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Theorem seqshft 12574
Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
seqshft.1  |-  F  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
seqshft  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  seq M (  .+  ,  ( F  shift  N ) )  =  (  seq ( M  -  N ) (  .+  ,  F )  shift  N ) )

Proof of Theorem seqshft
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqfn 11818 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  .+  , 
( F  shift  N ) )  Fn  ( ZZ>= `  M ) )
21adantr 465 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  seq M (  .+  ,  ( F  shift  N ) )  Fn  ( ZZ>=
`  M ) )
3 zsubcl 10687 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  -  N
)  e.  ZZ )
4 seqfn 11818 . . . . 5  |-  ( ( M  -  N )  e.  ZZ  ->  seq ( M  -  N
) (  .+  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  ( M  -  N ) ) )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  seq ( M  -  N ) (  .+  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  ( M  -  N ) ) )
6 zcn 10651 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
76adantl 466 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
8 seqex 11808 . . . . 5  |-  seq ( M  -  N )
(  .+  ,  F
)  e.  _V
98shftfn 12562 . . . 4  |-  ( (  seq ( M  -  N ) (  .+  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  ( M  -  N ) )  /\  N  e.  CC )  ->  (  seq ( M  -  N ) ( 
.+  ,  F ) 
shift  N )  Fn  {
x  e.  CC  | 
( x  -  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  N
) ) } )
105, 7, 9syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (  seq ( M  -  N ) ( 
.+  ,  F ) 
shift  N )  Fn  {
x  e.  CC  | 
( x  -  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  N
) ) } )
11 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
12 shftuz 12558 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( M  -  N
)  e.  ZZ )  ->  { x  e.  CC  |  ( x  -  N )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  N ) ) }  =  ( ZZ>= `  (
( M  -  N
)  +  N ) ) )
1311, 3, 12syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  { x  e.  CC  |  ( x  -  N )  e.  (
ZZ>= `  ( M  -  N ) ) }  =  ( ZZ>= `  (
( M  -  N
)  +  N ) ) )
14 zcn 10651 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
15 npcan 9619 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( M  -  N )  +  N
)  =  M )
1614, 6, 15syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  -  N )  +  N
)  =  M )
1716fveq2d 5695 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ZZ>= `  ( ( M  -  N )  +  N ) )  =  ( ZZ>= `  M )
)
1813, 17eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  { x  e.  CC  |  ( x  -  N )  e.  (
ZZ>= `  ( M  -  N ) ) }  =  ( ZZ>= `  M
) )
1918fneq2d 5502 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( (  seq ( M  -  N )
(  .+  ,  F
)  shift  N )  Fn 
{ x  e.  CC  |  ( x  -  N )  e.  (
ZZ>= `  ( M  -  N ) ) }  <-> 
(  seq ( M  -  N ) (  .+  ,  F )  shift  N )  Fn  ( ZZ>= `  M
) ) )
2010, 19mpbid 210 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (  seq ( M  -  N ) ( 
.+  ,  F ) 
shift  N )  Fn  ( ZZ>=
`  M ) )
21 negsub 9657 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( M  +  -u N )  =  ( M  -  N ) )
2214, 6, 21syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  -u N )  =  ( M  -  N ) )
2322adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  ( M  +  -u N )  =  ( M  -  N ) )
2423seqeq1d 11812 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  seq ( M  +  -u N ) (  .+  ,  F )  =  seq ( M  -  N
) (  .+  ,  F ) )
25 eluzelz 10870 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  z  e.  ZZ )
2625zcnd 10748 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  z  e.  CC )
27 negsub 9657 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( z  +  -u N )  =  ( z  -  N ) )
2826, 7, 27syl2anr 478 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  ( z  + 
-u N )  =  ( z  -  N
) )
2924, 28fveq12d 5697 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  (  seq ( M  +  -u N ) (  .+  ,  F
) `  ( z  +  -u N ) )  =  (  seq ( M  -  N )
(  .+  ,  F
) `  ( z  -  N ) ) )
30 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )
31 znegcl 10680 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u N  e.  ZZ )
3231ad2antlr 726 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  -u N  e.  ZZ )
33 elfzelz 11453 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( M ... z )  ->  y  e.  ZZ )
3433zcnd 10748 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( M ... z )  ->  y  e.  CC )
35 seqshft.1 . . . . . . . . . 10  |-  F  e. 
_V
3635shftval 12563 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  N ) `  y )  =  ( F `  ( y  -  N
) ) )
37 negsub 9657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( y  +  -u N )  =  ( y  -  N ) )
3837ancoms 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( y  +  -u N )  =  ( y  -  N ) )
3938fveq2d 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( F `  (
y  +  -u N
) )  =  ( F `  ( y  -  N ) ) )
4036, 39eqtr4d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  N ) `  y )  =  ( F `  ( y  +  -u N ) ) )
416, 34, 40syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  y  e.  ( M ... z ) )  -> 
( ( F  shift  N ) `  y )  =  ( F `  ( y  +  -u N ) ) )
4241ralrimiva 2799 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  A. y  e.  ( M ... z
) ( ( F 
shift  N ) `  y
)  =  ( F `
 ( y  + 
-u N ) ) )
4342ad2antlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  A. y  e.  ( M ... z ) ( ( F  shift  N ) `  y )  =  ( F `  ( y  +  -u N ) ) )
4443r19.21bi 2814 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  y  e.  ( M ... z ) )  ->  ( ( F  shift  N ) `  y )  =  ( F `  ( y  +  -u N ) ) )
4530, 32, 44seqshft2 11832 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  (  seq M
(  .+  ,  ( F  shift  N ) ) `
 z )  =  (  seq ( M  +  -u N ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( z  + 
-u N ) ) )
46 uzssz 10880 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
47 zsscn 10654 . . . . . 6  |-  ZZ  C_  CC
4846, 47sstri 3365 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  CC
4948sseli 3352 . . . 4  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  z  e.  CC )
508shftval 12563 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( (  seq ( M  -  N )
(  .+  ,  F
)  shift  N ) `  z )  =  (  seq ( M  -  N ) (  .+  ,  F ) `  (
z  -  N ) ) )
517, 49, 50syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  ( (  seq ( M  -  N
) (  .+  ,  F )  shift  N ) `
 z )  =  (  seq ( M  -  N ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( z  -  N ) ) )
5229, 45, 513eqtr4d 2485 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  (  seq M
(  .+  ,  ( F  shift  N ) ) `
 z )  =  ( (  seq ( M  -  N )
(  .+  ,  F
)  shift  N ) `  z ) )
532, 20, 52eqfnfvd 5800 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  seq M (  .+  ,  ( F  shift  N ) )  =  (  seq ( M  -  N ) (  .+  ,  F )  shift  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   {crab 2719   _Vcvv 2972    Fn wfn 5413   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280    + caddc 9285    - cmin 9595   -ucneg 9596   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   ...cfz 11437    seqcseq 11806    shift cshi 12555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-seq 11807  df-shft 12556
This theorem is referenced by:  isershft  13141  cvgrat  13343  eftlub  13393
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