |- (z = (w + 1) -> (S + (( + seq1 F)` z)) = (S + (( + seq1 F)` (w + 1))))
14	11, 13	breq12d 3351	. . . 4 |- (z = (w + 1) -> ((( + seq1 G)` z) <_ (S + (( + seq1 F)` z)) <-> (( + seq1 G)` (w + 1)) <_ (S + (( + seq1 F)` (w + 1)))))
15	14	imbi2d 674	. . 3 |- (z = (w + 1) -> ((B e. NN -> (( + seq1 G)` z) <_ (S + (( + seq1 F)` z))) <-> (B e. NN -> (( + seq1 G)` (w + 1)) <_ (S + (( + seq1 F)` (w + 1))))))
16		fveq2 4681	. . . . 5 |- (z = A -> (( + seq1 G)` z) = (( + seq1 G)` A))
17		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (z = A -> (( + seq1 F)` z) = (( + seq1 F)` A))
18	17	opreq2d 4898	. . . . 5 |- (z = A -> (S + (( + seq1 F)` z)) = (S + (( + seq1 F)` A)))
19	16, 18	breq12d 3351	. . . 4 |- (z = A -> ((( + seq1 G)` z) <_ (S + (( + seq1 F)` z)) <-> (( + seq1 G)` A) <_ (S + (( + seq1 F)` A))))
20	19	imbi2d 674	. . 3 |- (z = A -> ((B e. NN -> (( + seq1 G)` z) <_ (S + (( + seq1 F)` z))) <-> (B e. NN -> (( + seq1 G)` A) <_ (S + (( + seq1 F)` A)))))
21		nnge1 7126	. . . 4 |- (B e. NN -> 1 <_ B)
22		1nn 7117	. . . . 5 |- 1 e. NN
23		ser1cmp2.1	. . . . . 6 |- F:NN-->RR
24		ser1cmp2.2	. . . . . 6 |- G:NN-->RR
25		ser1cmp2.3	. . . . . 6 |- (x e. NN -> 0 <_ (F` x))
26		ser1cmp2.4	. . . . . 6 |- ((x e. NN /\ B < x) -> (G` x) <_ (F` x))
27		ser1cmp2.5	. . . . . 6 |- S = sup(ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B}), RR, < )
28	23, 24, 25, 26, 27	ser1cmp2lem 8436	. . . . 5 |- ((1 e. NN /\ B e. NN) -> (1 <_ B -> (( + seq1 G)` 1) <_ (S + (( + seq1 F)` 1))))
29	22, 28	mpan 759	. . . 4 |- (B e. NN -> (1 <_ B -> (( + seq1 G)` 1) <_ (S + (( + seq1 F)` 1))))
30	21, 29	mpd 29	. . 3 |- (B e. NN -> (( + seq1 G)` 1) <_ (S + (( + seq1 F)` 1)))
31		lelttric 6805	. . . . . . 7 |- (((w + 1) e. RR /\ B e. RR) -> ((w + 1) <_ B \/ B < (w + 1)))
32		peano2nn 7118	. . . . . . . 8 |- (w e. NN -> (w + 1) e. NN)
33		nnre 7112	. . . . . . . 8 |- ((w + 1) e. NN -> (w + 1) e. RR)
34	32, 33	syl 12	. . . . . . 7 |- (w e. NN -> (w + 1) e. RR)
35		nnre 7112	. . . . . . 7 |- (B e. NN -> B e. RR)
36	31, 34, 35	syl2an 503	. . . . . 6 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> ((w + 1) <_ B \/ B < (w + 1)))
37	23, 24, 25, 26, 27	ser1cmp2lem 8436	. . . . . . . . 9 |- (((w + 1) e. NN /\ B e. NN) -> ((w + 1) <_ B -> (( + seq1 G)` (w + 1)) <_ (S + (( + seq1 F)` (w + 1)))))
38	37, 32	sylan 497	. . . . . . . 8 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> ((w + 1) <_ B -> (( + seq1 G)` (w + 1)) <_ (S + (( + seq1 F)` (w + 1)))))
39	38	a1dd 53	. . . . . . 7 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> ((w + 1) <_ B -> ((( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w)) -> (( + seq1 G)` (w + 1)) <_ (S + (( + seq1 F)` (w + 1))))))
40	24	ser1recli 7744	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w e. NN -> (( + seq1 G)` w) e. RR)
41	24	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((w + 1) e. NN -> (G` (w + 1)) e. RR)
42	32, 41	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w e. NN -> (G` (w + 1)) e. RR)
43		readdcl 6455	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((( + seq1 G)` w) e. RR /\ (G` (w + 1)) e. RR) -> ((( + seq1 G)` w) + (G` (w + 1))) e. RR)
44	40, 42, 43	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. NN -> ((( + seq1 G)` w) + (G` (w + 1))) e. RR)
45	44	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . 11 |- (((w e. NN /\ (B e. NN /\ B < (w + 1))) /\ (( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w))) -> ((( + seq1 G)` w) + (G` (w + 1))) e. RR)
46		readdcl 6455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((S e. RR /\ (( + seq1 F)` w) e. RR) -> (S + (( + seq1 F)` w)) e. RR)
47	24	ser1refi 7745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( + seq1 G):NN-->RR
