Theorem ser1add2i 7751

Description: The sum of two infinite series.

Hypotheses

Ref	Expression
ser1add2.1	|- F:NN-->CC
ser1add2.2	|- G:NN-->CC
ser1add2.3	|- H e. _V
ser1add2.4	|- ((k e. NN /\ N e. NN /\ k <_ N) -> (H` k) = ((F` k) + (G` k)))

Assertion

Ref	Expression
ser1add2i	|- (N e. NN -> (( + seq1 H)` N) = ((( + seq1 F)` N) + (( + seq1 G)` N)))

Distinct variable groups:   k,F   k,G   k,H   k,N

Proof of Theorem ser1add2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 7112	. . . 4 |- (N e. NN -> N e. RR)
2		leid 6701	. . . 4 |- (N e. RR -> N <_ N)
3	1, 2	syl 12	. . 3 |- (N e. NN -> N <_ N)
4		breq1 3341	. . . . . 6 |- (j = 1 -> (j <_ N <-> 1 <_ N))
5	4	anbi2d 678	. . . . 5 |- (j = 1 -> ((N e. NN /\ j <_ N) <-> (N e. NN /\ 1 <_ N)))
6		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (j = 1 -> (( + seq1 H)` j) = (( + seq1 H)` 1))
7		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (j = 1 -> (( + seq1 F)` j) = (( + seq1 F)` 1))
8		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (j = 1 -> (( + seq1 G)` j) = (( + seq1 G)` 1))
9	7, 8	opreq12d 4900	. . . . . 6 |- (j = 1 -> ((( + seq1 F)` j) + (( + seq1 G)` j)) = ((( + seq1 F)` 1) + (( + seq1 G)` 1)))
10	6, 9	eqeq12d 1899	. . . . 5 |- (j = 1 -> ((( + seq1 H)` j) = ((( + seq1 F)` j) + (( + seq1 G)` j)) <-> (( + seq1 H)` 1) = ((( + seq1 F)` 1) + (( + seq1 G)` 1))))
11	5, 10	imbi12d 688	. . . 4 |- (j = 1 -> (((N e. NN /\ j <_ N) -> (( + seq1 H)` j) = ((( + seq1 F)` j) + (( + seq1 G)` j))) <-> ((N e. NN /\ 1 <_ N) -> (( + seq1 H)` 1) = ((( + seq1 F)` 1) + (( + seq1 G)` 1)))))
12		breq1 3341	. . . . . 6 |- (j = m -> (j <_ N <-> m <_ N))
13	12	anbi2d 678	. . . . 5 |- (j = m -> ((N e. NN /\ j <_ N) <-> (N e. NN /\ m <_ N)))
14		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (j = m -> (( + seq1 H)` j) = (( + seq1 H)` m))
15		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (j = m -> (( + seq1 F)` j) = (( + seq1 F)` m))
16		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (j = m -> (( + seq1 G)` j) = (( + seq1 G)` m))
17	15, 16	opreq12d 4900	. . . . . 6 |- (j = m -> ((( + seq1 F)` j) + (( + seq1 G)` j)) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m)))
18	14, 17	eqeq12d 1899	. . . . 5 |- (j = m -> ((( + seq1 H)` j) = ((( + seq1 F)` j) + (( + seq1 G)` j)) <-> (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))))
19	13, 18	imbi12d 688	. . . 4 |- (j = m -> (((N e. NN /\ j <_ N) -> (( + seq1 H)` j) = ((( + seq1 F)` j) + (( + seq1 G)` j))) <-> ((N e. NN /\ m <_ N) -> (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m)))))
20		breq1 3341	. . . . . 6 |- (j = (m + 1) -> (j <_ N <-> (m + 1) <_ N))
21	20	anbi2d 678	. . . . 5 |- (j = (m + 1) -> ((N e. NN /\ j <_ N) <-> (N e. NN /\ (m + 1) <_ N)))
22		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (j = (m + 1) -> (( + seq1 H)` j) = (( + seq1 H)` (m + 1)))
23		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (j = (m + 1) -> (( + seq1 F)` j) = (( + seq1 F)` (m + 1)))
24		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (j = (m + 1) -> (( + seq1 G)` j) = (( + seq1 G)` (m + 1)))
25	23, 24	opreq12d 4900	. . . . . 6 |- (j = (m + 1) -> ((( + seq1 F)` j) + (( + seq1 G)` j)) = ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1))))
26	22, 25	eqeq12d 1899	. . . . 5 |- (j = (m + 1) -> ((( + seq1 H)` j) = ((( + seq1 F)` j) + (( + seq1 G)` j)) <-> (( + seq1 H)` (m + 1)) = ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1)))))
