Theorem seqzres2 7804

Description: The seq function is unchanged by substituting its characteristic function with a restricted class builder based on that function.

Hypotheses

Ref	Expression
seqzrn.1	|- S e. _V
seqzrn.2	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
seqzres2	|- (M e. ZZ -> (<.M, S>. seq ({<.k, y>. | y = (F` k)} |` ZZ)) = (<.M, S>. seq F))

Distinct variable groups:   y,k,F   y,M   y,S

Proof of Theorem seqzres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqzrn.1	. . . 4 |- S e. _V
2		zex 7353	. . . . 5 |- ZZ e. _V
3	2	opabex2 4539	. . . 4 |- {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = (F` k))} e. _V
4	1, 3	seqzfn 7782	. . 3 |- (M e. ZZ -> (<.M, S>. seq {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = (F` k))}) Fn (ZZ>=` M))
5		seqzrn.2	. . . 4 |- F e. _V
6	1, 5	seqzfn 7782	. . 3 |- (M e. ZZ -> (<.M, S>. seq F) Fn (ZZ>=` M))
7		elfzelz 7652	. . . . . . . 8 |- (v e. (M...n) -> v e. ZZ)
8		fveq2 4681	. . . . . . . . 9 |- (k = v -> (F` k) = (F` v))
9		eqid 1884	. . . . . . . . 9 |- {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = (F` k))} = {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = (F` k))}
10		fvex 4689	. . . . . . . . 9 |- (F` v) e. _V
11	8, 9, 10	fvopab4 4743	. . . . . . . 8 |- (v e. ZZ -> ({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = (F` k))}` v) = (F` v))
12	7, 11	syl 12	. . . . . . 7 |- (v e. (M...n) -> ({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = (F` k))}` v) = (F` v))
13	12	rgen 2159	. . . . . 6 |- A.v e. (M...n)({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = (F` k))}` v) = (F` v)
14	1, 3, 5	seqzfveq 7797	. . . . . 6 |- ((n e. (ZZ>=` M) /\ A.v e. (M...n)({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = (F` k))}` v) = (F` v)) -> ((<.M, S>. seq {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = (F` k))})` n) = ((<.M, S>. seq F)` n))
15	13, 14	mpan2 760	. . . . 5 |- (n e. (ZZ>=` M) -> ((<.M, S>. seq {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = (F` k))})` n) = ((<.M, S>. seq F)` n))
16	15	rgen 2159	. . . 4 |- A.n e. (ZZ>=` M)((<.M, S>. seq {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = (F` k))})` n) = ((<.M, S>. seq F)` n)
17		eqfnfv2 4767	. . . 4 |- (((<.M, S>. seq {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = (F` k))}) Fn (ZZ>=` M) /\ (<.M, S>. seq F) Fn (ZZ>=` M)) -> ((<.M, S>. seq {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = (F` k))}) = (<.M, S>. seq F) <-> A.n e. (ZZ>=` M)((<.M, S>. seq {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = (F` k))})` n) = ((<.M, S>. seq F)` n)))
18	16, 17	mpbiri 211	. . 3 |- (((<.M, S>. seq {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = (F` k))}) Fn (ZZ>=` M) /\ (<.M, S>. seq F) Fn (ZZ>=` M)) -> (<.M, S>. seq {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = (F` k))}) = (<.M, S>. seq F))
19	4, 6, 18	syl11anc 524	. 2 |- (M e. ZZ -> (<.M, S>. seq {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = (F` k))}) = (<.M, S>. seq F))
20		resopab 4252	. . 3 |- ({<.k, y>. | y = (F` k)} |` ZZ) = {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = (F` k))}
21	20	opreq2i 4893	. 2 |- (<.M, S>. seq ({<.k, y>. | y = (F` k)} |` ZZ)) = (<.M, S>. seq {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = (F` k))})
22	19, 21	syl5eq 1940	1 |- (M e. ZZ -> (<.M, S>. seq ({<.k, y>. | y = (F` k)} |` ZZ)) = (<.M, S>. seq F))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292  <.cop 3046  {copab 3395   |` cres 3988   Fn wfn 3993  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  ZZcz 6451  ZZ>=cuz 7586  ...cfz 7637   seq cseqz 7774

This theorem is referenced by:  fsumserz 8259  isumval 8453  fprodserz 14671

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776

Copyright terms: Public domain