Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqomlem1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem seqomlem1 7185
 Description: Lemma for seq𝜔. The underlying recursion generates a sequence of pairs with the expected first values. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
seqomlem.a
Assertion
Ref Expression
seqomlem1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem seqomlem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5879 . . 3
2 id 22 . . . 4
31fveq2d 5883 . . . 4
42, 3opeq12d 4166 . . 3
51, 4eqeq12d 2486 . 2
6 fveq2 5879 . . 3
7 id 22 . . . 4
86fveq2d 5883 . . . 4
97, 8opeq12d 4166 . . 3
106, 9eqeq12d 2486 . 2
11 fveq2 5879 . . 3
12 id 22 . . . 4
1311fveq2d 5883 . . . 4
1412, 13opeq12d 4166 . . 3
1511, 14eqeq12d 2486 . 2
16 fveq2 5879 . . 3
17 id 22 . . . 4
1816fveq2d 5883 . . . 4
1917, 18opeq12d 4166 . . 3
2016, 19eqeq12d 2486 . 2
21 seqomlem.a . . . . 5
2221fveq1i 5880 . . . 4
23 opex 4664 . . . . 5
2423rdg0 7157 . . . 4
2522, 24eqtri 2493 . . 3
26 0ex 4528 . . . . . . 7
27 fvex 5889 . . . . . . 7
2826, 27op2nd 6821 . . . . . 6
2928eqcomi 2480 . . . . 5
3029opeq2i 4162 . . . 4
31 id 22 . . . 4
32 fveq2 5879 . . . . 5
3332opeq2d 4165 . . . 4
3430, 31, 333eqtr4a 2531 . . 3
3525, 34ax-mp 5 . 2
36 df-ov 6311 . . . . . 6
37 fvex 5889 . . . . . . 7
38 suceq 5495 . . . . . . . . 9
39 oveq1 6315 . . . . . . . . 9
4038, 39opeq12d 4166 . . . . . . . 8
41 oveq2 6316 . . . . . . . . 9
4241opeq2d 4165 . . . . . . . 8
43 eqid 2471 . . . . . . . 8
44 opex 4664 . . . . . . . 8
4540, 42, 43, 44ovmpt2 6451 . . . . . . 7
4637, 45mpan2 685 . . . . . 6
4736, 46syl5eqr 2519 . . . . 5
48 fveq2 5879 . . . . . 6
4948eqeq1d 2473 . . . . 5
5047, 49syl5ibrcom 230 . . . 4
51 vex 3034 . . . . . . . . . 10
5251sucex 6657 . . . . . . . . 9
53 ovex 6336 . . . . . . . . 9
5452, 53op2nd 6821 . . . . . . . 8
5554eqcomi 2480 . . . . . . 7
5655a1i 11 . . . . . 6
5756opeq2d 4165 . . . . 5
58 id 22 . . . . . 6
59 fveq2 5879 . . . . . . 7
6059opeq2d 4165 . . . . . 6
6158, 60eqeq12d 2486 . . . . 5
6257, 61syl5ibrcom 230 . . . 4
6350, 62syld 44 . . 3
64 frsuc 7172 . . . . 5
65 peano2 6732 . . . . . . 7
66 fvres 5893 . . . . . . 7
6765, 66syl 17 . . . . . 6
6821fveq1i 5880 . . . . . 6
6967, 68syl6eqr 2523 . . . . 5
70 fvres 5893 . . . . . . 7
7121fveq1i 5880 . . . . . . 7
7270, 71syl6eqr 2523 . . . . . 6
7372fveq2d 5883 . . . . 5
7464, 69, 733eqtr3d 2513 . . . 4
7574fveq2d 5883 . . . . 5
7675opeq2d 4165 . . . 4
7774, 76eqeq12d 2486 . . 3
7863, 77sylibrd 242 . 2
795, 10, 15, 20, 35, 78finds 6738 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1452   wcel 1904  cvv 3031  c0 3722  cop 3965   cid 4749   cres 4841   csuc 5432  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  com 6711  c2nd 6811  crdg 7145 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146 This theorem is referenced by:  seqomlem2  7186  seqomlem4  7188
 Copyright terms: Public domain W3C validator