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Theorem seqsplit 12125
Description: Split a sequence into two sequences. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqsplit.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqsplit.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
seqsplit.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
seqsplit.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K ) )
seqsplit.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
Assertion
Ref Expression
seqsplit  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  N )
) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, F    x, K, y, z    x, M, y, z    ph, x, y, z   
x, N, y, z   
x,  .+ , y, z    x, S, y, z

Proof of Theorem seqsplit
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqsplit.3 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
2 eluzfz2 11697 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  N  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
4 eleq1 2526 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  ( M  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
5 fveq2 5848 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) )
6 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) )
76oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) )
85, 7eqeq12d 2476 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
94, 8imbi12d 318 . . . . 5  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( ( M  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
109imbi2d 314 . . . 4  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( M  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
11 eleq1 2526 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
12 fveq2 5848 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
) )
13 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) )
1413oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )
1512, 14eqeq12d 2476 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) )
1611, 15imbi12d 318 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) ) )
1716imbi2d 314 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) ) ) )
18 eleq1 2526 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
19 fveq2 5848 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
20 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
2120oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
2219, 21eqeq12d 2476 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
2318, 22imbi12d 318 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
2423imbi2d 314 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) ) )
25 eleq1 2526 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  N  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
26 fveq2 5848 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq K (  .+  ,  F ) `  N
) )
27 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  N
) )
2827oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  N
) ) )
2926, 28eqeq12d 2476 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  N
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) )
3025, 29imbi12d 318 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( N  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  N
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
3130imbi2d 314 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  N
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) ) ) )
32 seqsplit.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K ) )
33 seqp1 12107 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  ( F `  ( M  +  1 ) ) ) )
3432, 33syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  ( F `  ( M  +  1 ) ) ) )
35 eluzel2 11087 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
36 seq1 12105 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  ->  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( F `
 ( M  + 
1 ) ) )
371, 35, 363syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) )  =  ( F `  ( M  +  1 ) ) )
3837oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  seq K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  ( M  +  1 ) ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  ( F `  ( M  +  1 ) ) ) )
3934, 38eqtr4d 2498 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  ( M  +  1 ) ) ) )
4039a1d 25 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
4140a1i 11 . . . 4  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( ( M  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
42 peano2fzr 11702 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  ->  n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
4342adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
4443expr 613 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
4544imim1d 75 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  n )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) ) )
46 oveq1 6277 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
47 simprl 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
48 peano2uz 11135 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K )
)
4932, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K ) )
5049adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
) )
51 uztrn 11098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  K )
)
5247, 50, 51syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  K )
)
53 seqp1 12107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
55 seqp1 12107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5647, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5756oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  ( (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
58 simpl 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ph )
59 eluzelz 11091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  M  e.  ZZ )
6032, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
61 peano2uzr 11137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6260, 1, 61syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
63 fzss2 11727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K ... M )  C_  ( K ... N ) )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( K ... M
)  C_  ( K ... N ) )
6564sselda 3489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... M ) )  ->  x  e.  ( K ... N ) )
66 seqsplit.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
6765, 66syldan 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... M ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
68 seqsplit.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
6932, 67, 68seqcl 12112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  e.  S )
7069adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  e.  S )
71 elfzuz3 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  n )
)
72 fzss2 11727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( ( M  +  1 ) ... n )  C_  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
7343, 71, 723syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( M  +  1 ) ... n ) 
C_  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
74 fzss1 11726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ( M  +  1 ) ... N )  C_  ( K ... N ) )
7532, 48, 743syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  C_  ( K ... N ) )
7675adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( M  +  1 ) ... N ) 
C_  ( K ... N ) )
7773, 76sstrd 3499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( M  +  1 ) ... n ) 
C_  ( K ... N ) )
7877sselda 3489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  x  e.  ( ( M  +  1 ) ... n ) )  ->  x  e.  ( K ... N ) )
7966adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
8078, 79syldan 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  x  e.  ( ( M  +  1 ) ... n ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
8168adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
8247, 80, 81seqcl 12112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  e.  S )
83 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
84 ssel2 3484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  + 
1 ) ... N
)  C_  ( K ... N )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) )
8575, 83, 84syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
n  +  1 )  e.  ( K ... N ) )
8666ralrimiva 2868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( K ... N ) ( F `  x
)  e.  S )
8786adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  A. x  e.  ( K ... N
) ( F `  x )  e.  S
)
88 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
8988eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S
) )
9089rspcv 3203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( K ... N )  ->  ( A. x  e.  ( K ... N ) ( F `  x )  e.  S  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S ) )
9185, 87, 90sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S )
92 seqsplit.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
9392caovassg 6446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  e.  S  /\  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  e.  S  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S ) )  ->  ( ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  ( (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
9458, 70, 82, 91, 93syl13anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( (  seq K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  n )
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  ( (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
9557, 94eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  n )
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
9654, 95eqeq12d 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  <->  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
9746, 96syl5ibr 221 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
9897expr 613 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
9998a2d 26 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
10045, 99syld 44 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
101100expcom 433 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) ) )
102101a2d 26 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( ph  ->  ( n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) ) )
10310, 17, 24, 31, 41, 102uzind4 11140 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( ph  ->  ( N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  N )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
1041, 103mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  N )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) )
1053, 104mpd 15 1  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  N )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804    C_ wss 3461   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   1c1 9482    + caddc 9484   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675    seqcseq 12092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-seq 12093
This theorem is referenced by:  seq1p  12126  seqf1olem2  12132  bcval5  12381  clim2ser  13562  clim2ser2  13563  isumsplit  13737  clim2div  13783  gsumccat  16211  mulgnndir  16366  mblfinlem2  30295  fmul01lt1lem1  31820  fmul01lt1lem2  31821
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