MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ser0f Structured version   Unicode version

Theorem ser0f 12267
Description: A zero-valued infinite series is equal to the constant zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ser0.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
ser0f  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) )  =  ( Z  X.  { 0 } ) )

Proof of Theorem ser0f
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ser0.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
21ser0 12266 . . . 4  |-  ( k  e.  Z  ->  (  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) ) `
 k )  =  0 )
3 c0ex 9639 . . . . 5  |-  0  e.  _V
43fvconst2 6133 . . . 4  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( Z  X.  {
0 } ) `  k )  =  0 )
52, 4eqtr4d 2467 . . 3  |-  ( k  e.  Z  ->  (  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) ) `
 k )  =  ( ( Z  X.  { 0 } ) `
 k ) )
65rgen 2786 . 2  |-  A. k  e.  Z  (  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) ) `
 k )  =  ( ( Z  X.  { 0 } ) `
 k )
7 seqfn 12226 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  M
) )
81fneq2i 5687 . . . 4  |-  (  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) )  Fn  Z  <->  seq M (  +  ,  ( Z  X.  { 0 } ) )  Fn  ( ZZ>=
`  M ) )
97, 8sylibr 216 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) )  Fn  Z )
103fconst 5784 . . . 4  |-  ( Z  X.  { 0 } ) : Z --> { 0 }
11 ffn 5744 . . . 4  |-  ( ( Z  X.  { 0 } ) : Z --> { 0 }  ->  ( Z  X.  { 0 } )  Fn  Z
)
1210, 11ax-mp 5 . . 3  |-  ( Z  X.  { 0 } )  Fn  Z
13 eqfnfv 5989 . . 3  |-  ( (  seq M (  +  ,  ( Z  X.  { 0 } ) )  Fn  Z  /\  ( Z  X.  { 0 } )  Fn  Z
)  ->  (  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) )  =  ( Z  X.  { 0 } )  <->  A. k  e.  Z  (  seq M (  +  ,  ( Z  X.  { 0 } ) ) `  k )  =  ( ( Z  X.  { 0 } ) `  k ) ) )
149, 12, 13sylancl 667 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) )  =  ( Z  X.  { 0 } )  <->  A. k  e.  Z  (  seq M (  +  ,  ( Z  X.  { 0 } ) ) `  k )  =  ( ( Z  X.  { 0 } ) `  k ) ) )
156, 14mpbiri 237 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) )  =  ( Z  X.  { 0 } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776   {csn 3997    X. cxp 4849    Fn wfn 5594   -->wf 5595   ` cfv 5599   0cc0 9541    + caddc 9544   ZZcz 10939   ZZ>=cuz 11161    seqcseq 12214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-fz 11787  df-seq 12215
This theorem is referenced by:  serclim0  13634  ovolctb  22435
  Copyright terms: Public domain W3C validator