48	47	seq1ublem 8163	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (B e. NN -> (ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B}) C_ RR /\ ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B}) =/= (/) /\ E.z e. RR A.w e. ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B})w <_ z))
49		suprcl 7264	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B}) C_ RR /\ ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B}) =/= (/) /\ E.z e. RR A.w e. ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B})w <_ z) -> sup(ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B}), RR, < ) e. RR)
50	48, 49	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (B e. NN -> sup(ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B}), RR, < ) e. RR)
51	50, 27	syl5eqel 1975	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (B e. NN -> S e. RR)
52	23	ser1recli 7744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w e. NN -> (( + seq1 F)` w) e. RR)
53	46, 51, 52	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((B e. NN /\ w e. NN) -> (S + (( + seq1 F)` w)) e. RR)
54	53	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> (S + (( + seq1 F)` w)) e. RR)
55	42	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> (G` (w + 1)) e. RR)
56		readdcl 6455	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((S + (( + seq1 F)` w)) e. RR /\ (G` (w + 1)) e. RR) -> ((S + (( + seq1 F)` w)) + (G` (w + 1))) e. RR)
57	54, 55, 56	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> ((S + (( + seq1 F)` w)) + (G` (w + 1))) e. RR)
58	57	adantrr 431	. . . . . . . . . . . 12 |- ((w e. NN /\ (B e. NN /\ B < (w + 1))) -> ((S + (( + seq1 F)` w)) + (G` (w + 1))) e. RR)
59	58	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- (((w e. NN /\ (B e. NN /\ B < (w + 1))) /\ (( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w))) -> ((S + (( + seq1 F)` w)) + (G` (w + 1))) e. RR)
60	23	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((w + 1) e. NN -> (F` (w + 1)) e. RR)
61	32, 60	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w e. NN -> (F` (w + 1)) e. RR)
62	61	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> (F` (w + 1)) e. RR)
63		readdcl 6455	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((S + (( + seq1 F)` w)) e. RR /\ (F` (w + 1)) e. RR) -> ((S + (( + seq1 F)` w)) + (F` (w + 1))) e. RR)
64	54, 62, 63	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> ((S + (( + seq1 F)` w)) + (F` (w + 1))) e. RR)
65	64	adantrr 431	. . . . . . . . . . . 12 |- ((w e. NN /\ (B e. NN /\ B < (w + 1))) -> ((S + (( + seq1 F)` w)) + (F` (w + 1))) e. RR)
66	65	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- (((w e. NN /\ (B e. NN /\ B < (w + 1))) /\ (( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w))) -> ((S + (( + seq1 F)` w)) + (F` (w + 1))) e. RR)
67	40	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> (( + seq1 G)` w) e. RR)
68		leadd1 6808	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((( + seq1 G)` w) e. RR /\ (S + (( + seq1 F)` w)) e. RR /\ (G` (w + 1)) e. RR) -> ((( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w)) <-> ((( + seq1 G)` w) + (G` (w + 1))) <_ ((S + (( + seq1 F)` w)) + (G` (w + 1)))))
69	67, 54, 55, 68	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> ((( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w)) <-> ((( + seq1 G)` w) + (G` (w + 1))) <_ ((S + (( + seq1 F)` w)) + (G` (w + 1)))))
70	69	biimpa 460	. . . . . . . . . . . 12 |- (((w e. NN /\ B e. NN) /\ (( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w))) -> ((( + seq1 G)` w) + (G` (w + 1))) <_ ((S + (( + seq1 F)` w)) + (G` (w + 1))))
71	70	adantlrr 435	. . . . . . . . . . 11 |- (((w e. NN /\ (B e. NN /\ B < (w + 1))) /\ (( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w))) -> ((( + seq1 G)` w) + (G` (w + 1))) <_ ((S + (( + seq1 F)` w)) + (G` (w + 1))))
