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Theorem seqshft2 12100
Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqshft2.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqshft2.2  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
seqshft2.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  ( k  +  K ) ) )
Assertion
Ref Expression
seqshft2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  (  seq ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( N  +  K ) ) )
Distinct variable groups:    k, F    k, G    k, K    k, M    ph, k    k, N
Allowed substitution hint:    .+ ( k)

Proof of Theorem seqshft2
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqshft2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz2 11693 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
4 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  M  e.  ( M ... N ) ) )
5 fveq2 5865 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) )
6 oveq1 6290 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  (
x  +  K )  =  ( M  +  K ) )
76fveq2d 5869 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) )  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  ( M  +  K )
) )
85, 7eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) )  <->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  M )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( M  +  K ) ) ) )
94, 8imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  x )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( x  +  K ) ) )  <-> 
( M  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  M )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( M  +  K ) ) ) ) )
109imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  M )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( M  +  K ) ) ) ) ) )
11 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  n  e.  ( M ... N ) ) )
12 fveq2 5865 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )
13 oveq1 6290 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (
x  +  K )  =  ( n  +  K ) )
1413fveq2d 5869 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) )  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) ) )
1512, 14eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) )  <->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  K ) ) ) )
1611, 15imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  x )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( x  +  K ) ) )  <-> 
( n  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  K ) ) ) ) )
1716imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( n  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  K ) ) ) ) ) )
18 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) ) )
19 fveq2 5865 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
20 oveq1 6290 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  +  K )  =  ( ( n  +  1 )  +  K ) )
2120fveq2d 5869 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) )  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  1 )  +  K ) ) )
2219, 21eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) )  <->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( (
n  +  1 )  +  K ) ) ) )
2318, 22imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  x )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( x  +  K ) ) )  <-> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( (
n  +  1 )  +  K ) ) ) ) )
2423imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( (
n  +  1 )  +  K ) ) ) ) ) )
25 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  N  e.  ( M ... N ) ) )
26 fveq2 5865 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )
27 oveq1 6290 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (
x  +  K )  =  ( N  +  K ) )
2827fveq2d 5869 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) )  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  ( N  +  K )
) )
2926, 28eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) )  <->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( N  +  K ) ) ) )
3025, 29imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  x )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( x  +  K ) ) )  <-> 
( N  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( N  +  K ) ) ) ) )
3130imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( N  +  K ) ) ) ) ) )
32 eluzfz1 11692 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
331, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
34 seqshft2.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  ( k  +  K ) ) )
3534ralrimiva 2878 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  =  ( G `
 ( k  +  K ) ) )
36 fveq2 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  M  ->  ( F `  k )  =  ( F `  M ) )
37 oveq1 6290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  M  ->  (
k  +  K )  =  ( M  +  K ) )
3837fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  M  ->  ( G `  ( k  +  K ) )  =  ( G `  ( M  +  K )
) )
3936, 38eqeq12d 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  (
( F `  k
)  =  ( G `
 ( k  +  K ) )  <->  ( F `  M )  =  ( G `  ( M  +  K ) ) ) )
4039rspcv 3210 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  =  ( G `  ( k  +  K
) )  ->  ( F `  M )  =  ( G `  ( M  +  K
) ) ) )
4133, 35, 40sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  =  ( G `
 ( M  +  K ) ) )
42 eluzel2 11086 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
431, 42syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
44 seq1 12087 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
4543, 44syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M )  =  ( F `  M
) )
46 seqshft2.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
4743, 46zaddcld 10969 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  +  K
)  e.  ZZ )
48 seq1 12087 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  +  K )  e.  ZZ  ->  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  ( M  +  K )
)  =  ( G `
 ( M  +  K ) ) )
4947, 48syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( M  +  K ) )  =  ( G `  ( M  +  K )
) )
