MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqomsuc Structured version   Unicode version

Theorem seqomsuc 7114
Description: Value of an index-aware recursive definition at a successor. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
seqom.a  |-  G  = seq𝜔 ( F ,  I )
Assertion
Ref Expression
seqomsuc  |-  ( A  e.  om  ->  ( G `  suc  A )  =  ( A F ( G `  A
) ) )

Proof of Theorem seqomsuc
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqomlem0 7106 . . 3  |-  rec (
( a  e.  om ,  b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b )
>. ) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. )  =  rec ( ( c  e. 
om ,  d  e. 
_V  |->  <. suc  c , 
( c F d ) >. ) ,  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >. )
21seqomlem4 7110 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  (
( rec ( ( a  e.  om , 
b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b ) >.
) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. ) " om ) `  suc  A )  =  ( A F ( ( rec ( ( a  e.  om , 
b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b ) >.
) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. ) " om ) `  A ) ) )
3 seqom.a . . . 4  |-  G  = seq𝜔 ( F ,  I )
4 df-seqom 7105 . . . 4  |- seq𝜔 ( F ,  I
)  =  ( rec ( ( a  e. 
om ,  b  e. 
_V  |->  <. suc  a , 
( a F b ) >. ) ,  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >. ) " om )
53, 4eqtri 2483 . . 3  |-  G  =  ( rec ( ( a  e.  om , 
b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b ) >.
) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. ) " om )
65fveq1i 5849 . 2  |-  ( G `
 suc  A )  =  ( ( rec ( ( a  e. 
om ,  b  e. 
_V  |->  <. suc  a , 
( a F b ) >. ) ,  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >. ) " om ) `  suc  A )
75fveq1i 5849 . . 3  |-  ( G `
 A )  =  ( ( rec (
( a  e.  om ,  b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b )
>. ) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. ) " om ) `  A )
87oveq2i 6281 . 2  |-  ( A F ( G `  A ) )  =  ( A F ( ( rec ( ( a  e.  om , 
b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b ) >.
) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. ) " om ) `  A ) )
92, 6, 83eqtr4g 2520 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( G `  suc  A )  =  ( A F ( G `  A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106   (/)c0 3783   <.cop 4022    _I cid 4779   suc csuc 4869   "cima 4991   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    |-> cmpt2 6272   omcom 6673   reccrdg 7067  seq𝜔cseqom 7104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-seqom 7105
This theorem is referenced by:  cantnfvalf  8075  cantnfval2  8079  cantnfsuc  8080  cantnfval2OLD  8109  cantnfsucOLD  8110  cnfcomlem  8134  cnfcomlemOLD  8142  fseqenlem1  8396  fin23lem12  8702
  Copyright terms: Public domain W3C validator