Theorem seqshft2 12100

Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqshft2.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seqshft2.2	|- ( ph -> K e. ZZ )
seqshft2.3	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seqshft2	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, G   k, K   k, M   ph, k   k, N

Allowed substitution hint:   .+ ( k)

Proof of Theorem seqshft2

Dummy variables n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqshft2.1	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 11693	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 16	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		eleq1 2539	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( x e. ( M ... N ) <-> M e. ( M ... N ) ) )
5		fveq2 5865	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq M ( .+ , F ) ` M ) )
6		oveq1 6290	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( x + K ) = ( M + K ) )
7	6	fveq2d 5869	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) )
8	5, 7	eqeq12d 2489	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) <-> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) ) )
9	4, 8	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( x = M -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) <-> ( M e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) ) ) )
10	9	imbi2d 316	. . . 4 |- ( x = M -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) ) ) ) )
11		eleq1 2539	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( x e. ( M ... N ) <-> n e. ( M ... N ) ) )
12		fveq2 5865	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) )
13		oveq1 6290	. . . . . . . 8 |- ( x = n -> ( x + K ) = ( n + K ) )
14	13	fveq2d 5869	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) )
15	12, 14	eqeq12d 2489	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) <-> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) )
16	11, 15	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( x = n -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) <-> ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) ) )
17	16	imbi2d 316	. . . 4 |- ( x = n -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) ) ) )
18		eleq1 2539	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
19		fveq2 5865	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) )
20		oveq1 6290	. . . . . . . 8 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( x + K ) = ( ( n + 1 ) + K ) )
21	20	fveq2d 5869	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) )
22	19, 21	eqeq12d 2489	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) <-> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) )
23	18, 22	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) <-> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) )
24	23	imbi2d 316	. . . 4 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) ) )
25		eleq1 2539	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( x e. ( M ... N ) <-> N e. ( M ... N ) ) )
26		fveq2 5865	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq M ( .+ , F ) ` N ) )
27		oveq1 6290	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( x + K ) = ( N + K ) )
28	27	fveq2d 5869	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) )
29	26, 28	eqeq12d 2489	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) <-> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) ) )
30	25, 29	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) <-> ( N e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) ) ) )
31	30	imbi2d 316	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) ) ) ) )
32		eluzfz1 11692	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
33	1, 32	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
34		seqshft2.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) )
35	34	ralrimiva 2878	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) )
36		fveq2 5865	. . . . . . . . . 10 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
37		oveq1 6290	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = M -> ( k + K ) = ( M + K ) )
38	37	fveq2d 5869	. . . . . . . . . 10 |- ( k = M -> ( G ` ( k + K ) ) = ( G ` ( M + K ) ) )
39	36, 38	eqeq12d 2489	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) <-> ( F ` M ) = ( G ` ( M + K ) ) ) )
40	39	rspcv 3210	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) -> ( F ` M ) = ( G ` ( M + K ) ) ) )
41	33, 35, 40	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` M ) = ( G ` ( M + K ) ) )
42		eluzel2 11086	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
43	1, 42	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
44		seq1 12087	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
45	43, 44	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
46		seqshft2.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. ZZ )
47	43, 46	zaddcld 10969	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M + K ) e. ZZ )
48		seq1 12087	. . . . . . . 8 |- ( ( M + K ) e. ZZ -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) = ( G ` ( M + K ) ) )
49	47, 48	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) = ( G ` ( M + K ) ) )
50	41, 45, 49	3eqtr4d 2518	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) )
51	50	a1d 25	. . . . 5 |- ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) ) )
52	51	a1i 11	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) ) ) )
53		peano2fzr 11698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> n e. ( M ... N ) )
54	53	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( M ... N ) )
55	54	expr 615	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> n e. ( M ... N ) ) )
56	55	imim1d 75	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) ) )
57		oveq1 6290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
58		simprl 755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
59		seqp1 12089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
60	58, 59	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
61	46	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> K e. ZZ )
62		eluzadd 11109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( n + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
63	58, 61, 62	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( n + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
64		seqp1 12089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + K ) + 1 ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) ) )
65	63, 64	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + K ) + 1 ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) ) )
66		eluzelz 11090	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
67	58, 66	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ZZ )
68		zcn 10868	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
69		zcn 10868	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
70		ax-1cn 9549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
71		add32 9792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( n + 1 ) + K ) = ( ( n + K ) + 1 ) )
72	70, 71	mp3an2 1312	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( n + 1 ) + K ) = ( ( n + K ) + 1 ) )
73	68, 69, 72	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( n + 1 ) + K ) = ( ( n + K ) + 1 ) )
74	67, 61, 73	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( n + 1 ) + K ) = ( ( n + K ) + 1 ) )
75	74	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + K ) + 1 ) ) )
76		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
77	35	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) )
78		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
79		oveq1 6290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( k + K ) = ( ( n + 1 ) + K ) )
80	79	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( G ` ( k + K ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) )
81	78, 80	eqeq12d 2489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) <-> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) )
82	81	rspcv 3210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) )
83	76, 77, 82	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) )
84	74	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) = ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) )
85	83, 84	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) )
86	85	oveq2d 6299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) ) )
87	65, 75, 86	3eqtr4d 2518	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
88	60, 87	eqeq12d 2489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) <-> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
89	57, 88	syl5ibr 221	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) )
90	89	expr 615	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) )
91	90	a2d 26	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) )
92	56, 91	syld 44	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) )
93	92	expcom 435	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) ) )
94	93	a2d 26	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) ) -> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) ) )
95	10, 17, 24, 31, 52, 94	uzind4 11138	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) ) ) )
96	1, 95	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) ) )
97	3, 96	mpd 15	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   CCcc 9489   1c1 9492   + caddc 9494   ZZcz 10863   ZZ>=cuz 11081   ...cfz 11671   seqcseq 12074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-fz 11672  df-seq 12075

This theorem is referenced by:  seqf1olem2  12114  seqshft  12880  isercoll2  13453  gsumccat  15838  mulgnndir  15971  fprodser  28674