Theorem seqshft2 11832

Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqshft2.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seqshft2.2	|- ( ph -> K e. ZZ )
seqshft2.3	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seqshft2	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, G   k, K   k, M   ph, k   k, N

Allowed substitution hint:   .+ ( k)

Proof of Theorem seqshft2

Dummy variables n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqshft2.1	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 11459	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 16	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		eleq1 2503	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( x e. ( M ... N ) <-> M e. ( M ... N ) ) )
5		fveq2 5691	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq M ( .+ , F ) ` M ) )
6		oveq1 6098	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( x + K ) = ( M + K ) )
7	6	fveq2d 5695	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) )
8	5, 7	eqeq12d 2457	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) <-> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) ) )
9	4, 8	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( x = M -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) <-> ( M e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) ) ) )
10	9	imbi2d 316	. . . 4 |- ( x = M -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) ) ) ) )
11		eleq1 2503	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( x e. ( M ... N ) <-> n e. ( M ... N ) ) )
12		fveq2 5691	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) )
13		oveq1 6098	. . . . . . . 8 |- ( x = n -> ( x + K ) = ( n + K ) )
14	13	fveq2d 5695	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) )
15	12, 14	eqeq12d 2457	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) <-> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) )
16	11, 15	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( x = n -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) <-> ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) ) )
17	16	imbi2d 316	. . . 4 |- ( x = n -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) ) ) )
18		eleq1 2503	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
19		fveq2 5691	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) )
20		oveq1 6098	. . . . . . . 8 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( x + K ) = ( ( n + 1 ) + K ) )
21	20	fveq2d 5695	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) )
22	19, 21	eqeq12d 2457	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) <-> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) )
23	18, 22	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) <-> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) )
24	23	imbi2d 316	. . . 4 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) ) )
25		eleq1 2503	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( x e. ( M ... N ) <-> N e. ( M ... N ) ) )
26		fveq2 5691	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq M ( .+ , F ) ` N ) )
27		oveq1 6098	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( x + K ) = ( N + K ) )
28	27	fveq2d 5695	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) )
29	26, 28	eqeq12d 2457	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) <-> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) ) )
30	25, 29	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) <-> ( N e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) ) ) )
31	30	imbi2d 316	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) ) ) ) )
32		eluzfz1 11458	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
33	1, 32	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
34		seqshft2.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) )
35	34	ralrimiva 2799	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) )
36		fveq2 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
37		oveq1 6098	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = M -> ( k + K ) = ( M + K ) )
38	37	fveq2d 5695	. . . . . . . . . 10 |- ( k = M -> ( G ` ( k + K ) ) = ( G ` ( M + K ) ) )
39	36, 38	eqeq12d 2457	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) <-> ( F ` M ) = ( G ` ( M + K ) ) ) )
40	39	rspcv 3069	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) -> ( F ` M ) = ( G ` ( M + K ) ) ) )
41	33, 35, 40	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` M ) = ( G ` ( M + K ) ) )
42		eluzel2 10866	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
43	1, 42	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
44		seq1 11819	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
45	43, 44	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
46		seqshft2.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. ZZ )
47	43, 46	zaddcld 10751	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M + K ) e. ZZ )
48		seq1 11819	. . . . . . . 8 |- ( ( M + K ) e. ZZ -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) = ( G ` ( M + K ) ) )
49	47, 48	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) = ( G ` ( M + K ) ) )
50	41, 45, 49	3eqtr4d 2485	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) )
51	50	a1d 25	. . . . 5 |- ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) ) )
52	51	a1i 11	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) ) ) )
53		peano2fzr 11463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> n e. ( M ... N ) )
54	53	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( M ... N ) )
55	54	expr 615	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> n e. ( M ... N ) ) )
56	55	imim1d 75	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) ) )
57		oveq1 6098	. . . . . . . . . 10 |- ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
58		simprl 755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
59		seqp1 11821	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
60	58, 59	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
61	46	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> K e. ZZ )
62		eluzadd 10889	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( n + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
63	58, 61, 62	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( n + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
64		seqp1 11821	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + K ) + 1 ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) ) )
65	63, 64	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + K ) + 1 ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) ) )
66		eluzelz 10870	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
67	58, 66	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ZZ )
68		zcn 10651	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
69		zcn 10651	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
70		ax-1cn 9340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
71		add32 9583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( n + 1 ) + K ) = ( ( n + K ) + 1 ) )
72	70, 71	mp3an2 1302	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( n + 1 ) + K ) = ( ( n + K ) + 1 ) )
73	68, 69, 72	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( n + 1 ) + K ) = ( ( n + K ) + 1 ) )
74	67, 61, 73	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( n + 1 ) + K ) = ( ( n + K ) + 1 ) )
75	74	fveq2d 5695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + K ) + 1 ) ) )
76		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
77	35	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) )
78		fveq2 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
79		oveq1 6098	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( k + K ) = ( ( n + 1 ) + K ) )
80	79	fveq2d 5695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( G ` ( k + K ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) )
81	78, 80	eqeq12d 2457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) <-> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) )
82	81	rspcv 3069	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) )
83	76, 77, 82	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) )
84	74	fveq2d 5695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) = ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) )
85	83, 84	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) )
86	85	oveq2d 6107	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) ) )
87	65, 75, 86	3eqtr4d 2485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
88	60, 87	eqeq12d 2457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) <-> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
89	57, 88	syl5ibr 221	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) )
90	89	expr 615	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) )
91	90	a2d 26	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) )
92	56, 91	syld 44	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) )
93	92	expcom 435	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) ) )
94	93	a2d 26	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) ) -> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) ) )
95	10, 17, 24, 31, 52, 94	uzind4 10912	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) ) ) )
96	1, 95	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) ) )
97	3, 96	mpd 15	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2715   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   1c1 9283   + caddc 9285   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   ...cfz 11437   seqcseq 11806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-seq 11807

This theorem is referenced by:  seqf1olem2  11846  seqshft  12574  isercoll2  13146  gsumccat  15519  mulgnndir  15649  fprodser  27462