MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqomlem0 Structured version   Unicode version

Theorem seqomlem0 6990
Description: Lemma for seq𝜔. Change bound variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
seqomlem0  |-  rec (
( a  e.  om ,  b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b )
>. ) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. )  =  rec ( ( c  e. 
om ,  d  e. 
_V  |->  <. suc  c , 
( c F d ) >. ) ,  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >. )
Distinct variable groups:    F, a,
b, c, d    I,
a, b, c, d

Proof of Theorem seqomlem0
StepHypRef Expression
1 suceq 4868 . . . 4  |-  ( a  =  c  ->  suc  a  =  suc  c )
2 oveq1 6183 . . . 4  |-  ( a  =  c  ->  (
a F b )  =  ( c F b ) )
31, 2opeq12d 4151 . . 3  |-  ( a  =  c  ->  <. suc  a ,  ( a F b ) >.  =  <. suc  c ,  ( c F b ) >.
)
4 oveq2 6184 . . . 4  |-  ( b  =  d  ->  (
c F b )  =  ( c F d ) )
54opeq2d 4150 . . 3  |-  ( b  =  d  ->  <. suc  c ,  ( c F b ) >.  =  <. suc  c ,  ( c F d ) >.
)
63, 5cbvmpt2v 6251 . 2  |-  ( a  e.  om ,  b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b ) >. )  =  ( c  e. 
om ,  d  e. 
_V  |->  <. suc  c , 
( c F d ) >. )
7 rdgeq1 6953 . 2  |-  ( ( a  e.  om , 
b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b ) >.
)  =  ( c  e.  om ,  d  e.  _V  |->  <. suc  c ,  ( c F d ) >. )  ->  rec ( ( a  e.  om ,  b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b ) >. ) ,  <. (/) ,  (  _I 
`  I ) >.
)  =  rec (
( c  e.  om ,  d  e.  _V  |->  <. suc  c ,  ( c F d )
>. ) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. ) )
86, 7ax-mp 5 1  |-  rec (
( a  e.  om ,  b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b )
>. ) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. )  =  rec ( ( c  e. 
om ,  d  e. 
_V  |->  <. suc  c , 
( c F d ) >. ) ,  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370   _Vcvv 3054   (/)c0 3721   <.cop 3967    _I cid 4715   suc csuc 4805   ` cfv 5502  (class class class)co 6176    |-> cmpt2 6178   omcom 6562   reccrdg 6951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pr 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-rab 2801  df-v 3056  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-nul 3722  df-if 3876  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4176  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-suc 4809  df-iota 5465  df-fv 5510  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-recs 6918  df-rdg 6952
This theorem is referenced by:  fnseqom  6996  seqom0g  6997  seqomsuc  6998
  Copyright terms: Public domain W3C validator