MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqomlem3 Structured version   Unicode version

Theorem seqomlem3 7072
Description: Lemma for seq𝜔. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
seqomlem.a  |-  Q  =  rec ( ( i  e.  om ,  v  e.  _V  |->  <. suc  i ,  ( i F v ) >. ) ,  <. (/) ,  (  _I 
`  I ) >.
)
Assertion
Ref Expression
seqomlem3  |-  ( ( Q " om ) `  (/) )  =  (  _I  `  I )
Distinct variable groups:    Q, i,
v    i, F, v
Allowed substitution hints:    I( v, i)

Proof of Theorem seqomlem3
StepHypRef Expression
1 peano1 6655 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
2 fvres 5817 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  om  ->  ( ( Q  |`  om ) `  (/) )  =  ( Q `
 (/) ) )
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( Q  |`  om ) `  (/) )  =  ( Q `  (/) )
4 seqomlem.a . . . . . . 7  |-  Q  =  rec ( ( i  e.  om ,  v  e.  _V  |->  <. suc  i ,  ( i F v ) >. ) ,  <. (/) ,  (  _I 
`  I ) >.
)
54fveq1i 5804 . . . . . 6  |-  ( Q `
 (/) )  =  ( rec ( ( i  e.  om ,  v  e.  _V  |->  <. suc  i ,  ( i F v ) >. ) ,  <. (/) ,  (  _I 
`  I ) >.
) `  (/) )
6 opex 4652 . . . . . . 7  |-  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>.  e.  _V
76rdg0 7042 . . . . . 6  |-  ( rec ( ( i  e. 
om ,  v  e. 
_V  |->  <. suc  i , 
( i F v ) >. ) ,  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >. ) `  (/) )  =  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >.
83, 5, 73eqtri 2433 . . . . 5  |-  ( ( Q  |`  om ) `  (/) )  =  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >.
9 frfnom 7055 . . . . . . 7  |-  ( rec ( ( i  e. 
om ,  v  e. 
_V  |->  <. suc  i , 
( i F v ) >. ) ,  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >. )  |` 
om )  Fn  om
104reseq1i 5209 . . . . . . . 8  |-  ( Q  |`  om )  =  ( rec ( ( i  e.  om ,  v  e.  _V  |->  <. suc  i ,  ( i F v ) >. ) ,  <. (/) ,  (  _I 
`  I ) >.
)  |`  om )
1110fneq1i 5610 . . . . . . 7  |-  ( ( Q  |`  om )  Fn  om  <->  ( rec (
( i  e.  om ,  v  e.  _V  |->  <. suc  i ,  ( i F v )
>. ) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. )  |`  om )  Fn  om )
129, 11mpbir 209 . . . . . 6  |-  ( Q  |`  om )  Fn  om
13 fnfvelrn 5960 . . . . . 6  |-  ( ( ( Q  |`  om )  Fn  om  /\  (/)  e.  om )  ->  ( ( Q  |`  om ) `  (/) )  e. 
ran  ( Q  |`  om ) )
1412, 1, 13mp2an 670 . . . . 5  |-  ( ( Q  |`  om ) `  (/) )  e.  ran  ( Q  |`  om )
158, 14eqeltrri 2485 . . . 4  |-  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>.  e.  ran  ( Q  |`  om )
16 df-ima 4953 . . . 4  |-  ( Q
" om )  =  ran  ( Q  |`  om )
1715, 16eleqtrri 2487 . . 3  |-  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>.  e.  ( Q " om )
18 df-br 4393 . . 3  |-  ( (/) ( Q " om )
(  _I  `  I
)  <->  <. (/) ,  (  _I 
`  I ) >.  e.  ( Q " om ) )
1917, 18mpbir 209 . 2  |-  (/) ( Q
" om ) (  _I  `  I )
204seqomlem2 7071 . . 3  |-  ( Q
" om )  Fn 
om
21 fnbrfvb 5843 . . 3  |-  ( ( ( Q " om )  Fn  om  /\  (/)  e.  om )  ->  ( ( ( Q " om ) `  (/) )  =  (  _I  `  I )  <->  (/) ( Q " om ) (  _I  `  I ) ) )
2220, 1, 21mp2an 670 . 2  |-  ( ( ( Q " om ) `  (/) )  =  (  _I  `  I
)  <->  (/) ( Q " om ) (  _I  `  I ) )
2319, 22mpbir 209 1  |-  ( ( Q " om ) `  (/) )  =  (  _I  `  I )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1403    e. wcel 1840   _Vcvv 3056   (/)c0 3735   <.cop 3975   class class class wbr 4392    _I cid 4730   suc csuc 4821   ran crn 4941    |` cres 4942   "cima 4943    Fn wfn 5518   ` cfv 5523  (class class class)co 6232    |-> cmpt2 6234   omcom 6636   reccrdg 7030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031
This theorem is referenced by:  seqom0g  7076
  Copyright terms: Public domain W3C validator