HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem seqzp1 7791
Description: Value of the arbitrary-based recursive sequence builder at a successor value.
Hypotheses
Ref Expression
seq0val.1 |- S e. _V
seq0val.2 |- F e. _V
Assertion
Ref Expression
seqzp1 |- (N e. (ZZ>=` M) -> ((<.M, S>. seq F)` (N + 1)) = (((<.M, S>. seq F)` N)S(F` (N + 1))))
Proof of Theorem seqzp1
StepHypRef Expression
1 eluzel2 7593 . . 3 |- (N e. (ZZ>=` M) -> M e. ZZ)
2 seq0val.1 . . . . 5 |- S e. _V
3 seq0val.2 . . . . 5 |- F e. _V
42, 3seqzfval 7780 . . . 4 |- (M e. ZZ -> (<.M, S>. seq F) = (((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) |` {k e. ZZ | M <_ k}))
54fveq1d 4683 . . 3 |- (M e. ZZ -> ((<.M, S>. seq F)` (N + 1)) = ((((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) |` {k e. ZZ | M <_ k})` (N + 1)))
61, 5syl 12 . 2 |- (N e. (ZZ>=` M) -> ((<.M, S>. seq F)` (N + 1)) = ((((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) |` {k e. ZZ | M <_ k})` (N + 1)))
7 peano2uz 7616 . . . 4 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (N + 1) e. (ZZ>=` M))
8 eluzel2 7593 . . . . . . 7 |- ((N + 1) e. (ZZ>=` M) -> M e. ZZ)
9 uzval 7588 . . . . . . 7 |- (M e. ZZ -> (ZZ>=` M) = {k e. ZZ | M <_ k})
108, 9syl 12 . . . . . 6 |- ((N + 1) e. (ZZ>=` M) -> (ZZ>=` M) = {k e. ZZ | M <_ k})
1110eleq2d 1964 . . . . 5 |- ((N + 1) e. (ZZ>=` M) -> ((N + 1) e. (ZZ>=` M) <-> (N + 1) e. {k e. ZZ | M <_ k}))
1211ibi 652 . . . 4 |- ((N + 1) e. (ZZ>=` M) -> (N + 1) e. {k e. ZZ | M <_ k})
13 fvres 4691 . . . 4 |- ((N + 1) e. {k e. ZZ | M <_ k} -> ((((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) |` {k e. ZZ | M <_ k})` (N + 1)) = (((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1))` (N + 1)))
147, 12, 133syl 24 . . 3 |- (N e. (ZZ>=` M) -> ((((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) |` {k e. ZZ | M <_ k})` (N + 1)) = (((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1))` (N + 1)))
15 zcn 7349 . . . . . 6 |- (M e. ZZ -> M e. CC)
161, 15syl 12 . . . . 5 |- (N e. (ZZ>=` M) -> M e. CC)
17 eluzelz 7592 . . . . . 6 |- (N e. (ZZ>=` M) -> N e. ZZ)
18 zcn 7349 . . . . . 6 |- (N e. ZZ -> N e. CC)
1917, 18syl 12 . . . . 5 |- (N e. (ZZ>=` M) -> N e. CC)
20 oprex 4907 . . . . . . . 8 |- (S seq1 (F shift (1 - M))) e. _V
2120shftval 7759 . . . . . . 7 |- (((M - 1) e. CC /\ (N + 1) e. CC) -> (((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1))` (N + 1)) = ((S seq1 (F shift (1 - M)))` ((N + 1) - (M - 1))))
22 ax1cn 6422 . . . . . . . 8 |- 1 e. CC
23 subcl 6524 . . . . . . . 8 |- ((M e. CC /\ 1 e. CC) -> (M - 1) e. CC)
2422, 23mpan2 760 . . . . . . 7 |- (M e. CC -> (M - 1) e. CC)
25 peano2cn 6498 . . . . . . 7 |- (N e. CC -> (N + 1) e. CC)
2621, 24, 25syl2an 503 . . . . . 6 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> (((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1))` (N + 1)) = ((S seq1 (F shift (1 - M)))` ((N + 1) - (M - 1))))
2724anim2i 362 . . . . . . . . 9 |- ((N e. CC /\ M e. CC) -> (N e. CC /\ (M - 1) e. CC))
2827ancoms 484 . . . . . . . 8 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> (N e. CC /\ (M - 1) e. CC))
29 addsub 6542 . . . . . . . . 9 |- ((N e. CC /\ 1 e. CC /\ (M - 1) e. CC) -> ((N + 1) - (M - 1)) = ((N - (M - 1)) + 1))
3022, 29mp3an2 1179 . . . . . . . 8 |- ((N e. CC /\ (M - 1) e. CC) -> ((N + 1) - (M - 1)) = ((N - (M - 1)) + 1))
3128, 30syl 12 . . . . . . 7 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> ((N + 1) - (M - 1)) = ((N - (M - 1)) + 1))
3231fveq2d 4685 . . . . . 6 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> ((S seq1 (F shift (1 - M)))` ((N + 1) - (M - 1))) = ((S seq1 (F shift (1 - M)))` ((N - (M - 1)) + 1)))