27	21, 26	imbi12d 688	. . . 4 |- (j = (m + 1) -> (((N e. NN /\ j <_ N) -> (( + seq1 H)` j) = ((( + seq1 F)` j) + (( + seq1 G)` j))) <-> ((N e. NN /\ (m + 1) <_ N) -> (( + seq1 H)` (m + 1)) = ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1))))))
28		breq1 3341	. . . . . 6 |- (j = N -> (j <_ N <-> N <_ N))
29	28	anbi2d 678	. . . . 5 |- (j = N -> ((N e. NN /\ j <_ N) <-> (N e. NN /\ N <_ N)))
30		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (j = N -> (( + seq1 H)` j) = (( + seq1 H)` N))
31		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (j = N -> (( + seq1 F)` j) = (( + seq1 F)` N))
32		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (j = N -> (( + seq1 G)` j) = (( + seq1 G)` N))
33	31, 32	opreq12d 4900	. . . . . 6 |- (j = N -> ((( + seq1 F)` j) + (( + seq1 G)` j)) = ((( + seq1 F)` N) + (( + seq1 G)` N)))
34	30, 33	eqeq12d 1899	. . . . 5 |- (j = N -> ((( + seq1 H)` j) = ((( + seq1 F)` j) + (( + seq1 G)` j)) <-> (( + seq1 H)` N) = ((( + seq1 F)` N) + (( + seq1 G)` N))))
35	29, 34	imbi12d 688	. . . 4 |- (j = N -> (((N e. NN /\ j <_ N) -> (( + seq1 H)` j) = ((( + seq1 F)` j) + (( + seq1 G)` j))) <-> ((N e. NN /\ N <_ N) -> (( + seq1 H)` N) = ((( + seq1 F)` N) + (( + seq1 G)` N)))))
36		1nn 7117	. . . . . 6 |- 1 e. NN
37		breq1 3341	. . . . . . . . 9 |- (k = 1 -> (k <_ N <-> 1 <_ N))
38	37	anbi2d 678	. . . . . . . 8 |- (k = 1 -> ((N e. NN /\ k <_ N) <-> (N e. NN /\ 1 <_ N)))
39		fveq2 4681	. . . . . . . . 9 |- (k = 1 -> (H` k) = (H` 1))
40		fveq2 4681	. . . . . . . . . 10 |- (k = 1 -> (F` k) = (F` 1))
41		fveq2 4681	. . . . . . . . . 10 |- (k = 1 -> (G` k) = (G` 1))
42	40, 41	opreq12d 4900	. . . . . . . . 9 |- (k = 1 -> ((F` k) + (G` k)) = ((F` 1) + (G` 1)))
43	39, 42	eqeq12d 1899	. . . . . . . 8 |- (k = 1 -> ((H` k) = ((F` k) + (G` k)) <-> (H` 1) = ((F` 1) + (G` 1))))
44	38, 43	imbi12d 688	. . . . . . 7 |- (k = 1 -> (((N e. NN /\ k <_ N) -> (H` k) = ((F` k) + (G` k))) <-> ((N e. NN /\ 1 <_ N) -> (H` 1) = ((F` 1) + (G` 1)))))
45		ser1add2.4	. . . . . . . 8 |- ((k e. NN /\ N e. NN /\ k <_ N) -> (H` k) = ((F` k) + (G` k)))
46	45	3expib 1070	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> ((N e. NN /\ k <_ N) -> (H` k) = ((F` k) + (G` k))))
47	44, 46	vtoclga 2352	. . . . . 6 |- (1 e. NN -> ((N e. NN /\ 1 <_ N) -> (H` 1) = ((F` 1) + (G` 1))))
48	36, 47	ax-mp 7	. . . . 5 |- ((N e. NN /\ 1 <_ N) -> (H` 1) = ((F` 1) + (G` 1)))
49		addex 6470	. . . . . 6 |- + e. _V
50		ser1add2.3	. . . . . 6 |- H e. _V
51	49, 50	seq11 7730	. . . . 5 |- (( + seq1 H)` 1) = (H` 1)
52		ser1add2.1	. . . . . . . 8 |- F:NN-->CC
53		nnex 7116	. . . . . . . 8 |- NN e. _V
54		fex 4595	. . . . . . . 8 |- ((F:NN-->CC /\ NN e. _V) -> F e. _V)
55	52, 53, 54	mp2an 761	. . . . . . 7 |- F e. _V
56	49, 55	seq11 7730	. . . . . 6 |- (( + seq1 F)` 1) = (F` 1)
57		ser1add2.2	. . . . . . . 8 |- G:NN-->CC
58		fex 4595	. . . . . . . 8 |- ((G:NN-->CC /\ NN e. _V) -> G e. _V)
59	57, 53, 58	mp2an 761	. . . . . . 7 |- G e. _V
60	49, 59	seq11 7730	. . . . . 6 |- (( + seq1 G)` 1) = (G` 1)
61	56, 60	opreq12i 4894	. . . . 5 |- ((( + seq1 F)` 1) + (( + seq1 G)` 1)) = ((F` 1) + (G` 1))
62	48, 51, 61	3eqtr4g 1953	. . . 4 |- ((N e. NN /\ 1 <_ N) -> (( + seq1 H)` 1) = ((( + seq1 F)` 1) + (( + seq1 G)` 1)))
63		lep1 6990	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (m e. RR -> m <_ (m + 1))
64	63	adantr 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((m e. RR /\ N e. RR) -> m <_ (m + 1))
65		simpl 346	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((m e. RR /\ N e. RR) -> m e. RR)
66		peano2re 6599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (m e. RR -> (m + 1) e. RR)
