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Theorem seqpo 32034
Description: Two ways to say that a sequence respects a partial order. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
seqpo  |-  ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  ->  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  <->  A. m  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( F `
 m ) R ( F `  n
) ) )
Distinct variable groups:    m, F, n, s    A, m, n, s    R, m, n, s

Proof of Theorem seqpo
Dummy variables  p  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  ( m  + 
1 )  ->  ( F `  p )  =  ( F `  ( m  +  1
) ) )
21breq2d 4433 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( F `  m
) R ( F `
 p )  <->  ( F `  m ) R ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )
32imbi2d 318 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 p ) )  <-> 
( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
4 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  q  ->  ( F `  p )  =  ( F `  q ) )
54breq2d 4433 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  q  ->  (
( F `  m
) R ( F `
 p )  <->  ( F `  m ) R ( F `  q ) ) )
65imbi2d 318 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  q  ->  (
( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 p ) )  <-> 
( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 q ) ) ) )
7 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  ( q  +  1 )  ->  ( F `  p )  =  ( F `  ( q  +  1 ) ) )
87breq2d 4433 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  ( q  +  1 )  ->  (
( F `  m
) R ( F `
 p )  <->  ( F `  m ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) ) )
98imbi2d 318 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  ( q  +  1 )  ->  (
( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 p ) )  <-> 
( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 ( q  +  1 ) ) ) ) )
10 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  n  ->  ( F `  p )  =  ( F `  n ) )
1110breq2d 4433 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  n  ->  (
( F `  m
) R ( F `
 p )  <->  ( F `  m ) R ( F `  n ) ) )
1211imbi2d 318 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  n  ->  (
( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 p ) )  <-> 
( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 n ) ) ) )
13 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  m  ->  ( F `  s )  =  ( F `  m ) )
14 oveq1 6310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  m  ->  (
s  +  1 )  =  ( m  + 
1 ) )
1514fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  m  ->  ( F `  ( s  +  1 ) )  =  ( F `  ( m  +  1
) ) )
1613, 15breq12d 4434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  m  ->  (
( F `  s
) R ( F `
 ( s  +  1 ) )  <->  ( F `  m ) R ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )
1716rspccva 3182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  m ) R ( F `  ( m  +  1
) ) )
1817adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  ->  ( F `  m ) R ( F `  ( m  +  1
) ) )
1918a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
20 peano2nn 10623 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
21 elnnuz 11197 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  +  1 )  e.  NN  <->  ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2220, 21sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
23 uztrn 11177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( q  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )  ->  q  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
24 elnnuz 11197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( q  e.  NN  <->  q  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2523, 24sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( q  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )  ->  q  e.  NN )
2625expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( q  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) )  ->  q  e.  NN ) )
2722, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  (
q  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) )  ->  q  e.  NN ) )
2827imdistani 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN  /\  q  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) )  -> 
( m  e.  NN  /\  q  e.  NN ) )
29 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  =  q  ->  ( F `  s )  =  ( F `  q ) )
30 oveq1 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  =  q  ->  (
s  +  1 )  =  ( q  +  1 ) )
3130fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  =  q  ->  ( F `  ( s  +  1 ) )  =  ( F `  ( q  +  1 ) ) )
3229, 31breq12d 4434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  q  ->  (
( F `  s
) R ( F `
