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Theorem seqz 11854
Description: If the operation  .+ has an absorbing element  Z (a.k.a. zero element), then any sequence containing a  Z evaluates to  Z. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqhomo.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqhomo.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
seqz.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( Z  .+  x )  =  Z )
seqz.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x  .+  Z )  =  Z )
seqz.5  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
seqz.6  |-  ( ph  ->  N  e.  V )
seqz.7  |-  ( ph  ->  ( F `  K
)  =  Z )
Assertion
Ref Expression
seqz  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  Z )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, M, y    x, N, y    ph, x, y   
x, K, y    x,  .+ , y    x, S, y   
x, Z, y
Allowed substitution hints:    V( x, y)

Proof of Theorem seqz
StepHypRef Expression
1 seqz.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... N ) )
2 elfzuz 11449 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4 eluzelz 10870 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  ZZ )
53, 4syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
6 seq1 11819 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  K
)  =  ( F `
 K ) )
75, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 K )  =  ( F `  K
) )
8 seqz.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  K
)  =  Z )
97, 8eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 K )  =  Z )
10 seqeq1 11809 . . . . . . . 8  |-  ( K  =  M  ->  seq K (  .+  ,  F )  =  seq M (  .+  ,  F ) )
1110fveq1d 5693 . . . . . . 7  |-  ( K  =  M  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  K
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  K
) )
1211eqeq1d 2451 . . . . . 6  |-  ( K  =  M  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  K
)  =  Z  <->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  K
)  =  Z ) )
139, 12syl5ibcom 220 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  =  M  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  K )  =  Z ) )
14 eluzel2 10866 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
153, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
16 seqm1 11823 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ) `  K
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  ( K  -  1 ) )  .+  ( F `
 K ) ) )
1715, 16sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  K
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  ( K  -  1 ) )  .+  ( F `
 K ) ) )
188adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( F `  K )  =  Z )
1918oveq2d 6107 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  ( K  -  1 ) )  .+  ( F `
 K ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  ( K  -  1 ) )  .+  Z ) )
20 eluzp1m1 10884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( K  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2115, 20sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( K  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
22 fzssp1 11501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M ... ( K  - 
1 ) )  C_  ( M ... ( ( K  -  1 )  +  1 ) )
235zcnd 10748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
24 ax-1cn 9340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
25 npcan 9619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( K  - 
1 )  +  1 )  =  K )
2623, 24, 25sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( K  - 
1 )  +  1 )  =  K )
2726oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M ... (
( K  -  1 )  +  1 ) )  =  ( M ... K ) )
2822, 27syl5sseq 3404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M ... ( K  -  1 ) )  C_  ( M ... K ) )
29 elfzuz3 11450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
301, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )
31 fzss2 11498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( M ... K )  C_  ( M ... N ) )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M ... K
)  C_  ( M ... N ) )
3328, 32sstrd 3366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M ... ( K  -  1 ) )  C_  ( M ... N ) )
3433adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( M ... ( K  -  1 ) )  C_  ( M ... N ) )
3534sselda 3356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  x  e.  ( M ... N
) )
36 seqhomo.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
3736adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  ( F `  x )  e.  S )
3835, 37syldan 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  S )
39 seqhomo.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
4039adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
4121, 38, 40seqcl 11826 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  ( K  -  1 ) )  e.  S )
42 seqz.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x  .+  Z )  =  Z )
4342ralrimiva 2799 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  ( x  .+  Z )  =  Z )
4443adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  A. x  e.  S  ( x  .+  Z )  =  Z )
45 oveq1 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  ( K  -  1 ) )  ->  ( x  .+  Z )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 ( K  - 
1 ) )  .+  Z ) )
4645eqeq1d 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  ( K  -  1 ) )  ->  ( ( x 
.+  Z )  =  Z  <->  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  ( K  -  1 ) )  .+  Z )  =  Z ) )
4746rspcv 3069 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  ( K  -  1 ) )  e.  S  -> 
( A. x  e.  S  ( x  .+  Z )  =  Z  ->  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  ( K  -  1 ) )  .+  Z )  =  Z ) )
4841, 44, 47sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  ( K  -  1 ) )  .+  Z )  =  Z )
4919, 48eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  ( K  -  1 ) )  .+  ( F `
 K ) )  =  Z )
5017, 49eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  K
)  =  Z )
5150ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ) `  K
)  =  Z ) )
52 uzp1 10894 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  =  M  \/  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
533, 52syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  =  M  \/  K  e.  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) ) ) )
5413, 51, 53mpjaod 381 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 K )  =  Z )
5554, 8eqtr4d 2478 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 K )  =  ( F `  K
) )
56 eqidd 2444 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
573, 55, 30, 56seqfveq2 11828 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 N ) )
58 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( F `
 K )  e. 
_V
5958elsnc 3901 . . . . 5  |-  ( ( F `  K )  e.  { Z }  <->  ( F `  K )  =  Z )
608, 59sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  K
)  e.  { Z } )
61 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  S )
)  ->  x  e.  { Z } )
62 elsn 3891 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { Z }  <->  x  =  Z )
6361, 62sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  S )
)  ->  x  =  Z )
6463oveq1d 6106 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  S )
)  ->  ( x  .+  y )  =  ( Z  .+  y ) )
65 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  S )
)  ->  y  e.  S )
66 seqz.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( Z  .+  x )  =  Z )
6766ralrimiva 2799 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  ( Z  .+  x )  =  Z )
6867adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  S )
)  ->  A. x  e.  S  ( Z  .+  x )  =  Z )
69 oveq2 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( Z  .+  x )  =  ( Z  .+  y
) )
7069eqeq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( Z  .+  x
)  =  Z  <->  ( Z  .+  y )  =  Z ) )
7170rspcv 3069 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  ( Z  .+  x )  =  Z  ->  ( Z  .+  y )  =  Z ) )
7265, 68, 71sylc 60 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  S )
)  ->  ( Z  .+  y )  =  Z )
7364, 72eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  S )
)  ->  ( x  .+  y )  =  Z )
74 ovex 6116 . . . . . 6  |-  ( x 
.+  y )  e. 
_V
7574elsnc 3901 . . . . 5  |-  ( ( x  .+  y )  e.  { Z }  <->  ( x  .+  y )  =  Z )
7673, 75sylibr 212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  S )
)  ->  ( x  .+  y )  e.  { Z } )
77 peano2uz 10908 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
783, 77syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
79 fzss1 11497 . . . . . . 7  |-  ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( K  +  1 ) ... N )  C_  ( M ... N ) )
8078, 79syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  + 
1 ) ... N
)  C_  ( M ... N ) )
8180sselda 3356 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  x  e.  ( M ... N
) )
8281, 36syldan 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( F `  x )  e.  S )
8360, 76, 30, 82seqcl2 11824 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 N )  e. 
{ Z } )
84 elsni 3902 . . 3  |-  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  N
)  e.  { Z }  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  N )  =  Z )
8583, 84syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  Z )
8657, 85eqtrd 2475 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715    C_ wss 3328   {csn 3877   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   1c1 9283    + caddc 9285    - cmin 9595   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   ...cfz 11437    seqcseq 11806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-seq 11807
This theorem is referenced by:  bcval5  12094  elqaalem2  21786  lgsne0  22672
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