67	66	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((m e. RR /\ N e. RR) -> (m + 1) e. RR)
68		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((m e. RR /\ N e. RR) -> N e. RR)
69		letr 6695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((m e. RR /\ (m + 1) e. RR /\ N e. RR) -> ((m <_ (m + 1) /\ (m + 1) <_ N) -> m <_ N))
70	65, 67, 68, 69	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((m e. RR /\ N e. RR) -> ((m <_ (m + 1) /\ (m + 1) <_ N) -> m <_ N))
71	64, 70	mpand 765	. . . . . . . . . . . 12 |- ((m e. RR /\ N e. RR) -> ((m + 1) <_ N -> m <_ N))
72		nnre 7112	. . . . . . . . . . . 12 |- (m e. NN -> m e. RR)
73	71, 72, 1	syl2an 503	. . . . . . . . . . 11 |- ((m e. NN /\ N e. NN) -> ((m + 1) <_ N -> m <_ N))
74	73	imp 377	. . . . . . . . . 10 |- (((m e. NN /\ N e. NN) /\ (m + 1) <_ N) -> m <_ N)
75	74	adantllr 433	. . . . . . . . 9 |- ((((m e. NN /\ N e. NN) /\ N e. NN) /\ (m + 1) <_ N) -> m <_ N)
76		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((m e. NN /\ N e. NN) /\ (m + 1) <_ N) /\ (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))) -> (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m)))
77		peano2nn 7118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (m e. NN -> (m + 1) e. NN)
78		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (k = (m + 1) -> (k <_ N <-> (m + 1) <_ N))
79		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (k = (m + 1) -> (H` k) = (H` (m + 1)))
80		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (k = (m + 1) -> (F` k) = (F` (m + 1)))
81		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (k = (m + 1) -> (G` k) = (G` (m + 1)))
82	80, 81	opreq12d 4900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (k = (m + 1) -> ((F` k) + (G` k)) = ((F` (m + 1)) + (G` (m + 1))))
83	79, 82	eqeq12d 1899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (k = (m + 1) -> ((H` k) = ((F` k) + (G` k)) <-> (H` (m + 1)) = ((F` (m + 1)) + (G` (m + 1)))))
84	78, 83	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (k = (m + 1) -> ((k <_ N -> (H` k) = ((F` k) + (G` k))) <-> ((m + 1) <_ N -> (H` (m + 1)) = ((F` (m + 1)) + (G` (m + 1))))))
85	84	imbi2d 674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (k = (m + 1) -> ((N e. NN -> (k <_ N -> (H` k) = ((F` k) + (G` k)))) <-> (N e. NN -> ((m + 1) <_ N -> (H` (m + 1)) = ((F` (m + 1)) + (G` (m + 1)))))))
86	45	3exp 1066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (k e. NN -> (N e. NN -> (k <_ N -> (H` k) = ((F` k) + (G` k)))))
87	85, 86	vtoclga 2352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((m + 1) e. NN -> (N e. NN -> ((m + 1) <_ N -> (H` (m + 1)) = ((F` (m + 1)) + (G` (m + 1))))))
88	77, 87	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (m e. NN -> (N e. NN -> ((m + 1) <_ N -> (H` (m + 1)) = ((F` (m + 1)) + (G` (m + 1))))))
89	88	imp31 389	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((m e. NN /\ N e. NN) /\ (m + 1) <_ N) -> (H` (m + 1)) = ((F` (m + 1)) + (G` (m + 1))))
90	89	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((m e. NN /\ N e. NN) /\ (m + 1) <_ N) /\ (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))) -> (H` (m + 1)) = ((F` (m + 1)) + (G` (m + 1))))
91	76, 90	opreq12d 4900	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((m e. NN /\ N e. NN) /\ (m + 1) <_ N) /\ (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))) -> ((( + seq1 H)` m) + (H` (m + 1))) = (((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m)) + ((F` (m + 1)) + (G` (m + 1)))))