3326, 32eqtrd 1925 . . . . 5 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> (((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1))` (N + 1)) = ((S seq1 (F shift (1 - M)))` ((N - (M - 1)) + 1)))
3416, 19, 33syl11anc 524 . . . 4 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1))` (N + 1)) = ((S seq1 (F shift (1 - M)))` ((N - (M - 1)) + 1)))
35 eluz2 7590 . . . . . 6 |- (N e. (ZZ>=` M) <-> (M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N))
36 subsub 6627 . . . . . . . . . . 11 |- ((N e. CC /\ M e. CC /\ 1 e. CC) -> (N - (M - 1)) = ((N - M) + 1))
3722, 36mp3an3 1180 . . . . . . . . . 10 |- ((N e. CC /\ M e. CC) -> (N - (M - 1)) = ((N - M) + 1))
3837, 18, 15syl2an 503 . . . . . . . . 9 |- ((N e. ZZ /\ M e. ZZ) -> (N - (M - 1)) = ((N - M) + 1))
3938ancoms 484 . . . . . . . 8 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (N - (M - 1)) = ((N - M) + 1))
40393adant3 896 . . . . . . 7 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> (N - (M - 1)) = ((N - M) + 1))
41 znn0sub2 7388 . . . . . . . 8 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> (N - M) e. NN0)
42 nn0p1nn 7384 . . . . . . . 8 |- ((N - M) e. NN0 -> ((N - M) + 1) e. NN)
4341, 42syl 12 . . . . . . 7 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> ((N - M) + 1) e. NN)
4440, 43eqeltrd 1971 . . . . . 6 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> (N - (M - 1)) e. NN)
4535, 44sylbi 216 . . . . 5 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (N - (M - 1)) e. NN)
46 oprex 4907 . . . . . 6 |- (F shift (1 - M)) e. _V
472, 46seq1p1 7731 . . . . 5 |- ((N - (M - 1)) e. NN -> ((S seq1 (F shift (1 - M)))` ((N - (M - 1)) + 1)) = (((S seq1 (F shift (1 - M)))` (N - (M - 1)))S((F shift (1 - M))` ((N - (M - 1)) + 1))))
4845, 47syl 12 . . . 4 |- (N e. (ZZ>=` M) -> ((S seq1 (F shift (1 - M)))` ((N - (M - 1)) + 1)) = (((S seq1 (F shift (1 - M)))` (N - (M - 1)))S((F shift (1 - M))` ((N - (M - 1)) + 1))))
49 subcl 6524 . . . . . . . . . 10 |- ((1 e. CC /\ M e. CC) -> (1 - M) e. CC)
5022, 49mpan 759 . . . . . . . . 9 |- (M e. CC -> (1 - M) e. CC)
5150adantr 425 . . . . . . . 8 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> (1 - M) e. CC)
52 subcl 6524 . . . . . . . . . . 11 |- ((N e. CC /\ (M - 1) e. CC) -> (N - (M - 1)) e. CC)
5352, 24sylan2 500 . . . . . . . . . 10 |- ((N e. CC /\ M e. CC) -> (N - (M - 1)) e. CC)
5453ancoms 484 . . . . . . . . 9 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> (N - (M - 1)) e. CC)
55 peano2cn 6498 . . . . . . . . 9 |- ((N - (M - 1)) e. CC -> ((N - (M - 1)) + 1) e. CC)
5654, 55syl 12 . . . . . . . 8 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> ((N - (M - 1)) + 1) e. CC)
573shftval 7759 . . . . . . . 8 |- (((1 - M) e. CC /\ ((N - (M - 1)) + 1) e. CC) -> ((F shift (1 - M))` ((N - (M - 1)) + 1)) = (F` (((N - (M - 1)) + 1) - (1 - M))))
5851, 56, 57syl11anc 524 . . . . . . 7 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> ((F shift (1 - M))` ((N - (M - 1)) + 1)) = (F` (((N - (M - 1)) + 1) - (1 - M))))
59 simpl 346 . . . . . . . . . 10 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> M e. CC)
60 subsub2 6626 . . . . . . . . . . 11 |- ((((N - (M - 1)) + 1) e. CC /\ 1 e. CC /\ M e. CC) -> (((N - (M - 1)) + 1) - (1 - M)) = (((N - (M - 1)) + 1) + (M - 1)))
6122, 60mp3an2 1179 . . . . . . . . . 10 |- ((((N - (M - 1)) + 1) e. CC /\ M e. CC) -> (((N - (M - 1)) + 1) - (1 - M)) = (((N - (M - 1)) + 1) + (M - 1)))
6256, 59, 61syl11anc 524 . . . . . . . . 9 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> (((N - (M - 1)) + 1) - (1 - M)) = (((N - (M - 1)) + 1) + (M - 1)))
63 nppcan 6561 . . . . . . . . . . 11 |- ((N e. CC /\ (M - 1) e. CC /\ 1 e. CC) -> (((N - (M - 1)) + 1) + (M - 1)) = (N + 1))
6422, 63mp3an3 1180 . . . . . . . . . 10 |- ((N e. CC /\ (M - 1) e. CC) -> (((N - (M - 1)) + 1) + (M - 1)) = (N + 1))
