MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqomsuc Structured version   Unicode version

Theorem seqomsuc 7129
Description: Value of an index-aware recursive definition at a successor. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
seqom.a  |-  G  = seq𝜔 ( F ,  I )
Assertion
Ref Expression
seqomsuc  |-  ( A  e.  om  ->  ( G `  suc  A )  =  ( A F ( G `  A
) ) )

Proof of Theorem seqomsuc
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqomlem0 7121 . . 3  |-  rec (
( a  e.  om ,  b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b )
>. ) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. )  =  rec ( ( c  e. 
om ,  d  e. 
_V  |->  <. suc  c , 
( c F d ) >. ) ,  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >. )
21seqomlem4 7125 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  (
( rec ( ( a  e.  om , 
b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b ) >.
) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. ) " om ) `  suc  A )  =  ( A F ( ( rec ( ( a  e.  om , 
b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b ) >.
) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. ) " om ) `  A ) ) )
3 seqom.a . . . 4  |-  G  = seq𝜔 ( F ,  I )
4 df-seqom 7120 . . . 4  |- seq𝜔 ( F ,  I
)  =  ( rec ( ( a  e. 
om ,  b  e. 
_V  |->  <. suc  a , 
( a F b ) >. ) ,  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >. ) " om )
53, 4eqtri 2450 . . 3  |-  G  =  ( rec ( ( a  e.  om , 
b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b ) >.
) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. ) " om )
65fveq1i 5826 . 2  |-  ( G `
 suc  A )  =  ( ( rec ( ( a  e. 
om ,  b  e. 
_V  |->  <. suc  a , 
( a F b ) >. ) ,  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >. ) " om ) `  suc  A )
75fveq1i 5826 . . 3  |-  ( G `
 A )  =  ( ( rec (
( a  e.  om ,  b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b )
>. ) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. ) " om ) `  A )
87oveq2i 6260 . 2  |-  ( A F ( G `  A ) )  =  ( A F ( ( rec ( ( a  e.  om , 
b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b ) >.
) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. ) " om ) `  A ) )
92, 6, 83eqtr4g 2487 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( G `  suc  A )  =  ( A F ( G `  A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1872   _Vcvv 3022   (/)c0 3704   <.cop 3947    _I cid 4706   "cima 4799   suc csuc 5387   ` cfv 5544  (class class class)co 6249    |-> cmpt2 6251   omcom 6650   reccrdg 7082  seq𝜔cseqom 7119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-seqom 7120
This theorem is referenced by:  cantnfvalf  8122  cantnfval2  8126  cantnfsuc  8127  cnfcomlem  8156  fseqenlem1  8406  fin23lem12  8712
  Copyright terms: Public domain W3C validator