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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > seqomlem1 | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Lemma for seq𝜔. The underlying recursion generates a sequence of pairs with the expected first values. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2015.) |
Ref | Expression |
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seqomlem.a |
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seqomlem1 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | fveq2 5879 |
. . 3
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2 | id 22 |
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3 | 1 | fveq2d 5883 |
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4 | 2, 3 | opeq12d 4166 |
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5 | 1, 4 | eqeq12d 2486 |
. 2
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6 | fveq2 5879 |
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7 | id 22 |
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8 | 6 | fveq2d 5883 |
. . . 4
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9 | 7, 8 | opeq12d 4166 |
. . 3
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10 | 6, 9 | eqeq12d 2486 |
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11 | fveq2 5879 |
. . 3
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12 | id 22 |
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13 | 11 | fveq2d 5883 |
. . . 4
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14 | 12, 13 | opeq12d 4166 |
. . 3
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15 | 11, 14 | eqeq12d 2486 |
. 2
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16 | fveq2 5879 |
. . 3
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17 | id 22 |
. . . 4
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18 | 16 | fveq2d 5883 |
. . . 4
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19 | 17, 18 | opeq12d 4166 |
. . 3
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20 | 16, 19 | eqeq12d 2486 |
. 2
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21 | seqomlem.a |
. . . . 5
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22 | 21 | fveq1i 5880 |
. . . 4
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23 | opex 4664 |
. . . . 5
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24 | 23 | rdg0 7157 |
. . . 4
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25 | 22, 24 | eqtri 2493 |
. . 3
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26 | 0ex 4528 |
. . . . . . 7
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27 | fvex 5889 |
. . . . . . 7
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28 | 26, 27 | op2nd 6821 |
. . . . . 6
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29 | 28 | eqcomi 2480 |
. . . . 5
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30 | 29 | opeq2i 4162 |
. . . 4
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31 | id 22 |
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32 | fveq2 5879 |
. . . . 5
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33 | 32 | opeq2d 4165 |
. . . 4
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34 | 30, 31, 33 | 3eqtr4a 2531 |
. . 3
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35 | 25, 34 | ax-mp 5 |
. 2
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36 | df-ov 6311 |
. . . . . 6
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37 | fvex 5889 |
. . . . . . 7
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38 | suceq 5495 |
. . . . . . . . 9
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39 | oveq1 6315 |
. . . . . . . . 9
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40 | 38, 39 | opeq12d 4166 |
. . . . . . . 8
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41 | oveq2 6316 |
. . . . . . . . 9
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42 | 41 | opeq2d 4165 |
. . . . . . . 8
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43 | eqid 2471 |
. . . . . . . 8
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44 | opex 4664 |
. . . . . . . 8
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45 | 40, 42, 43, 44 | ovmpt2 6451 |
. . . . . . 7
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46 | 37, 45 | mpan2 685 |
. . . . . 6
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47 | 36, 46 | syl5eqr 2519 |
. . . . 5
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48 | fveq2 5879 |
. . . . . 6
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49 | 48 | eqeq1d 2473 |
. . . . 5
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50 | 47, 49 | syl5ibrcom 230 |
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51 | vex 3034 |
. . . . . . . . . 10
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52 | 51 | sucex 6657 |
. . . . . . . . 9
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53 | ovex 6336 |
. . . . . . . . 9
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54 | 52, 53 | op2nd 6821 |
. . . . . . . 8
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55 | 54 | eqcomi 2480 |
. . . . . . 7
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56 | 55 | a1i 11 |
. . . . . 6
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57 | 56 | opeq2d 4165 |
. . . . 5
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3or 1008 df-3an 1009 df-tru 1455 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-ral 2761 df-rex 2762 df-reu 2763 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-pss 3406 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-tp 3964 df-op 3966 df-uni 4191 df-iun 4271 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-tr 4491 df-eprel 4750 df-id 4754 df-po 4760 df-so 4761 df-fr 4798 df-we 4800 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-pred 5387 df-ord 5433 df-on 5434 df-lim 5435 df-suc 5436 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-ov 6311 df-oprab 6312 df-mpt2 6313 df-om 6712 df-2nd 6813 df-wrecs 7046 df-recs 7108 df-rdg 7146 |
This theorem is referenced by: seqomlem2 7186 seqomlem4 7188 |
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