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Theorem seqshft 12898
Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
seqshft.1  |-  F  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
seqshft  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  seq M (  .+  ,  ( F  shift  N ) )  =  (  seq ( M  -  N ) (  .+  ,  F )  shift  N ) )

Proof of Theorem seqshft
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqfn 12099 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  .+  , 
( F  shift  N ) )  Fn  ( ZZ>= `  M ) )
21adantr 465 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  seq M (  .+  ,  ( F  shift  N ) )  Fn  ( ZZ>=
`  M ) )
3 zsubcl 10917 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  -  N
)  e.  ZZ )
4 seqfn 12099 . . . . 5  |-  ( ( M  -  N )  e.  ZZ  ->  seq ( M  -  N
) (  .+  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  ( M  -  N ) ) )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  seq ( M  -  N ) (  .+  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  ( M  -  N ) ) )
6 zcn 10881 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
76adantl 466 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
8 seqex 12089 . . . . 5  |-  seq ( M  -  N )
(  .+  ,  F
)  e.  _V
98shftfn 12886 . . . 4  |-  ( (  seq ( M  -  N ) (  .+  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  ( M  -  N ) )  /\  N  e.  CC )  ->  (  seq ( M  -  N ) ( 
.+  ,  F ) 
shift  N )  Fn  {
x  e.  CC  | 
( x  -  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  N
) ) } )
105, 7, 9syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (  seq ( M  -  N ) ( 
.+  ,  F ) 
shift  N )  Fn  {
x  e.  CC  | 
( x  -  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  N
) ) } )
11 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
12 shftuz 12882 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( M  -  N
)  e.  ZZ )  ->  { x  e.  CC  |  ( x  -  N )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  N ) ) }  =  ( ZZ>= `  (
( M  -  N
)  +  N ) ) )
1311, 3, 12syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  { x  e.  CC  |  ( x  -  N )  e.  (
ZZ>= `  ( M  -  N ) ) }  =  ( ZZ>= `  (
( M  -  N
)  +  N ) ) )
14 zcn 10881 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
15 npcan 9841 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( M  -  N )  +  N
)  =  M )
1614, 6, 15syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  -  N )  +  N
)  =  M )
1716fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ZZ>= `  ( ( M  -  N )  +  N ) )  =  ( ZZ>= `  M )
)
1813, 17eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  { x  e.  CC  |  ( x  -  N )  e.  (
ZZ>= `  ( M  -  N ) ) }  =  ( ZZ>= `  M
) )
1918fneq2d 5678 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( (  seq ( M  -  N )
(  .+  ,  F
)  shift  N )  Fn 
{ x  e.  CC  |  ( x  -  N )  e.  (
ZZ>= `  ( M  -  N ) ) }  <-> 
(  seq ( M  -  N ) (  .+  ,  F )  shift  N )  Fn  ( ZZ>= `  M
) ) )
2010, 19mpbid 210 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (  seq ( M  -  N ) ( 
.+  ,  F ) 
shift  N )  Fn  ( ZZ>=
`  M ) )
21 negsub 9879 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( M  +  -u N )  =  ( M  -  N ) )
2214, 6, 21syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  -u N )  =  ( M  -  N ) )
2322adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  ( M  +  -u N )  =  ( M  -  N ) )
2423seqeq1d 12093 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  seq ( M  +  -u N ) (  .+  ,  F )  =  seq ( M  -  N
) (  .+  ,  F ) )
25 eluzelz 11103 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  z  e.  ZZ )
2625zcnd 10979 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  z  e.  CC )
27 negsub 9879 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( z  +  -u N )  =  ( z  -  N ) )
2826, 7, 27syl2anr 478 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  ( z  + 
-u N )  =  ( z  -  N
) )
2924, 28fveq12d 5878 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  (  seq ( M  +  -u N ) (  .+  ,  F
) `  ( z  +  -u N ) )  =  (  seq ( M  -  N )
(  .+  ,  F
) `  ( z  -  N ) ) )
30 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )
31 znegcl 10910 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u N  e.  ZZ )
3231ad2antlr 726 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  -u N  e.  ZZ )
33 elfzelz 11700 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( M ... z )  ->  y  e.  ZZ )
3433zcnd 10979 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( M ... z )  ->  y  e.  CC )
35 seqshft.1 . . . . . . . . . 10  |-  F  e. 
_V
3635shftval 12887 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  N ) `  y )  =  ( F `  ( y  -  N
) ) )
37 negsub 9879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( y  +  -u N )  =  ( y  -  N ) )
3837ancoms 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( y  +  -u N )  =  ( y  -  N ) )
3938fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( F `  (
y  +  -u N
) )  =  ( F `  ( y  -  N ) ) )
4036, 39eqtr4d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  N ) `  y )  =  ( F `  ( y  +  -u N ) ) )
416, 34, 40syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  y  e.  ( M ... z ) )  -> 
( ( F  shift  N ) `  y )  =  ( F `  ( y  +  -u N ) ) )
4241ralrimiva 2881 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  A. y  e.  ( M ... z
) ( ( F 
shift  N ) `  y
)  =  ( F `
 ( y  + 
-u N ) ) )
4342ad2antlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  A. y  e.  ( M ... z ) ( ( F  shift  N ) `  y )  =  ( F `  ( y  +  -u N ) ) )
4443r19.21bi 2836 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  y  e.  ( M ... z ) )  ->  ( ( F  shift  N ) `  y )  =  ( F `  ( y  +  -u N ) ) )
4530, 32, 44seqshft2 12113 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  (  seq M
(  .+  ,  ( F  shift  N ) ) `
 z )  =  (  seq ( M  +  -u N ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( z  + 
-u N ) ) )
46 uzssz 11113 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
47 zsscn 10884 . . . . . 6  |-  ZZ  C_  CC
4846, 47sstri 3518 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  CC
4948sseli 3505 . . . 4  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  z  e.  CC )
508shftval 12887 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( (  seq ( M  -  N )
(  .+  ,  F
)  shift  N ) `  z )  =  (  seq ( M  -  N ) (  .+  ,  F ) `  (
z  -  N ) ) )
517, 49, 50syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  ( (  seq ( M  -  N
) (  .+  ,  F )  shift  N ) `
 z )  =  (  seq ( M  -  N ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( z  -  N ) ) )
5229, 45, 513eqtr4d 2518 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  z  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  (  seq M
(  .+  ,  ( F  shift  N ) ) `
 z )  =  ( (  seq ( M  -  N )
(  .+  ,  F
)  shift  N ) `  z ) )
532, 20, 52eqfnfvd 5985 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  seq M (  .+  ,  ( F  shift  N ) )  =  (  seq ( M  -  N ) (  .+  ,  F )  shift  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   {crab 2821   _Vcvv 3118    Fn wfn 5589   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502    + caddc 9507    - cmin 9817   -ucneg 9818   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   ...cfz 11684    seqcseq 12087    shift cshi 12879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-seq 12088  df-shft 12880
This theorem is referenced by:  isershft  13466  cvgrat  13672  eftlub  13722
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