92	49, 50	seq1p1 7731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (m e. NN -> (( + seq1 H)` (m + 1)) = ((( + seq1 H)` m) + (H` (m + 1))))
93	92	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((m e. NN /\ (m + 1) <_ N) /\ (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))) -> (( + seq1 H)` (m + 1)) = ((( + seq1 H)` m) + (H` (m + 1))))
94	93	adantllr 433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((m e. NN /\ N e. NN) /\ (m + 1) <_ N) /\ (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))) -> (( + seq1 H)` (m + 1)) = ((( + seq1 H)` m) + (H` (m + 1))))
95	49, 55	seq1p1 7731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (m e. NN -> (( + seq1 F)` (m + 1)) = ((( + seq1 F)` m) + (F` (m + 1))))
96	49, 59	seq1p1 7731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (m e. NN -> (( + seq1 G)` (m + 1)) = ((( + seq1 G)` m) + (G` (m + 1))))
97	95, 96	opreq12d 4900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (m e. NN -> ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1))) = (((( + seq1 F)` m) + (F` (m + 1))) + ((( + seq1 G)` m) + (G` (m + 1)))))
98	52	ser1cl1i 7743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (m e. NN -> (( + seq1 F)` m) e. CC)
99	52	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((m + 1) e. NN -> (F` (m + 1)) e. CC)
100	77, 99	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (m e. NN -> (F` (m + 1)) e. CC)
101	57	ser1cl1i 7743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (m e. NN -> (( + seq1 G)` m) e. CC)
102	57	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((m + 1) e. NN -> (G` (m + 1)) e. CC)
103	77, 102	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (m e. NN -> (G` (m + 1)) e. CC)
104		add4 6491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((( + seq1 F)` m) e. CC /\ (F` (m + 1)) e. CC) /\ ((( + seq1 G)` m) e. CC /\ (G` (m + 1)) e. CC)) -> (((( + seq1 F)` m) + (F` (m + 1))) + ((( + seq1 G)` m) + (G` (m + 1)))) = (((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m)) + ((F` (m + 1)) + (G` (m + 1)))))
105	98, 100, 101, 103, 104	syl22anc 1101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (m e. NN -> (((( + seq1 F)` m) + (F` (m + 1))) + ((( + seq1 G)` m) + (G` (m + 1)))) = (((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m)) + ((F` (m + 1)) + (G` (m + 1)))))
106	97, 105	eqtrd 1925	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (m e. NN -> ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1))) = (((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m)) + ((F` (m + 1)) + (G` (m + 1)))))
107	106	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((m e. NN /\ N e. NN) /\ (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))) -> ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1))) = (((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m)) + ((F` (m + 1)) + (G` (m + 1)))))
108	107	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((m e. NN /\ N e. NN) /\ (m + 1) <_ N) /\ (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))) -> ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1))) = (((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m)) + ((F` (m + 1)) + (G` (m + 1)))))
109	91, 94, 108	3eqtr4d 1937	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((m e. NN /\ N e. NN) /\ (m + 1) <_ N) /\ (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))) -> (( + seq1 H)` (m + 1)) = ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1))))
