Theorem seqshft2 11828

Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqshft2.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seqshft2.2	|- ( ph -> K e. ZZ )
seqshft2.3	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seqshft2	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, G   k, K   k, M   ph, k   k, N

Allowed substitution hint:   .+ ( k)

Proof of Theorem seqshft2

Dummy variables n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqshft2.1	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 11455	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 16	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		eleq1 2501	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( x e. ( M ... N ) <-> M e. ( M ... N ) ) )
5		fveq2 5688	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq M ( .+ , F ) ` M ) )
6		oveq1 6097	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( x + K ) = ( M + K ) )
7	6	fveq2d 5692	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) )
8	5, 7	eqeq12d 2455	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) <-> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) ) )
9	4, 8	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( x = M -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) <-> ( M e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) ) ) )
10	9	imbi2d 316	. . . 4 |- ( x = M -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) ) ) ) )
11		eleq1 2501	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( x e. ( M ... N ) <-> n e. ( M ... N ) ) )
12		fveq2 5688	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) )
13		oveq1 6097	. . . . . . . 8 |- ( x = n -> ( x + K ) = ( n + K ) )
14	13	fveq2d 5692	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) )
15	12, 14	eqeq12d 2455	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) <-> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) )
16	11, 15	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( x = n -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) <-> ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) ) )
17	16	imbi2d 316	. . . 4 |- ( x = n -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) ) ) )
18		eleq1 2501	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
19		fveq2 5688	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) )
20		oveq1 6097	. . . . . . . 8 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( x + K ) = ( ( n + 1 ) + K ) )
21	20	fveq2d 5692	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) )
22	19, 21	eqeq12d 2455	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) <-> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) )
23	18, 22	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) <-> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) )
24	23	imbi2d 316	. . . 4 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) ) )
25		eleq1 2501	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( x e. ( M ... N ) <-> N e. ( M ... N ) ) )
26		fveq2 5688	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq M ( .+ , F ) ` N ) )
27		oveq1 6097	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( x + K ) = ( N + K ) )
28	27	fveq2d 5692	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) )
29	26, 28	eqeq12d 2455	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) <-> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) ) )
30	25, 29	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) <-> ( N e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) ) ) )
31	30	imbi2d 316	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) ) ) ) )
32		eluzfz1 11454	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
33	1, 32	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
34		seqshft2.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) )
35	34	ralrimiva 2797	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) )
36		fveq2 5688	. . . . . . . . . 10 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
37		oveq1 6097	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = M -> ( k + K ) = ( M + K ) )
38	37	fveq2d 5692	. . . . . . . . . 10 |- ( k = M -> ( G ` ( k + K ) ) = ( G ` ( M + K ) ) )
39	36, 38	eqeq12d 2455	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) <-> ( F ` M ) = ( G ` ( M + K ) ) ) )
40	39	rspcv 3066	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) -> ( F ` M ) = ( G ` ( M + K ) ) ) )
41	33, 35, 40	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` M ) = ( G ` ( M + K ) ) )
42		eluzel2 10862	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
43	1, 42	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
44		seq1 11815	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
45	43, 44	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
46		seqshft2.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. ZZ )
47	43, 46	zaddcld 10747	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M + K ) e. ZZ )
48		seq1 11815	. . . . . . . 8 |- ( ( M + K ) e. ZZ -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) = ( G ` ( M + K ) ) )
49	47, 48	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) = ( G ` ( M + K ) ) )
50	41, 45, 49	3eqtr4d 2483	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) )
51	50	a1d 25	. . . . 5 |- ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) ) )
52	51	a1i 11	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) ) ) )
53		peano2fzr 11459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> n e. ( M ... N ) )
54	53	adantl 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( M ... N ) )
55	54	expr 612	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> n e. ( M ... N ) ) )
56	55	imim1d 75	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) ) )
57		oveq1 6097	. . . . . . . . . 10 |- ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
58		simprl 750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
59		seqp1 11817	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
60	58, 59	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
61	46	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> K e. ZZ )
62		eluzadd 10885	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( n + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
63	58, 61, 62	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( n + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
64		seqp1 11817	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + K ) + 1 ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) ) )
65	63, 64	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + K ) + 1 ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) ) )
66		eluzelz 10866	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
67	58, 66	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ZZ )
68		zcn 10647	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
69		zcn 10647	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
70		ax-1cn 9336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
71		add32 9579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( n + 1 ) + K ) = ( ( n + K ) + 1 ) )
72	70, 71	mp3an2 1297	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( n + 1 ) + K ) = ( ( n + K ) + 1 ) )
73	68, 69, 72	syl2an 474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( n + 1 ) + K ) = ( ( n + K ) + 1 ) )
74	67, 61, 73	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( n + 1 ) + K ) = ( ( n + K ) + 1 ) )
75	74	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + K ) + 1 ) ) )
76		simprr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
77	35	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) )
78		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
79		oveq1 6097	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( k + K ) = ( ( n + 1 ) + K ) )
80	79	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( G ` ( k + K ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) )
81	78, 80	eqeq12d 2455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) <-> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) )
82	81	rspcv 3066	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) )
83	76, 77, 82	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) )
84	74	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) = ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) )
85	83, 84	eqtrd 2473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) )
86	85	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) ) )
87	65, 75, 86	3eqtr4d 2483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
88	60, 87	eqeq12d 2455	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) <-> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
89	57, 88	syl5ibr 221	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) )
90	89	expr 612	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) )
91	90	a2d 26	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) )
92	56, 91	syld 44	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) )
93	92	expcom 435	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) ) )
94	93	a2d 26	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) ) -> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) ) )
95	10, 17, 24, 31, 52, 94	uzind4 10908	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) ) ) )
96	1, 95	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) ) )
97	3, 96	mpd 15	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   A.wral 2713   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   1c1 9279   + caddc 9281   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433   seqcseq 11802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-seq 11803

This theorem is referenced by:  seqf1olem2  11842  seqshft  12570  isercoll2  13142  gsumccat  15512  mulgnndir  15642  fprodser  27391