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Theorem seqsplit 12104
Description: Split a sequence into two sequences. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqsplit.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqsplit.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
seqsplit.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
seqsplit.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K ) )
seqsplit.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
Assertion
Ref Expression
seqsplit  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  N )
) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, F    x, K, y, z    x, M, y, z    ph, x, y, z   
x, N, y, z   
x,  .+ , y, z    x, S, y, z

Proof of Theorem seqsplit
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqsplit.3 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
2 eluzfz2 11690 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  N  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
4 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  ( M  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
5 fveq2 5864 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) )
6 fveq2 5864 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) )
76oveq2d 6298 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) )
85, 7eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
94, 8imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( ( M  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
109imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( M  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
11 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
12 fveq2 5864 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
) )
13 fveq2 5864 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) )
1413oveq2d 6298 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )
1512, 14eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) )
1611, 15imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) ) )
1716imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) ) ) )
18 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
19 fveq2 5864 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
20 fveq2 5864 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
2120oveq2d 6298 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
2219, 21eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
2318, 22imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
2423imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) ) )
25 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  N  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
26 fveq2 5864 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq K (  .+  ,  F ) `  N
) )
27 fveq2 5864 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  N
) )
2827oveq2d 6298 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  N
) ) )
2926, 28eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  N
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) )
3025, 29imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( N  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  N
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
3130imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  N
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) ) ) )
32 seqsplit.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K ) )
33 seqp1 12086 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  ( F `  ( M  +  1 ) ) ) )
3432, 33syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  ( F `  ( M  +  1 ) ) ) )
35 eluzel2 11083 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
36 seq1 12084 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  ->  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( F `
 ( M  + 
1 ) ) )
371, 35, 363syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) )  =  ( F `  ( M  +  1 ) ) )
3837oveq2d 6298 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  seq K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  ( M  +  1 ) ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  ( F `  ( M  +  1 ) ) ) )
3934, 38eqtr4d 2511 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  ( M  +  1 ) ) ) )
4039a1d 25 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
4140a1i 11 . . . 4  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( ( M  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
42 peano2fzr 11695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  ->  n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
4342adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
4443expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
4544imim1d 75 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  n )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) ) )
46 oveq1 6289 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
47 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
48 peano2uz 11130 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K )
)
4932, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K ) )
5049adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
) )
51 uztrn 11094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  K )
)
5247, 50, 51syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  K )
)
53 seqp1 12086 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
55 seqp1 12086 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5647, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5756oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  ( (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
58 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ph )
59 eluzelz 11087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  M  e.  ZZ )
6032, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
61 peano2uzr 11132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6260, 1, 61syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
63 fzss2 11719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K ... M )  C_  ( K ... N ) )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( K ... M
)  C_  ( K ... N ) )
6564sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... M ) )  ->  x  e.  ( K ... N ) )
66 seqsplit.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
6765, 66syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... M ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
68 seqsplit.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
6932, 67, 68seqcl 12091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  e.  S )
7069adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  e.  S )
71 elfzuz3 11681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  n )
)
72 fzss2 11719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( ( M  +  1 ) ... n )  C_  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
7343, 71, 723syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( M  +  1 ) ... n ) 
C_  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
74 fzss1 11718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ( M  +  1 ) ... N )  C_  ( K ... N ) )
7532, 48, 743syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  C_  ( K ... N ) )
7675adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( M  +  1 ) ... N ) 
C_  ( K ... N ) )
7773, 76sstrd 3514 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( M  +  1 ) ... n ) 
C_  ( K ... N ) )
7877sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  x  e.  ( ( M  +  1 ) ... n ) )  ->  x  e.  ( K ... N ) )
7966adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
8078, 79syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  x  e.  ( ( M  +  1 ) ... n ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
8168adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
8247, 80, 81seqcl 12091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  e.  S )
83 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
84 ssel2 3499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  + 
1 ) ... N
)  C_  ( K ... N )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) )
8575, 83, 84syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
n  +  1 )  e.  ( K ... N ) )
8666ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( K ... N ) ( F `  x
)  e.  S )
8786adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  A. x  e.  ( K ... N
) ( F `  x )  e.  S
)
88 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
8988eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S
) )
9089rspcv 3210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( K ... N )  ->  ( A. x  e.  ( K ... N ) ( F `  x )  e.  S  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S ) )
9185, 87, 90sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S )
92 seqsplit.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
9392caovassg 6455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  e.  S  /\  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  e.  S  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S ) )  ->  ( ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  ( (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
9458, 70, 82, 91, 93syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( (  seq K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  n )
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  ( (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
9557, 94eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  n )
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
9654, 95eqeq12d 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  <->  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
9746, 96syl5ibr 221 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
9897expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
9998a2d 26 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
10045, 99syld 44 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
101100expcom 435 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) ) )
102101a2d 26 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( ph  ->  ( n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) ) )
10310, 17, 24, 31, 41, 102uzind4 11135 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( ph  ->  ( N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  N )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
1041, 103mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  N )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) )
1053, 104mpd 15 1  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  N )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    C_ wss 3476   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   1c1 9489    + caddc 9491   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668    seqcseq 12071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-seq 12072
This theorem is referenced by:  seq1p  12105  seqf1olem2  12111  bcval5  12360  clim2ser  13436  clim2ser2  13437  isumsplit  13611  gsumccat  15832  mulgnndir  15964  clim2div  28600  mblfinlem2  29629  fmul01lt1lem1  31134  fmul01lt1lem2  31135
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