6528, 64syl 12 . . . . . . . . 9 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> (((N - (M - 1)) + 1) + (M - 1)) = (N + 1))
6662, 65eqtrd 1925 . . . . . . . 8 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> (((N - (M - 1)) + 1) - (1 - M)) = (N + 1))
6766fveq2d 4685 . . . . . . 7 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> (F` (((N - (M - 1)) + 1) - (1 - M))) = (F` (N + 1)))
6858, 67eqtrd 1925 . . . . . 6 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> ((F shift (1 - M))` ((N - (M - 1)) + 1)) = (F` (N + 1)))
6916, 19, 68syl11anc 524 . . . . 5 |- (N e. (ZZ>=` M) -> ((F shift (1 - M))` ((N - (M - 1)) + 1)) = (F` (N + 1)))
7069opreq2d 4898 . . . 4 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (((S seq1 (F shift (1 - M)))` (N - (M - 1)))S((F shift (1 - M))` ((N - (M - 1)) + 1))) = (((S seq1 (F shift (1 - M)))` (N - (M - 1)))S(F` (N + 1))))
7134, 48, 703eqtrd 1929 . . 3 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1))` (N + 1)) = (((S seq1 (F shift (1 - M)))` (N - (M - 1)))S(F` (N + 1))))
724fveq1d 4683 . . . . . 6 |- (M e. ZZ -> ((<.M, S>. seq F)` N) = ((((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) |` {k e. ZZ | M <_ k})` N))
731, 72syl 12 . . . . 5 |- (N e. (ZZ>=` M) -> ((<.M, S>. seq F)` N) = ((((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) |` {k e. ZZ | M <_ k})` N))
749eleq2d 1964 . . . . . . . 8 |- (M e. ZZ -> (N e. (ZZ>=` M) <-> N e. {k e. ZZ | M <_ k}))
751, 74syl 12 . . . . . . 7 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (N e. (ZZ>=` M) <-> N e. {k e. ZZ | M <_ k}))
7675ibi 652 . . . . . 6 |- (N e. (ZZ>=` M) -> N e. {k e. ZZ | M <_ k})
77 fvres 4691 . . . . . 6 |- (N e. {k e. ZZ | M <_ k} -> ((((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) |` {k e. ZZ | M <_ k})` N) = (((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1))` N))
7876, 77syl 12 . . . . 5 |- (N e. (ZZ>=` M) -> ((((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) |` {k e. ZZ | M <_ k})` N) = (((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1))` N))
79 peano2zm 7378 . . . . . . 7 |- (M e. ZZ -> (M - 1) e. ZZ)
801, 79syl 12 . . . . . 6 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (M - 1) e. ZZ)
8120shftval 7759 . . . . . 6 |- (((M - 1) e. ZZ /\ N e. CC) -> (((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1))` N) = ((S seq1 (F shift (1 - M)))` (N - (M - 1))))
8280, 19, 81syl11anc 524 . . . . 5 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1))` N) = ((S seq1 (F shift (1 - M)))` (N - (M - 1))))
8373, 78, 823eqtrrd 1930 . . . 4 |- (N e. (ZZ>=` M) -> ((S seq1 (F shift (1 - M)))` (N - (M - 1))) = ((<.M, S>. seq F)` N))
8483opreq1d 4897 . . 3 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (((S seq1 (F shift (1 - M)))` (N - (M - 1)))S(F` (N + 1))) = (((<.M, S>. seq F)` N)S(F` (N + 1))))
8514, 71, 843eqtrd 1929 . 2 |- (N e. (ZZ>=` M) -> ((((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) |` {k e. ZZ | M <_ k})` (N + 1)) = (((<.M, S>. seq F)` N)S(F` (N + 1))))
866, 85eqtrd 1925 1 |- (N e. (ZZ>=` M) -> ((<.M, S>. seq F)` (N + 1)) = (((<.M, S>. seq F)` N)S(F` (N + 1))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  {crab 2108  _Vcvv 2292  <.cop 3046   class class class wbr 3338   |` cres 3988  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  1c1 6387   + caddc 6389   - cmin 6445   <_ cle 6448  NNcn 6449  NN0cn0 6450  ZZcz 6451  ZZ>=cuz 7586   seq1 cseq1 7720   shift cshi 7753   seq cseqz 7774
This theorem is referenced by:  seqzm1 7792  seqzfveq 7797  seqzrn2 7799  fsump1i 8266  serzrelem 8321  fprodp1i 14674  seqzp2 14716  seqzp1g 15807
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776
Copyright terms: Public domain