Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqshft Structured version   Unicode version

Theorem seqshft 12898
 Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
seqshft.1
Assertion
Ref Expression
seqshft

Proof of Theorem seqshft
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqfn 12099 . . 3
3 zsubcl 10917 . . . . 5
4 seqfn 12099 . . . . 5
53, 4syl 16 . . . 4
6 zcn 10881 . . . . 5
76adantl 466 . . . 4
8 seqex 12089 . . . . 5
98shftfn 12886 . . . 4
105, 7, 9syl2anc 661 . . 3
11 simpr 461 . . . . . 6
12 shftuz 12882 . . . . . 6
1311, 3, 12syl2anc 661 . . . . 5
14 zcn 10881 . . . . . . 7
15 npcan 9841 . . . . . . 7
1614, 6, 15syl2an 477 . . . . . 6
1716fveq2d 5876 . . . . 5
1813, 17eqtrd 2508 . . . 4
1918fneq2d 5678 . . 3
2010, 19mpbid 210 . 2
21 negsub 9879 . . . . . . 7
2214, 6, 21syl2an 477 . . . . . 6
2322adantr 465 . . . . 5
2423seqeq1d 12093 . . . 4
25 eluzelz 11103 . . . . . 6
2625zcnd 10979 . . . . 5
27 negsub 9879 . . . . 5
2826, 7, 27syl2anr 478 . . . 4
2924, 28fveq12d 5878 . . 3
30 simpr 461 . . . 4
31 znegcl 10910 . . . . 5
3231ad2antlr 726 . . . 4
33 elfzelz 11700 . . . . . . . . 9
3433zcnd 10979 . . . . . . . 8
35 seqshft.1 . . . . . . . . . 10
3635shftval 12887 . . . . . . . . 9
37 negsub 9879 . . . . . . . . . . 11
3837ancoms 453 . . . . . . . . . 10
3938fveq2d 5876 . . . . . . . . 9
4036, 39eqtr4d 2511 . . . . . . . 8
416, 34, 40syl2an 477 . . . . . . 7
4241ralrimiva 2881 . . . . . 6
4342ad2antlr 726 . . . . 5
4443r19.21bi 2836 . . . 4
4530, 32, 44seqshft2 12113 . . 3
46 uzssz 11113 . . . . . 6
47 zsscn 10884 . . . . . 6
4846, 47sstri 3518 . . . . 5
4948sseli 3505 . . . 4
508shftval 12887 . . . 4
517, 49, 50syl2an 477 . . 3
5229, 45, 513eqtr4d 2518 . 2
532, 20, 52eqfnfvd 5985 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2817  crab 2821  cvv 3118   wfn 5589  cfv 5594  (class class class)co 6295  cc 9502   caddc 9507   cmin 9817  cneg 9818  cz 10876  cuz 11094  cfz 11684   cseq 12087   cshi 12879 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-seq 12088  df-shft 12880 This theorem is referenced by:  isershft  13466  cvgrat  13672  eftlub  13722
 Copyright terms: Public domain W3C validator