5041, 45, 493eqtr4d 2518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M )  =  (  seq ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( M  +  K ) ) )
5150a1d 25 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  M )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( M  +  K ) ) ) )
5251a1i 11 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  ( M  +  K )
) ) ) )
53 peano2fzr 11698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
5453adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
5554expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  n  e.  ( M ... N
) ) )
5655imim1d 75 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ( M ... N )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) ) )  ->  (
( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) ) ) ) )
57 oveq1 6290 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  K ) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
58 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
59 seqp1 12089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
6146adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
62 eluzadd 11109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
n  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
) )
6358, 61, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( n  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
64 seqp1 12089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  ->  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  K
)  +  1 ) )  =  ( (  seq ( M  +  K ) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) )  .+  ( G `
 ( ( n  +  K )  +  1 ) ) ) )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  K
)  +  1 ) )  =  ( (  seq ( M  +  K ) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) )  .+  ( G `
 ( ( n  +  K )  +  1 ) ) ) )
66 eluzelz 11090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  n  e.  ZZ )
6758, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
68 zcn 10868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
69 zcn 10868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
70 ax-1cn 9549 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
71 add32 9792 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  (
( n  +  1 )  +  K )  =  ( ( n  +  K )  +  1 ) )
7270, 71mp3an2 1312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  +  K
)  =  ( ( n  +  K )  +  1 ) )
7368, 69, 72syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( n  + 
1 )  +  K
)  =  ( ( n  +  K )  +  1 ) )
7467, 61, 73syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  +  K )  =  ( ( n  +  K )  +  1 ) )
7574fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  1 )  +  K ) )  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  K
)  +  1 ) ) )
76 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
7735adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  =  ( G `  ( k  +  K ) ) )
78 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
79 oveq1 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
k  +  K )  =  ( ( n  +  1 )  +  K ) )
8079fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( G `  ( k  +  K ) )  =  ( G `  (
( n  +  1 )  +  K ) ) )
8178, 80eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  =  ( G `
 ( k  +  K ) )  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  =  ( G `  ( ( n  +  1 )  +  K ) ) ) )
8281rspcv 3210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  =  ( G `  ( k  +  K
) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  =  ( G `  ( ( n  + 
1 )  +  K
) ) ) )
8376, 77, 82sylc 60 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  =  ( G `  ( ( n  +  1 )  +  K ) ) )
8474fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( G `  ( ( n  + 
1 )  +  K
) )  =  ( G `  ( ( n  +  K )  +  1 ) ) )
8583, 84eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  =  ( G `  ( ( n  +  K )  +  1 ) ) )
8685oveq2d 6299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) )  .+  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) )  .+  ( G `
 ( ( n  +  K )  +  1 ) ) ) )
8765, 75, 863eqtr4d 2518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  1 )  +  K ) )  =  ( (  seq ( M  +  K ) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) )  .+  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
8860, 87eqeq12d 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  1 )  +  K ) )  <->  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  K ) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
8957, 88syl5ibr 221 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  1 )  +  K ) ) ) )
9089expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  1 )  +  K ) ) ) ) )
9190a2d 26 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) ) )  ->  (
( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  1 )  +  K ) ) ) ) )
9256, 91syld 44 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ( M ... N )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) ) )  ->  (
( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  1 )  +  K ) ) ) ) )
9392expcom 435 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( M ... N
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) ) )  ->  (
( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  1 )  +  K ) ) ) ) ) )
9493a2d 26 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  ( n  e.  ( M ... N
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) ) ) )  -> 
( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  1 )  +  K ) ) ) ) ) )
9510, 17, 24, 31, 52, 94uzind4 11138 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( N  +  K ) ) ) ) )
961, 95mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( N  +  K ) ) ) )
973, 96mpd 15 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  (  seq ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( N  +  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   CCcc 9489   1c1 9492    + caddc 9494   ZZcz 10863   ZZ>=cuz 11081   ...cfz 11671    seqcseq 12074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-fz 11672  df-seq 12075
This theorem is referenced by:  seqf1olem2  12114  seqshft  12880  isercoll2  13453  gsumccat  15838  mulgnndir  15971  fprodser  28674
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