Theorem seqshft2 12136

Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqshft2.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seqshft2.2	|- ( ph -> K e. ZZ )
seqshft2.3	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seqshft2	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, G   k, K   k, M   ph, k   k, N

Allowed substitution hint:   .+ ( k)

Proof of Theorem seqshft2

Dummy variables n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqshft2.1	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 11719	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 16	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		eleq1 2529	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( x e. ( M ... N ) <-> M e. ( M ... N ) ) )
5		fveq2 5872	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq M ( .+ , F ) ` M ) )
6		oveq1 6303	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( x + K ) = ( M + K ) )
7	6	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) )
8	5, 7	eqeq12d 2479	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) <-> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) ) )
9	4, 8	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( x = M -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) <-> ( M e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) ) ) )
10	9	imbi2d 316	. . . 4 |- ( x = M -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) ) ) ) )
11		eleq1 2529	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( x e. ( M ... N ) <-> n e. ( M ... N ) ) )
12		fveq2 5872	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) )
13		oveq1 6303	. . . . . . . 8 |- ( x = n -> ( x + K ) = ( n + K ) )
14	13	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) )
15	12, 14	eqeq12d 2479	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) <-> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) )
16	11, 15	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( x = n -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) <-> ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) ) )
17	16	imbi2d 316	. . . 4 |- ( x = n -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) ) ) )
18		eleq1 2529	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
19		fveq2 5872	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) )
20		oveq1 6303	. . . . . . . 8 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( x + K ) = ( ( n + 1 ) + K ) )
21	20	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) )
22	19, 21	eqeq12d 2479	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) <-> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) )
23	18, 22	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) <-> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) )
24	23	imbi2d 316	. . . 4 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) ) )
25		eleq1 2529	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( x e. ( M ... N ) <-> N e. ( M ... N ) ) )
26		fveq2 5872	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq M ( .+ , F ) ` N ) )
27		oveq1 6303	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( x + K ) = ( N + K ) )
28	27	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) )
29	26, 28	eqeq12d 2479	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) <-> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) ) )
30	25, 29	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) <-> ( N e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) ) ) )
31	30	imbi2d 316	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) ) ) ) )
32		eluzfz1 11718	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
33	1, 32	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
34		seqshft2.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) )
35	34	ralrimiva 2871	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) )
36		fveq2 5872	. . . . . . . . . 10 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
37		oveq1 6303	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = M -> ( k + K ) = ( M + K ) )
38	37	fveq2d 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( k = M -> ( G ` ( k + K ) ) = ( G ` ( M + K ) ) )
39	36, 38	eqeq12d 2479	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) <-> ( F ` M ) = ( G ` ( M + K ) ) ) )
40	39	rspcv 3206	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) -> ( F ` M ) = ( G ` ( M + K ) ) ) )
41	33, 35, 40	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` M ) = ( G ` ( M + K ) ) )
42		eluzel2 11111	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
43	1, 42	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
44		seq1 12123	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
45	43, 44	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
46		seqshft2.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. ZZ )
47	43, 46	zaddcld 10994	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M + K ) e. ZZ )
48		seq1 12123	. . . . . . . 8 |- ( ( M + K ) e. ZZ -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) = ( G ` ( M + K ) ) )
49	47, 48	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) = ( G ` ( M + K ) ) )
50	41, 45, 49	3eqtr4d 2508	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) )
51	50	a1d 25	. . . . 5 |- ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) ) )
52	51	a1i 11	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) ) ) )
53		peano2fzr 11724	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> n e. ( M ... N ) )
54	53	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( M ... N ) )
55	54	expr 615	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> n e. ( M ... N ) ) )
56	55	imim1d 75	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) ) )
57		oveq1 6303	. . . . . . . . . 10 |- ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
58		simprl 756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
59		seqp1 12125	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
60	58, 59	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
61	46	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> K e. ZZ )
62		eluzadd 11134	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( n + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
63	58, 61, 62	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( n + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
64		seqp1 12125	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + K ) + 1 ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) ) )
65	63, 64	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + K ) + 1 ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) ) )
66		eluzelz 11115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
67	58, 66	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ZZ )
68		zcn 10890	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
69		zcn 10890	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
70		ax-1cn 9567	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
71		add32 9811	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( n + 1 ) + K ) = ( ( n + K ) + 1 ) )
72	70, 71	mp3an2 1312	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( n + 1 ) + K ) = ( ( n + K ) + 1 ) )
73	68, 69, 72	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( n + 1 ) + K ) = ( ( n + K ) + 1 ) )
74	67, 61, 73	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( n + 1 ) + K ) = ( ( n + K ) + 1 ) )
75	74	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + K ) + 1 ) ) )
76		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
77	35	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) )
78		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
79		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( k + K ) = ( ( n + 1 ) + K ) )
80	79	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( G ` ( k + K ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) )
81	78, 80	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) <-> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) )
82	81	rspcv 3206	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) )
83	76, 77, 82	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) )
84	74	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) = ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) )
85	83, 84	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) )
86	85	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) ) )
87	65, 75, 86	3eqtr4d 2508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
88	60, 87	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) <-> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
89	57, 88	syl5ibr 221	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) )
90	89	expr 615	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) )
91	90	a2d 26	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) )
92	56, 91	syld 44	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) )
93	92	expcom 435	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) ) )
94	93	a2d 26	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) ) -> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) ) )
95	10, 17, 24, 31, 52, 94	uzind4 11164	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) ) ) )
96	1, 95	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) ) )
97	3, 96	mpd 15	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   1c1 9510   + caddc 9512   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697   seqcseq 12110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-seq 12111

This theorem is referenced by:  seqf1olem2  12150  seqshft  12930  isercoll2  13503  fprodser  13768  gsumccat  16136  mulgnndir  16291