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Theorem seqsplit 11311
Description: Split a sequence into two sequences. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqsplit.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqsplit.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
seqsplit.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
seqsplit.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K ) )
seqsplit.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
Assertion
Ref Expression
seqsplit  |-  ( ph  ->  (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 N ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, F    x, K, y, z    x, M, y, z    ph, x, y, z   
x, N, y, z   
x,  .+ , y, z    x, S, y, z

Proof of Theorem seqsplit
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqsplit.3 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
2 eluzfz2 11021 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  N  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
4 eleq1 2464 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  ( M  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
5 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) )
6 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) )
76oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) )
85, 7eqeq12d 2418 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  x )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
94, 8imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( ( M  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
109imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( M  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
11 eleq1 2464 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
12 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  n
) )
13 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) )
1413oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )
1512, 14eqeq12d 2418 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  x )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  n )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) )
1611, 15imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  n )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) ) )
1716imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) ) ) )
18 eleq1 2464 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
19 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
20 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
2120oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
2219, 21eqeq12d 2418 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  x )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
2318, 22imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
2423imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) ) )
25 eleq1 2464 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  N  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
26 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  N
) )
27 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  N
) )
2827oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  N
) ) )
2926, 28eqeq12d 2418 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  x )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  N )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) )
3025, 29imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( N  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  N )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
3130imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  N
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) ) ) )
32 seqsplit.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K ) )
33 seqp1 11293 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  ( F `  ( M  +  1 ) ) ) )
3432, 33syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) )  =  ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  ( F `  ( M  +  1 ) ) ) )
35 eluzel2 10449 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
36 seq1 11291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( F `
 ( M  + 
1 ) ) )
371, 35, 363syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) )  =  ( F `  ( M  +  1 ) ) )
3837oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  ( F `  ( M  +  1 ) ) ) )
3934, 38eqtr4d 2439 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) )  =  ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) ) ) )
4039a1d 23 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
4140a1i 11 . . . 4  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( ( M  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
42 peano2fzr 11025 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  ->  n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
4342adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
4443expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
4544imim1d 71 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  n )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  n )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) ) )
46 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
47 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
48 peano2uz 10486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K )
)
4932, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K ) )
5049adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
) )
51 uztrn 10458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  K )
)
5247, 50, 51syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  K )
)
53 seqp1 11293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
55 seqp1 11293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5647, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5756oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  ( (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
58 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ph )
59 eluzelz 10452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  M  e.  ZZ )
6032, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
61 peano2uzr 10488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6260, 1, 61syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
63 fzss2 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K ... M )  C_  ( K ... N ) )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( K ... M
)  C_  ( K ... N ) )
6564sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... M ) )  ->  x  e.  ( K ... N ) )
66 seqsplit.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
6765, 66syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... M ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
68 seqsplit.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
6932, 67, 68seqcl 11298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  e.  S )
7069adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  e.  S )
71 elfzuz3 11012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  n )
)
72 fzss2 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( ( M  +  1 ) ... n )  C_  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
7343, 71, 723syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( M  +  1 ) ... n ) 
C_  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
74 fzss1 11047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ( M  +  1 ) ... N )  C_  ( K ... N ) )
7532, 48, 743syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  C_  ( K ... N ) )
7675adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( M  +  1 ) ... N ) 
C_  ( K ... N ) )
7773, 76sstrd 3318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( M  +  1 ) ... n ) 
C_  ( K ... N ) )
7877sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  x  e.  ( ( M  +  1 ) ... n ) )  ->  x  e.  ( K ... N ) )
7966adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
8078, 79syldan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  x  e.  ( ( M  +  1 ) ... n ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
8168adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
8247, 80, 81seqcl 11298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  e.  S )
83 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
84 ssel2 3303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  + 
1 ) ... N
)  C_  ( K ... N )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) )
8575, 83, 84syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
n  +  1 )  e.  ( K ... N ) )
8666ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( K ... N ) ( F `  x
)  e.  S )
8786adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  A. x  e.  ( K ... N
) ( F `  x )  e.  S
)
88 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
8988eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S
) )
9089rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( K ... N )  ->  ( A. x  e.  ( K ... N ) ( F `  x )  e.  S  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S ) )
9185, 87, 90sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S )
92 seqsplit.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
9392caovassg 6204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  e.  S  /\  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  e.  S  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S ) )  ->  ( ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  ( (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
9458, 70, 82, 91, 93syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 n ) ) 
.+  ( F `  ( n  +  1
) ) )  =  ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  ( (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
9557, 94eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 n ) ) 
.+  ( F `  ( n  +  1
) ) ) )
9654, 95eqeq12d 2418 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  ( n  +  1
) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  <->  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
9746, 96syl5ibr 213 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  n )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
9897expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  n )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) )  ->  (  seq  K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq  K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
9998a2d 24 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  n )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
10045, 99syld 42 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  n )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
101100expcom 425 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  n )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) ) )
102101a2d 24 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( ph  ->  ( n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq  K (  .+  ,  F
) `  n )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq  K (  .+  ,  F ) `  ( n  +  1
) )  =  ( (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq  ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) ) )
10310, 17, 24, 31, 41, 102uzind4 10490 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( ph  ->  ( N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  N )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
1041, 103mpcom 34 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  N )  =  ( (  seq 
K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq  ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) )
1053, 104mpd 15 1  |-  ( ph  ->  (  seq  K ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  ( (  seq  K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq  ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666    C_ wss 3280   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1c1 8947    + caddc 8949   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999    seq cseq 11278
This theorem is referenced by:  seq1p  11312  seqf1olem2  11318  bcval5  11564  clim2ser  12403  clim2ser2  12404  isumsplit  12575  gsumccat  14742  mulgnndir  14867  clim2div  25170  mblfinlem  26143  fmul01lt1lem1  27581  fmul01lt1lem2  27582
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-seq 11279
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