Theorem seqzval 7783

Description: Value of the arbitrary-based recursive sequence builder operation.

Hypotheses

Ref	Expression
seq0val.1	|- S e. _V
seq0val.2	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
seqzval	|- ((M e. A /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> ((<.M, S>. seq F)` N) = (((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1))` N))

Proof of Theorem seqzval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq0val.1	. . . . 5 |- S e. _V
2		seq0val.2	. . . . 5 |- F e. _V
3	1, 2	seqzfval 7780	. . . 4 |- (M e. A -> (<.M, S>. seq F) = (((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) |` {k e. ZZ | M <_ k}))
4	3	fveq1d 4683	. . 3 |- (M e. A -> ((<.M, S>. seq F)` N) = ((((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) |` {k e. ZZ | M <_ k})` N))
5	4	3ad2ant1 897	. 2 |- ((M e. A /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> ((<.M, S>. seq F)` N) = ((((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) |` {k e. ZZ | M <_ k})` N))
6		3simpc 874	. . . 4 |- ((M e. A /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> (N e. ZZ /\ M <_ N))
7		breq2 3342	. . . . 5 |- (k = N -> (M <_ k <-> M <_ N))
8	7	elrab 2414	. . . 4 |- (N e. {k e. ZZ | M <_ k} <-> (N e. ZZ /\ M <_ N))
9	6, 8	sylibr 217	. . 3 |- ((M e. A /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> N e. {k e. ZZ | M <_ k})
10		fvres 4691	. . 3 |- (N e. {k e. ZZ | M <_ k} -> ((((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) |` {k e. ZZ | M <_ k})` N) = (((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1))` N))
11	9, 10	syl 12	. 2 |- ((M e. A /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> ((((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) |` {k e. ZZ | M <_ k})` N) = (((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1))` N))
12	5, 11	eqtrd 1925	1 |- ((M e. A /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> ((<.M, S>. seq F)` N) = (((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1))` N))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  {crab 2108  _Vcvv 2292  <.cop 3046   class class class wbr 3338   |` cres 3988  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  1c1 6387   - cmin 6445   <_ cle 6448  ZZcz 6451   seq1 cseq1 7720   shift cshi 7753   seq cseqz 7774

This theorem is referenced by:  seqzval2 7796

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-seqz 7776

Copyright terms: Public domain