 ( s  +  1 ) )  <->  ( F `  q ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) ) )
3332rspccva 3182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  q  e.  NN )  ->  ( F `  q ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) )
3433ad2ant2l 751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( F `  q ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) )
3534ex 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) )  ->  ( (
m  e.  NN  /\  q  e.  NN )  ->  ( F `  q
) R ( F `
 ( q  +  1 ) ) ) )
36 ffvelrn 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : NN --> A  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  m
)  e.  A )
3736adantrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : NN --> A  /\  ( m  e.  NN  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( F `  m )  e.  A
)
38 ffvelrn 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : NN --> A  /\  q  e.  NN )  ->  ( F `  q
)  e.  A )
3938adantrl 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : NN --> A  /\  ( m  e.  NN  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( F `  q )  e.  A
)
40 peano2nn 10623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( q  e.  NN  ->  (
q  +  1 )  e.  NN )
41 ffvelrn 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : NN --> A  /\  ( q  +  1 )  e.  NN )  ->  ( F `  ( q  +  1 ) )  e.  A
)
4240, 41sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : NN --> A  /\  q  e.  NN )  ->  ( F `  (
q  +  1 ) )  e.  A )
4342adantrl 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : NN --> A  /\  ( m  e.  NN  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( F `  ( q  +  1 ) )  e.  A
)
4437, 39, 433jca 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : NN --> A  /\  ( m  e.  NN  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( ( F `  m )  e.  A  /\  ( F `  q )  e.  A  /\  ( F `  ( q  +  1 ) )  e.  A ) )
45 potr 4784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( ( F `  m )  e.  A  /\  ( F `  q
)  e.  A  /\  ( F `  ( q  +  1 ) )  e.  A ) )  ->  ( ( ( F `  m ) R ( F `  q )  /\  ( F `  q ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 ( q  +  1 ) ) ) )
4645expcomd 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( ( F `  m )  e.  A  /\  ( F `  q
)  e.  A  /\  ( F `  ( q  +  1 ) )  e.  A ) )  ->  ( ( F `
 q ) R ( F `  (
q  +  1 ) )  ->  ( ( F `  m ) R ( F `  q )  ->  ( F `  m ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) ) ) )
4746ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R  Po  A  ->  (
( ( F `  m )  e.  A  /\  ( F `  q
)  e.  A  /\  ( F `  ( q  +  1 ) )  e.  A )  -> 
( ( F `  q ) R ( F `  ( q  +  1 ) )  ->  ( ( F `
 m ) R ( F `  q
)  ->  ( F `  m ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) ) ) ) )
4844, 47syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  Po  A  ->  (
( F : NN --> A  /\  ( m  e.  NN  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( F `  q ) R ( F `  ( q  +  1 ) )  ->  ( ( F `
 m ) R ( F `  q
)  ->  ( F `  m ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) ) ) ) )
4948expdimp 439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  ->  ( ( m  e.  NN  /\  q  e.  NN )  ->  (
( F `  q
) R ( F `
 ( q  +  1 ) )  -> 
( ( F `  m ) R ( F `  q )  ->  ( F `  m ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) ) ) ) )
5049adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) )  ->  ( (
m  e.  NN  /\  q  e.  NN )  ->  ( ( F `  q ) R ( F `  ( q  +  1 ) )  ->  ( ( F `
 m ) R ( F `  q
)  ->  ( F `  m ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) ) ) ) )
5135, 50mpdd 42 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) )  ->  ( (
m  e.  NN  /\  q  e.  NN )  ->  ( ( F `  m ) R ( F `  q )  ->  ( F `  m ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) ) ) )
5228, 51syl5 34 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) )  ->  ( (
m  e.  NN  /\  q  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) )  -> 
( ( F `  m ) R ( F `  q )  ->  ( F `  m ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) ) ) )
5352expdimp 439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( q  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) )  -> 
( ( F `  m ) R ( F `  q )  ->  ( F `  m ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) ) ) )
5453anasss 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  ->  (
q  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) )  ->  (
( F `  m
) R ( F `
 q )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 ( q  +  1 ) ) ) ) )
5554com12 33 . . . . . . . . 9  |-  ( q  e.  ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) )  ->  ( (
( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  ->  (
( F `  m
) R ( F `
 q )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 ( q  +  1 ) ) ) ) )