72		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x = (w + 1) -> (B < x <-> B < (w + 1)))
73		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (x = (w + 1) -> (G` x) = (G` (w + 1)))
74		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (x = (w + 1) -> (F` x) = (F` (w + 1)))
75	73, 74	breq12d 3351	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x = (w + 1) -> ((G` x) <_ (F` x) <-> (G` (w + 1)) <_ (F` (w + 1))))
76	72, 75	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = (w + 1) -> ((B < x -> (G` x) <_ (F` x)) <-> (B < (w + 1) -> (G` (w + 1)) <_ (F` (w + 1)))))
77	26	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x e. NN -> (B < x -> (G` x) <_ (F` x)))
78	76, 77	vtoclga 2352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((w + 1) e. NN -> (B < (w + 1) -> (G` (w + 1)) <_ (F` (w + 1))))
79	78	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((w + 1) e. NN /\ B < (w + 1)) -> (G` (w + 1)) <_ (F` (w + 1)))
80	79, 32	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((w e. NN /\ B < (w + 1)) -> (G` (w + 1)) <_ (F` (w + 1)))
81	80	adantrl 430	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((w e. NN /\ (B e. NN /\ B < (w + 1))) -> (G` (w + 1)) <_ (F` (w + 1)))
82		leadd2 6809	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((G` (w + 1)) e. RR /\ (F` (w + 1)) e. RR /\ (S + (( + seq1 F)` w)) e. RR) -> ((G` (w + 1)) <_ (F` (w + 1)) <-> ((S + (( + seq1 F)` w)) + (G` (w + 1))) <_ ((S + (( + seq1 F)` w)) + (F` (w + 1)))))
83	55, 62, 54, 82	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> ((G` (w + 1)) <_ (F` (w + 1)) <-> ((S + (( + seq1 F)` w)) + (G` (w + 1))) <_ ((S + (( + seq1 F)` w)) + (F` (w + 1)))))
84	83	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((w e. NN /\ (B e. NN /\ B < (w + 1))) -> ((G` (w + 1)) <_ (F` (w + 1)) <-> ((S + (( + seq1 F)` w)) + (G` (w + 1))) <_ ((S + (( + seq1 F)` w)) + (F` (w + 1)))))
85	81, 84	mpbid 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ((w e. NN /\ (B e. NN /\ B < (w + 1))) -> ((S + (( + seq1 F)` w)) + (G` (w + 1))) <_ ((S + (( + seq1 F)` w)) + (F` (w + 1))))
86	85	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- (((w e. NN /\ (B e. NN /\ B < (w + 1))) /\ (( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w))) -> ((S + (( + seq1 F)` w)) + (G` (w + 1))) <_ ((S + (( + seq1 F)` w)) + (F` (w + 1))))
87	45, 59, 66, 71, 86	letrd 6696	. . . . . . . . . 10 |- (((w e. NN /\ (B e. NN /\ B < (w + 1))) /\ (( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w))) -> ((( + seq1 G)` w) + (G` (w + 1))) <_ ((S + (( + seq1 F)` w)) + (F` (w + 1))))
88		addex 6470	. . . . . . . . . . . 12 |- + e. _V
89		nnex 7116	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN e. _V
90		fex 4595	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((G:NN-->RR /\ NN e. _V) -> G e. _V)
91	24, 89, 90	mp2an 761	. . . . . . . . . . . 12 |- G e. _V
92	88, 91	seq1p1 7731	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. NN -> (( + seq1 G)` (w + 1)) = ((( + seq1 G)` w) + (G` (w + 1))))
93	92	ad2antrr 440	. . . . . . . . . 10 |- (((w e. NN /\ (B e. NN /\ B < (w + 1))) /\ (( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w))) -> (( + seq1 G)` (w + 1)) = ((( + seq1 G)` w) + (G` (w + 1))))
94		fex 4595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((F:NN-->RR /\ NN e. _V) -> F e. _V)
95	23, 89, 94	mp2an 761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F e. _V
96	88, 95	seq1p1 7731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w e. NN -> (( + seq1 F)` (w + 1)) = ((( + seq1 F)` w) + (F` (w + 1))))
97	96	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (w e. NN -> (S + (( + seq1 F)` (w + 1))) = (S + ((( + seq1 F)` w) + (F` (w + 1)))))