110	109	ex 402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((m e. NN /\ N e. NN) /\ (m + 1) <_ N) -> ((( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m)) -> (( + seq1 H)` (m + 1)) = ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1)))))
111	110	imim2d 28	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((m e. NN /\ N e. NN) /\ (m + 1) <_ N) -> (((N e. NN /\ m <_ N) -> (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))) -> ((N e. NN /\ m <_ N) -> (( + seq1 H)` (m + 1)) = ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1))))))
112	111	com23 36	. . . . . . . . . . . 12 |- (((m e. NN /\ N e. NN) /\ (m + 1) <_ N) -> ((N e. NN /\ m <_ N) -> (((N e. NN /\ m <_ N) -> (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))) -> (( + seq1 H)` (m + 1)) = ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1))))))
113	112	imp 377	. . . . . . . . . . 11 |- ((((m e. NN /\ N e. NN) /\ (m + 1) <_ N) /\ (N e. NN /\ m <_ N)) -> (((N e. NN /\ m <_ N) -> (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))) -> (( + seq1 H)` (m + 1)) = ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1)))))
114	113	an4s 566	. . . . . . . . . 10 |- ((((m e. NN /\ N e. NN) /\ N e. NN) /\ ((m + 1) <_ N /\ m <_ N)) -> (((N e. NN /\ m <_ N) -> (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))) -> (( + seq1 H)` (m + 1)) = ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1)))))
115	114	anassrs 489	. . . . . . . . 9 |- (((((m e. NN /\ N e. NN) /\ N e. NN) /\ (m + 1) <_ N) /\ m <_ N) -> (((N e. NN /\ m <_ N) -> (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))) -> (( + seq1 H)` (m + 1)) = ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1)))))
116	75, 115	mpdan 768	. . . . . . . 8 |- ((((m e. NN /\ N e. NN) /\ N e. NN) /\ (m + 1) <_ N) -> (((N e. NN /\ m <_ N) -> (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))) -> (( + seq1 H)` (m + 1)) = ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1)))))
117	116	exp41 413	. . . . . . 7 |- (m e. NN -> (N e. NN -> (N e. NN -> ((m + 1) <_ N -> (((N e. NN /\ m <_ N) -> (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))) -> (( + seq1 H)` (m + 1)) = ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1))))))))
118	117	pm2.43d 79	. . . . . 6 |- (m e. NN -> (N e. NN -> ((m + 1) <_ N -> (((N e. NN /\ m <_ N) -> (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))) -> (( + seq1 H)` (m + 1)) = ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1)))))))
119	118	imp3a 388	. . . . 5 |- (m e. NN -> ((N e. NN /\ (m + 1) <_ N) -> (((N e. NN /\ m <_ N) -> (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))) -> (( + seq1 H)` (m + 1)) = ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1))))))
120	119	com23 36	. . . 4 |- (m e. NN -> (((N e. NN /\ m <_ N) -> (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))) -> ((N e. NN /\ (m + 1) <_ N) -> (( + seq1 H)` (m + 1)) = ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1))))))
121	11, 19, 27, 35, 62, 120	nnind 7120	. . 3 |- (N e. NN -> ((N e. NN /\ N <_ N) -> (( + seq1 H)` N) = ((( + seq1 F)` N) + (( + seq1 G)` N))))
122	3, 121	mpan2d 766	. 2 |- (N e. NN -> (N e. NN -> (( + seq1 H)` N) = ((( + seq1 F)` N) + (( + seq1 G)` N))))
123	122	pm2.43i 78	1 |- (N e. NN -> (( + seq1 H)` N) = ((( + seq1 F)` N) + (( + seq1 G)` N)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  1c1 6387   + caddc 6389   <_ cle 6448  NNcn 6449   seq1 cseq1 7720

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721

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