5655a2d 30 . . . . . . . 8  |-  ( q  e.  ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) )  ->  ( (
( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( F `  m
) R ( F `
 q ) )  ->  ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  ->  ( F `  m ) R ( F `  ( q  +  1 ) ) ) ) )
573, 6, 9, 12, 19, 56uzind4 11219 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) )  ->  ( (
( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  ->  ( F `  m ) R ( F `  n ) ) )
5857com12 33 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  ->  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) )  ->  ( F `  m ) R ( F `  n ) ) )
5958ralrimiv 2838 . . . . 5  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  /\  m  e.  NN ) )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( F `  m
) R ( F `
 n ) )
6059anassrs 653 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) ( F `  m ) R ( F `  n ) )
6160ralrimiva 2840 . . 3  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  /\  A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) )  ->  A. m  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( F `  m
) R ( F `
 n ) )
6261ex 436 . 2  |-  ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  ->  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  ->  A. m  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( F `
 m ) R ( F `  n
) ) )
63 oveq1 6310 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  s  ->  (
m  +  1 )  =  ( s  +  1 ) )
6463fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( m  =  s  ->  ( ZZ>=
`  ( m  + 
1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( s  +  1 ) ) )
65 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  s  ->  ( F `  m )  =  ( F `  s ) )
6665breq1d 4431 . . . . . . 7  |-  ( m  =  s  ->  (
( F `  m
) R ( F `
 n )  <->  ( F `  s ) R ( F `  n ) ) )
6764, 66raleqbidv 3040 . . . . . 6  |-  ( m  =  s  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  ( m  + 
1 ) ) ( F `  m ) R ( F `  n )  <->  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( s  +  1 ) ) ( F `  s
) R ( F `
 n ) ) )
6867rspcv 3179 . . . . 5  |-  ( s  e.  NN  ->  ( A. m  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( F `
 m ) R ( F `  n
)  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( s  +  1 ) ) ( F `  s
) R ( F `
 n ) ) )
6968imdistanri 696 . . . 4  |-  ( ( A. m  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( F `
 m ) R ( F `  n
)  /\  s  e.  NN )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  ( s  +  1 ) ) ( F `
 s ) R ( F `  n
)  /\  s  e.  NN ) )
70 peano2nn 10623 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  NN  ->  (
s  +  1 )  e.  NN )
7170nnzd 11041 . . . . . 6  |-  ( s  e.  NN  ->  (
s  +  1 )  e.  ZZ )
72 uzid 11175 . . . . . 6  |-  ( ( s  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
s  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
s  +  1 ) ) )
7371, 72syl 17 . . . . 5  |-  ( s  e.  NN  ->  (
s  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
s  +  1 ) ) )
74 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( s  +  1 )  ->  ( F `  n )  =  ( F `  ( s  +  1 ) ) )
7574breq2d 4433 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( s  +  1 )  ->  (
( F `  s
) R ( F `
 n )  <->  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) ) )
7675rspccva 3182 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  (
ZZ>= `  ( s  +  1 ) ) ( F `  s ) R ( F `  n )  /\  (
s  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
s  +  1 ) ) )  ->  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) )
7773, 76sylan2 477 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  (
ZZ>= `  ( s  +  1 ) ) ( F `  s ) R ( F `  n )  /\  s  e.  NN )  ->  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) )
7869, 77syl 17 . . 3  |-  ( ( A. m  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( F `
 m ) R ( F `  n
)  /\  s  e.  NN )  ->  ( F `
 s ) R ( F `  (
s  +  1 ) ) )
7978ralrimiva 2840 . 2  |-  ( A. m  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) ( F `  m
) R ( F `
 n )  ->  A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) ) )
8062, 79impbid1 207 1  |-  ( ( R  Po  A  /\  F : NN --> A )  ->  ( A. s  e.  NN  ( F `  s ) R ( F `  ( s  +  1 ) )  <->  A. m  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) ( F `
 m ) R ( F `  n
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776   class class class wbr 4421    Po wpo 4770   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   1c1 9542    + caddc 9544   NNcn 10611   ZZcz 10939   ZZ>=cuz 11161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162
This theorem is referenced by:  incsequz2  32036
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