98	97	adantr 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> (S + (( + seq1 F)` (w + 1))) = (S + ((( + seq1 F)` w) + (F` (w + 1)))))
99	51	recnd 6468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (B e. NN -> S e. CC)
100	99	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> S e. CC)
101	52	recnd 6468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w e. NN -> (( + seq1 F)` w) e. CC)
102	101	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> (( + seq1 F)` w) e. CC)
103	61	recnd 6468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w e. NN -> (F` (w + 1)) e. CC)
104	103	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> (F` (w + 1)) e. CC)
105		addass 6460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((S e. CC /\ (( + seq1 F)` w) e. CC /\ (F` (w + 1)) e. CC) -> ((S + (( + seq1 F)` w)) + (F` (w + 1))) = (S + ((( + seq1 F)` w) + (F` (w + 1)))))
106	100, 102, 104, 105	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> ((S + (( + seq1 F)` w)) + (F` (w + 1))) = (S + ((( + seq1 F)` w) + (F` (w + 1)))))
107	98, 106	eqtr4d 1928	. . . . . . . . . . . 12 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> (S + (( + seq1 F)` (w + 1))) = ((S + (( + seq1 F)` w)) + (F` (w + 1))))
108	107	adantrr 431	. . . . . . . . . . 11 |- ((w e. NN /\ (B e. NN /\ B < (w + 1))) -> (S + (( + seq1 F)` (w + 1))) = ((S + (( + seq1 F)` w)) + (F` (w + 1))))
109	108	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- (((w e. NN /\ (B e. NN /\ B < (w + 1))) /\ (( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w))) -> (S + (( + seq1 F)` (w + 1))) = ((S + (( + seq1 F)` w)) + (F` (w + 1))))
110	87, 93, 109	3brtr4d 3367	. . . . . . . . 9 |- (((w e. NN /\ (B e. NN /\ B < (w + 1))) /\ (( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w))) -> (( + seq1 G)` (w + 1)) <_ (S + (( + seq1 F)` (w + 1))))
111	110	ex 402	. . . . . . . 8 |- ((w e. NN /\ (B e. NN /\ B < (w + 1))) -> ((( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w)) -> (( + seq1 G)` (w + 1)) <_ (S + (( + seq1 F)` (w + 1)))))
112	111	expr 418	. . . . . . 7 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> (B < (w + 1) -> ((( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w)) -> (( + seq1 G)` (w + 1)) <_ (S + (( + seq1 F)` (w + 1))))))
113	39, 112	jaod 469	. . . . . 6 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> (((w + 1) <_ B \/ B < (w + 1)) -> ((( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w)) -> (( + seq1 G)` (w + 1)) <_ (S + (( + seq1 F)` (w + 1))))))
114	36, 113	mpd 29	. . . . 5 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> ((( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w)) -> (( + seq1 G)` (w + 1)) <_ (S + (( + seq1 F)` (w + 1)))))
115	114	ex 402	. . . 4 |- (w e. NN -> (B e. NN -> ((( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w)) -> (( + seq1 G)` (w + 1)) <_ (S + (( + seq1 F)` (w + 1))))))
116	115	a2d 16	. . 3 |- (w e. NN -> ((B e. NN -> (( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w))) -> (B e. NN -> (( + seq1 G)` (w + 1)) <_ (S + (( + seq1 F)` (w + 1))))))
117	5, 10, 15, 20, 30, 116	nnind 7120	. 2 |- (A e. NN -> (B e. NN -> (( + seq1 G)` A) <_ (S + (( + seq1 F)` A))))
118	117	imp 377	1 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (( + seq1 G)` A) <_ (S + (( + seq1 F)` A)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  (/)c0 2875   class class class wbr 3338  ran crn 3987   |` cres 3988  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  supcsup 5663  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   <_ cle 6448  NNcn 6449   < clt 6653   seq1 cseq1 7720

This theorem is referenced by:  cvgcmp2lem 8440

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004

Copyright terms: Public domain